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北师大版高中数学必修四第二章第六节《平面向量数量积的坐

北师大版高中数学必修四第二章第六节《平面向量数量积的坐
北师大版高中数学必修四第二章第六节《平面向量数量积的坐

专家点评(高新一中党效文)

本节课是对平面向量的进一步探究与应用,是对平面向量的几何意义的综合研究提高,故可以看出党老师的教案设计着引导学生探究、发现、应用、提高的目标而设计的。

通过回顾复习前面相关知识,为后面的深入学习做好铺垫,之后提出问题,引导学生进行探究、同时让学生进行分组论,培养学生的自主学习、合作学习的学习方式。进而指导学生进行公式推导,使学生从探究中感受知识间的联系,理解学结论的形成过程,体会其中所蕴含的思想方法。随后通过两个例题分析让学生体会到平面向量的坐标表示,能够使向量数量积运算更为方便,简洁,尤其是在研究有关向量的夹角、长度、垂直等往往可以使问题简单化。培养学生灵活运用坐形式解决有关向量的综合性问题的能力,体现数形结合的思想。让学生的能力在不知不觉中得到提高。

高中数学北师大版必修1全册知识点总结

高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集, R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等

A B = 真子集 A ≠ ?B (或 B ≠ ?A ) B A ?,且B 中至少有一元素不属于A (1)A ≠ ??(A 为非空子 集) (2)若A B ≠ ?且B C ≠ ?,则 A C ≠ ? B A 集合 相等 A B = A 中的任一元 素都属于B ,B 中的任一元素都属于A (1)A ?B (2)B ?A A(B) (7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有 21n -个非空子集,它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名 称 记 号 意义 性质 示意图 交集 A B I {|,x x A ∈且}x B ∈ (1)A A A =I (2)A ?=?I (3)A B A ?I A B B ?I B A 并集 A B U {|,x x A ∈或}x B ∈ (1)A A A =U (2)A A ?=U (3)A B A ?U A B B ?U B A

【2019年整理】03第三节数量积向量积混合积

第三节 数量积 向量积 混合积 分布图示 ★两向量的数量积 ★例1 ★例4 ★向量积概念的引入 ★向量积的运算 ★例6 ★例9 ★向量的混合积 ★例11 ★内容小结 ★习题8-3 内容要点 一、两向量的数量积 定义1设有向量 示b ,它们的夹角为0 ,乘积| a ||b | cose 称为向量a 与b 的数量积(或 称为内积、 点积),记为a b,即 a b 却 a || b | cos . 根据数量积的定义,可以推得: (1) a b =|b |Pr j b a =|a |Pr j a b ; I — - 2 (2) a a a | ; (3) 设a*、b 为两非零向量,贝U a_L b 的充分必要条件是 a , b = 数量积满足下列运算规律: (1)交换律 a b = b a; (2)分配律 (a b) c = a c b c; (3)结合律 人(』b)=(杯b =a ,(Lb),( &为实数) 二、两向量的向量积 定义2若由向量a 与b 所确定的一个向量 c 满足下列条件: ★数量积的运算 ★例2 ★例3 ★例5 ★向量积的定义 ★例7 ★例8 ★例10 ★混合积的几何意义 ★例12 ★例13 ★课堂练习 ★返回

(1) c的方向既垂直于a又垂直于b, c的指向按右手规则从a转向b来确定(图

8-3-4); (2) C的模| C|=|a〔|b | sin6 ,(其中8为a与b的夹角), 则称向量c为向量a与b的向量积(或称外积、叉积),记为 c = a b . 根据向量积的定义,即可推得 (1) a 3 =0 ; (2) 设a、b为两非零向量,贝U a//b的充分必要条件是』xb = 0. 向量积满足下列运算规律: (1) a b = -b a; (2) 分配律(a b) c = a c b c; (3) 结合律u£xb) = (?a)Xb = ax(7_b),(岛为实数). 三、向量的混合积 例题选讲 两向量的数量积 例1(E01)已知a={1,1,~4}, b={1,—2,2},求 (1)a b; (2) a与b的夹角0 ; (3) a与b上的投影. 解(1) a b =1 1 1 (-2) (-4) 2 = -9. a x b x a y b y a z b z 1 . 3■: (2) cos@=j2 2;j 2 2 2 =_了,」.nr a x a y a z , b x b y b z 2 4 a b (3) a b =|b|PrRa, . Pr j b a = ------------- = -3. |a| 例2证明向量c与向量(£ d)b —(b 3)£垂直. 证[(a c)b - (b c)a] c =[(a c)b c - (b c)a c] =(b c)[a c - a c] =0,

平面向量的数量积与应用举例专题训练

平面向量的数量积与应用举例专题训练 A组基础题组 1.已知向量a=(2,1),b=(1,m),c=(2,4),且(2a-5b)⊥c,则实数m=( ) A.- B.- C. D. 2.已知向量a=(1,0),|b|=,a与b的夹角为45°,若c=a+b,d=a-b,则c在d方向上的投影为( ) A. B.- C.1 D.-1 3.向量a,b满足|a+b|=2|a|,且(a-b)·a=0,则a,b的夹角的余弦值为( ) A.0 B. C. D. 4.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记 I1=·,I2=·,I3=·,则( ) A.I1

10.已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值; (2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. B组提升题组 1.已知a、b均为单位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是( ) A.[3,] B.[3,5] C.[3,4] D.[,5] 2.非零向量m,n的夹角为,且满足|n|=λ|m|(λ>0),向量组x1,x2,x3由一个m和两个n排列而成,向量组 y1,y2,y3由两个m和一个n排列而成,若x1·y1+x2·y2+x3·y3的所有可能值中的最小值为4|m|2,则λ = . 3.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.

向量数量积的运算律

向量数量积的运算律 新知检索 8.向量数量积满足交换律:·=__________________________. 9.向量数量积满足分配律:(+)·=______________________. 10.数乘向量的数量积,可以与任一向量交换结合,即对任意实数λ,有(?λ=_________. 学法指导 本节课的学习目标是掌握向量数量积的运算规律,并准确运用;重点是注意结合律的正确使用.学习本节课应注意的问题: 1.对于分配律,用向量数量积的几何意义给出了证明.在学习与使用时,可以类比数量乘法的交换律.但要明确它们的不同. (1)已知实数)0≠b c b a (、、,则c a bc ab =?=;但对于向量、、,该推理是不正确的,即a ·b =b ·不一定能推出a =.只有当向量a 、b 、共线且同向时,才成立,否则就不成立. 比如:|a |=3,|b |=1,|c |=3,< a ,b >=30°,=60°, 经过计算可知:·=·,但≠. (2)对于实数c b a 、、有(ab )c =a (bc ),但对于向量、、c ,(·)·c ≠·(·c ),这是因为(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量,而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量,而c 与a 一般并不共线,所以(a ·b )·c ≠a (b ·c ) . 2.教材中的例题1是直接对数量积性质、运算律的应用.其中推得结论: (1)2(+=22||2||b b a a +?+; (2)(a +b )·(a -b )=22||||-.在以后的运算中,可以直接运用. 3.用向量知识证明几何问题.用向量解题可分为三步:

(北师大版)高一数学必修1全套教案

(北师大版)高一数学必修1全套教案

第一章集合 课题:§0 高中入学第一课(学法指导) 教学目标:了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求,了解新课程标准的基本思路,了解高考意向,掌握高中数学学习基本方法,激发学生学习数学兴趣,强调布置有关数学学习要求和安排。 教学过程: 一、欢迎词: 1、祝贺同学们通过自己的努力,进入高一 级学校深造。希望同学们能够以新的行动, 圆满完成高中三年的学习任务,并祝愿同 学们取得优异成绩,实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了,收获应是:吃苦耐 劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学,暂定 一年,… 4、本节课和同学们谈谈几个问题:为什么 要学数学?如何学数学?高中数学知识结

构?新课程标准的基本思路?本期数学教 学、活动安排?作业要求? 二、几个问题: 1.为什么要学数学:数学是各科之研究工具,渗透到各个领域;活脑,训练思维;计算机等高科技应用的需要;生活实践应用的需要。 2.如何学数学: 请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点:抓好自学和预习;带着问题认真听课;独立完成作业;及时复习。注重自学能力的培养,在学习中有的放矢,形成学习能力。 高中数学由于高考要求,学习时与初中有所不同,精通书本知识外,还要适当加大难度,即能够思考完成一些课后练习册,教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料,如订阅一份数学报刊,购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构: 书本:高一上期(必修①、②),高一下期(必

修③、④),高二上期(必修⑤、选修系列), 高二下期(选修系列),高三年级:复习资 料。 知识:密切联系,必修(五个模块)+选修系列(4个系列,分别有2、3、6、10个模块)能力:运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念: ①构建共同基础,提供发展平台;②提供多样课程,适应个性选择;③倡导积极主动、勇于探索的学习方式;④注重提高学生的数学思维能力;⑤发展学生的数学应用意识;⑥与时俱进地认识“双基”;⑦强调本质,注意适度形式化;⑧体现数学的文化价值;⑨注重信息技术与数学课程的整合;⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排: 本期学习内容:高一必修①、②,共72课时,

平面向量数量积运算专题附答案

. 平面向量数量积运算平面向量数量积的基本运算题型一DCBCEFABCDBAD,,=120°,点的边长为2,∠1 例(1)(2014·天津)已知菱形分别在边→→AFDFAEBCBEDC________. .若λ·上,的值为=3=,1=λ,则→→PBPAPAOPBAB) · (2)已知圆为切点,的半径为1,, 那么为该圆的两条切线,的最小值为,( 2 -43+2 +B.A.-2 3+2C.-4+D.22 -→→→→→OBOAOAABOA________. ·=|=1 变式训练(2015·湖北)已知向量3⊥,则,| 利用平面向量数量积求两向量夹角题型二 22babaababab与+(|,且2-(1)(2015·重庆例2 )若非零向量,则,)⊥(3满足||)=|3的夹 角为( ) ππ3πA. B. C. D.π424πabababab的夹角2-+与=|2,|,则|=32(2)若平面向量与平面向量,的夹角等于|3的余弦值等于( ) 1111A. B.- C. D.-262612121→→→→ABCOAOABACAB与)=(+,则上的三点,若2 变式训练(2014·课标全国Ⅰ)已知,,为圆2→AC的夹角为________. 教育资料. . 利用数量积求向量的模题型三 baababab等于+的夹角为|120°,则|=2,且例3 (1)已知平面向量|2和与,|||=1,) ( B.4 A.2 D.6 5 C.2ABCDADBCADCADBCPDC上的动点,则是腰=,∠1=90°,,=(2)已知直角梯形2中,,∥→→PAPB|的最小值为________. +3|1eeeebbe·.是平面单位向量,且若平面向量·满足变式训练3 (2015·浙江)已知,=beb|=,则=|·________. 112212 =12

高中数学必修四之知识讲解_平面向量的数量积_基础

平面向量的数量积 【学习目标】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义; 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系; 3.掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算; 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系; 【要点梳理】 要点一: 平面向量的数量积 1. 平面向量数量积(内积)的定义 已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角是θ,则数量cos a b θ叫a 与b 的数量积,记作a b ?,即有 ()cos 0a b a b θθπ?=≤≤.并规定0与任何向量的数量积为0. 2.一向量在另一向量方向上的投影:cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 要点诠释: 1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos θ的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成a b ?;今后要学到两个向量的外积a b ?,而a b ?是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替. (3)在实数中,若0a ≠,且0a b ?=,则0b =;但是在数量积中,若0a ≠,且0a b ?=,不能推出 0b =.因为其中cos θ有可能为0. 2. 投影也是一个数量,不是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0?时投影为b ;当θ=180?时投影为b -. 要点二:平面向量数量积的几何意义 数量积a b ?表示a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积,这是a b ?的几何意义.图(1)(2)(3)所示分别是两向量,a b 夹角为锐角、钝角、直角时向量b 在向量a 方向上的投影的情形,其中 1||cos OB b θ=,它的意义是,向量b 在向量a 方向上的投影是向量1OB 的数量,即11|| a OB OB a =? . 事实上,当θ为锐角时,由于cos 0θ>,所以10OB >;当θ为钝角时,由于cos 0θ<,所以10OB <; 当090θ=时,由于cos 0θ=,所以10OB =,此时O 与1B 重合;当0 0θ=时,由于cos 1θ=,所以

向量数量积专题(总)

平面向量的数量积 【知识点精讲】 一、平面向量的数量积 (1)已知两个非零向量a r 和b r ,记为OA a OB b ==u u u r r u u u r r ,,则)0(πθθ≤≤=∠AOB 叫做向量a r 与b r 的夹角,记作,a b <>r r ,并规定[],0,a b π<>∈r r 。如果a 与b 的夹角是2 π,就称a r 与b r 垂直,记为.a b ⊥r r (2)cos ,a b a b <>r r r r 叫做向量a r 与b r 的数量积(或内积),记作a b ?r r ,即b a ? cos ,a b a b <>r r r r . 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 两个非零向量a r 与b r 垂直的充要条件是0.a b ?=r r 两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是.a b a b ?=±r r r r 二、平面向量数量积的几何意义 数量积a b ?r r 等于a r 的长度a r 与b r 在a r 方向上的投影cos b θr 的乘积,即cos a b a b θ ?=r r r r (b r 在a r 方向上的投影为cos a b b a θ?=r r r r );a r 在b r 方向上的投影为 cos .a b a b θ?=r r r r 三、平面向量数量积的重要性质 性质1 cos .e a a e a θ?=?=r r r r r 性质2 0.a b a b ⊥??=r r r r 性质3 当a r 与b r 同向时,a b a b ?=r r r r ;当a r 与b r 反向时,a b a b ?=-r r r r ;22a a a a ?==r r r r 或 a =r 性质4 cos (00)a b a b a b θ?=≠≠r r r r r r r r 且 性质5 a b a b ?≤r r r r 注:利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题;利用性质3可以求向量长度;利用性质4可以求两向量夹角;利用性质5可解决不等式问题。 四、平面向量数量积满足的运算律 (1)a b b a ?=?r r r r (交换律);

必修四4.平面向量的数量积(教案)

2、4 平面向量得数量积 教案A 第1课时 教学目标 一、知识与技能 1.掌握平面向量得数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积得重要性质及运算律; 3.了解用平面向量得数量积可以处理有关长度、角度与垂直得问题; 二、过程与方法 本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识. 三、情感、态度与价值观 通过问题得解决,培养学生观察问题、分析问题与解决问题得实际操作能力;培养学生得交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路与探索问题得能力. 教学重点、难点 教学重点:平面向量数量积得定义. 教学难点:平面向量数量积得定义及运算律得理解与平面向量数量积得应用、 教学关键:平面向量数量积得定义得理解. 教学方法 本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识. 学习方法 通过类比物理中功得定义,来推导数量积得运算. 教学准备 教师准备: 多媒体、尺规、 学生准备:练习本、尺规、 教学过程 一、创设情境,导入新课 在物理课中,我们学过功得概念,即如果一个物体在力F得作用下产生位移s,那么力F所做得功W可由下式计算: W=|F | | s|cosθ, 其中θ就是F与s得夹角.我们知道力与位移都就是向量,而功就是一个标量(数量). 故从力所做得功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积得概念. 二、主题探究,合作交流 提出问题 ①a·b得运算结果就是向量还就是数量?它得名称就是什么? ②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应得运算律,数量积就是一种向量得

专题二 培优点9 平面向量数量积的最值问题

培优点9 平面向量数量积的最值问题 平面向量部分,数量积是最重要的概念,求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义,从不同角度对数量积进行转化. 例 (1)已知AB →⊥AC →,|AB →|=1t ,|AC →|=t ,若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且AP →=AB →|AB →|+4AC → |AC →|,则PB →·PC → 的最大值等于( ) A .13 B .15 C .19 D .21 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,则B ????1t ,0,C (0,t ),AB →=????1t ,0,AC →=(0,t ), AP →=AB →|AB →|+4AC →| AC →|=t ????1t ,0+4t (0,t )=(1,4),∴P (1,4), PB →·PC →=????1t -1,-4· (-1,t -4) =17-????1t +4t ≤17-21t ·4t =13, 当且仅当t =12 时等号成立. ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图,已知P 是半径为2,圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点,若AB →=2BC →,则PC →·P A →的最小值为________. 答案 5-213 解析 以圆心为坐标原点,平行于AB 的直径所在直线为x 轴,AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系(图略),则A (-1,3),C (2,3),

设P (2cos θ,2sin θ)????π3≤θ≤2π3, 则PC →·P A →=(2-2cos θ,3-2sin θ)·(-1-2cos θ,3-2sin θ)=5-2cos θ-43sin θ=5-213sin(θ+φ), 其中0

8.1.2 向量数量积的运算律

8.1.2 向量数量积的运算律 (教师独具内容) 课程标准:理解掌握数量积的性质和运算律,并能运用性质和运算律进行简单的应用. 教学重点:向量数量积的性质与运算律及其应用. 教学难点:平面向量数量积的运算律的证明. 【知识导学】 知识点 平面向量数量积的运算律 已知向量a ,b ,c 与实数λ,则 交换律 a ·b =□ 01b ·a 结合律 (λa )·b =□ 02λ(a ·b )=□03a ·(λb ) 分配律 (a +b )·c =□ 04a ·c +b ·c 【新知拓展】 对向量数量积的运算律的几点说明 (1)向量数量积不满足消去律:设a ,b ,c 均为非零向量且a ·c =b ·c ,不能得到a =b .事实上,如图所示,OA →=a ,OB →=b ,OC → =c ,AB ⊥OC 于D ,可以看出,a ,b 在向量c 上的投影分别为|a |cos ∠AOD ,|b |cos ∠BOD ,此时|b |cos ∠BOD =|a |cos ∠AOD =OD .即a ·c =b ·c .但很显然b ≠a . (2)向量的数量积不满足乘法结合律:一般地,向量的数量积(a ·b )c ≠a (b ·c ),这是由于a ·b ,b ·c 都是实数,(a ·b )c 表示与c 方向相同或相反的向量,a (b ·c )表示与a 方向相同或相反的向量,而a 与c 不一定共线. 1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对于向量a ,b ,c 等式(a·b )·c =a ·(b·c )恒成立.( ) (2)若a·b =a·c ,则b =c ,其中a ≠0.( ) (3)(a +b )·(a -b )=a 2 -b 2 .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2.做一做

高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结

高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集;N *或N +表示正整数集;Z 表示整数集;Q 表示有理数集;R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈;或者a M ?;两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来;写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质};其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等

(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素;则它有2n 个子集;它有21n -个真子集;它有21n -个非空子集;它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集

A B B ?U 补集 {|,}x x U x A ∈?且%1 ( %1 %1 %1 %1 ⑼ 集合的运算律: 交换律:.;A B B A A B B A Y Y I I == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I == 分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律:,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律:.,A A A A A A ==Y I 求补律:A ∩ A ∪=U 反演律:(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B) 第二章函数 §1函数的概念及其表示一、映射1.映射:设A 、B 是两个集合;如果按照某种对应关系f ;对于集合A 中的 元素;在集合B 中都有 元素和它对应;这样的对应叫做 到 的映射;记作 .2.象与原象:如果f :A →B 是一个A 到B 的映射;那么和A 中的元素a 对应的 叫做象; 叫做原象.二、函数1.定义:设A 、B 是 ;f :A →B 是从A 到B 的一个映射;则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ;记作 .2.函数的三要素为 、 、 ;两个函数当且仅当 分别相

数量积向量积混合积

第三节 数量积 向量积 混合积 分布图示 ★ 两向量的数量积 ★ 数量积的运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 向量积概念的引入 ★ 向量积的定义 ★ 向量积的运算 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 向量的混合积 ★ 混合积的几何意义 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-3 ★ 返回 内容要点 一、两向量的数量积 定义1设有向量a 、b ,它们的夹角为θ,乘积θcos ||||b a 称为向量a 与b 的数量积(或称为内积、点积),记为b a ?,即 θcos ||||b a b a =?. 根据数量积的定义,可以推得: (1) b j a a j b b a a b Pr ||Pr ||==?; (2) 2 ||a a a =?; (3) 设a 、b 为两非零向量,则 b a ⊥的充分必要条件是 0=?b a . 数量积满足下列运算规律: (1)交换律 ;a b b a ?=? (2)分配律 ;)(c b c a c b a ?+?=?+ (3)结合律 )()()(b a b a b a λλλ?=?=?,(λ为实数). 二、两向量的向量积 定义2 若由向量a 与b 所确定的一个向量c 满足下列条件: (1)c 的方向既垂直于a 又垂直于b , c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定(图

8-3-4); (2)c 的模 θsin ||||||b a c =,(其中θ为a 与b 的夹角), 则称向量c 为向量a 与b 的向量积(或称外积、叉积),记为 b a c ?=. 根据向量积的定义,即可推得 (1)0 =?a a ; (2)设a 、b 为两非零向量,则 b a //的充分必要条件是 0=?b a . 向量积满足下列运算规律: (1);a b b a ?-=? (2)分配律 ;)(c b c a c b a ?+?=?+ (3)结合律 )()()(b a b a b a λλλ?=?=?,(λ为实数). 三、向量的混合积 例题选讲 两向量的数量积 例1(E01) 已知},2,2,1{},4,1,1{-=-=b a 求 (1) ;b a ? (2) a 与b 的夹角θ; (3) a 与b 上的投影. 解 (1) b a ?2)4()2(111?-+-?+?=.9-= (2) 222222cos z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++= θ,2 1- = ∴.4 3π θ= (3) ,Pr ||a j b b a b =?.3| |Pr -=?=∴a b a a j b 例2 证明向量c 与向量a c b b c a )()(?-?垂直. 证 c a c b b c a ??-?])()[(])()[(c a c b c b c a ??-??=])[(c a c a c b ?-??=,0= ∴.])()[(c a c b b c a ⊥?-?

人教版高中数学版必修4试题 2-4-2平面向量数量积的坐标表示

课时作业23 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 时间:45分钟 分值:100分 一、选择题(每小题6分,共计36分) 1.设a =(1,-2),b =(3,1),c =(-1,1),则(a +b )·(a -c )等于( ) A .11 B .5 C .-14 D .10 解析:a +b =(4,-1),a -c =(2,-3). ∴(a +b )·(a -c )=2×4+(-1)·(-3)=11. 答案:A 2.已知向量a =(1,k ),b =(2,2),且a +b 与a 共线,那么a ·b 的值为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 解析:依题意得a +b =(3,k +2),由a +b 与a 共线,得3×k -1×(k +2)=0,解得k =1,所以a ·b =2+2k =4. 答案:D 3.设点A (2,0),B (4,2),若点P 在直线AB 上,且|AB →|=2|AP →|,则点P 的坐标为( ) A .(3,1) B .(1,-1) C .(3,1)或(1,-1) D .无数多个 解析:设P (x ,y ),由|AB →|=2|AP →|得AB →=2AP →,或AB →=-2AP →, AB →=(2,2),AP →=(x -2,y ),

即(2,2)=2(x -2,y ),x =3,y =1,P (3,1); (2,2)=-2(x -2,y ),x =1,y =-1,P (1,-1). 故P (3,1)或(1,-1). 答案:C 4.已知平面向量a =(2,4),b =(-1,2),若c =a -(a ·b )b ,则|c |等于( ) A .4 2 B .2 5 C .8 D .8 2 解析:易得a ·b =2×(-1)+4×2=6,所以c =(2,4)-6(-1,2)=(8,-8),所以|c |=82+(-8)2=8 2. 答案:D 5.a ,b 为平面向量,已知a =(4,3),2a +b =(3,18),则a ,b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B .-865 C.1665 D .-1665 解析:设b =(x ,y ),则2a +b =(8+x,6+y )=(3,18),所以?? ? 8+x =3 6+y =18, 解得?? ? x =-5y =12 ,故b =(-5,12),所以cos a ,b =a ·b |a ||b |=16 65 .故选C. 答案:C 6.以原点O 及点A (5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB ,使A =90°,则AB →的坐标为( )

专题03 “三法”解决平面向量数量积问题(第二篇)-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析

一.方法综述 平面向量的数量积是高考考查的重点、热点,往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体,借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题;也易同三角函数、解析几何等知识相结合,以工具的形式出现.由于命题方式灵活多样,试题内容活泼、新颖,因此,在高考试卷中备受青睐,是一个稳定的高频考点.解决这类问题有三种基本方法:投影法、基底法和坐标法.“三法”的准确定位应是并举!即不应人为地、凭主观划分它们的优劣,而应具体问题具体分析. 本专题举例说明解答解决平面向量数量积问题的方法、技巧. 二.解题策略 类型一投影定义法 【例1】【2018届河南省中原名校高三上第一次考评】已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点,则·(+)=_________. 【答案】6 【解析】设BC的中点为D,则AD⊥BC, 【指点迷津】

1、数量积与投影的关系(数量积的几何定义): 向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ?=,可变形为()cos a b a b θ?=?或() cos a b b a θ?=?,进而与向量投影找到联系 (1)数量积的投影定义:向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影,即a b a b b λ→?=?(记a b λ→为a 在b 上的投影) (2)投影的计算公式:由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解: a b a b b λ→?= 即数量积除以被投影向量的模长 2、数量积投影定义的适用范围:作为数量积的几何定义,通常适用于处理几何图形中的向量问题 (1)图形中出现与所求数量积相关的垂直条件,尤其是垂足确定的情况下(此时便于确定投影),例如:直角三角形,菱形对角线,三角形的外心(外心到三边投影为三边中点)学科&网 (2)从模长角度出发,在求数量积的范围中,如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值,则可以考虑利用投影,从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 【举一反三】 已知圆M 为直角三角形ABC 的外接圆,OB 是斜边AC 上的高,且6,22AC OB ==,AO OC <,点P 为线段OA 的中点,若DE 是 M 中绕圆心M 运动的一条直径,则PD PE ?=_________ M C A O B P D E Q 【答案】-5 【解析】思路:本题的难点在于DE 是一条运动的直径,所以很难直接用定义求解.考虑到DE 为直径,所以延长EP 交圆M 于Q ,即可得DQ QE ⊥,则PD 在PE 上的投影向量为PQ .所求 PD PE PE PQ ?=-?,而由PE PQ ?联想到相交弦定理,从而PE PQ AP PC ?=?.考虑与已知条 件联系求出直径AC 上的各段线段长度.由射影定理可得:2 8AO CO OB ?==,且

12022-向量数量积的运算律

向量数量积的运算律 制作人:张明娟 审核人:叶付国 使用时间:2012-5-8 编号:12022 学习目标: 1、 掌握平面向量数量积的运算律及其运算; 2、 通过向量数量积分配律的学习,体会类比、猜想、证明的探索性学习 方法; 3、通过解题实践,体会向量数量积的运算方法. 学习重点:向量数量积的运算律及其应用. 学习难点:向量数量积分配律的证明. 重点知识回顾: 1、两个向量的夹角的范围是: ; 2、向量在轴上的正射影 正射影的数量为 ; 3、向量的数量积(内积):a ·b = ; 4、两个向量的数量积的性质: (1)b a ⊥? ; (2)a a ?= 或a = ; (3)θcos = ; 向量数量积的运算律 平面向量数量积的常用公式 证明:(1) (2) c b c a c b a b a b a b a b a a b b a ?+?=?+?=?=?=??=?))(3(;)()())(2(; 1λλλλ)(222 2))(1(b b a a b a +?+=+2 2))()(2(b a b a b a -=-+

典例剖析: 例1、已知a =6,b =4,a 与b 的夹角为060, 求:(1)b 在a 方向上的投影; (2)a 在b 方向上的投影; (3) 例2、已知a 与b 的夹角为0120,a =2,b =3,求: ()() b a b a 32-?+) ())(;();()(b a b a b a b a 32321 22+?-- ?(-+5 4取何值,问夹角为与t t b a -==0 120,1

例 3、已知a =3,b =4,(且a 与b 不共线),当且仅当k 为何值时,向量b k a +与b k a - 互相垂直? 变式:已知a =1, b =2, a 与b a -垂直.求a 与b 的夹角. 练习题:求证菱形的对角线互相垂直. 例 4、已知a =2,b =4,0120,=b a ,求a 与b a -的夹角.

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(必修)

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(含必修和选修) 北师大必修 《数学1(必修)》 全书目录: 第一章集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 阅读材料康托与集合论 第二章函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 §3 函数的单调性 §4 二次函数性质的再研究 §5 简单的幂函数 阅读材料函数概念的发展 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数 §2 指数概念的扩充 §3 指数函数 §4 对数 §5 对数函数 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 阅读材料历史上数学计算方面的三大发明 第四章函数应用 §1 函数与方程 §2 实际问题的函数建模 阅读材料函数与中学数学 探究活动同种商品不同型号的价格问题

必修2 全书目录: 第一章立体几何初步 §1 简单几何体 §2 三视图 §3 直观图 §4 空间图形的基本关系与公理 §5 平行关系 §6 垂直关系 §7 简单几何体的面积和体积 §8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的 课题学习正方体截面的形状 第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程 §2 圆与圆的方程 §3 空间直角坐标系 阅读材料笛卡儿与解析几何 探究活动1 打包问题 探究活动2 追及问题 必修3 全书目录 第一章统计 §1 统计活动:随机选取数字 §2 从普查到抽样 §3 抽样方法 §4 统计图表 §5 数据的数字特征 §6 用样本估计总体 §7 统计活动:结婚年龄的变化 §8 相关性 §9 最小二乘法 阅读材料统计小史 课题学习调查通俗歌曲的流行趋势 第二章算法初步 §1 算法的基本思想 §2 算法的基本结构及设计

平面向量数量积运算专题(附标准答案)

平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BC =3BE ,DC =λDF .若AE →·AF →=1,则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1,P A ,PB 为该圆的两条切线,A ,B 为切点,那么P A →·PB →的最小值为( ) A.-4+ 2 B.-3+ 2 C.-4+2 2 D.-3+2 2 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →,|OA →|=3,则OA →·OB →=________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ,b 满足|a |=22 3 |b |,且(a -b )⊥(3a +2b ),则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3,|a |=2,|b |=3,则2a -b 与a +2b 的夹角的余弦 值等于( )

A.126 B.-126 C.112 D.-1 12 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若AO →=12(AB →+AC →),则AB → 与 AC → 的夹角为________. 题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ,|a |=1,|b |=2,且a 与b 的夹角为120°,则|2a +b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5 D.6 (2)已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ADC =90°,AD =2,BC =1,P 是腰DC 上的动点,则|P A →+3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1,e 2是平面单位向量,且e 1·e 2=1 2.若平面向量b 满足b ·e 1=b ·e 2 =1,则|b |=________.

第二课时向量数量积的运算律(可编辑修改word版)

= = AC ? ?? ? 2.3.2 向量数量积的运算律 类型二、运用向量数量积的运算律求向量的模 【学习目标】: 熟练掌握平面向量数量积的运算律,并会应用。 【自主学习】: 向量数量积的运算律: (1) 交换律: 例 2、已知 a = b = 5, 向量 a 与b 的夹角为 ,求 a - b , a + b 。 3 (2) 数乘 向量的数量积 结合律: 那么分配律是否成立呢? 【合作探究】 分配律: 变式: 在三角形 ABC 中,已知 AB 3, BC 5, ∠ABC = 600 , 求 。 【课堂互动】 类型一、运用向量数量积的运算律计算例 1、求证: 类型二、运用向量数量积的运算律解决有关垂直问题例 2、求证:菱形的两条对角线互相垂直: 已知: ABCD 是菱形, AC 和 BD 是它的两条对角线。 (1) (a + b ) 2 = 2 + 2a ? b + 2 → → → → ;(2) a + b ?? a - b ? = ? ?? ? → 2 → 2 a - b ; 求证: AC ⊥ BD . 证明: → → → → 变式:已知 a = 3, b = 4, ?a , b ? = 60 , 求(a + 2b ) (a - 3b ) . 总结: a ⊥ b ? 。 a b

a b a ⊥ 变式: 已 知 a = 3, b = 4 ,且(a + kb ) ⊥ (a - kb ), 求 k 的值。 2 【合作探究】 1 、 若 a,b( b ≠ 0 ) 为 实 数 , 则 a ? b = a ? b 成 立 , 对 于 向 量 3、已知 e 1 , e 2 是夹角为 3 的两个单位向量, a = e 1 - 2e 2 , b = ke 1 + e 2 , 若 a ? b = 0 ,则 k 的值为 。 a , b , a ? b = ? 成立吗? 2、若 a,b,c( b ≠ 0 )为实数,则 ab = bc ? a = c ; 但对于向量, ab = bc ? a = c 还成立吗? 4、证明平行四边形中, AC 2 + BD 2 = 2 AB 2 + 2 AD 2. 3、 向量的数量积满足结合律吗,即(a ? b )? c = a ? (b ? c )成立吗? (a ? b ) ? c 表 示什么意义? a ? (b ? c ) 表示什么意义? 【当堂检测】 → → < >= 1200 , = = 5, (2a - b )? a = 1 、 已 知 向 量 a , b 且 a 2, b 则 (选做)5、设 a b , 且 = 2, b = 1, k,t 是两个不同时为零的实数。 。 (1) 若 x = a + (t - 3)b 与 y = -ka + tb 垂直,求 k 关于 t 的函数关系式 k=f(t); (2) 求出函数 k=f(t)的最小值。 → → → → 2 2 、 a = 6, b = 8, ?a , b ? = 120 , 求 a + b , a + b .

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