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张量与并矢(即向量的直积)

向量的点乘和叉乘以及几何意义

所谓点乘（也常称作内积），数学定义如下：点乘只是表达这个结果的一种方式，符号不重要，叫法也不重要，我可以叫点乘，内积，也可以叫"相乘"，定义"#"字符代替“·” 符号都可以，只是人们约束习惯这么这么写，那我们就也都这么写。而且，也不要纠结为什么是这么定义，没有为什么，人们就是这么“龟腚”这个公式的，我们要研究的是这个规定到底能干嘛？有啥具体意义？ a.点乘的具体几何意义：根据公式，我们可以得出a·b=|a| |b|cosθ我试着证明为什么会是这样（为了能让大家看的方便，我将向量标为蓝色，具体长度标为红色）：定义向量c=a - b这样就形成了一个封闭的三角形，c向量为他的第三边由于余弦定理我们可以知道c2 =a2 +b2 - 2ab cos(θ) (这里的a,b,c全部都是每一边的具体长度)根据定义我们可以推导出c·c=c2(有兴趣的朋友可以去试着推导一下) 所以：c·c=a·a+b·b- 2ab cos(θ) 因为向量的点乘满足分配率：a·(b+c)=a·b+a·c c=a - b c·c=(a -b)·(a - b) c·c=(a·a-2a·b+b·b) (a·a - 2a·b + b·b)=a2+b2- 2ab cos(q) 约掉a·a=a2,b·b=b2; -2a·b= -2ab cos(θ) a·b=ab cos(θ) 因为a=|a| 所以a·b=|a| |b|cosθ 跟据这个公式，我们能拿到两个向量之间的夹角，这对于判断两个向量是否同一方向，是否正交(也就是垂直)，很有用处。具体判断如下： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间所以，点乘的几何意义和用处就是计算两个向量之间的夹角，以及在某一方向上的投影。至于为什么要判断两个向量是否方向一致，这在3D中很有用处。比如：3D技术中的光栅化（光栅化的任务是为了绘制每个三角形单元，如何计算构成三角形单元的每个像素的颜色值）过程中，我们可以根据两个面的法向量的点乘判断两个面是否处于同一面，如果不是，那么只要光栅化其中需要显示出来的一面，而另一面我们就不用光栅化它（因为我们根本看不到被遮住的面），这样就节省了很多很多计算，能加快效率。

向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意思解读

概念向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。点乘公式对于向量a和向量b： a和b的点积公式为：要求一维向量a和向量b的行列数相同。点乘几何意义点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式：推导过程如下，首先看一下向量组成：

定义向量：根据三角形余弦定理有：根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：即：向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间叉乘公式

两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。对于向量a和向量b： a和b的叉乘公式为：其中：根据i、j、k间关系，有：叉乘几何意义在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

(重点)平面向量数量积公式的应用(可编辑修改word版)

F D C A a B 1 O - A 1 b B 平面向量数量积公式的应用向量的数量积是我们学习向量中的一种新的运算，它是两个向量之间的乘法关系，它们的积是数量，因此，数量积公式充分把向量与数结合在一起，为我们解题提供了一种新的思维方式。下面谈谈数量积公式在解题中的应用。一、解决平面几何问题： 1. 长度问题例 1：设 AC 是平行四边形 ABCD 的长对角线，从 C 引 AB 、AD 的垂线 CE 、CF ，垂足分别为 E 、F ，如图所示，求证： AB ? AE + AD ? AF = AC 2 。 B E 2. 垂直问题例 2：如图所示，四边形 ADCB 是正方形，P 是对角线 DB 上一点，PFCE 是矩形，证明： PA ⊥ EF 。 3. 夹角问题例 3：求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角。二、解决三角问题： 1. 证明一些公式：例 4：对于任意实数， Y ，求证： cos(+ ) = cos cos - sin sin 。 X y A B P E D O F C x y A E O C D B x

2. 证明三角恒等式：例 5：已知、为锐角，且 3sin 2 + 2 s in 2 = 1 ， A 5 3sin 2- 2 s in 2= 0 ，求证：+ 2= 。 2 A 6 A 4 A 7 e A 3 A 1 A 2 3. 求三角函数值： 2 例 6：求值： cos 7 + cos 4+ c os 6。 7 7 4. 解与三角形有关的问题：例 7：在锐角△ABC 中，已知cos A + cos B - cos( A + B ) = 3 ，求角 C 的值。 2 三、证明等式：一般来说，等式的证明都要进行恒等运算，但应用向量的有关知识和运算，并且简单明了。例 8：设(x 2 + y 2 )(a 2 + b 2 ) = (ax + by )2 （ ab ≠ 0 ），求证： x = y a b

平面向量的数量积及其应用

06—平面向量的数量积及其应用突破点(一) 平面向量的数量积 1.向量的夹角; 2.平面向量数量积的运算 1第一步,根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标,求解过程要注意方程思想的应用; 第二步,根据数量积的坐标公式进行运算即可. 2.根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向量的起点不同,需要通过平移使它们的起点重合,然后再计算. (2)根据图形之间的关系,用长度与相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量,然后再根据平面向量数量积的定义与性质进行计算求解. [典例] (1)设向量a ＝(－1,2),b ＝(m,1),如果向量a ＋2b 与2a －b 平行,那么a 与b 的数量积等于( ) A.－72 B.－12 C 、32 D 、52 (2)在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB ＝2,BC ＝1,∠ABC ＝60°、点E 与F 分别在线段BC 与DC 上,且u u u r BE ＝23u u u r BC ,u u u r DF ＝16 u u u r DC ,则u u u r AE ·u u u r AF 的值为________. [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4),2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3),由题意得3(－ 1＋2m )－4(－2－m )＝0,则m ＝－12,所以b ＝? ?????－121,所以a ·b ＝－1×????－12＋2×1＝52、 (2)取u u u r BA ,u u u r BC 为一组基底,则u u u r AE ＝u u u r BE －u u u r BA ＝23u u u r BC －u u u r BA ,u u u r AF ＝u u u r AB ＋u u u r BC ＋u u u r CF ＝－u u u r BA ＋u u u r BC ＋512u u u r BA ＝－712u u u r BA ＋u u u r BC ,∴u u u r AE ·u u u r AF ＝????23 u u u r BC －u u u r BA ·????－712 u u u r BA ＋u u u r BC ＝712|u u u r BA |2－2518u u u r BA · u u u r BC ＋23|u u u r BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918、 [答案] (1)D (2)2918 [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系就是相等还就是互补.(2)两向量a ,b 的数量积a ·b 与代数中a ,b 的乘积写法不同,不能漏掉其中的“·”. 突破点(二) 平面向量数量积的应用平面向量的垂直问题 1第一,计算出这两个向量的坐标; 第二,根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可. 2.已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数. [例1] (1)△ABC 就是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足u u u r AB ＝2a ,u u u r AC ＝2a ＋b ,则下列结论正确的就是( ) A.|b |＝1 B.a ⊥b C.a ·b ＝1 D.(4a ＋b )⊥u u u r BC (2)已知向量a ＝(k,3),b ＝(1,4),c ＝(2,1),且(2a －3b )⊥c ,则实数k ＝( ) A.－92 B.0 C.3 D 、152 [解析] (1)在△ABC 中,由u u u r BC ＝u u u r AC －u u u r AB ＝2a ＋b －2a ＝b ,得|b |＝2,A 错误.又u u u r AB ＝2a 且|u u u r AB |＝2,所以|a |＝1,所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1,B,C 错误.所以(4a ＋b )·u u u r BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0,所以(4a ＋b )⊥u u u r BC ,D 正确,故选D 、 (2)∵(2a －3b )⊥c ,∴(2a －3b )·c ＝0、∵a ＝(k,3),b ＝(1,4),c ＝(2,1),∴2a －3b ＝(2k －3,－6).

平面向量的数量积及其应用

06—平面向量的数量积及其应用突破点(一) 平面向量的数量积 1．向量的夹角；2平面向量数量积的运算 1.第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． [典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 (2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ＝23BC ，DF ＝16 DC ，则AE ·AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝? ????－12，1，所以a ·b ＝－1×? ?? ??－12＋2×1＝52. (2)取BA ，BC 为一组基底，则AE ＝BE －BA ＝23 BC －BA ，AF ＝AB ＋BC ＋CF ＝－BA ＋BC ＋512BA ＝－712BA ＋BC ，∴AE ·AF ＝? ????23 BC －BA ·? ????－712 BA ＋BC ＝712 |BA |2－2518BA ·BC ＋23|BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918 [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”．突破点(二) 平面向量数量积的应用的关系平面向量的垂直问题 1.第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 [解析] (1)在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2 ＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D. (2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－ 6)．

向量的加减法实数与向量的乘积专题练习

高中学生学科素质训练高一数学同步测试（9）—向量的加减法、实数与向量的乘积一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则等于（） A ．+ B ．+ C ．DH + D ．GH + 2．下列说法正确的是（） A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量的长度为0 C ．长度相等的向量叫相等向量 D ．共线向量是在同一条直线上的向量 3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 -+等于（） A ． B ．4 C ．4 D ．4 4．已知向量与反向，下列等式中成立的是（） A ．||||||-=- B ．||||-=+ C ．||||||-=+ D ．||||||+=+ 5．在 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（） A ．=+ B ．=- C ．d a b =- D ．b a c =-

6．下列各量中是向量的是（） A ．质量 B ．距离 C ．速度 D ．电流强度 7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （） A ． )35(2 1 21e e + B ． )35(2121e e - C ．)53(2 1 12e e - D ．)35(2 1 12e e - 8．若),,(,,,R ∈=+μλμλ不共线则（） A ．==, B ．o ==μ, C ．o ==,λ D ．o o ==μλ, 9．化简)]24()82(2 1 [31b a b a --+的结果是（） A ．-2 B ．-2 C ．- D ．- 10．下列三种说法： ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量。其中正确的是（） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③ 11．若2121,,PP P P b OP a OP λ===，则等于（） A ．λ+ B ．+λ C ．)1(λλ-+ D ．λ λ λ+++111 12．已知ABCD 为菱形，则下列各式中正确的个数为（） ①= ②||||BC AB = ③||||+=- ④||4||||22=+2 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上） 13．21,e e 不共线，当k= 时，2121,e k e e e k +=+=共线. 14．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 . 16．已知c b a ,,的模分别为1、2、3，则||c b a ++的最大值为 .

2018年一轮复习《平面向量的数量积及应用》教学教案

平面向量的数量积及应用知识梳理：平面向量的夹角及表示: (1).平面向量的夹角的定义 (2).范围: 表示方法: 当夹角为0或错误！未找到引用源。时,则称a与b ,记作: ; 当夹角为9错误！未找到引用源。时,则称a与b ,记作: ; 2.向量的数量积定义: 3.数量积几何意义与投影的概念: 4.数量积的性质:设a与b是非零向量,e是单位向量,错误！未找到引用源。是a与e的夹角, 则 ①错误！未找到引用源。= ；②a错误！未找到引用源。b时，a错误！未找到引用源。b错误！未找到引用源。③错误！未找到引用源。同向量，错误！未找到引用源。 ④错误！未找到引用源。反向量，错误！未找到引用源。⑤错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。特别地：错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+2a错误！未找到引用源。b 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。-2a 错误！未找到引用源。b (a+b)错误！未找到引用源。(a-b)=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。 ⑥数量积的运算律: 交换律：；结合律：；分配律： ⑦数量积的坐标运算：； ⑧两向量垂直叛定：；

⑨两向量夹角公式：； ⑩向量的模及两点间的距离：；二、题型探究探究一：平面向量的数量积运算例1：已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为12错误！未找到引用源。，求： ○1错误！未找到引用源。 ○2错误！未找到引用源。 ○3错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。； ○4（2a-b ）错误！未找到引用源。（a+3b ）（答案：-10；21；9；-48）探究二、数量积的综合应用例2：已知向量a 和b 的夹角是120°，且2||=a ，5||=b ，则a b a ?-)2(= 例3：已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，（1）求证：)(b a -⊥c ；（2）若1||>++c b a k )(R k ∈，求k 的取值范围. 解：（1）∵ 1||||||===c b a ，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，

实数与向量的乘积

实数与向量的乘积 1.实数与向量的乘积：设λ为任意实数，a r 为任意的非零向量。λ与a r 的乘积是一个向量，记作______ 模：a λr 的模等于||a r 的_____倍，即||a λ=r _____ 方向：（1）当0λ>时，规定a λr 与a r 的方向______ （2）当0λ=时，规定a λ=r ______ （3）当0λ<时，规定a λr 与a r 的方向______ 由于规定了a λr 的模||a λr 与a λr 的方向，这样a λr 就能确定了。 4.根据实数与向量的乘积的定义，可知a λr 与a r 是____________的向量 5.两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是：存在非零实数λ，使b =r ______ 6. 实数与向量的乘积满足以下运算律：设,R λμ∈，则（1）()a a a λμλμ+=+r r r （2）()()a a λμλμ=r r （3）()a b a b λλλ+=+r r r r 7.已知非零向量a r 的单位向量0a =u u r ______，方向与向量a r ______ 例2下列结论中 ⑴,a b r r 是两向量，则a b r r 与的关系必为,,a b a b a b >=

平面向量的数量积及其应用定稿1

平面向量的数量积及其应用【考试要点】 1．考查平面向量数量积的运算． 2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模． 3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系．【复习指导】本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．【教学过程】活动一心动入境

(5)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (6)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 课前活动二[归纳反思] (1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？ (2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？ (3) 若向量a，b，c满足a·b＝a·c(a≠0)，是否能有b＝c？ (4)若向量a，b，c满足(a·b)c≠a(b·c)，是否有(a·b)c=a(b·c)？ (5) 正三角形ABC中，与的夹角应为多少度？热身训练1.平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于() A.13＋6 2 B.25 C.30 D.34 2.已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________. 3.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________. 4.已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________. 考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用探究实践1 【例1】如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，∠BAC ＝60°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，BE 交于点F，连接AF，取CF的中点G，连接BG，则AF → ·BG → ＝________. (2)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，BC

向量的点积与叉积

习题二向量的点积与叉积一、是非题解：1.（×）满足000=?≠≠b a b a ,,的向量a 与b 平行，可能同向或反向. 2.（√）由向量点积定义可得. 3.（×）b a ?的大小表示a ,b 两向量构成的平行四边形的面积. 4.（√）c a b a ?=?，即0)(=-?c b a ，所以)(c b a -⊥. 二、填空题解：1. 1413)2(222=++-= a ，21)1(22=+-= b , 所以夹角余弦为7 1 72221411)1(302cos - =-=??+-?+?-=??= b a b a θ. 而以向量a ,b 为邻边的平行四边形的面积即为b a ?，所以 62)7 1(1214cos 1sin 2 2=- -??=-?=?=θθb a b a S . 2. 由向量加法的三角形法则及余弦定理，有2 32 3222)32(2cos 2 22=??-+=θ，得a 与b 的夹角为6 π= θ. 3. k j i a 2++-=，k j i b 2+-=，所以 222)1(11)1(=?+-?+?-=?b a ，j i j i b a 442 11211+=--=?k . 4. 22 2224πsin =??=?=?b a b a . 三、选择题解：1.(A) 因为1)32( )3 1()3 2(22 2 =-++，所以),,(3 23132-可以作为方向余弦.

2. (C)因为向量的点积满足乘法分配律. 3. (B)因为k j i a ++=，k j i j 010++=，所以同时垂直于a 和Oy 轴的单位向量为)(21 1 )1(22k i k i k i k i j a j a c +-±=+-+-±=+-+-±=??± =. 4.(C)由三角形法则及余弦定理，133 π 2cos 432432 2 =???-+=+b a . 四、解：1. k j i k j i b a 7351 12231 -+=-=?,83)7(35222=-++=?b a , 所以同时垂直于a ,b 的单位向量为{}73583 1-± ,,,即??? ?? ?-±837833 83 5 , , . 2.设{}p n m ,,=b ，由题意有??? ??=++-==, 14,2 36222p n m p n m 解得12±=m ，6±=n ，4 =p ，因此所求向量为{}4,6,12-±=b . 3.{}2,3,1-=，{}8,0,2-=，k j i k j i 612248 02231 ++=--=?AC AB ， ABC ?的面积是以AC AB ,为邻边的平行四边形面积的一半，于是 213612242 1222=++== ?S ABC .

向量的数量积及其应用教案

平面向量的数量积及其应用讲师：王光明一、复习目标深刻理解平面向量数量积的定义及其几何意义。能应用向量数量积解决有关向量垂直问题，向量的长度、夹角的问题，能将其它章节某些问题转化为可用向量数量积解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力。二、基础知识知识点回顾 1、两个向量的夹角是如何规定的？两个向量的夹角的取值范围是什么？如下图，已知两个非零向量和作=，=，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量与的夹角，记作〈，〉. 2、平面向量数量积的定义是什么？其几何意义是什么？如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a ?b ，即a ?b ＝a b cos q 。规定：零向量与任一向量的数量积是0. 注意数量积是一个实数，不再是一个向量 a ? b 的几何意义：数量积a ?b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。b 在a 上的投影为||cos b θ =b a a ，它是一个实数，但不一定大于0 3、平面向量数量积有哪些性质？设e 是单位向量，〈a ，e 〉=θ. （1）e ·a =a ·e =|a |cos θ. （2）当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b =－|a ||b |，特别地，a ·a =|a |2 ，或|a （3）a ⊥b ?a ·b =0.(a 、b 都是非零向量) 注意：零向量的方向是任意的，因此可以和任意向量平行，但却不可以与任何向量垂直

（4）cos θ= ×a b |a ||b | . （5）|a ·b |≤|a ||b |. 4. 平面向量数量积运算律：（1）a ·b =b ·a ；（2）（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）；（3）（a +b ）·c =a ·c +b ·c 思考讨论 ()()a b c a b c 与是否相等? 5.向量数量积的坐标运算：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则（1）a ·b =x 1x 2+y 1y 2；（2）|a （3）cos 〈a ，b 〉（4）a ⊥b Ta ·b =0Tx 1x 2+y 1y 2=0. 三、双基训练 1.已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |等于 A.7 B.10 C.13 D.4 解析：|a +3b |= 960cos 1161+????+=13. 答案：C 2.已知a =（λ，2），b =（3，—6），且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是解析：a 与b 的夹角为钝角，cos < 0且cos ≠-1，又cos =()(),11,4λ∈-∞-?- 3．已知,,为非零的平面向量. 甲：, :,a b a c b c ?=?= 乙则（）