定积分典型例题精讲

定积分典型例题

例1 求21lim

n n

→∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．

解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n

?=，然后把2111n n n =?的一个因子1

n 乘

入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即

21lim

n n →∞L =1lim n n →∞+L =34

=?．

例2 0

?

=_________．

解法1 由定积分的几何意义知，0

?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)

与x 轴所围成的图形的面积．故0

?

=

2

π

． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2

2

t π

π

-

≤≤

），则

?

=2

2

tdt ππ-

?

=2tdt =220

2cos tdt π

?=

2

π 例3 比较1

2

x e dx ?，2

1

2

x e dx ?，1

2

(1)x dx +?．

分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．

解法1 在[1,2]上，有2

x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又

1

22

1

()()f x dx f x dx =-?

?，从而有2

111

2

2

2

(1)x x x dx e dx e dx +>>???．

解法2 在[1,2]上，有2

x

x e e ≤．由泰勒中值定理2

12!

x

e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到

1

2

2

1

()()f x dx f x dx =-?

?．因此

2

1

11

2

2

2

(1)x x x dx e dx e dx +>>?

??．

例4 估计定积分2

2x

x

e dx -?的值．

分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．

解 设 2

()x

x

f x e -=, 因为 2

()(21)x

x

f x e x -'=-, 令()0f x '=，求得驻点1

2

x =

, 而 0

(0)1f e ==, 2

(2)f e =, 141

()2

f e -=,

故

124

(),[0,2]e

f x e x -≤≤∈,

从而

2

12

24

22x

x

e

e dx e -

-≤≤?,

所以

210

2

4

2

22x x

e e

dx e -

--≤≤-?.

例5 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ≥，()0f x >．求lim (b

a

n g x →∞?．

解 由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由()0f x >知0M >，0m >．又()0g x ≥，则

()b a

g x dx (b a

g x ≤?()b

a

g x dx ≤．

由于1n n ==，故

lim (b a

n g x →∞?=()b

a

g x dx ?．

例6求sin lim n p

n

n x

dx x

+→∞?

, ,p n 为自然数． 分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．

解法1 利用积分中值定理 设 sin ()x

f x x

=

, 显然()f x 在[,]n n p +上连续, 由积分中值定理得 sin sin n p n x dx p x ξ

ξ

+=??, [,]n n p ξ∈+, 当n →∞时, ξ→∞, 而sin 1ξ≤, 故

sin sin lim lim 0n p

n

n x dx p x

ξξ

ξ+→∞→∞=?=?

．

解法2 利用积分不等式 因为

sin sin 1ln

n p

n p n p n

n n x x n p

dx dx dx x x x n

++++≤≤=?

??, 而limln

0n n p

n

→∞

+=,所以

sin lim 0n p

n

n x

dx x

+→∞=?

． 例7 求1

0lim 1n

n x dx x

→∞+?．

解法1 由积分中值定理

()()()()b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx ξ=?

?可知

1

01n x dx x +?=

1

1

1n x dx ξ

+?

，01ξ≤≤．

又

1

1

lim lim

01n n n x dx n →∞→∞==+?且11121ξ

≤

≤+， 故

1

0lim 01n n x dx x

→∞=+?． 解法2 因为01x ≤≤，故有

01n

n x x x

≤≤+． 于是可得

1

100

01n

n x dx x dx x ≤≤+??．

又由于

1

1

0()1

n x dx n n =

→→∞+?

． 因此

1

0lim 1n

n x dx x

→∞+?=0． 例8 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且34

1

4()(0)f x dx f =?．证明在(0,1)内

存在一点c ，使()0f c '=．

分析 由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件()(0)f f ξ=即可． 证明 由题设()f x 在[0,1]上连续，由积分中值定理，可得

3413

(0)4()4()(1)()4

f f x dx f f ξξ==-=?，

其中3

[,1][0,1]4

ξ∈?．于是由罗尔定理，存在(0,)(0,1)c ξ∈?，使得()0f c '=．证毕．

例9 （1）若2

2

()x t x

f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0

()()x

f x xf t dt =?，求()f x '=___．

分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可

()

()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx

''=-?． 解 （1）()f x '=42

2x x xe e ---；

（2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0

()()x

f x x f t dt =?，则

可得

()f x '=0()()x

f t dt xf x +?．

例10 设()f x 连续，且31

()x f t dt x -=?，则(26)f =_________．

解 对等式310

()x f t dt x -=?

两边关于x 求导得

32(1)31f x x -?=，

故321(1)3f x x -=

，令3

126x -=得3x =，所以1(26)27

f =． 例11

函数1

()(3(0)x F x dt x =>?的单调递减开区间为_________．

解

()3F x '=()0F x '<

3>，解之得109x <<，即1

(0,)9为所求．

例12 求0

()(1)arctan x

f x t tdt =-?的极值点．

解 由题意先求驻点．于是()f x '=(1)arctan x x -．令()f x '=0，得1x =，0x =．列表如下：

故1x =为()f x 的极大值

点，0x =为极小值点．

例13 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中

2

arcsin 0

()x

t g x e dt -=?

，[1,1]x ∈-，

试求该切线的方程并求极限3

lim ()n nf n

→∞．

分析 两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ''=．

解 由已知条件得

2

(0)(0)0t f g e dt -===?，

且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知

(0)(0)1f g =''==

=．

故所求切线方程为y x =．而

3

()(0)

3

lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n

→∞→∞

-'=?==-． 例14 求 2

20

00

sin lim

(sin )x x x

tdt

t t t dt

→-??

；

分析 该极限属于

型未定式，可用洛必达法则． 解 2

2000sin lim (sin )x x x

tdt

t t t dt

→-?

?=22

02(sin )lim (1)(sin )x x x x x x →-??-=220()(2)lim sin x x x x

→-?-=304(2)lim 1cos x x x →-?-

=2

012(2)lim sin x x x

→-?=0．

注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．

例15 试求正数a 与b

，使等式2

01lim

1sin x x x b x →=-?成立． 分析 易见该极限属于

型的未定式，可用洛必达法则． 解

2001lim sin x x x b x →-?

=2

0x →

=20lim 1cos x x x b x →→-

2

011cos x x b x →==-，

由此可知必有0

lim(1cos )0x b x →-=，得1b =．又由

2011cos x x x →==-， 得4a =．即4a =，1b =为所求．

例16 设sin 20

()sin x f x t dt =?

，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）．

A ．等价无穷小．

B ．同阶但非等价的无穷小．

C ．高阶无穷小．

D ．低阶无穷小．

解法1 由于 223

00()sin(sin )cos lim lim

()34x x f x x x

g x x x →→?=+ 2200cos sin(sin )

lim lim

34x x x x x x →→=?+ 22011lim 33

x x x →==． 故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．

解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到

sin 223370

111

()[()]sin sin 3!342

x f x t t dt x x =-

+=-+?

L L ，

则

344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13

x x x x x x f x g x x x x →→→-+-+===++L L

． 例17 证明：若函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调增加，则有

()b

a

xf x dx ?

()2

b

a

a b f x dx +≥?．

证法1 令()F x =()()2x

x

a a

a x tf t dt f t dt +-

??，当[,]t a x ∈时，()()f t f x ≤，则 ()F x '=1()()()22x a a x xf x f t dt f x +--?=1()()22x

a

x a f x f t dt --?

≥

1()()22x a x a f x f x dt --?=()()22

x a x a f x f x ---0=．

故()F x 单调增加．即 ()()F x F a ≥，又()0F a =，所以()0F x ≥，其中[,]x a b ∈． 从而

()F b =()()2b

b

a a

a b xf x dx f x dx +-

??0≥．证毕． 证法2 由于()f x 单调增加，有()[()()]22

a b a b

x f x f ++--0≥，从而 ()[()()]22

b

a

a b a b

x f x f dx ++-

-?

0≥． 即

()()2b

a

a b x f x dx +-

?

()()22b a a b a b x f dx ++≥-?=()()22

b a a b a b

f x dx ++-?=0．

故

()b

a

xf x dx ?

()2b

a

a b f x dx +≥

?． 例18 计算2

1

||x dx -?．

分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．

解 2

1||x dx -?＝0

2

10()x dx xdx --+??＝220210[][]22x x --+＝5

2

．

注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如

3

322

2111[]6dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21

x

在0x =处间断且在被积区间内无界.

例19 计算2

20max{,}x x dx ?．

分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数

212

()01

x x f x x x ?<≤=?≤≤?．

解 232

12

2

2

12010

1

1717

max{,}[][]23236

x x x x dx xdx x dx =+=+=+=???

例20 设()f x 是连续函数，且10

()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b

a f x dx ?是常数（,a

b 为常数）．

解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10

()f t dt ?是常数，记1

()f t dt a =?，则

()3f x x a =+，且11

(3)()x a dx f t dt a +==??．

所以

210

1[3]2x ax a +=，即132

a a +=， 从而14a =-，所以 3

()4

f x x =-．

例21 设23, 01()52,12

x x f x x x ?≤<=?-≤≤?，0

()()x F x f t dt =?，02x ≤≤，求()F x , 并讨论()

F x 的连续性．

分析 由于()f x 是分段函数, 故对()F x 也要分段讨论． 解 （1）求()F x 的表达式．

()F x 的定义域为[0,2]．当[0,1]x ∈时，[0,][0,1]x ?, 因此

23300

()()3[]x

x

x

F x f t dt t dt t x ====??．

当(1,2]x ∈时，[0,][0,1][1,]x x =U , 因此, 则

1201

()3(52)x

F x t dt t dt =+-??=31201[][5]x t t t +-=2

35x x -+-，

故

3

2

, 01()35,12x x F x x x x ?≤

． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于

21

1

lim ()lim(35)1x x F x x x ++→→=-+-=, 3

1

1

lim ()lim 1x x F x x --

→→==, (1)1F =． 因此, ()F x 在1x =处连续, 从而()F x 在[0,2]上连续．

错误解答 （1）求()F x 的表达式, 当[0,1)x ∈时，

23300

()()3[]x

x

x

F x f t dt t dt t x ====??．

当[1,2]x ∈时，有

()()x

F x f t dt ==

?0

(52)x

t dt -?

=25x x -．

故由上可知

32

, 01()5,12

x x F x x x x ?≤

21

1

lim ()lim(5)4x x F x x x ++→→=-=, 31

1

lim ()lim 1x x F x x --

→→==, (1)1F =． 因此, ()F x 在1x =处不连续, 从而()F x 在[0,2]上不连续．

错解分析 上述解法虽然注意到了()f x 是分段函数，但（1）中的解法是错误的，因 为当[1,2]x ∈时，0()()x

F x f t dt =?中的积分变量t 的取值范围是[0,2]，()f t 是分段函数，

10

1

()()()()x x

F x f t dt f t dt f t dt ==+???

才正确．

例22 计算21

-?

．

分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解 21

-?

=21

1

--+?

?

2是偶函数，而

是奇函数，有1

0-=?

, 于是

21

-?=2

14?=04?=1044dx -??

由定积分的几何意义可知4

π

=

?, 故

21

1

4444

dx π

π-=-?

=-?

?．

例23 计算3

4

1

2

e e

?．

分析 被积函数中含有

1

x

及ln x ，考虑凑微分．

解

3

4

1

2

e e ?

=3

4e 3

4

1

2

e e

?=?

=3

4

12

e e =

6

π． 例24 计算4

sin 1sin x

dx x

π

+?．

解 40sin 1sin x dx x π

+?=4

20sin (1sin )1sin x x dx x

π--?=244200sin tan cos x

dx xdx x ππ

-??

=244200

cos (sec 1)cos d x x dx x π

π

---??

=44

00

1[][tan ]cos x x x ππ

--=24

π-+ 注 此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试．

例25 计算20a

?，其中0a >．

解

20

a

?

=20

a

?，令sin x a a t -=，则

2

a

?

=3

2

22

(1sin )cos

a

t tdt π

π-+?

=3

22

2cos 0a

tdt π

+?

=

32

a π

．

注 ，一般令sin x a t =或cos x a t =． 例26 计算

a

?

，其中0a >．

解法1 令sin x a t =，则

a

?

2

cos sin cos t

dt t t

π

=+?

201(sin cos )(cos sin )2sin cos t t t t dt t t π++-=+? 201(sin cos )[1]2sin cos t t dt t t

π'

+=++?

[]201ln |sin cos |2t t t π

=++=4

π． 解法2 令sin x a t =，则

a

?

=2

cos sin cos t

dt t t

π

+?．

又令2

t u π

=

-，则有

20

cos sin cos t dt t t π

+?

=20sin sin cos u

du u u

π

+?．

所以，

a

?

=22001sin cos []2sin cos sin cos t t dt dt t t

t t ππ

+++??=2012dt π?=4π．

注 如果先计算不定积分

，再利用牛顿-莱布尼兹公式求解,则比较复

杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．

例27 计算ln 0

?

．

分析 被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．

解 设u =2ln(1)x u =+，221

u

dx du u =

+，则

ln 0

?

=22220(1)241u u u du u u +?=++?2

2222200442244

u u du du u u +-=++??

2

2

20

1

284

du du u =-=+??

4π-． 例28 计算

220

()x

d tf x t dt dx -?，其中()f x 连续． 分析 要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．

解 由于

220

()x

tf x t dt -?

=

2220

1()2x

f x t dt -?． 故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以

22

0()x tf x t dt -?=201()()2x f u du -?=201()2x f u du ?，

故

22

0()x d tf x t dt dx -?=201[()]2x d f u du dx ?=21()22

f x x ?=2()xf x ． 错误解答

220

()x d tf x t dt dx -?22

()(0)xf x x xf =-=． 错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式

()()()x

a

d x f t dt f x dx 'Φ==?

中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．

例29 计算30

sin x xdx π

?．

分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．

解

30

sin x xdx π

?

30

(cos )xd x π

=-?330

[(cos )](cos )x x x dx π

π

=?---?

30

cos 6xdx π

π

=-

+?6

π=

-． 例30 计算12

0ln(1)

(3)x dx x +-?．

分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．

定积分典型例题20例答案(供参考)

定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．

定积分典型例题11254

定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．

定积分典型例题56177

定积分典型例题 例1 求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各 项．于是将所求极限转化为求定积分．即 3321lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=03 4 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ? 等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π． 例18 计算 2 1 ||x dx -? ． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1 ||x dx -? ＝02 1 ()x dx xdx --+?? ＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算 2 20 max{,}x x dx ? ． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212 ()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717 max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且1 ()3()f x x f t dt =+? ，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分 ()b a f x dx ? 是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而 1 ()f t dt ? 是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且1 1 (3)()x a dx f t dt a +==??． 所以

定积分高考试题

定积分与微积分 一、知识回顾： 1.用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和： 1 ()n i i b a f n ξ=-∑； ④取极限： () 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑? 2.曲边图形面积：()b a S f x dx =?； 变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =? ； 变力做功 ()b a W F r dr = ? . 3.定积分有如下性质： 性质1 =?b a dx 1 性质2 =? b a dx x kf )( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3 ?=±b a dx x f x f )]()([2 1 （定积分的线性性质） 性质4 ??? +=c a b c b a dx x f dx x f dx x f )()()( 其中（b c a <<） 4.定积分的计算（微积分基本定理） （1）（牛顿——莱布尼兹公式）若)(x f 是区间],[b a 上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么有 二、常考题型： 一选择题 1.由直线与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、1 C 、 D 、 2.由曲线y=x 2 ，y=x 3 围成的封闭图形面积为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 ? -==b a b a a F b F x F dx x f ) ()()()(

3.由曲线y=，直线y=x ﹣2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A 、 B 、4 C 、 D 、6 4. ? +1 )2(dx x e x 等于（ ） A 、1 B 、e ﹣1 C 、e D 、e 2 +1 5. ? 4 2 1 dx x dx 等于（ ） A 、﹣2ln2 B 、2ln2 C 、﹣ln2 D 、ln2 6. dx x ?--2 2 )cos 1(π π等于（ ） A 、π B 、2 C 、π﹣2 D 、π+2 7. 已知则? -= a a xdx 2 1 cos （a ＞0），则?a xdx 0cos =（ ） A 、2 B 、1 C 、 D 、 8. 下列计算错误的是（ ） A 、 ?- =π π 0sin xdx B 、 ? = 1 32dx x C 、 ?? -=22 2 cos 2cos π ππ xdx xdx D 、 ?- =π π0sin 2 xdx 9 计算dx x ? -2 24的结果是（ ） A 、4π B 、2π C 、π D 、 10. 若 0)32(0 2=-? dx x x k ，则k 等于（ ） A 、0 B 、1 C 、0或1 D 、以上均不对 11.下列结论中成立的个数是（ ） ①∑?=?= n i n n i dx x 133 1 031；②∑?=?-=n i n n i dx x 131031)1( ；③∑?=∞→?=n i n n n i dx x 1331031lim 。 A .0 B .1 C .2 D .3 12.根据定积分的定义，?202 dx x =（ ） A . ∑=?-n i n n i 1 21)1( B . ∑=∞→?-n i n n n i 121)1(lim C . ∑=?n i n n i 122)2( D . ∑=∞→?n i n n n i 122 )2(lim 13.变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为0s ，则当1t 秒末它所在的位置 为 （ ） A ． ? 1 )(t dt t v B ．dt t v s t ? + 1 0)( C ．00 1 )(s dt t v t -? D ．dt t v s t ?-1 0)(

定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，

定积分典型例题

定积分典型例题 例 1 求 Iim J 2(^n τ +Q2n 2 +H ∣ +V ∏3). n _.: ∏ 分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限?若对题目中被积函数难以想到， 可采取如下方法：先对区间［O, 1］n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 1 III 1 解 将区间［0, 1］ n 等分，则每个小区间长为.汉=丄，然后把—=丄1的一个因子-乘入和式中 n n n n n 各项?于是将所求极限转化为求定积分?即 n i ?^贰+痢+山+疔)=曲(￡ +￡ +川+晋)=MdX=扌? 例 2 ￡ J 2x 一 X d X __________ . 解法1由定积分的几何意义知， °?2x -χ2dx 等于上半圆周(x_1) y =1 (y_0) 与X 轴所围成的图形的面积?故 2? 2^x 2dx = _ ? ■° 2 解法2本题也可直接用换元法求解?令 x_1 = sint (—巴

定积分在高考中的常见题型

定积分在高考中的常见题 型 Last revision on 21 December 2020

定积分在高考中的常见题型解法 贵州省印江一中（555200） 王代鸿 定积分作为导数的后续课程，与导数运算互为逆运算,也是微积分基本概念之一，同时为大学数学分析打下基础。从高考题中来看，定积分是高考命题的一种新方向，在高考复习中要求学生了解定积分的定义，几何意义，掌握解决问题的方法。 一、利用微积分基本定理求定积分 1、微积分基本定理：一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么?-=b a b F a F dx X f )()()(.这个结论叫做微积分基本定理（又叫牛顿-莱布尼兹公式）。 2、例题讲义 例1、计算?+e dx x x 1)21( 解：因为 x x x x 21 )ln 2+='+（ 所以?+e dx x x 1)21(=22212)11(ln )(ln |ln e e e x x e =+-+=+）（ 【解题关键】：计算?b a dx X f )(的关键是找到满足)()(x f x F ='的函数)(x F 。 跟踪训练：1计算?+2 0)cos (π dx x e x 二、利用定积分的几何意义求定积分。 1、定积分的几何意义 ：设函数y=f(x)在 []b a ,上y=f(x)非负、连续，由直线x=a,x=b, y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形面积 S=?b a dx X f )(

2、例题讲义： 例2、求由曲线12+=x y ，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积S 等于=___________ 解： 联立方程组 （如图所示） ? ??-=+=11x y x y 解得???==34y x S =BCD OBCE AOB S S S 曲边梯形曲边梯形++? =dx x x dx x )1(11112 14210--++++????）（）（ = 412231023|)22 132(|)3221x x x x x +-+++（ =3 8 【解题关键】：将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形，再求面积 和 例3、求dx x ?+402)2-4（ 的值 解：令)0()2(42≥+-=y x y 则有)0()2(42 2≥+-=y x y 及）（）（04222≥=++y y x 右图所以π221)2-1402==+?A S dx x 圆（ 【解题关键】：将被积函数转化为熟悉的曲线方程，利用曲线图形的特点 求其定积分。 练习：由直线21=x ，x=2，曲线x y 1=及x 轴所围图形的面积为（ ） A. 415 B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2 三、利用变换被积函数求定积分

定积分典型例题精讲

定积分典型例题 例1 求 332 1lim )n n n →∞ ++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把 2111 n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 332 1lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=3 4 =?． 例2 0 ?=_________． 解法 1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周 22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t ππ -≤≤ ）， 则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较12x e dx ?，2 12x e dx ?，1 2(1)x dx +?．

分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当 0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2] 上，有1x e x >+．又 1 22 1()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 222 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法 2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得 1x e x >+．注意到12 2 1 ()()f x dx f x dx =-??．因此 2 1 11 2 22 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 解 设 2 ()x x f x e -=, 因为 2 ()(21) x x f x e x -'=-, 令()0f x '=，求得驻点 12 x = , 而 (0)1f e ==, 2 (2)f e =, 141 ()2 f e -=, 故 124 (),[0,2]e f x e x -≤≤∈,

定积分应用方法总结(经典题型归纳).docx

精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a

定积分应用方法总结(经典题型归纳)

定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质 1212(1)()()(). (2)[()()]()(). (3)()()()(). b b a a b b b a a a b c b a a c kf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+????????为常数其中a。 例题：1.2352 2(+5x )0 x dx -=?（同步训练P32 第3题） 2. a a a (cos -5sin 2)(cos -5sin )24a a a x x x dx x x x dx dx a ---+=+=? ?? 3) (2007枣庄模拟)已知f(x)为偶函数，且60 ()8 f x dx =? ，则6 6 ()f x dx -? 等于（ B ） Ａ.０ Ｂ.4 Ｃ.8 Ｄ.16 （同步训练P30 第6题） 4．利用定积分求曲边多边形的面积 在直角坐标系中，要结合具体图形来定： 方法总结：求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤 (1)画出图形，（2）求出交点的横坐标．定出积分的上、下限； (1)(); (2)()(); (3)()()()(); (4)[()()]b a b b a a c b c b a c a c b a S f x dx S f x dx f x dx S f x dx f x dx f x dx f x dx S f x g x dx == =-=+=-=-?? ??????

定积分的应用练习题,DOC

欢迎阅读 题型 1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积 2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积 内容 一．微元法及其应用 二．平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三．立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四．平面曲线的弦长 五．旋转体的侧面积 六．定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积

题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一．填空题 1. 求由抛物线线x x y 22+=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3 3 1x x y - =相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2 2 π θπ ≤ ≤- 上的一段弧所围成的图形面积为 ． 6.椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ???+=+=所围成的图形的面积为 二．选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 31 B ． 32 C ． 21 D ． 2 3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 223a π B ． 243a π C ． 2 8 3a π D ． 23a π 3. 曲线2 x x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ） A ． 2 a a e e -+ B ． 2a a e e -- C ． 12++-a a e e D ．12-+-a a e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。

定积分的典型例题

定积分典型例题 例1 求 2 1lim n n →∞ ．分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被 积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把 2 111n n n = ?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求 极限转化为求定积分．即 2 1lim n n →∞ = 1lim n n →∞ = 34 = ? ． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知， ? 等于上半圆周2 2(1) 1x y -+= (0y ≥) 与 x 轴所围成的图形的面积．故 ? =2 π． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π-≤≤ ），则 ? = tdt =2 tdt =2 20 2 cos tdt π ? =2 π 例3 比较 12 x e dx ? ，2 1 2x e dx ?，12 (1)x dx +?．分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无 法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0 x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调 递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 12 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有 2 11 12 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>> ??? ． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ =++ 得1x e x >+．注意到 12 2 1 ()()f x dx f x dx =-??．因此 2 11 12 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>> ? ?? ． 例4 估计定积分2 02 x x e dx -? 的值．分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 解 设 2 ()x x f x e -=, 因为 2 ()(21) x x f x e x -'=-, 令()0f x '=，求得驻点12 x = , 而 0 (0)1f e ==, 2 (2)f e =, 1 4 1 ()2 f e -=, 故 1 2 4 (),[0,2]e f x e x -≤≤∈,从而2 122 4 22x x e e dx e - -≤ ≤? ,所以 2 102 4 2 22x x e e dx e - --≤ ≤-? . 例5 设 ()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ≥，()0f x >．求lim (b a n g x →∞ ? ． 解 由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由()0f x >知0M >，0m >．又 ()0g x ≥()b a g x dx (b a g x ≤ ? ()b a g x dx ．由于1n n →→，故lim (b a n g x →∞ ? = ()b a g x dx ? ． 例6求sin lim n p n n x dx x +→∞ ? , ,p n 为自然数．分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用 方法是利用积分中值定理与夹逼准则．

定积分典型例题

定积分典型例题 例1求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?= ，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 332 1lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=3 4 =?． 例20 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法 2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．

定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案 例 1 求lim 丄(循2 丁2『L Vn 3) ? n n 分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限. 若对题目中被积函 数难以想到，可采取如下方法：先对区间 [0, 1] n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来 找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0, 1] n 等分，则每个小区间长为 ％ -,然后把1丄的一个因子-乘 n n n n n 入和式中各项?于是将所求极限转化为求定积分?即 lim A (习n 2 ^2n 2 L Vn 3) = lim -(^— L ^—) = VXdx - ? n n n nn,n ,n ° 4 2 -- ------ r 例 2 o (2x x dx = ___________ ? 2 . ________ 解法1由定积分的几何意义知， ° . 2x x 2dx 等于上半圆周(x 1)2 y 2 1 ( y 0) 与x 轴所围成的图形的面积.故 2 ,2x x 2dx = _ ? 0 2 '1 sin 2 tcostdt = 2。 2 J sin 2t costdt =2 ： cos 2 tdt^ 2 2 x 2 2 x 例 3 (1)若 f (x) x e 七 dt ，则 f (x) = ________; (2)若 f (x) 0 xf (t)dt ,求 f (x)= 分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 (1) f (x) =2xe x e x 可得 x f (x) = 0 f (t)dt xf (x) ? x 1 例 4 设 f(x)连续，且。f(t)dt x ，贝U f (26) = _________________ O A x 1 解 对等式0 f(t)dt x 两边关于x 求导得 3 2 f(x 1) 3x 1, 解法2本题也可直接用换元法求解.令 x 1 = Sint ( 2 t 2)，则 d v(x) dx u(x) f(t)dt f[v(x)]v(x) f[u(x)]u (x) ? (2) 由于在被积函数中 x 不是积分变量，故可提到积分号外即 x f (x) x 0 f (t)dt ，则 x 2dx =

最新定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，

定积分典型例题

定积分典型例题 例1 求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 332 1lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 例18 计算2 1||x dx -?． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1||x dx -?＝0 2 10 ()x dx xdx --+??＝220210[][]22 x x --+＝5 2． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212 ()01x x f x x x ?<≤=? ≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=??? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??．