2011届高考数学第一轮复习精品试题：导数

2011届高考数学第一轮复习精品试题：导数

第3章 导数及其运用 §3.1导数概念及其几何意义

重难点：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 考纲要求：①了解导数概念的实际背景． ②理解导数的几何意义．

经典例题：利用导数的定义求函数y=|x|(x ≠0)的导数．

当堂练习：

1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量x ?满足（ ） A x ?>0 B x ?<0 C x ?0≠ D x ?=0

2、设函数)(x f y =，当自变量x 由0x

改变到x x ?+0时，函数值的改变量是（ ）

A

)

(0x x f ?+ B

x

x f ?+)(0 C

x

x f ?)(0 D

)

()(00x f x x f -?+

3、已知函数12

+=x y 的图像上一点（1，2）及邻近一点)2,1(y x ?+?+，则x y

??等于（ ） A 2 B 2x C x ?+2 D 2+2

)(x ?

4、质点运动规律32

+=t s ，则在时间)3,3(t ?+中，相应的平均速度是（ ）

A t ?+6 B

t t ?+

?+9

6 C t ?+3 D t ?+9

5．函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．在曲线y=2x2－1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δx,1+Δy ）,则x y

??等于 A ．4Δx+2Δx2 B ．4+2Δx C ．4Δx+Δx2 D ．4+Δx 7．若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y －1=0，则 A ．f ′(x0)>0 B ．f ′(x0)<0 C ．f ′(x0)=0 D ．f ′(x0)不存在

8．已知命题p ：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q ：函数y=f(x)是一次函数，则命题p

是命题q 的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

9．设函数f(x)在x0处可导，则0lim

→h h

h x f h x )

()(00--+等于

A ．f ′(x0)

B ．0

C ．2f ′(x0)

D ．－2f ′(x0)

10．设f(x)=x(1+|x|),则f ′(0)等于

A ．0

B ．1

C ．－1

D ．不存在 11．若曲线上每一点处的切线都平行于x 轴，则此曲线的函数必是___． 12．两曲线y=x2+1与y=3－x2在交点处的两切线的夹角为___________． 13．设f(x)在点x 处可导，a 、b 为常数，则0

lim

→?x x

x b x f x a x f ??--?+)

()(=_____．

14．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在t=5时的瞬时速度________．

15.已知质点M 按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，

(1)当t=2，Δt=0.01时，求t s

??．

(2)当t=2，Δt=0.001时，求t s

??． (3)求质点M 在t=2时的瞬时速度．

16．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A 处的切线的斜率．(2)点A 处的切线方程．

17．已知函数f(x)=2 1 0 0

x x x ax b x ?++≤?

+>?

，a 、b 的值，使f(x)在x=0处可导．

18．设f(x)=)()2)(1()

()2)(1(n x x x n x x x +???++-???--,求f ′(1)．

第3章 导数及其运用

重难点：能根据定义求几个简单函数的导数，能利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数．

考纲要求：①能根据导数定义，求函数

2

1

,,,y c y x y x y x ====

的导数．

能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

表1：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：

()()()1

0(,;sin cos ;cos sin ;

n

n c c x

nx

n N x x x x -*

''''==∈==为常数）；

()

()

()();ln ;log ;

11ln ;log x

x

x

x

a a e

a x e a

a x e x

x

'

'

''===

=

法则1

[]()()()()

u x v x u x v x '

''±=± 法则2

[]()()()()()()

u x v x u x v x u x v x '

''=+

法则3 2()()()()()(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x '''-=≠??

????

经典例题：求曲线y=2

1x x

+在原点处切线的倾斜角.

当堂练习：

1.函数f （x ）=a4+5a2x2－x6的导数为 ( ) A.4a3+10ax2－x6 B.4a3+10a2x －6x5 C.10a2x －6x5 D.以上都不对

2.函数y=3x （x2+2）的导数是( ) A.3x2+6 B.6x2 C.9x2+6

D.6x2+6 3.函数y=（2+x3）2的导数是( ) A.6x5+12x2

B.4+2x3

C.2（2+x3）3

D.2（2+x3）· 3x 4.函数y=x －（2x －1）2的导数是( ) A.3－4x B.3+4x

C.5+8x

D.5－8x

5.设函数f （x ）=ax3+3x2+2,若f'（－1）=4，则a 的值为( )

A.319

B.316

C.313

D.310

6.函数y=2

12x x

-的导数是( ) A.2

2

1)

1(2x

x -+

B.2

2

131x

x

-+ C.

2

22

)

1(4)1(2x x

x --- D.

2

22

)

1()

1(2x x -+

7.函数y=835

4

-+x x 的导数是( )

A.345

3

+x

B.0

C.

2

43

)

83()

34(5-++x x x D.2

4

3

)

83()34(5-++-

x x x

8.函数y=x x

cos 1-的导数是( )

A.

x

x

x x cos 1sin cos 1--- B.

2

)

cos 1(sin cos 1x x

x x ---

C.

2

)

cos 1(sin cos 1x x x -+-

D.

2

)

cos 1(sin cos 1x x

x x -+-

9.函数f （x ）=121

3

++x x 的导数是 ( )

A.

2

3

)

12(1

++x x B.

2

32

)

12(2

3+++x x x

C.

2

32

)

12(2

3++--x x x D.

2

32

)

12(3++-x x x

106.曲线y=－41

x3+2x2－6在x=2处的导数为( ) A.3

B.4

C.5

D.6

11.曲线y=x2（x2－1）2+1在点（－1，1）处的切线方程为_________. 12.函数y=xsinx －cosx 的导数为_________.

13.若f （x ）=xcosx+x x

sin ,则f'（x ）=_________. 14.若f （x ）=cotx,则f'（x ）=_________.

15.求曲线y=2x3－3x2+6x －1在x=1及x=－1处两切线的夹角.

16.已知函数f （x ）=x2（x －1）,若f'（x0）=f （x0）,求x0的值.

17.已知函数y=x x

21322

+-,求在x=1时的导数.

18.求函数y=x x

+

+

-1212

的导数.

第3章 导数及其运用 §3.3导数在研究函数中的应用

重难点：了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．

考纲要求：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．

②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．

经典例题：已知函数ax

x 2)x (f 3

+=与

c

bx

)x (g 2

+=的图象都过点P )0,2( 且在点P 处

有相

同的切线.

(1) 求实数c ,b ,a 的值;

(2) 设函数)x (g )x (f )x (F +=, 求)x (F 的单调区间, 并指出)x (F 在该区间上的单调性.

当堂练习：

1. 函数1x 3x )x (f 2

3

+-=是减函数的区间为 ( ) A. (2,)+∞ B. (,2)-∞ C. (,0)-∞ D. (0,2) 2. 函数9x 3ax x )x (f 2

3

-++=, 已知)x (f 在3x -=时取得极值, 则=a ( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

3. 在函数x 8x y 3-=的图象上, 其切线的倾斜角小于4π

的点中, 坐标为整数的点的个数是

( )

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

4. 函数

1

ax y 2

+=的图象与直线x y =相切, 则=a ( )

A. 1

8 B. 41

C. 21

D. 1

5. 已知函数

m

x

2

1x 3)x (f 2

3

+-

=(m 为常数) 图象上点A 处的切线与直线03y x =+-

的夹角为45

, 则点A 的横坐标为 ( )

A. 0

B. 1

C. 0或61

D. 1或61

6. 曲线=y x x 32

+在2x =处的切线的斜率为 ( )

A. 7

B. 6

C. 5

D. 4

7. 已知某物体的运动方程是+=t S 91

3

t , 则当s 3t =时的瞬时速度是

( )

A. 10m /s

B. 9m /s

C. 4m /s

D. 3m /s

8. 函数)(x f ＝522

4+-x x 在区间] ,[32-上的最大值与最小值分别是

( )

A. 5, 4

B. 13, 4

C. 68, 4

D. 68, 5

9. 已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间] ,[2

a 上的最大值为43

3, 则a 等于

( )

A. －23

B. 21

C. －21

D. －21

或－23

10. 若函数y ＝x 3－2x 2＋mx, 当x ＝31

时, 函数取得极大值, 则m 的值为 ( )

A. 3

B. 2

C. 1

D. 32

11. 曲线3

x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为 . 12. 曲线

1

x x y 3

++=在点)3,1(处的切线方程是 .

13. 与直线1+-y x ＝0平行, 且与曲线y ＝1

32

-x

相切的直线方程

为 .

14. 曲线y ＝122

-+x ax

在点M

)

,(4321-

处的切线的斜率为－1, 则a

＝ .

15. 已知函数,a x 9x 3x )x (f 2

3

+++-= (1) 求)x (f 的单调递减区间;

(2) 若)x (f 在区间]2,2[ -上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值.

16. 已知函数

d

ax bx

x )x (f 2

3

+++=的图象过点P )2,0(, 且在点M ))1(f ,1(--处的切线

方程为07y x 6=+-.

(1) 求函数)x (f y =的解析式; (2) 求函数)x (f y =的单调区间.

17. 已知函数,bx ax y 2

3

+=当1x =时, y 的极值为3.

求: (1) a, b 的值; (2) 该函数单调区间.

18. 设函数

,

5x 2x

2

1x )x (f 2

3

+--

=若对于任意]2,1[x -∈都有m )x (f <成立, 求实数

m 的

取值范围.

第3章 导数及其运用 §3.4生活中的优化问题

重难点：会利用导数解决某些实际问题．

考纲要求：①会利用导数解决某些实际问题．

经典例题：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分(其中r 是瓶子的半径,单位是厘米).已知每出售1 mL 的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.

(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?

当堂练习：

1.函数y=x3+x 的单调增区间为( )

A.(-∞,+∞)

B.(0,+∞)

C.(-∞,0)

D.不存在

2.若函数f(x)=x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数f ′(x)的图象是（ ）

3.右上图是函数y=f(x)的导函数y=f ′(x)的图象,则下面判断正确的是 （ ） A.在区间(-2,1)内f(x)是增函数 B.在(1,3)内f(x)是减函数 C.在(4,5)内f(x)是增函数 D.在x=2时f(x)取到极小值

4.下列说法正确的是（ ）

A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大

B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值

C.对于f(x)=x3+px2+2x+1,若|p|<

6,则f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值

5.若函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥3 B.a=2 C.a ≤3 D.0

6.★若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在R 上是增函数,则( ) A.b2-4ac>0 B.b>0,c>0 C.b=0,c>0 D.b2-3ac<0

7.已知函数f(x)=ax3+(2a-1)x2+2,若x=-1是y=f(x)的一个极值点,则a 的值为( )

A.2

B.-2

C.72

D.4

8.在区间(0,+∞)内，函数y=ex-x 是( )

A.增函数

B.减函数

C.先增后减

D.先减后增 9.函数y=f(x)=lnx-x 在区间(0,e ］上的最大值为( ) A.1-e B.-1 C.-e D.0 10.函数y=x5-x3-2x ，则下列判断正确的是( )

A.在区间（-1，1）内函数为增函数

B.在区间（-∞,-1)内函数为减函数

C.在区间(-∞,1)内函数为减函数

D.在区间(1,+∞)内函数为增函数 11.函数f(x)=x3-3x2+7的极大值是 .

12.函数y=4x2+x 1

的单调增区间为 . 13.函数y=3x2-2lnx 的单调减区间为 .

14.函数y=x4-8x2+2在［-1，3］上的最大值为 .

15.已知函数y=ax 与y=-x b

在区间（0，+∞)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调

区间.

16.当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t 小时后的细菌数量为b(t)=105+104t-103t2. (1)求细菌在t=5与t=10时的瞬时速度;

(2)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么?

17.已知a 为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).

(1)求导数f ′(x);(2)若f ′(-1)=0,求f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值.

18.某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?

第3章 导数及其运用 §3.5导数及其运用单元测试

1、设)(x f 是可导函数，且=

'=?-?-→?)(,2)

()2(lim

0000

x f x

x f x x f x 则 （ ）

A ．21

B ．－1

C ．0

D ．－2

2、f/（x ）是f （x ）的导函数，f/（x ）的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）

（A ） （B ） （C ） （D ）

3、下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ）

A.x y 2

sin

= B.x xe y = C.x x y -=3

D.x x y -+=)1ln(

4、已知3

)2(3

12

3

++++=

x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是 （ ）

A. 21>-

B. 21≥-≤b b ，或

C. 21<<-b

D. 21≤≤-b

5、已知函数1)(2

3

--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是

（ ）

A.),3[]3,(+∞--∞

B.]3,3[-

C. ),3()3,(+∞--∞

D. )3,3(- 6

、

下

列

说

法

正

确

的

是

（ ）

A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;

B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值;

C. 对于

1

2)(2

3

+++=x px

x x f ,若6

||<

p ,则)(x f 无极值;

D.函数)(x f 在区间),(b a 上一定存在最值. 7、函数2

2

3)(a

bx ax

x x f +--=在1=x 处有极值

10, 则点),(b a 为

（ ）

A.)3,3(-

B.)11,4(-

C. )3,3(-或)11,4(-

D.不存在

8、定义在闭区间],[b a 上的连续函数)(x f y =有唯一的极值点0

x x =,且)(0x f y =极小值,

则下列说法正确的是

（ ）

A.函数)(x f 有最小值)(0x f

B. 函数)(x f 有最小值,但不一定是)(0x f

C.函数)(x f 的最大值也可能是)(0x f

D. 函数)(x f 不一定有最小值

9、函数5

12322

3+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值分别是

（ ）

A. 5，15

B. 5，4-

C. 5，15-

D. 5，16- 10

、

函

数

x x x x f c o

s

s i n c

o s

)(2

3

-+=上

最大值等于

（ ）

A ．274

B ．278

C ．2716

D ．2732

11、设函数5

()ln(23)f x x =-，则f ′1()

3＝____________________

12、函数1032)(2

3+-=x x x f 的单调递减区间为

13、函数)0(3)(3

>+-=a b ax x x f 的极大值为6,极小值为2,则)(x f 的减区间是 14、点P 是曲线x x y ln 2

-=上任意一点, 则点P 到直线2+=x y 的距离的最小值是 15、已知直线1

l 为曲线

2

2

-+=x x

y 在点(0,2)-处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且

2

1l l ⊥ （Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l 2l 和x 轴所围成的三角形的面积

16、设函数.

;1

1)(R a x ax x f ∈+-=

其中

（Ⅰ）当时，1=a 求函数满足1)(≤x f 时的x 的集合；

（Ⅱ）求a 的取值范围，使f （x ）在区间（0，+∞）上是单调减函数

17、设函数f(x)=x(x-1)(x-a),(a>1)

(Ⅰ)求导数f ' (x);

(Ⅱ)若不等式f(x1)+ f(x2)≤0成立，求a 的取值范围

18、已知c x bx ax x f +-+=2)(2

3

在2-=x 时有极大值6，在1=x 时有极小值，求c b a ,,的值；并求)(x f 在区间[－3，3]上的最大值和最小值.

19、设函数

R

x x x x f ∈+-=,56)(3

（Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值；

（Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （Ⅲ）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.

选修1-1综合测试

1．已知命题甲：

)(0='x f ，命题乙：点

x 是可导函数)(x f 的极值点，则甲是乙的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分而不必要条件 2、已知椭圆的焦点为

()

11,0F -和

()

21,0F ，点P 在椭圆上的一点，且

12

F F 是

12

PF PF 和的等差中项，则该椭圆的方程为（ ）

A 、2

2

1

16

9

x

y

+

= B 、2

2

1

16

12

x

y

+

= C 、2

2

1

4

3

x

y

+

= D 、2

2

1

3

4

x

y

+

=

3、已知4||=AB ，点P 在A 、B 所在的平面内运动且保持6||||=+PB PA ，则||PA 的最大值和最小值分别是 ( )

A ．5、3

B ．10、2

C ．5、1

D ．6、4

4、椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）

A

、2 B 、3

4 C

、2 D 、1

2 5．双曲线x2－ay2＝1的焦点坐标是 （ ）

A ．(a +1, 0) , (－a +1, 0)

B ．(a -1, 0), (－a -1, 0)

C ．（－

a

a 1

+, 0）,（a a 1

+, 0）

D ．(－

a a 1

-, 0), (

a

a 1

-, 0)

6、若双曲线222

2

1

x

y a b

-=与()

222

2

10x

y a b a

b

-

=->>的离心率分别为

12

,e e ，则当,a b 变化

时，

2

2

12

e e +的最小值是（ ）

A

． B ．4 C

． D ．3

7.曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0的坐标可能是( ) A.(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4)

8. 函数x

ax

x f 1

)(2

-=

在区间),0(+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（ ）

A ．0≥a

B ．0>a

C ．0≤a

D ．0

9、方程x3－6x2+9x －10=0的实根个数是 （ ）

A 、3

B 、2

C 、1

D 、0 10．已知函数f(x)的导函数)

('x f 的图像如左图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是( )

11．命题

2

,30x R x x ?∈-+>的否命题是 . 12．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q

成

立的 条件。（填“充分不必要”“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要” ）

13．若方程1

1

42

2

=-+

-t y

t

x

所表示的曲线为C ，给出下列四个命题：

①若C 为椭圆，则14或t<1；

③曲线C 不可能是圆； ④若C 表是椭圆，且长轴在x 轴上，则

23

1<

题的序号为 （把所有正确命题的序号都填在横线上） 14．函数y=x x ln 232

-的单调增区间是 ，减区间是 .

15．求与椭圆2

2

1

144169

x

y

+

=有共同焦点，且过点

()0,2的双曲线方程，并且求出这条双曲

线的实轴长、焦距、离心率。

16．设椭圆方程为

42

2

y

x +

=1，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，

点P 满足→

→

→

+=

)

(2

1OB OA OP ，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.

17．设f(x)=x3-21

x2-2x+5

（1）求函数f(x)的单调区间。（2）求极值点与极值。

18．已知椭圆()

222

2

10x

y a b a

b

+

=>>的离

心率

3

e =

，过点

()

0,A b -和

()

,0B a

的直线与原点的距离为2。

⑴求椭圆的方程；

⑵已知定点

()

1,0E -，若直线

()

20y kx k =+≠与椭圆交于C D 、两点，问：是否存在

k 的值，使以C D 为直径的圆过E 点？请说明理由。

参考答案

第3章 导数及其运用 §3.1导数概念及其几何意义

经典例题：解：∵y=|x|，∴x>0时，y=x ，则1

)(=??+=

??x

x

x x x

y

∴0lim

→?x x y

??=1．

当x<0时，y=－x ，1

)

()(-=?--?+-=

??x

x x x x

y

，∴0

lim

→?x 1

-=??x

y ．

∴y ′=??

?<>0

1-0 1x x ．

当堂练习：

1.C;

2.D;

3.C;

4.A;

5.A;

6.B;

7.B;

8.B;

9.C; 10.B; 11.常数函数; 12.arctan 34

; 13.(a+b)f ′(x); 14. 10 m/s;

15. 分析：Δs 即位移的改变量，Δt 即时间的改变量，t s

??即平均速度，当Δt 越小，求出

的t s

??越接近某时刻的速度．

解：∵t

t t t t

t s t t s t

s

?+-+?+=

?-?+=

??)

32(3)(2)

()(2

2=4t+2Δt

∴(1)当t=2，Δt=0.01时，t s

??=4×2+2×0.01=8.02 cm/s

(2)当t=2，Δt=0.001时，t s

??=4×2+2×0.001=8.002 cm/s

(3)v=

lim

lim

→?→?=??t t t

s (4t+2Δt)=4t=4×2=8 cm/s ．

16. 解：(1)k=

x

x x

f x f x x ??-?+=?-?+→?→?2

20

1

2)1(2lim

)

1()1(lim

4

)24(lim )

(24lim

2

=?+=??+?=→?→?x x

x x x x ．∴点A 处的切线的斜率为4．

(2)点A 处的切线方程是y －2=4(x －1)即y=4x －2

17. 解：-

→?0

lim

x x

f x f ?-?+)

0()0(=-

→?0

lim

x x

x

x ??+?2

)(=

-

→?0

lim

x (Δx+1)=1

+

→?0

lim

x x

f x f ?-?+)

0()0(=+

→?0

lim

x +=?-+?a x

b x a 1

+

→?0

lim

x x b ?-1

若b ≠1,则+

→?0

lim

x x

f x f ?-?+)

0()0(不存在

∴b=1且a=1时，才有f(x)在x=0处可导 ∴a=1,b=1．

18．解：f ′(1)=

1

lim

→x 1

)

1()(--x f x f =

1

lim

→x )()2)(1()

()3)(2(n x x x n x x x +???++-???--

=)1()21)(11()1()31)(21(n n +???++-???--=)1()

1(1

+--n n n ．

§3.2导数的运算

经典例题：解:∵y'=2

2

22

2

2

2

)

1(1)

1(21x x

x x

x +-=

+-+, y'|x=0=1,∴tanθ=1,θ=4π

为所求倾斜角.

当堂练习：

1.C;

2.C;

3.A;

4.D;

5.D;

6.D;

7.D;

8.B;

9.C; 10.C; 11. y=1; 12. 2sinx+xcosx; 13. cosx －

xsinx+

x

x

x x 2

sin

cos sin -;14.

x

x

x 2

2

2

sin cos

sin

--;

15. 解:∵y'=6x2－6x+6,∴y'|x=1=6, y'|x=－1=18. 设夹角为α, 则tanα=|

2

12

11k k k k +-|=10912

,

∴α=arctan 10912

.

16. 解:∵f （x ）=x3－x2,∴f'（x0）=3x02－2x0. 由f'（x0）=f （x0）,得3x02－2x0=x03－x02, 即x03－4x02+2x0=0. 所以x0=0或x0=2±2.

17. 解:∵y'=（x x

21322

+-）'=

2

2

)

21(2

)32()21(6x x x x +?--+-=

2

2

)

21(4

66x x x +---,∴y'|x=1=－916

.

18. 解:∵y=x x +

+

-

1212

=

x

x x

x --+

-+

1)

1(21)

1(2=x -14

, ∴y'=2

)

1(4

x -.

§3.3导数在研究函数中的应用

经典例题：解：(1) .bx 2)x (g ,a x 6)x (f 2

='

+='

由题意得: ????????

??-==-=?=+=+=+??????=='='.16c ,4b ,

8a ,0c b 4,0a 216,b 4a 24,0)2(g ,0)2(f ),2(g )2(f

(2) 由(1)得

16x 4)x (g ,x 8x 2)x (f 23-=-= 16

x 8x 4x 2)x (F 2

3--+=?

．8x 8x 6)x (F 2-+='?由

,

08x 8x 62

>-+得:2x -<或

．

32

x >

)

x (F ∴的递增区间是

)

,3

2(

),2,(∞+--∞ ; )x (F ∴的递减区间是

)

32

,2( -.

当堂练习：

1.D;

2.B;

3.D;

4.B;

5.C;

6.A;

7.C;

8.C;

9.D; 10.C; 11. 8

3; 12. 41y x =-; 13.

4470x y --=;14.-3;

15. 解: (1) .9x 6x 3)x (f 2

++-='令1x 0)x (f -

或,3x >

所以函数)x (f 的单调递减区间为)1,(--∞ , ),3(∞+ .

(2) 因为,a 2a 18128)2(f +=+-+=- ,a 22a 18128)2(f +=+++-=

所以)2(f )2(f ->. 因为在)3,1( -上0)x (f >'

, 所以)x (f 在]2,1[ -上单调递增, 又由于 )x (f 在]1,2[-- 上单调递减, 因此)2(f 和)1(f -分别是)x (f 在区间]2,2[ -上的最大值

和

最小值, 于是有2a 20a 22-=?=+. 故,2x 9x 3x )x (f 2

3

-++-= 因此72931)1(f -=--+=-, 即函数)x (f 在区间]2,2[ -上的最小值为7-. 16. 解: (1) 由)x (f 的图象经过P )2,0(,知2d =, 所以,

2cx bx

x )x (f 2

3

+++=

c

bx 2x 3)x (f 2

++='.即.6)1(f ,1)1(f =-'

=-

由在))1(f ,1(M --处的切线方程是07y x 6=+-, 知

07)1(f 6=+---,??

?-=-=????=+-+-=+-∴3c 3b 12c b 16c b 23

故所求的解析式是

.

2x 3x 3x )x (f 2

3+--=

(2)

.3x 6x 3)x (f 2

--='令

,03x 6x 32

=--即.01x 2x 2

=--

解得 .

21x ,21x 21+

=-

= 当

;

0)x (f ,21x ,21x >'+

>-

<时或

当.

0)x (f ,21x 21<'+

<<-

时

故2x 3x 3x )x (f 2

3

+--=在

)

2,(--∞内是增函数, 在

)

21,21(+

-

内是减函数,

在

)

,21(+∞+

内是增函数.

17. 解: (1)

bx

2ax 3y 2

+='

当1x =时, y 的极值为3.23x

9x 6y 9b 6a 3b a 0b 2a 3+-=????=-=????=+=+∴.

(2) 令1x 00x 18x 18y 2

<+-='

令1x 0x 18x 18y 2

>?<+-='

或0x <

∴y 在)1,0( 上为单调增函数;

y 在),1(),0,(∞+-∞ 上为单调减函数.

18. 解: ,2x x 3)x (f 2

--='令,0)x (f ='

得

32

x -

=或1x =. ∵当

32

x -

<或1x >时, ,0)x (f >'∴)x (f y =在

)

32,(-

-∞ 和),1(∞+ 上为增函数,

在

)

1,32( -上为减函数, ∴)x (f 在

32

x -

=处有极大值, 在1x =处有极小值.

极大值为

2722

5

)32(f =-

, 而7)2(f =, ∴)x (f 在]2,1[ -上的最大值为7.

若对于任意x ]2,1[ -∈都有m )x (f <成立, 得m 的范围 7m >.

§3.4生活中的优化问题

经典例题： 分析 本题考查导数的应用及利用导数知识解决实际问题的能力. 解 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是

y=f(r)=0.2×34

πr3-0.8πr2=0.8π(32

r

-r2),0

当r ∈(2,6)时,f ′(r)>0.

因此,当半径r>2时,f ′(r)>0,它表示f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;半径r<2时,f ′(r)<0,它表示f(r)单调递减,即半径越大,利润越低. (1)半径为6 cm 时,利润最大.

(2)半径为2 cm 时,利润最小,这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.

当堂练习：

k52006年高考第一轮复习数学：14.1 导数的概念与运算

知识就是力量
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※第十四章
●网络体系总览
导 概 数 念 的 导 数
导数
的 性 导 求 函 单 数 法 数 调 的 的 导 应 函 极 数 用 数 值 的 函 最 数 大 的 值 小 与 值 最
●考点目标位定位 要求： （1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率 等） ，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. （2）熟记基本求导公式〔C，xm（m 为有理数） ，sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax 的导数〕 ，掌握 两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数. （3）了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条 件和充分条件（导数在极值点两侧异号） ，会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值 和最小值. ●复习方略指南 深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求 导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大（小）值的数学模型,应用导数知识去解 决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键. 1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础. 2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大（小）值中的应用,尤其要重视导数 运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.
14.1
●知识梳理
导数的概念与运算
1.导数的概念： （1）如果当Δ x→0 时，
?y 有极限，我们就说函数 y=f（x）在点 x0 处可 ?x
导 ， 并 把 这 个 极 限 叫 做 f （ x ） 在 点 x0 处 的 导 数 ， 记 作 f ′ （ x0 ） 即 f ′ （ x0 ） = ，
?x ?0
lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim . ?x ?x?0 ?x
（2）如果函数 f（x）在开区间（a,b）内每一点都可导，就说 f（x）在开区间（a,b）内 可导.这时对于开区间（a,b）内每一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f′（x0）,这样 就在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新函数叫做 f（x）在开区间（a,b）内的导函 数，记作 f′（x）,即 f′（x）= lim
?x ?0
f ( x ? ?x) ? f ( x) ，导函数也简称导数. ?x
2.导数的几何意义：函数 y=f（x）在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y=f（x）在点 P（x0,f（x0） ）处的切线的斜率. 3.几种常见的导数： － C′=0（C 为常数）;（xn）′=nxn 1;（sinx）′=cosx;（cosx）′=－sinx;（ex）′=ex;

高考数学导数题型归纳

导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

高三数学一轮复习导数导学案

课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时 一、考点梳理： 1.导数、导数的计算 （1）．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '=. （2）．导函数： 记为f ′(x )或y ′. （3）．导数的几何意义： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几 何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________． ! （4）．基本初等函数的导数公式 （5）．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)??? ?f x g x ′ ＝__________(g (x )≠0)． （6）．复合函数的导数： 2．导数与函数的单调性及极值、最值 （1）导数和函数单调性的关系： (1)对于函数y ＝f (x )，如果在某区间上f ′(x )>0，那么f (x )为该区间上的________；如果在某区间上f ′(x )<0，那么f (x )为该区间上的________． (2)若在(a ，b )的任意子区间内f ′(x )都不恒等于0，f ′(x )≥0?f (x )在(a ，b )上为____函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，?f (x )在(a ，b )上为____函数． [ （2）函数的极值与导数 (1)判断f (x 0)是极值的方法： 一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ： ①____________ ；②________________ ;③_________________________. （3）求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )上的________； (2)将函数y ＝f (x )的各极值与______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． ` 二、基础自测： 1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )． A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2Δx 2 原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) ； f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________ f (x )＝a x f ′(x )＝________ f (x )＝e x > f ′(x )＝________ f (x )＝lo g a x f ′(x )＝________ f (x )＝ln x f ′(x )＝________

(完整)高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0

高三数学一轮复习 导数的综合应用

导数的综合应用 一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m<2 (D)m≤2 解析:函数定义域为(0,+∞), 又f'(x)=2x+m+. 依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥-恒成立,设g(x)=-, 则g(x)=-≤-2, 当且仅当x=时等号成立. 故m≥-2, 故选B. 2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式 e x·f(x)>e x+1的解集为( A ) (A){x|x>0} (B){x|x<0} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0e x-e x=0, 所以g(x)=e x·f(x)-e x为R上的增函数. 又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1, 所以原不等式转化为g(x)>g(0), 解得x>0. 故选A. 3.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为( A )

解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正 数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)

函数与导数大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练

专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法； 2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题； 3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式； 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质； 5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系； 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用； 7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题； 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取 值范围； 9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数 .,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值； （3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点，求证：221>+x x 【答案】（1）6n =（2）1ln m n --（3）见解析 【解析】（1）由， ，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行， 故 2 14 n -=，解得6n =。 （2） ，由()0f x '<时，x n >；()0f x '>时，x n <，所以 ①当1n ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ；

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数

高考数学第一轮复习导数概念和几何意义

第1讲 变化率与导数、导数的运算 【2014年高考会这样考】 1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 【复习指导】 本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导. 基础梳理 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 . 若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0Δy Δx ＝ li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx . (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式 若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0； 若f (x )＝x α(α∈R )，则f ′(x )＝αx α－1； 若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ；

高考数学导数专题复习(基础精心整理)学生版

导数专题复习（基础精心整理）学生版 【基础知识】 1.导数定义：在点处的导数记作k = 相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 2.常见函数的导数公式: ①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。 3.导数的四则运算法则： （1） （2） （3） 4.导数的应用： （1）利用导数判断函数单调性： ①是增函数；②为减函数；③为常数； （2）利用导数求极值：①求导数；②求方程的根；③列表得极值（判断零点两边的导函数的正负）。 （3）利用导数求最值：比较端点值和极值 【基本题型】 一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率 ()()00f x x f x y x x +?-?=?V ；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=?V 。 例1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1)(0则的值是（ ） A. 41- B. 2 C. 4 1 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430 --='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 二、导数的几何意义 ()f x 0x x x f x x f x f x x y x ?-?+='=='→?) ()(lim )(|000 00'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a =x x 1 )(ln '= )()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f ' -'=' ??? ? ??' ?'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ?>')(0)(x f x f ?<')(0)(x f x f ?≡')(x f '0)(='x f

高考数学 导数及其应用的典型例题

第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1）若0a =， 求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥， 求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=． （I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >， 且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-， 求k 的取值范围． 2019年： 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(， 求b a )1(+的最大值．

2019： 一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +， 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0， 2)， 且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值； （Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ， 求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+， 曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值， 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ， 讨论()h x 零点的个数．

2020高考数学复习-导数部分

-2 2 x y O 1 -1 -1 1 2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！ 1、(广东卷)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为(D) （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2) 2.（全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（B ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 3. （湖北卷）在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4 π的 点中，坐标为整数的点的个数是 （ D ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 4．(江西)已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(中'()f x 是函数()f x 的导函数)象中()y f x =的图象大致是(C ） 5.(浙江)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( B ) (A) 18 (B)41 (C) 2 1 (D)1 6. (重庆卷)曲线y x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x 2所围成的三角形的面积为______8/3____。 7.（江苏卷）（14）曲线31y x x =++在点（1,3）处的切线方程是41y x =- O -2 2 x y 1 -1 -2 1 2 O x y -2 -2 2 1 -1 1 2 O -2 4 x y 1 -1 -2 1 2 O -2 2 x y -1 2 4 A

8. ( 全国卷III)曲线32y x x =-在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=0 9. （北京卷）过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为 (1, e )； ，切线的斜率为e ． 10.(全国卷Ⅱ)设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值. (Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点. 解：(I)'()f x =32x －2x －1 若'()f x =0，则x ==－13 ，x =1 当x 变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下表： ∴()f x 的极大值是()3 27 f a -= +，极小值是(1)1f a =- (II)函数322()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++- 由此可知，取足够大的正数时，有()f x >0，取足够小的负数时有()f x <0，所以曲线y =()f x 与x 轴至少有一个交点 结合()f x 的单调性可知： 当()f x 的极大值 527a +<0，即5 (,)27 a ∈-∞-时，它的极小值也小于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。 当()f x 的极小值a －1>0即a ∈(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(－∞，－13 )上。 ∴当5 (,)27 a ∈-∞- ∪(1， +∞)时，曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点。 11. (全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ，函数f(x) = （ 2x -2ax ）x e

高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)

高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题 1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3，则() A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D 解析y′＝3ax2＋2bx，据题意， 0、1 3是方程3ax 2＋2bx＝0的两根 ∴－2b 3a＝ 1 3，∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝() A. 1 ln2B．－ 1 ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B 解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－ 1 ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0， ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1 综上，b的范围为0＜b＜1 4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点．

5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－643 答案 A 解析 y ′＝x 2＋2x －3. 令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点． 当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值． ∴当x ＝1时，y min ＝－173. 6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( ) A ．x ＝1是最小值点 B ．x ＝0是极小值点 C ．x ＝2是极小值点 D ．函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C. 7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2)

高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间； （2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.

届高三数学第一轮复习导数

导 数 第3章 导数及其运用 §3.1导数概念及其几何意义 重难点：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 考纲要求：①了解导数概念的实际背景． ②理解导数的几何意义． 经典例题：利用导数的定义求函数y=|x|(x ≠0)的导数． 当堂练习： 1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量x ?满足（ ） 2 3 ） 4 5A C 6A ．7A ．f ′(x0)>0 B ．f ′(x0)<0 C ．f ′(x0)=0 D ．f ′(x0)不存在 8．已知命题p ：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q ：函数y=f(x)是一次函数，则命题p 是命题q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f(x)在x0处可导，则0 lim →h h h x f h x ) ()(00--+等于 A ．f ′(x0) B ．0 C ．2f ′(x0) D ．－2f ′(x0) 10．设f(x)=x(1+|x|),则f ′(0)等于

A ．0 B ．1 C ．－1 D ．不存在 11．若曲线上每一点处的切线都平行于x 轴，则此曲线的函数必是___． 12．两曲线y=x2+1与y=3－x2在交点处的两切线的夹角为___________． 13．设f(x)在点x 处可导，a 、b 为常数，则0 lim →?x x x b x f x a x f ??--?+) ()(=_____． 14．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在t=5时的 瞬时速度________． 15.已知质点M 按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)， (1)当t=2，Δt=0.01时，求t s ??． 法则3 2()()v x v x ???? 经典例题：求曲线y=2 1x x +在原点处切线的倾斜角. 当堂练习： 1.函数f （x ）=a4+5a2x2－x6的导数为 ( ) A.4a3+10ax2－x6 B.4a3+10a2x －6x5 C.10a2x －6x5 D.以上都不对 2.函数y=3x （x2+2）的导数是( ) A.3x2+6 B.6x2 C.9x2+6 D.6x2+6