概率统计第八章

李贤平 《概率论与数理统计 第一章》答案

第1章 事件与概率 2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ； (3)C AB ?；(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和． 6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ； （2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ； （3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边； （2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。

浙大版概率论与数理统计答案---第八章

第八章 假设检验 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1 、解 由题意知： ~(0,1)/X N n μ σ- （1）对参数μ提出假设： 0: 2.3H μ≤， 1: 2.3H μ> （2）当0H 为真时，检验统计量 2.3 ~(0,1)0.29/35 X N -，又样本实测得 2.4x =，于 是 002.4 2.3( )( 2.04)1(2.04)0.0207/0.29/35/H H X X P P P n n μμ σσ----=≥=≥=-Φ= （3）由（2）知，犯第I 类错误的概率为0.0207 （4）如果0.05α=时，经查表得 1.645z α=，于是 2.3 2.3{ }{ 1.645}/0.29/35 X X W z W n ασ-->=> （5）是。 2、 14.5515x =<故将希望得到支持的假设“15μ>”作为原假设，即考虑假设问题 0H ： 15μ≥，1H ：15μ< 因2 σ未知，取检验统计量为0 /X T S n μ-= ，由样本资料10n =，14.55x =， 1.2445s =和015μ=代入得观察值0 1.2857t =-，拒绝域为 ()0 0.059/X W T t S n μ??-==≤-?? ??，查分布表得()0.059 1.8331t =，()00.059t t >- 故接受原假设0H ，即认为该广告是真实的。 3、 解（1）由题意得，检验统计量1 /X Z n σ-= ，其拒绝域为

1 {}{ 1.66}/X W Z z W X n ασ-== ≥=≥ 当2μ=时，犯第II 类错误的概率为： 0021.662 {|}{ 1.66|2}P{ }=0.198//X P H H P X n n βμσσ--==≤==≤接受是错误的 （2） 2 22 (n 1)S ~(n 1)χσ --，当2σ未知时，检验统计量224S ，其拒绝域为： 2221W {24S (24)}{S 0.577}αχ-=<=< 当21.25σ=时，检验犯第I 类错误的概率为： 22 2 0024S 240.577 {|}{S 0.577| 1.25}P{}=0.012 1.251.25 P H H P ασ?==<==<拒绝是正确的 4、 (1)提出假设0H ：3000μ=，1H ：3000μ≠ 建立检验统计量0 /X T S n μ-= ，其中03000μ= 在显著水平0.05α=下，检验的拒绝域为 ()0 0.0257 2.3646/X W T t S n μ??-==≥=?? ??，由样本资料得观察值()00.0252958.753000 2.97271348.4375/8 t t -= =>，故有显著差异。 (2)μ的95%的置信区间为()()/2/21,1S S X t n X t n n n αα??- -+- ?? ? ，由样本资料得μ的95%的置信区间为()2925.93,2991.57 (3)(){}(){}0 2127 2.9720.0207P P t n t P t =-≥=≥=。 5、 解 （1） ~(1)S/X t n n μ --。由题意得，样本测得的值为167.2x =， 4.1s =，100n =，经查表得()/299 1.984t α=，于是均值μ的95%的置信区间为： ()()/2/2(99s /,99s /)(166.4,168.0)x t n x t n αα+-=

概率论第一章习题解答

00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”；

(3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？

中北大学概率统计习题册第八章完整答案

第八章 假设检验 【主要内容】 一、显著性检验的基本思想 为了对总体的分布类型或分布中的未知参数作出推断，首先对它们提出一个假设0H ，然后在0H 为真的条件下，通过选取恰当的统计量来构造一个小概率事件，若在一次试验中，小概率事件居然发生了，就完全有理由拒绝0H 的正确性，否则没有充分理由拒绝0H 的正确性，从而接受0H ，这就是显著性检验的基本思想。 二、假设检验的基本步骤 1.由实际问题提出原假设0H （备选假设1H ）； 2.选取适当的统计量，并在0H 为真的条件下确定该统计量的分布； 3.根据问题的要求确定显著性水平α（一般题目中会给定），从而得到拒绝域； 4.由样本观测值计算统计量的观测值，看是否属于拒绝域，从而对0H 作出判断。 三、两类错误 当0H 本来是正确的，但检验后作出了拒绝 0H 的判断，这种错误称为第一类错误，也称 拒真错误； 当0H 本来是不正确的，但检验后作出了接受0H 的判断，这种错误称为第二类错误，也称纳伪错误。 注：只对第一类错误加以控制，而不考虑第二 类错误的假设检验，称为显著性检验。 四、单个正态总体的假设检验 1.μ的假设检验： 设总体),(~2 σμN X ，) ,,,(21n X X X Λ为来自X 的一个样本，显著性水平为α。 ① 2 σ已知时，对μ的假设检验： )1,0(~0 N n X U σμ-= ， （a ）0100:,:μμμμ≠=H H ，（双边检验） 0H 的拒绝域为1/2{}W U u α-=>； （b ）0010:,:H H μμμμ≤>，（单边检验） 0H 的拒绝域为1{}W U u α-=>； （c ）0010:,:H H μμμμ≥<，（单边检验） 0H 的拒绝域为1{}W U u α-=<-。 ②2 σ未知时，对μ的假设检验： )1(~0 --= n t n S X T μ， （a ）0100:,:μμμμ≠=H H ，（双边检验） 0H 的拒绝域为1/2{(1)}W T t n α-=>-； （b ）0010:,:H H μμμμ≤>，（单边检验） 0H 的拒绝域为1{(1)}W T t n α-=>-； （c ）0010:,:H H μμμμ≥<，（单边检验） 0H 的拒绝域为1{(1)}W T t n α-=<--。 2.2 σ的假设检验：

浙江大学《概率论、数理统计与随机过程》课后习题答案张帼奋主编第八章奇数答案

注意：这是第一稿（存在一些错误） 第八章假设检验习题__奇数.doc 1解~(0,1) X N （1）对参数μ提出假设： 0: 2.3H μ≤，1: 2.3 H μ>（2）当0H 为真时，检验统计量 ~(0,1) X N ，又样本实测得 2.4x =，于是 00 2.04)1(2.04)0.0207 H H X X P P P -=≥==-Φ=（3）由（2）知，犯第I 类错误的概率为0.0207 （4）如果0.05α=时，经查表得 1.645z α=，于是 } 1.645} X X W z W α>=>（5）是。 3解（1）由题意得，检验统计量 X Z ={}{ 1.66} X W Z z W X α==≥=≥当2μ=时，犯第II 类错误的概率为： 00{|}{ 1.66|2}P{ X P H H P X βμ==≤==接受是错误的（2）222(n 1)S ~(n 1)χσ--，当2σ未知时，检验统计量224S ，其拒绝域为：2221W {24S (24)}{S 0.577} αχ-=<=<当21.25σ=时，检验犯第I 类错误的概率为：

222 0024S 240.577{|}{S 0.577| 1.25}P{}=0.0121.251.25P H H P ασ?==<==拒绝是正确的5解（1~(1) X t n -。由题意得，样本测得的值为167.2x =， 4.1s =，100n =，经查表得()/299 1.984t α=，于是均值μ的95%的置信区间为： ()() /2/2(99s /99s /(166.4,168.0) x t x t αα+-=（2）全国男子身高的平均值是169.7，从（1）中的结果中，可以看出该地区男子的身高明显低于全国水平。 7解由题意得，建立检验的原假设和备择建设： 220:8H σ≥，22 1:8H σ<又2 22(n 1)S ~(n 1)χσ--。当2σ未知时，检验统计量224S ，又样本实测得 4.98s =，于是 220 24.98*14 5.4218χ==利用Excel 计算得2{(14) 5.421}0.0210.05 P P χ-=>=<所以有充分的理由拒绝原假设，不需要退货。 9解（1）由样本资料505.2500x =>。建立检验的原假设和备择假设：0:500H μ≤，1:500 H μ>由于2σ未知，取检验量 X T =，将样本资料有： 010,505.2, 6.321,500n x s μ====得到观察值0 2.601t =。 利用Excel 计算得0{(1)}0.0143P P t n t -=-≥=。 由P -的值没有充分的理由拒绝原假设，即没有充分的理由认为500 μ>（2）由题意知222 (n 1)S ~(n 1)χσ--，于是2σ的95%的置信区间为：

重庆大学概率与数理统计课后答案第八章

习题八 A 组 1.假设总体X ～)1,(μN ，从中抽取容量为25的样本，对统计假设0:,0:10≠=μμH H ，拒绝域为X 0={} 392.0≥x 。（1）求假设检验推断结果犯第Ⅰ类错误的概率。（2）若 3.0:1=μH ，求假设检验推断结果犯第Ⅱ类错误的概率。 解：（1）{}{} 001H H P P α==犯第I 类错误拒绝成立={} 0392.0=>μX P { }{} 96.10392.0>==>=n X P X P μ，所以05.01=α （2）{}{} 00H H P P β==犯第II 类错误接受不成立{} 3.0392.0=≤=μX P {} 6769.046.0)3.0(46.3=<-<-=n X P 2.已知某厂生产的电视机显像管寿命（单位：小时）服从正态分布。过去，显像管的平均寿 命是15000小时，标准差为3600小时。为了提高显像管寿命采用了一种新技术，现从新生 产的显像管中任意抽取36只进行测试，其平均寿命为15800=x 小时。若用假设检验方 法推断新技术是否显著提高了显像管的寿命，试指出：（1）假设检验中的总体；（2）统计假设；（3）检验法、检验统计量、拒绝域；（4）推断结果。 解：（1）假设检验中的总体是新生产的显像管的寿命，用X 表示，由题意知：X ～ ),(2σμN )90000,5000(N （2）统计假设： 15000 :0≤μH ，15000:1>μH (3)假设σ与过去一样为3600小时，那么检验方法为U 检验法，检验统计量为： n X U σ 15000 -= 显著水平05.0=α时的拒绝域为：X 0 = {}α->1u u ={}645.1>u （4）推断：因为U 的样本值为1.333不在X 0 内，所以接受原假设，即在显著水平05.0=α 下，认为新技术没有提高显像管的寿命。 3.某计算机公司使用的现行系统，运行通每个程序的平均时间为45秒。现在使用一个新系统运行9个程序，所需的计算时间（秒）分别是：30，37，42，35，36，40，47，48，45。

概率统计第一章答案

概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第一章 概率论的基本概念 教学要求： 一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算． 二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式． 三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法． 重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算． 难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理 解与应用；独立性的应用． 练习一 随机试验、样本空间、随机事件 1.写出下列随机事件的样本空间 (1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和； (2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数； (3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：（1）{=Ω2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12 }; （2）{=Ω5；6；7；…}; （3）(){} 1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 与C 不发生，记为 C B A ； （2）C B A ,,至少有一个发生，记为C B A Y Y ； (3) C B A ,,中只有一个发生，记为C B A C B A C B A Y Y ； (4）C B A ,,中不多于两个发生，记为ABC ． 3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到黑

球}，,2,1=i 叙述下列事件的内涵： （1）21A A ={}次都取得黑球次、第第21. （2）21A A Y ={}次取得黑球次或地第21. （3）21A A ={}次都取得白球次、第第21 . （4）21A A Y ={}次取得白球次或地第21. （5）21A A -={}次取得白球次取得黑球，且第第21. 4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记1A ={击毁第1个发动机}；2A ={击毁第2个发动机}；3A ={击毁驾驶舱}；试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件. 解：321A A A B Y = 练习二 频率与概率、等可能概型（古典概率） 1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 16 3)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率. 解：由于 ,AB ABC ? 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是 ()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=Y Y 16 9163414141=-++= 所以 ()().16 716911=- =-=C B A P C B A P Y Y 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P ===Y 求B A P (). 解：因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ?则() ()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=Y

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；

(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．

精选 概率论与数理统计浙大四版习题答案第八章

假设检验第八章 。3.24（%）3.25 3.27 3.24 3.26 1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值= 0.01设测定值总体服从正态分布，问在α3.25. 为 2 2～均未知μ，，σσ）解：设测定值总体X，N（μ3.25 ：μ=3.25; H：≠μ步骤：（1）提出假设检验H1025X?3.)~t(nt??1 2）选取检验统计量为（Sn).t(n?1 ≥| （3）H的拒绝域为t | ?201304?0?Xx?3.252,S?)(X. ，由计算知n=（4）5, α= 0.01 α0251 i1n?1?i25.3.252?3)1t|?343?t(n??0.| t(4)=4.6041, 查表0.005α01304.025H5）故在α= 0.01下，接受假设（0 1?ωl01)?.618(5?的比l二2．，这样的矩[] 如果一个矩形的宽度ω与长度 2 、现代建筑构件形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。（如窗架）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。下工艺品（如图片镜框）个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形20面列出某工艺品工厂随机取的）μ，试检验假设（取α= 0.05的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为0.618 ≠H：μH：μ= 0.618 100.668 0.628 0.615 0.606 0.690 0.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.933. 0.576 0.570 0.844 0.601 0.611 0.606 0.609 0.553 0.618 ：Hμ≠：）Hμ= 0.618；（解：步骤：110618.?0X)?1~t?t(n 2（）选取检验统计量为Snt(n?1). 的拒绝域为）（3H≥|| t 0α268 ，计算知（4）n=20 α= 0.05nn11??20925?x)(xx?.x,?0.6605S??0 ， ii1n?n1i?i1?618.?00.6605)1n??)?2.0930,|t|?2.055?t(?t(n1 αα09250.22200.618 H，认为这批矩形的宽度和长度的比值为（5）故在α= 0.05下，接受0今从一批这种元件中随机抽取1000小时，3.[三] 要求一种元件使用寿命不得低于小时=10025件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ。即需μ的正态分布。试在显著水平α= 0.05下确定这批元件是否合格？设总体均值为。1000，H：μ<1000检验假设H：μ≥10:H（σ=100已知）Hμ≥1000；：μ<1000；）解：步骤：（1101000?x z?? H的拒绝域为（2）0ασn950x?，）（3n=25，α= 0.05，1000?x645.z?1??2.5??计算知050.10025 下，拒绝H，即认为这批元件不合格。（4）故在α= 0.050“这一城市的初中学生平均每一个小学校长在报纸上看到这样的报导：十一12.[] 。她认为她所领导的学校，学生看电视的时间明显小于该数字。为此8小时电视”周看56.x?=2s 她向100个学生作了调查，得知平均每周看电视的时间小时，样本标准差为这是大样本检验问题。（注：问是否可以认为这位校长的看法是对的？取α= 0.05。小时。充分由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体服从什么分布，只要方差存在，当nμ?x）大时近似地服从正态分布。ns>8 μ：≤8；H：（解：1）提出假设Hμ10x?μ近似地服从N（0n2（）当，充分 大时，1）分布sn69 μx?z≥H的拒绝域近似为（3）α0ns56.x? =2，由计算知，（4）n=100，α= 0.05，S 85?6.6451.7|t|?.5?z??050.2100 H，即认为校长的看法是不对的。（5）故在α= 0.05下，拒绝0今在生产的一批)。某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆14.[十三]

《概率论与数理统计》习题及答案第八章

《概率论与数理统计》习题及答案 第 八 章 1．设12,,,n X X X L 是从总体X 中抽出的样本，假设X 服从参数为λ的指数分布，λ未知，给定00λ>和显著性水平(01)αα<<，试求假设 00:H λλ≥的2χ检验统计量及否定域. 解 00:H λλ≥ 选统计量 2 001 22n i i X nX χλλ===∑ 记 2 1 2n i i X χ λ==∑% 则2 2 ~(2)n χ χ%，对于给定的显著性水平α，查2χ分布表求出临界值2 (2)n αχ，使 22 ((2))P n αχ χα≥=% 因 2 2χ χ>%，所以2222((2))((2))n n ααχχχχ≥?≥%，从而 2222 {(2)}{(2)}P n P n αααχ χχχ=≥≥≥% 可见00:H λλ≥的否定域为22 (2)n αχχ≥. 2．某种零件的尺寸方差为2 1.21σ=，对一批这类零件检查6件得尺寸数据（毫米）：, , , , , 。设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是毫米（0.05α=）. 解 问题是在2 σ已知的条件下检验假设0:32.50H μ= 0H 的否定域为/2||u u α≥ 其中 29.4632.50 2.45 6.771.1 X u -= = ?=- 0.025 1.96u =，因|| 6.77 1.96u =>，所以否定0H ，即不能认为平均尺寸是毫米。 3．设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为100σ=，今抽了一个容量为26的样本，计算平均值1580，问在显著性水平0.05α=下，能否认为这批

产品的指标的期望值μ不低于1600。 解 问题是在2 σ已知的条件下检验假设0:1600H μ≥ 0H 的否定域为/2u u α<-，其中 15801600 5.1 1.02100X u -==?=-. 0.05 1.64u -=-. 因为0.051.02 1.64u u =->-=-，所以接受0H ，即可以认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600. 4．一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为100σ=小时的正态分布，问这批元件是否合格（0.05α=） 解 设元件寿命为X ，则2 ~(,100)X N μ，问题是检验假设 0:1000H μ≥. 0H 的否定域为0.05u u ≤-，其中 9501000 5 2.5100 X u -= = ?=- 0.05 1.64u = 因为 0.052.5 1.64u u =-<-= 所以否定0H ，即元件不合格. 5．某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为(%)X ： 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24 设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)α= 解 问题是在2 σ未知的条件下检验假设0: 3.25H μ= 0H 的否定域为 /2||(4)t t α> 52 2 1 13.252,(5)0.00017, 0.0134i i X S X X S ===-?==∑ 0.005(4) 4.6041t = 3.252 3.25 2.240.3450.013 X t -==?= 因为

《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)第八章

习题八 1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为 4.28 4.40 4.42 4.35 4.37 问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（α=0.05）? 【解】 0010 /20.025 0.025 : 4.55;: 4.55. 5,0.05, 1.96,0.108 4.364, (4.364 4.55) 3.851, 0.108 . H H n Z Z x x Z Z Z α μμμμ ασ ==≠= ===== = - ===- > 所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化. 2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为： 3.24 3.26 3.24 3.27 3.25 设含镍量服从正态分布，问在α=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25. 【解】设

0010 /20.005 0.005 : 3.25;: 3.25. 5,0.01,(1)(4) 4.6041 3.252,0.013, (3.252 3.25) 0.344, 0.013 (4). H H n t n t x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-== == - === < 所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为3.25. 3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）. 【解】设 0010 /20.025 2 0.025 : 1.1;: 1.1. 36,0.05,(1)(35) 2.0301,36, 1.008,0.1, 6 1.7456, 1.7456(35) 2.0301. H H n t n t n x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-=== == === =<= 所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常. 4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短？设电池寿命近似地服从正态分布（取α=0.05）. 【解】

概率论第一章答案

.1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案

每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c

概率论与数理统计习题解答(第8章)

第八章 假 设 检 验 三、解答题 1. 某种零件的长度服从正态分布，方差2 = 1.21，随机抽取6件，记录其长度（毫米） 分别为 32.46，31.54，30.10，29.76，31.67，31.23 在显著性水平 = 0.01下，能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设该种零件的长度),(~2σμN X ， 则需要检验的是： 00:μμ=H 01:μμ≠H 由于2 σ已知，选取n X Z σμ0 -= 为检验统计量，在显著水平 = 0.01下，0H 的拒绝域为： }|{|}|{|005.02Z z Z z ≥=≥α 查表得 2.575829005.0=Z ，现由 n =6, 31.1266711 ∑===n i i x n x ,1.1=σ, 50.320=μ 计算得： 3.058156 1.13 2.5 -31.126670 == -= n X z σμ 005.0Z z > 可知，z 落入拒绝域中，故在0.01的显著水平下应拒绝0H ，不能认为这批零件的平均长度为32.50毫米。 EXCEL 实验结果：

2. 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例“四乙基铅中毒”患者的脉搏数如下： 54，67，68，78，70，66，67，65，69，70 已知人的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平 = 0.05下，“四乙基铅中毒”患者的脉搏 和正常人的脉搏有无显著差异？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设“四乙基铅中毒”患者的脉搏数 ),(~2σμN X ，则需要检验的是： 0:μμ=H 1:μμ≠H 由于方差未知，选取n s X T 0 μ-= 为检验统计量，在显著水平 = 0.05下，0H 的拒绝域为： )}9(|{|)}1(|{|2/05.02t t n t t ≥=-≥α 查表得 2.26215716)9(025.0=t ，现由 n =10, 67.411∑===n i i x n x , ()35.1555556111 22 ∑==--=n i i x x n s ， 计算得 2.453357610 35.1555556724.670=-= -= n s X t μ )9(025.0t t > 可知，t 落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应拒绝0H ，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异。

浙江大学《概率论、数理统计与随机过程》课后习题答案张帼奋主编第八章偶数答案

注意： 这是第一稿（存在一些错误） 第八章 假设检验习题__偶数.doc 2 14.5515x =<故将希望得到支持的假设“15μ>”作为原假设，即考虑假设问题 0H ：15μ≥，1H ：15μ< 因2σ未知，取检验统计量为 X T = ，由样本资料10n =，14.55x =， s =015μ=代入得观察值0 1.2857t =-，拒绝域为 () 0.059X W T t ??==≤-?? ??，查分布表得()0.059 1.8331t =，()00.059t t >- 故接受原假设0H ，即认为该广告是真实的。 4 (1)提出假设0H ：3000μ=，1H ：3000μ≠ 建立检验统计量 X T = ，其中03000μ= 在显著水平0.05α=下，检验的拒绝域为()0.0257 2.3646W T t ??==≥=?? ??， 由样本资料得观察值()00.0252.9727t t = =>，故有显著差异。 (2)μ的95%的置信区间为()() /2/21,1X n X n αα?? -- ??? ，由样本资料得 μ的95%的置信区间为()2925.93,2991.57 (3)(){}(){}02127 2.9720.0207P P t n t P t =-≥=≥=。 6 假设两组数据均来自正态总体，设d μ表示服用减肥药前后体重均值的差，将减肥药无效即“0d μ≤”作为原假设，即考虑假设问题0H ：0d μ≤，1H ：0d μ>

由数据资料可知减肥前后数据分散程度变化不大，故可以为两总体方差相等，因此可采用检验。 检验统计量为X Y T = ，其中( )()() 22 11222 12112n S n S S n n ω-+-=+-， 由样本资料得，61.6x =，58.6y =，1287.04s =，22 76.44s =，t 分布自由度为 12218n n +-=，检验统计量的观察值为0 0.75t =， P -值为(){}0180.750.00560.05P P t t α-=>==<=，故拒绝原假设，即认为该药 的减肥效果明显。 8 (1) 因检验统计量()()22 22 11n S n χχσ -=-，故2 σ的置信水平为95%的置信区间为()()( )()22220.0250.97511,11n S n S n n χχ??-- ? ?--?? ，将16n =， 2.2s =代入得，()2.641,11.593即为 所求。 (2) ()2 22 01n S χσ-= ，当0H 成立时，()()2 2 22 11n S n χχσ-=-，拒绝域为 ()22/21n αχχ≥-或()2 21/21n αχχ-≤-，将16n =， 2.2s =，20 4.5σ=代入得，观察 值()()( ) 2 22 00.9750.02516.13315,15χχχ=∈，故接受0H 。 10 假设0H ：A B μμ≤，1H ：A B μμ> 取检验统计量为X Y T = ，其中( )()() 22 11222 12112n S n S S n n ω-+-=+-。 当0H 成立时，()122T t n n +-，由样本资料得，检验统计量的观察值为0t ， P -值为(){}080.02670.05P P t t α-=>=<=，故拒绝原假设，即认为A B μμ>。 12 (1) 取检验统计量为2 2A B S F S =，当0H 成立时，()121,1F F n n --，拒绝域为 ()(){}/2121/2121,11,1W F F n n F F n n αα-=≥--≤--或，检验统计量的观察值

概率论课后答案

习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2 3A A ； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标. 习题1-3 1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B = . (D)()()()P A P AB P AB =+. 解 由文氏图易知本题应选(D). (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =- 3. 已知() 0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .