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高数下期中考试

HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

高等数学（下册）期中考试汇编

(2013-5-5)

一、解答下列各题（70107=?'分）

1. 设xyz y

xy u e +-

=，求(1,2,0)d z 2. 设曲线为32()(,,)r r t t t t ==，求它在对应于1=t 的点处的切线方程和法平面方程.

3. 设有球面14222=++z y x ，求它在)1,2,3(处的切平面方程和法线方程.

4. 设由方程09322

=--+++z xy z y x 可确定),(y x z z =，求y

x z

???2在)1,2,1(-P 处的值.

5. 设积分区域Ω由抛物面22y x z +=及平面0>=h z 所围成。求2d z v Ω

???

6. 计算二重积分??+-=D

y x I σd )1(22，其中D 是由222a y x =+和ax y x =+22及0

=x 所围在第一象限的区域.

7. 计算二重积分?

???+=y y

y y

y x y x y I d e d d e d 1

1214

8. 在圆锥面22y x h Rz +=与)0,0(>>=h R h z 所围的锥体内作一个底面平行于xoy 面的最大长方体，求此长方体的体积.

9. 在一个侧面为旋转抛物面224y x z +=的容器内装有)(cm 83π的水，现注入)(cm 1283π的水，问水面比原来升高多少？

10. 求向量值函数f 的导数，其中[]

.)sin(,e ,cos T

x xz y y x =f

二、设???

? ??=+y x f z y x ,e ，其中具有二阶连续偏导数，求.2y x f

???

三、讨论函数???

??=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222

2y x y x y x y x y x f 在)0,0(点是否连续，是否可微. 四、设Ω是由曲面222y x a z --=及)0(22>-+=a a y x z 围成的空间立体，求Ω对

oz 轴的转动惯量.z I

五、设)(t f 在),0[+∞上连续，且满足方程?????

????

??? ??++

+=Ωv y x f z t f d 211)(222，其中Ω是由不等式2224,0t y x h z ≤+≤≤所确定，求).(t f

(2012-4-21)

一．填空题（每小题5分，共20分）

1．曲线2t x =，2,y t z t ==上相应于2=y 的点处的切线方程是

2．x

z u arctan =在点)1,0,1(A 处沿点A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数为

3．曲面01),,(322=+-++=z y xy x z y x F ，在点)6,1,2(-M 处的切平面方程为

4．若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a

二．计算下列各题（每小题9分，共54分）

1）计算dx x

e dy I y x sin )

1(1

??+= 2）计算二重积分??+D

dxdy y x 22sin ，22224:ππ≤+≤y x D

3）设),(22

x y x f x z =，其中f 具有连续的二阶偏导数，求x

??和22x z ??

4）求椭球面12

322

2=++

z y x 被平面0=++z y x 截得的椭圆长半轴与短半轴之长. 5．在曲面1=++z c y b x a )0,0,0(>>>c b a 上作切平面，使该切平面与三坐标面所围成的体积最大，求切点的坐标.

6．设函数)](1[),(2

y x yf x y x F ++=，其中)(u f 二阶可导，① 求y

x F

x F ?????2,，② 求二重积分??=D

dxdy y x F I ),(，其中D 是由3,1,1y x y x ===-围成的平面区域.

三. (9分)(学习工科数学分析者作(1),其余作(2))

1）设有二元向量值函数????

??-=xy y x y x f 2),(22 ，试求f 在点)1,1(处的导数与微分. 2)．设),(y x f z =，由0=+---z y x xe y x 所确定，求dz

四．（11分）讨论函数32),(y x y x f =在点)0,0(处是否连续，偏导是否存在，是否可微？

五．（6分）已知)(2

y x u u +=有连续二阶偏导数，且满足222222y x y

x u +=??+??试求函数

u 的表达式.

(2011-4-23)

一、填空题（每小题5分共20分）

1．函数)2sin(ln e ),(y x y x f x -=，在)0,4

(π

点处的全微分=z d .

2．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-处的方向导数的最大值为 .

3．设有椭球面12222=++z y x ，则它在点)21

,21,21(-处的切平面方程为

4．设),(y x z z =由方程y

z x ln =所确定，则=??22x z

二．单选题（每小题5分，共20分）

1．在曲线??

??=-==32t z t y t

x 的所有切线中，与平面42=++z y x 平行的切线（）

A ．只有1条

B ．只有2条

C ．只有3条

D 不存在

2．2

01lim

cos()d d x y r D

e x y x y r π-→+=??（）. 其中.:222r y x D ≤+

A ．π

B ．1/π

C ．1

D ．1- 3．设),(y x f 连续,??

x y y x f x I 1ln 0

d ),(d 交换积分次序后为（）

A ．??

=e x x y x f y I 1

ln 0

d ),(d B ．??=e

y x y x f y I 1

d ),(d

C ．?

?=x e x y x f y I ln 0

d ),(d D ．??=10

d ),(d e

y x y x f y I

4．函数222

222

22sin 2(),0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=?

在点)0,0(处（）

A ．无定义

B ．连续

C ．有极限但不连续

D ．无极限

三、（10分）设函数),(v u f 可微，),(y x z z =是由方程),(yz xz f xy z =+确定的可微函数，求

,z z x y

????.

四、（10分）讨论函数(,)f x y =在)0,0(处连续性、可导性、可微性.

五、（10分）在曲面222:y x z +=∑上求一点),,(000z y x p ，使它到平面062:=++-z y x π的距离最短.

六、（10分）计算 2

4 2

d d d d 22x

I x y x y y

ππ=+??

七、（10分）计算二重积分.4:,d d sin 222222ππ≤+≤+??y x D y x y x D

八、(4分)(学习工科数学分析者作(1),其余作(2))

(1) 求向量值函数(,,)(cos ,,sin())x T f x y z x y ye xz =的Jacobi 矩阵.

(2) 求函数2(,2,3)z f x x y x y =+-的梯度(f 的偏导存在).

九. （6分）求抛物面221z x y =++的一个切平面,使得它与抛物面及圆柱22(1)1x y -+=围成的体积最小，试写出切平面方程并求出最小体积.

(2010-5-8)

一、填空题（每小题4分，共20分）

1 设xyz y

xy u e +-

=，则=)0,2,1(d z .

2 设??

??===t z t y t x 23，则它在1=t 所对应点处的切线方程为 .

3 设222ln z y x u ++=，则=)1,1,1(grad f .

4 设2

2z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-处沿方向?

???=31,31,31l 的方向导数为 .

5 计算

2()d x y R x y σ+≤+??

二、计算题（每小题7分,共63分）

1 求曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(的切平面方程和法线方程.

2 计算??-+-2

111

d sin d y y

x x

y . 3 设???

??=x y x xf z 2,2，其中f 具有二阶连续偏导数，求y x z ???2.

4 讨论函数??

???=+≠++=0,00,),(222222

y x y x y x xy

y x f 在点)0,0(的偏导数及可微性.

5 设有形状为旋转抛物面的一容器,其中心轴截面与容器的截线方程为2y x =,现将长为

l 的细棒AB 置于容器之中,试求细棒中点的最低位置(设1l <).

6 (学工科数学分析者作(1),其他作(2))

(1)求向量值函数T

222

2221),ln(),sin(???

?????++-=z y z x y x f 在点T )1,1,1(处的导数.

(2)求由方程052422

=-+-+-z x z y x 所确定的隐函数z 的二阶偏导数22x

??.

7 计算二重积分??+D

y x σd 22，其中}0,0,42|),{(22≥≥≤+≤=y x y x x y x D .

8 若二元函数),(y x z 在xoy 平面上的任意一个有界闭区域内存在一阶连续的偏导数，且

??????? ??-??=??? ????D D y x z x x z xz y x x z d d 2d d 222

，求函数),(y x z . 9 设函数()f t 在[0,)+∞上连续，且满足方程

4π4()e d d t x y t f t f x y +≤=+

,求()f t . 三、讨论题（共17分）

1.计算二元函数(,)z f x y =在点00(,)P x y 处对x 的偏导数00(,)x f x y 时,可以先将0

y y =代入(,)f x y 中,再求一元函数0(,)f x y 在0x 处对x 的导数,即0

000(,)

(,)x x x df x y f x y dx ==,为什

么?

2.试通过讨论函数224(,)128f x y x xy y =-+的极值点,来说明当点(,)x y 在过000(,)M x y 的任一直线L 上变动时,二元函数(,)f x y 都在000(,)M x y 处取得极值,能否断定该函数在

000(,)M x y 处取得极值?

（2009-4-26）

一、填空题（每小题3分，共15分）

1．若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a .

2．)ln(e 2y x z x

+=-，沿}0,1{=l 方向的方向导数=??l

3．曲线2

tan

,sin ,cos t

z t y t x ===在点)1,1,0(处的切线方程是 . 4．交换二次积分的积分次序（其中),(y x f 为连续函数）

=+?

-x

x y y x f x y y x f x 20

d ),(d d ),(d 2

5．设)2,1,1(-M 是曲面),(y x f z =上的一点，若3)1,1(=-x f ，在任一点),(y x 处有

),(),(),(y x f y x yf y x xf y x =+，则曲面在M 处的切平面方程是 .

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 函数?????=+≠++=0,

00,4),(22222

2y x y x y x xy

y x f 在原点)0,0(间断的原因是),(y x f （）

A. 在原点无定义

B. 在原点极限存在但在原点无定义

C. 在原点极限不存在

D. 在原点极限存在，但极限不等于原点的函数值

2. 函数10232),(22+--=y x xy y x f 在点)0,0(O 处（）

A. 取得极大值

B. 取得极小值

C. 无极值

D. 不能判定是否取得极值

3. 设y

u arctan

=则=)1,1(grad u （）

A. 21

B. 21-

C. 11(,)22-

D. 11(,)22

4. 设)(u f 是连续函数，平面区域)1|(|10:2≤-≤≤x x y D ，则??+D

y x f d )(22（） A. ?

?-+2

0d )(d x y y x f x B. ?

?-+210

221

d )(d y x y x f y

C. ??1

d )(d ρρρθπf D. ??1

d )(d ρρθπf

5. 比较??+=D

y x I σd )(21与??+=D

y x I σd )(32的大小，其中

{}22(,)|(2)(2)2D x y x y =-+-≤，则（）

A. 21I I =

B. 21I I >

C. 21I I ≤

D. 21I I ≥

三、解答题（每小题8分，共64分）

1. 设2

2ln arctan y x x

y z +-=，求x z ??和y x z ???2.

2. 求曲面2=++z y x 上任一点处的切平面与三个坐标轴的截距之和。

3. 计算二重积分??+1

d 1d x

y y

xy x .

4. 设y x t F D

y x d d e

)(2

2sin ??+=，其中222{(,)|}D x y x y t =+≤，求t

t F t )

(lim

'→

. 5. 讨论函数??

??+≠+++=2

2222

2,001sin )(),(y x y x y x y x y x f 在原点)0,0(处的可微性.

6. 设有一物体，它是由曲面22y x z +=和228y x z --=所围成，已知它在任意的点

),,(z y x 处的密度z =μ，求此物体的质量m .

7. (学习工科数学分析者作①，学习工科数学分析者作②)

①求向量值函数???

??????=22),(y xy x y x f 的导数.

② 设函数),(y x z z =由方程0),(2222=--z y y x F 所确定.其中(,)F u v 可微，0v zF ≠，求y

z x x z y

??+??. 8. 设),(x

x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求z d 及y x z ???2.

四、综合题（6分）

在第一卦限内作旋转抛物面221y x z --=的切平面，使得该切平面与旋转抛物面

)0,0(122≥≥--=y x y x z 及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点坐标.

一.解答下列各题(每小题7分,共70分)

1. 设2

(,)arcsin ,y f x y x

=求(,)df x y .

2. 设由方程09322

=--+++z xy z y x 可确定),(y x z z =,求(1,2,1)z x -??，)

1,2,1(2-???y x z

3. 求曲面122-+=y x z 在点(2,1,4)的切平面与法线方程.

4. 求曲线2(sin ,,2)0r t t t t ==在时的切线与法线方程。

5. 设f

连续，交换积分次序2

(,)y

dy f x y dx -??.

6. 计算二重积分.

222

2(sin 1)x y a x y dxdy +≤++??

7. 设空间立体Ω是由抛物面22y x z +=及平面0>=h z 所围成,已知它的密度为

2),,(z z y x f =.试计算它的质量.

8. 求22z xy u -=在点(2,1,1)- 处的方向导数的最大值.

9. 求曲线(cos ,sin ,)r a t a t kt =的曲率.

10.（学工科数学分析者做①，其它做②） ① 设,),(),(22T xy e y x y x f +=求)1,1(),1,1(df Df

② 设方程组 ?????-==+2

2222v

u xy uv

y x ,确定了函数),(y x u u =和),(y x v v = 求x v x u ????,. 二. （8分）设),,(2

y y x f z =其中(2)

f C ∈, 求y x z x z ?????2,.

三. （8分）设??

???=+≠++=0,00,),(22222

22y x y x y x y

x y x f ,试研究),(y x f 在(0,0)点处的连续性、可

微性.

四. （7分）求曲面221z x y =++在点0(1,1,3)M -的切平面与曲面22z x y =+所围立体的体

积。.

五. （7分）设函数(,,)f x y z 在闭球体222:3x y z Ω++≤上有连续的偏导数,且满足条件：①在Ω内

1,1,1f f f

x y z

???===-???， ②(1,1,1)11f =。试求函数(,,)f x y z 并证明7(,,)13,(,,)f x y z x y z ≤≤?∈Ω

(2007年)

一、解答下列各题（每小题7分，总计70分）

1、设(2,)z f x y xy =+，其中f 具有一阶连续偏导数，求dz .

2、设arctan y z x

=-2z x y ???.

3、求曲面228x

y z

+=,在0(2,2,1)M 处的切平面和法线方程。

4、设22[,]xy T f x y e =+，求(1,1),(1,1)Df df 。（求332233f x y x y =+--的极值）

5．求曲线2226

0x y z x y z ?++=?++=?在(1,2,1)-处的切线和法平面方程。

6．若()f r 为可微函数，其中r =grad ()f r 。 7．在直角坐标系下，交换二次积分

20(,)a

a x

a dx f x y dy -??

的积分次序。（0,a f >连

续）。

8．设有一物体由曲面z =和z =(,,)M x y z 处的密度z μ=，求此物体的质量。

9．一质量分布均匀（密度为常数）的物体Ω由曲面2222,1z x y x y =++=及0z =所围成，求此物体的质心坐标。

．计算21

y x

dx e dy ?。

二、（8分）设(,)z z x y =由方程222()z

x y z yf y

++=确定，其中f 具有一阶连续偏导

数，求z z y

x x y

??-??. 三、（8分）设222

,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y

x y f x y x y x y ?≠?=+??=?

，试讨论f 在点(0,0)处的连续性和

可微性.

四、（8分）在第一卦限内作旋转抛物面221z x y =-+的切平面，使得该切平面与旋转抛物面221(0,0)z x y x y =-+>>及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点的坐标。

五、（6分）设(,)f x y 在单位圆221x y +≤上有连续的一阶偏导数，且在边界上取值为零，证明：2201(0,0)lim

2x y D

xf yf f dxdy x y επ→+-=+??，其中D 为圆环域222

1x y ε≤+≤. (2006年)

一、解答下列各题（每小题7分，总计70分）

1、设(,2,)z f x x y xy =+，其中f 具有一阶连续偏导数，求dz .

2、设()y

z f xy x

=+，其中f 具有二阶连续偏导数，求22z x ??

3、求曲线2(){,,31}r t t t t =--上一点处与平面24x y z ++=平行的切平面方程。

4、求曲面22

z x y ++=的平行于平面221x y z ++=的切平面方程。

5、交换二次积分的积分次序：240

(,)y

dy f x y dx -??

。

6、计算21

y x

dx e dy ?

7、设()f u 是连续函数，试将20

dx f dy ??

在极坐标系下为二次积分。

8、设函数(,,)6f x y z xy zx zy x y z =++---+，问在点(3,4,0)M 处沿怎样的方向l ，

f 的变化率最大？并求此最大变化率。

9、计算二重积分22()D

x y dxdy +??，其中D 为222x y x +=所围平面区域。

10、（注学习工科分析基础的作（1），其余作（2）（1）证明等式2

1ln 2()()2

f xy dxdy f u du =

???，其中D 是由直线,2y x y x ==与双曲线1,2xy xy ==所围成的位于第一象限的闭域。

（2）把正数a 分成三个正数,,x y z 之和，并使23(,,)f x y z xy z =取得最大值。

二、（8分）设2

(,)z y f x y xy =-其中f 具有二阶连续偏导数，求2z

x y

???.

三、（8分）从平面薄圆板22(1)1x y +-≤的内部挖去一个园孔2211

()24x y +-≤后，得到一

个薄板，若其上名点处的密度为μ=

四、（7

分）证明：(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y f x y x y ≠==?

在点(0,0)处偏导数存在但不可微。.

五、（7分）若点0000(,,)M x y z 是光滑曲面(,,)0F x y z =上与原点距离最近的点，试证过点

0M 的法线必定过坐标原点.

(2004年)

一、解答下列各题（每小题6分，总计12分）

1、求曲线ct z t b y t a x ===,sin ,cos 在点???

??c b a 6,2,23π处的切线方程.

．将20

(,)(,)R

R I dx f x y dy dx f x y dy =+??化为极坐标系中先对r 后对θ的二次

积分。

二、解答下列各题（每小题6分，总计12分）

1．在曲线223,2,t z t y t x ===上求点，使该点处曲线的切线平行于平面

1478=-+z y x .

2、求曲面323=++z xz y x 在点(1,1,1)处的切平面方程. 三、（8分）计算??-+=D

dxdy y x I |2|22，其中3:22≤+y x D .

四、（7分）设()[()],()0g y z f x f x =>，其中g f ,为可微函数，求

z x z ????,.

五、（7分）设函数),(s t f 具有连续的一阶偏导数，而)(xyz z y x f u ，++=，求du .

六、（7分）证明：?????=≠+=)0,0(),(,

0,0(),(,),(422y x y x y x xy y x f 在点(0,0)处不连续，但存在一阶偏

导数.

七、（9分）在椭球面196

222

=++z y x 上求距离平面2881243=++z y x 的最近点和最远点. 八、（9分）设)(),(x z z x y y ==是由方程()z xf x y =+和0),,(=z y x F 所确定的函数，其

中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求

dz . 九、（9分）设球体)0(2222>≤++a az z y x 中每点的质量密度与该点到坐标原点的距

离平方成反比.试求该球体的质量与质心.

十、（9分）试求正数λ的值，使得曲面λ=xyz 与曲面122

2222=++c

z b y a x 在某点相切.

十一、（8分）设由0,ln ==y x y 及e x =所围的均匀薄板（密度1=μ）求此薄板绕哪一条垂直于x 轴的直线旋转时转动惯量最小？

(2003年)

一、解答下列各题(每小题5分，总计15分)

1、设j i a += ，k j i b 4 -+=， c i j =-，求c b a ??)(.

2、求曲线t z t y t x sin ,cos ,2

===在点)2

,22,

(

π处的切线方程.

3、设),(y x f 为连续函数，交换累次积分?

dy y x f dx 2 2

),(的积分次序.

二、解答下列各题(每小题6分，总计12分)

1、试求平行于x 轴，且过点)2,1,3(-及)0,1,0(的平面方程.

2、试求曲面32=+-xy e z z 在点)0,2,1(处的切平面方程.

三、(8分)设区域D 由x y x y x 2,12222≤+≤+及0≥y 所确定，计算二重积分

??+=D

d y x I σ22.

四、(7分)设???? ??-+=y x y x y x f arccos )1(),(，求????f x f

(,)(,)

0101.

五、(7分)设z xy x =+()1，求d z .

六、(7分)一直线在平面π:x y +=20上，且和两直线,1

41:

1--==z y x l 1

0124:

2--=

-=-z y x l 都相交，求该直线的方程. 七、(9分)求函数z x y xy x =-

+-+32

363在闭域D x y :,0202≤≤≤≤上的最小值和最大值.

八、(9分)设x y z e x z y x f u y sin ,0),,(),,,(2===?，其中?,f 具有一阶连续的偏导数，且

0≠??z ?，求.dx

九、(9分)计算由曲面222,0,1,x y z y y x z ===+=围成的曲顶柱体的体积.

十、(9分)求函数2

z y x u ++=在点)3,0,1(-M 处沿椭球面118

322

22=++z y x 外法线方向的方向导数.

十一、(8分)设),(y x f x '在),(00y x 点处连续，),(00y x f y '存在，试证),(y x f 在),(00y x 点处

可微.

(2002年)

一、解答下列各题(每小题6分，共60分)

1．求向量p ，使其与}3,2,4{=a

与}3,1,0{=b 都垂直，模为26，且与y 轴成钝角.

2．求过点)2,1,0(),1,0,1(21-M M 且垂直于平面0=++z y x 的平面方程.

3．一直线在xoz 坐标面上，且通过原点，又垂直于直线1

2132-=

-+=-z y x ，求它的对称式方程.

4．设),(y x f z =，其中)(x y y =由方程0),(=y x φ确定，而φ,f 具有连续的一阶偏导数，且0≠'y φ，求

.dx

5．设y

x z cos )(ln =，求dz .

6．求曲线??

?==2

x xyz 在)1,1,1(点处的切线和法平面方程.

7．求函数y x y xy x z +-+-=222极值.

8．改变二次积分????+--a

dy y x f dx dy y x f dx 2),( ),( 0

)0(>a 的积分次序，其中

),(y x f 连续.

9．计算积分?

?-+220

222

)( x x dy y x dx .

10．求函数z y x u ++=在点)1,0,0(M 处沿球面1222=++z y x 的外法线方向的方向导数.

二、（10分）设函数),(y

xy f z =，其中),(v u f 具有二阶连续的偏导数，求y x z x z ?????2,.

三、（10分）试讨论函数?????=≠+= )0,0(),( 0

)0,0(),( ),(2

2y x y x y x y x y x f 在)0,0(处的连续性与可微性.

四、（10分）设半径为r 的球面)(1S 其球心位于定球面2222:)(a z y x S =++上，试求r 的

值，使得球面)(1S 位于定球面)(S 内部的那一部分面积取得最大值.

五、（10分）证明：抛物面122++=y x z 上任一点处的切平面与曲面22y x z +=所围成的

立体的体积为一定值.