第三章直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、倾斜角α的取值范围:0°≤α<180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:
斜率公式:
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即
3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程:直线l 经过点),(000y x P ,且斜率为k
)(00x x k y y -=-
2、、直线的斜截式方程:已知直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为),0(b
b kx y +=
3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程:已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121
y y x x ≠≠
),(121211
21
21y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--
2、直线的截距式方程:已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ,与y 轴的交点为B ),0(b ,
其中0,0≠≠b a
3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程:关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax (A ,B 不同时为0)
2、各种直线方程之间的互化。
3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3.1两直线的交点坐标
1、给出例题:两直线交点坐标
L1 :3x+4y-2=0
L1:2x+y +2=0
解:解方程组 3420
2220
x y x y +-=??
++=?
得 x=-2,y=2
所以L1与L2的交点坐标为M (-2,2)
3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式
()()
22
122221PP x x y y =
-+-
3.3.3 点到直线的距离公式
1.点到直线距离公式:
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为:2
2
00B
A C
By Ax d +++=
2、两平行线间的距离公式:
已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l :01=++C By Ax ,
2l :02=++C By Ax ,则1l 与2l 的距离为2
2
21B
A C C d +-=
第三章 直线与方程
A 组
一、选择题
1.若直线x =1的倾斜角为 ,则
( ). A .等于0
B .等于
C .等于
2
π
D .不存在
2.图中的直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则( ).
A .k 1<k 2<k 3
B .k 3<k 1<k 2
C .k 3<k 2<k 1
D .k 1<k 3<k 2
3.已知直线l 1经过两点(-1,-2)、(-1,4),直线l 2经过两点(2,1)、(x ,6),且l 1
∥l 2,则x =( ).
A .2
B .-2
C .4
D .1
4.已知直线l 与过点M (-3,2),N (2,-3)的直线垂直,则直线l 的倾斜角是( ).
A .
3
π B .
3
2π C .
4
π D .
4
3π 5.如果AC <0,且BC <0,那么直线Ax +By +C =0不通过( ). A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
6.设A ,B 是x 轴上的两点,点P 的横坐标为2,且|PA |=|PB |,若直线PA 的方程为
x -y +1=0,则直线PB 的方程是( ).
A .x +y -5=0
B .2x -y -1=0
C .2y -x -4=0
D .2x +y -7=0
7.过两直线l 1:x -3y +4=0和l 2:2x +y +5=0的交点和原点的直线方程为( ). A .19x -9y =0 B .9x +19y =0 C .19x -3y = 0
D .3x +19y =0
8.直线l 1:x +a 2y +6=0和直线l 2 : (a -2)x +3ay +2a =0没有公共点,则a 的值 是( ).
A .3
B .-3
C .1
D .-1
(第2题)
9.将直线l 沿y 轴的负方向平移a (a >0)个单位,再沿x 轴正方向平移a +1个单位得直线l',此时直线l' 与l 重合,则直线l' 的斜率为( ).
A .
1
+a a B .1
+-
a a
C .
a
a 1
+ D .a
a 1
+-
10.点(4,0)关于直线5x +4y +21=0的对称点是( ). A .(-6,8) B .(-8,-6) C .(6,8) D .(-6,-8)
二、填空题
11.已知直线l 1的倾斜角
1=15°,直线l 1与l 2的交点为
A ,把直线l 2绕着点A 按
逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°,则直线l 2的斜率k 2的值为 .
12.若三点A (-2,3),B (3,-2),C (
2
1
,m )共线,则m 的值为 . 13.已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1),B (1,0),C (3,2),求第四个顶点D 的坐标为 .
14.求直线3x +ay =1的斜率 .
15.已知点A (-2,1),B (1,-2),直线y =2上一点P ,使|AP |=|BP |,则P 点坐标为 .
16.与直线2x +3y +5=0平行,且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是 .
17.若一束光线沿着直线x -2y +5=0射到x 轴上一点,经x 轴反射后其反射线所在直线的方程是 .
三、解答题
18.设直线l 的方程为(m 2-2m -3)x +(2m 2+m -1)y =2m -6(m ∈R ,m ≠-1),根据下列条件分别求m 的值:
①l在x轴上的截距是-3;②斜率为1.
19.已知△ABC的三顶点是A(-1,-1),B(3,1),C(1,6).直线l平行于AB,交
1.求直线l的方程.
AC,BC分别于E,F,△CEF的面积是△CAB面积的
4
(第19题)
20.一直线被两直线l1:4x+y+6=0,l2:3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点,求该直线方程.
.
21.直线l 过点(1,2)和第一、二、四象限,若直线l 的横截距与纵截距之和为6,求直线l 的方程.
第三章 直线与方程
参考答案
A 组 一、选择题
1.C 解析:直线x =1垂直于x 轴,其倾斜角为90°. 2.D 解析:直线l 1的倾斜角
1是钝角,故
k 1<0;直线l 2与l 3的倾斜角2,
3 均为锐角且
2>
3,所以
k 2>k 3>0,因此k 2>k 3>k 1,故应选D .
3.A 解析:因为直线l 1经过两点(-1,-2)、(-1,4),所以直线l 1的倾斜角为2
π,而l 1∥l 2,所以,直线l 2的倾斜角也为
2
π
,又直线l 2经过两点(2,1)、(x ,6),所以,x =2.
4.C 解析:因为直线MN 的斜率为
1-=2
-3-3+2,而已知直线l 与直线MN 垂直,
所以直线l 的斜率为1,故直线l 的倾斜角是
4
π. 5.C 解析:直线Ax +By +C =0的斜率k =B A
-<0,在y 轴上的截距B
C D =->0,所以,直线不通过第三象限.
6.A 解析:由已知得点A (-1,0),P (2,3),B (5,0),可得直线PB 的方程是x +y -5=0.
7.D 8.D 9.B
解析: 结合图形,若直线l 先沿y 轴的负方向平移,再沿x 轴正方向平移后,所得直线与l 重合,这说明直线 l 和l ’ 的斜率均为负,倾斜角是钝角.设l ’ 的倾斜角为
,则
tan
=1
+-
a a
. 10.D 解析:这是考察两点关于直线的对称点问题.直线5x +4y +21=0是点A (4,0)与所求点A'(x ,y )连线的中垂线,列出关于x ,y 的两个方程求解.
二、填空题
11.-1.解析:设直线l 2的倾斜角为2,则由题意知:
180°-
2+15°=60°,
2=135°,
∴k 2=tan 2=tan(180°-45°)=-tan45°=-1.
12.
2
1. 解:∵A ,B ,C 三点共线, ∴k AB =k AC ,
2+2
13-=2+33-2-m .解得m =21
. 13.(2,3).解析:设第四个顶点D 的坐标为(x ,y ), ∵AD ⊥CD ,AD ∥BC ,
(第11题)
∴k AD ·k CD =-1,且k AD =k BC . ∴
0-1-x y ·3-2-x y =-1,0
-1
-x y =1. 解得???1=0=y x (舍去)?
??3=2=y x
所以,第四个顶点D 的坐标为(2,3). 14.-
a
3
或不存在.解析:若a =0时,倾角90°,无斜率. 若a ≠0时,y =-a 3x +a 1 ∴直线的斜率为-
a
3. 15.P (2,2).解析:设所求点P (x ,2),依题意:22)12()2(-++x =22)22()1(++-x ,解得x =2,故所求P 点的坐标为(2,2).
16.10x +15y -36=0.
解析:设所求的直线的方程为2x +3y +c =0,横截距为-
2c ,纵截距为-3
c
,进而得 c = -
5
36
. 17.x +2y +5=0.
解析:反射线所在直线与入射线所在的直线关于x 轴对称,故将直线方程中的y 换成 -y .
三、解答题 18.①m =-
35;②m =3
4. 解析:①由题意,得
326
22
---m m m =-3,且m 2-2m -3≠0. 解得 m =-3
5. ②由题意,得
1
23
22
2-+--m m m m =-1,且2m 2+m -1≠0.
解得 m =
3
4. 19.x -2y +5=0.
解析:由已知,直线AB 的斜率 k =1311++=21
. 因为EF ∥AB ,所以直线EF 的斜率为2
1. 因为△CEF 的面积是△CAB 面积的41,所以E 是CA 的中点.点E 的坐标是(0,2
5). 直线EF 的方程是 y -25=2
1
x ,即x -2y +5=0. 20.x +6y =0.
解析:设所求直线与l 1,l 2的交点分别是A ,B ,设A (x 0,y 0),则B 点坐标为 (-x 0,-y 0).
因为A ,B 分别在l 1,l 2上,
所以?????0
=6-5+3-0
=6++40000y x y x
①+②得:x 0+6y 0=0,即点A 在直线x +6y =0上,又直线x +6y =0过原点,所以直线l 的方程为x +6y =0.
21.2x +y -4=0和x +y -3=0.
解析:设直线l 的横截距为a ,由题意可得纵截距为6-a .
∴直线l 的方程为1=-6+a
y
a x .
∵点(1,2)在直线l 上,∴1=-62
+1a a ,a 2-5a +6=0,解得a 1=2,a 2=3.当a =2
时,直线的方程为
142=+y x ,
直线经过第一、二、四象限.当a =3时,直线的方程为13
3=+y
x ,直线经过第一、二、四象限.
综上所述,所求直线方程为2x +y -4=0和x +y -3=0.
①
②