从一题中看解析几何中参数范围求解策略

从一

江苏省宜兴市东山高级中学 214204 陆平 刘国祥

解析几何中参数范围问题综合性强,能有机地综合中学数学各种知识,是培养学生各种数学能力的好题型,在竞赛和高考试题中屡屡出现。这类问题,实质是构造不等式,一般是利用判别式和韦达定理来处理,除了它之外还有其它策略吗?下面就从一道解析几何题中来谈谈其它几种策略。

场景问题:椭圆222

2

1x

y a

b

+

=,Ｆ１,Ｆ２焦点,椭圆的半焦距为c ,椭圆上存在一点Ｍ,ＭＦ１⊥ＭＦ2求离心率ｅ的范围. 分析:求离心率ｅ的范围实质就是构建a,b,c 一、紧扣定义,巧用均值不等式

解法一:设ＭＦ１=R 1 ,ＭＦ2=R 2 由于椭圆定义得R 1 +R 2=2a 又因为ＭＦ１⊥ＭＦ2所以ＭＦ１2+ＭＦ22=(Ｆ1Ｆ2)2,即R 12 +R 22=(2c)2 由于

2

R

R 2

R

R 2

122

2

1+≥

+所以

2

22

42

a c ≥

所以

a

c ≥

2

2又由于椭圆离心率ｅ

定义得

2

2≤e<1.

二、抓住存在, 巧用有界性 1、利用点的有界性

解法二: 设M(x 0,y 0)由题可知, ?????=+-+++=+2

2o 2o 2

o 2o

22

o 22o 2c)

(y )c x (y )c x (1b

y a x 得

2

o

x =

2

22

22b

a )

b

c (a --又因为M ．在椭圆在上．．．．．

，所以0≤2o x ≤a 2,于是得到c 2≥b 2即c 2

≥a 2

-c 2

所以

2

2≤e<1.

2、利用三角函数sin ? , cos ?的有界性

解法三: 设M(asin ?, b cos ?) 又因为ＭＦ１⊥ＭＦ2并且O 为Ｆ１,Ｆ2的中点,所以|MO|=c 于是 (asin ?)2

+(bcos ?)2

=c 2

就可以得到(acos ?)2

+b 2

(1-sin 2

?) =c

2

所以(a 2-b 2

) cos 2 ? =c 2-b 2 则cos 2

? =

2

222

b

a b c -- 有因为0≤cos ?≤1 所以0

≤

2

2

22b

a b c --≤1于是c 2≥b 2

则

2

2≤e<1.

3、利用角的有界性

解法四：设椭圆一点M(x 0,y 0) 设ＭＦ１=r 1 ,ＭＦ2=r 2由椭圆定义得r 1 +r 2=2a 则cos ∠F 1MF 2=

2

12

2

22

1r 2r )

2c (r r -+=

2

12

21221r 2r )

2c (r 2r )r (r --+=

2

12

r r b

2-1≥

2

2

12

)

2

r r (

b 2+-1 当且仅当r 1=r 2时，

即x o 2

=0时,也就是M 在Y 轴上与P 重合时 (cos ∠F 1MF 2)min =

22

a

b 2-1.

又∵x ∈(0,π)时,cosx 为减函数 它cos ∠F 1ＭF 2 取最小值时,∠F 1MF 2在(0,π) 取得最大值 ∴(∠F 1MF 2)max ≤∠F 1PF 2

∴∠F 1PF 2≥∠F 1MF 2 即∠F 1PF 2≥90o ∴90 o＞∠F 2PO ≥45 o

∴1>sin ∠F 2PO ≥

2

2 ∴ 在RT △0PF 2 中 即

2

2≤e<1.

三、转换角度,巧构函数

解法五：在解法四中，根据椭圆第二定义得ＭＦ１=r 1=a+ex 0,ＭＦ2=r 2=a-ex 0 得 cos ∠F 1MF 2=

2

12

r r b

2-1=

2

2

2

2x e a b

2--1 ∵02≤X 02≤a 2 ∴当X 02

=0时

(cos ∠F 1MF 2)min =

2

2

a

b 2-1(下同法四)

四、动中有静, 巧借形辅数 解法六: 在椭圆

2

2a

x +

2

2b

y =1上存在点M 使

∠F 1MF 2=900

即以点为原点, O M=c 为半径的⊙O 与椭圆相交,而椭圆方程中a 、b 、c 都是动态的,我们可锁定a 、b,即椭圆不动,使

得⊙O 与椭圆相交,只要⊙O 足够大即c 2

≥b 2

即2c 2

≥a 2

即

2

2≤e<1，得解。

以上是我对于从解析几何中参数范围求解一些看法,至于用那种方法更加简单,更加快捷还要具体问题具体分析。

X

X

微专题26解析几何中的最值与范围问题(教学案)

微专题26 解析几何中的最值与范围问题 1. 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆中的部分范围问题． 2. 构造函数模型研究长度及面积相关的范围与最值问题． 3. 根据条件或几何特征构造不等关系解决与离心率相关的范围问题． 4. 熟悉线段的定比分点、弦长、面积等问题的处理手段，深刻体会数形结合、等价转化的数学思想方法的运用． 考题导航 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆 2. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.则y x 的最大值为________；y －x 的最小 值为________；x 2＋y 2的最小值为________． 1. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 1. 已知A 、B 分别是椭圆x 36＋y 20＝1长轴的左、右端点，F 是椭圆的右焦点，点P 在 椭圆上，且位于x 轴的上方，PA ⊥PF.设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于MB ，则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________． 1. 已知双曲线为C ：x 24－y 2 ＝1，P 为双曲线C 上的任意一点．设点A 的坐标为(3，0)， 则PA 的最小值为________．

1. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是________． 1. 椭圆M ：x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上的任意一点， 且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2 ，3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是_______． 1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别 为F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆C 于另一点Q ，设PF 1→ ＝λF 1Q → .若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈??? ?12，22，求实数λ的取值范围．

解析几何中求参数取值范围的5种常用方法

解析几何中求参数取值范围的5种常用方法 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0） 求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解. （x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ） 令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2 又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 ∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a ∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF?FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题. 解: 依题意有 ∴tanθ=2S ∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4 又∵0≤θ≤π ∴π4 <θ< p> 例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（） A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p> 分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解. 解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a 得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0 ∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立 又∵ y02≥0 而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ） 二、利用判别式构造不等式

解析几何中的定点和定值问题精编版

解析几何中的定点定值问题 考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。 一、 定点问题 解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。 例1、已知A 、B 是抛物线y 2 =2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β= 4 π 时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。 解析： 设A （ 121 ,2y p y ），B （222 ,2y p y ），则 2 1 2tan , 2tan y p y p ==βα，代入1)tan(=+βα 得2 21214)(2p y y y y p -=+ （1） 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则 022222 =+-????=+=pb py ky px y b kx y ∴k p y y k pb y y 2,22121= += ，代入（1）式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点（-)2,2p p 说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。 例2．已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>> ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的 圆与直线0x y -相切． ⑴求椭圆C 的方程； ⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围； ⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．

2019-2020年高考数学二轮复习难点2.9解析几何中的面积,共线,向量结合的问题教学案文

2019-2020年高考数学二轮复习难点2.9解析几何中的面积，共线，向量结合的 问题教学案文 圆锥曲线是解析几何部分的核心内容,以计算量大、方法灵活、技巧性强著称,既是中学数学的重点、难点,也是历年高考的热点,常以压轴题的形式出现.而直线与圆锥曲线的位置关系,集中交汇了解析几何中直线与圆锥曲线的内容, 特别是解析几何中的面积，共线，向量结合的问题是圆锥曲线综合题，解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. 1解析几何中的面积问题 解析几何中某些问题,可以通过三角形面积的等量关系去解.研究方法:先选定一个易于计算面积的几何图形,再用不同方法计算同一图形面积,得到一个面积等式;或是用一图形面积等于其它图形面积的和或差.在教学时,适当讲解此法,是开拓学生思路,提高数学教学质量的有效手段之一. 例1【西南名校联盟高三2018年元月考试】已知抛物线2 :8C y x =上的两个动点()11,A x y ， ()22,B x y 的横坐标12x x ≠，线段AB 的中点坐标为()2,M m ，直线:6l y x =-与线段AB 的垂直平分线相交于点Q . （1）求点Q 的坐标； （2）求AQB ?的面积的最大值. 思路分析：（1）根据题设条件可求出线段AB 的斜率，进而求出线段AB 的垂直平分线方程，联立直线 :6l y x =-与线段AB 的垂直平分线方程，即可求出点Q 的坐标； （2）联立直线AB 与抛物线C 的方程，结合韦达定理及弦长公式求出线段AB 的长，再求出点Q 到直线AB 的距离，即可求出AQB S 的表达式，再构造新函数，即可求出最大值.

参数方程与齐次化方法在解析几何问题中的应用探究

参数方程与齐次化方法在解析几何问题中的应用探究 复旦实验中学 袁青 2013年高考上海理科试卷第22题为解析几何问题，研究讨论直线与曲线位置关系问题，很多学生看着感觉能做，一做却又做错．其实该题并不用于高三阶段一般的解析几何训练题，简单地将问题转化为联立直线与曲线方程，对方程的根进行讨论，与一般直线与圆锥曲线的关系练习题中联立方程之后直接利用根与系数关系研究弦长、面积、定点等问题有是有很大区别的．尤其在（3）中，如果没有办法利用图像先得知1k >，则会很难寻找到与1k ≤的这样一对矛盾关系，而这体现了学生对“解析几何问题毕竟是个几何问题”这一实质的理解．本文对此题解法做进一步探究，研究一下在把握住“解析几何问题毕竟是个几何问题”这一大原则的基础上，参数方程和齐次化方法可能给解题带来的方便． 考题再现：（2013年理科第22题，文科第23题） 如图，已知双曲线1C ：2 212 x y -=，曲线2C ：1y x =+．P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、 2C 都有公共点，则称P 为“12C C -型点”． （1）在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时，要使 用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程 （不要求验证）； （2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证：1k >，进而证 明原点不是“12C C -型点”； （3）求证：圆2212 x y +=内的点都不是“12C C -型点”． 标准答案所给解法：（1）1C 的左焦点为()，写出的直线方程可以是以下形式： x = (y k x = ，其中k ≥ （2）因为直线y kx =与2C 有公共点，所以方程组1y kx y x =??=+?有实数解，因此1kx x =+，得11x k x +=>． 若原点是“12C C -型点”，则存在过原点的直线与1C 、2C 都有公共点． 考虑过原点与2C 有公共点的直线0x =或y kx =（1k >）． 显然直线0x =与1C 无公共点． 如果直线为y kx =（1k >），则由方程组2212 y kx x y =???-=??得222012x k =<-，矛盾． 所以，直线y kx =（1k >）与1C 也无公共点． 因此，原点不是“12C C -型点”．

高三数学选择填空题压轴专题5.4 解析几何中的定值与定点问题(教师版)

一．方法综述 解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下； （1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性； 一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果； 另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。 （2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。 二．解题策略 类型一定值问题 【例1】（2020?青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（） A．B．C．2p D． 【答案】D 【解析】分析：直接利用直线和曲线的位置关系式的应用建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣），

浙江高考数学复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题学案

第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题 高考定位 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求. 真 题 感 悟 (2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2 ＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围； (2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO → ，求证：1λ＋1μ 为定值. 解 (1)因为抛物线y 2 ＝2px 过点(1，2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2 ＝4x . 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0). 由? ????y 2 ＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2 ×1>0， 解得k <0或0

解析几何三角形面积问题答案

解析几何三角形面积问题答案 1、解: (Ⅰ)由题意知，曲线C 是以12,F F 为焦点的椭圆. ∴2,1,a c ==2 3b ∴= 故曲线C 的方程为： 2 2 14 3 x y + =. 3分 （Ⅱ）设直线l 与椭圆 2 2 14 3 x y + =交点1122(,),(,)A x y B x y , 联立方程22 3412 y x b x y =-+??+=?得22 784120x bx b -+-= 4分 因为2 48(7)0b ?=->，解得2 7b <，且2 12128412 ,7 7 b b x x x x -+= = 5分 点O 到直线l 的距离d = 6分 AB = = 9分 ∴12 AO B S ?=? = 10分 ≤ 当且仅当227b b =-即2 772 b = <时取到最大值. ∴A O B ? . 12分 2、解：（1）依题意可得???? ?-= -+= +, 12,12c a c a 解得.1,2==c a 从而.1,22 2 2 2 =-==c a b a 所求椭圆方程为 .12 2 2 =+x y …………………4分 （2）直线l 的方程为.1+=kx y 由?????=++=,12 , 12 2x y kx y 可得() .01222 2=-++kx x k 该方程的判别式△=()2 2 2 88244k k k +=++＞0恒成立. 设()(),,,,2211y x Q y x P 则.2 1,222 212 21+- =+-=+k x x k k x x ………………5分 可得().2 4 22 2121+= ++=+k x x k y y 设线段PQ 中点为N ，则点N 的坐标为.22 , 22 2?? ? ??++-k k k ………………6分

解析几何最值问题

解析几何最值问题的赏析 丹阳市珥陵高级中学数学组：李维春 教学目标：１．掌握解析几何中图形的处理方法和解析几何中变量的选择； ２．掌握利用基本不等式和函数的思想处理最值问题． 重点难点：图形的处理和变量的选择及最值的处理． 问题提出： 已知椭圆方程：14 32 2=+y x ，A ，B 分别为椭圆的上顶点和右顶点。过原点作一直线与线段AB 交于点G ，并和椭圆交于E 、F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值。 问题分析： 1、 图形的处理： 不规则图形转化为规则图形（割补法） ABF ABE AENF S S S ??+= BEF AEF AENF S S S ??+= 2、 变量的选择： （1） 设点：设点),(00y x E 则),(00y x F --，可得到二元表达式； （2） 设动直线的斜率k （可设AF,BF,EF,AE,BE 中任意一条直线的斜率），可得 一元表达式。 3，最值的处理方法： （1） 一元表达式可用基本不等式或函数法处理； （2） 二元表达式可用基本不等式或消元转化为一元表达式。 X

问题解决： 解法一： 由基本不等式得62 24)34(2322 02000==+≤+=y x y x S 时取“＝” 当且仅当0032 y x = 解法二： 00000 0(,),(,),(0,0)x y F x y x y -->>设E ，四边形的面积为S (0,2),A B 因为,12 y += 20x +-=即1d =点E 到直线的距离：00( ,)x y 因为E 在直线AB 的上方，0020x ->所以1d =所以2d =点F 到直线的距离：00(,)x y --因为F 在直线的下方2d =所以)(21)(212121d d AB d AB d AB S +=+=002S x =+所以AB =因为00(,)F x y 又因为22134 x y +=在椭圆上22004312x y +=所以max S =所以

解析几何中求参数取值范围的方法_答题技巧

解析几何中求参数取值范围的方法_答题技巧 近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-aa,-bb,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆x2a2 + y2b2 = 1 (a0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0) 求证:-a2-b2a a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解. 解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 ) 令y=0得x0=x1+x22 a2-b2a2 又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 -aa, -aa, x1x2 以及-ax1+x22 a -a2-b2a a2-b2a 例2 如图,已知∵OFQ的面积为S,且OFFQ=1,若12 2 ,求向量OF与FQ的夹角的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角与变量S的关系,利用S的范围解题.

解析几何中的定点、定值问题

解析几何中的定点和定值问题 【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不 变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用． 【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学方法】讨论式 【教学过程】 一、基础练习 1、过直线4x =上动点P 作圆224O x y +=：的切线PA PB 、，则两切点所在直线 AB 恒过一定点．此定点的坐标为_________． 【答案】(1,0) 【解析】设动点坐标为(4,t P ），则以OP 直径的圆C 方程为：(4)()0x x y y t -+-= ， 故AB 是两圆的公共弦，其方程为44x ty +=． 注：部分优秀学生可由200x x y y r += 公式直接得出．

令440 x y -=?? =? 得定点(1,0). 2、已知PQ 是过椭圆22:21C x y +=中心的任一弦，A 是椭圆C 上异于P Q 、的 任意一点．若AP AQ 、 分别有斜率12k k 、 ，则12k k ?=______________． 【答案】-2 【解析】设00(,),(,)P x y A x y ，则(,)Q x y -- 22 0001222 000y y y y y y k k x x x x x x -+-?=?= -+-， 又由A 、P 均在椭圆上，故有：22 002221 21x y x y ?+=??+=?? ， 两式相减得2 2 2 2 002()()0x x y y -+-= ，22 0122202y y k k x x -?==-- 3、 过右焦点F 作不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点， AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则_______.1=24 e 【解析】 设直线AB 斜率为k ，则直线方程为()3y k x =-,

解析几何中的定值定点问题

解析几何中的定值定点问题 一、定点问题 【例1】．已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>> ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆 与直线0x y -+=相切． ⑴求椭圆C 的方程； ⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围； ⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点． 解：⑴由题意知c e a ==2222 2234c a b e a a -=== ，即224a b = ，又因为1b ==，所以22 4,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214 x y +=． ⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22 (4)14 y k x x y =-???+=??消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ?=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意， 所以直线PN 的斜率的取值范围是0k << 或0k <． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为21 2221 ()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221 () y x x x x y y -=- +，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ② 由得①2212122232644 ,4141k k x x x x k k -+== ++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)． 【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨 迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 解：⑴∵点M 到(),0 ，) ,0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为的椭圆，其方程为2 214 x y +=．

解析几何范围最值问题(教师)解答

第十一讲 解析几何范围最值问题 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、 范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系?建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适 变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据 问题的实际情况灵活处理? 一、几何法求最值 【例1】 抛物线的顶点 0在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上，过点 M(0, - 2)作直线I 与抛物线相交于 A, B 两点，且满足+= (-4,- 12) ? (1)求直线I 和抛物线的方程; (2)当抛物线上一动点 P 从点A 运动到点B 时，求△ ABP 面积的最大值. ［满分解答］(1)根据题意可设直线I 的方程为y= kx-2，抛物线方程为x 2 = — 2py(p> 0). y = kx-2, 2 由 2 得 x + 2pkx — 4p= 0 x =- 2py, 设点 A(X 1, y”, B(x 2, y 2),贝U X 1 + X 2= — 2pk,力 + y 2= k(x j + X 2) — 4 =- 2pk 2 -4. —2pk=- 4, 所以匕(-4 ，-12) ,所以-2pk 2-4 =- 12, ⑵设P(x o , y o )，依题意，知当抛物线过点 P 的切线与I 平行时，△ ABP 的面积最大. 对 y = — *2 求导，得 y'= - x ，所以一X o = 2, 即 卩 x o =- 2, y o =- -x o = - 2, 即 卩 P( — 2,- 2). 此时点p 到直线I 的距离d = 寺7 =聶=呼 得 X 2 + 4x — 4 = o ，贝U X 1 + X 2 =— 4, X 1X 2=— 4, |AB|= . 1 + k 2 - . X 1 + X 2 2-4X 1X 2= 1 + 22 - - 4 2 -4 - - 4 = 4 1o. 于是，△ ABP 面积的最大值为4 _1o X 4 5 5 = 8 , 2. 、函数法求最值 点Q(o,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆C 的方程; 解得 P = 1， k= 2. 故直线I 的方程为y = 2x- 2,抛物线方程为x 2 =- 2y. 由辽2X — 2 , x =- 2y, 【示例】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2 C ：字+器=1(a>b>o)的离心率 e= *危，且椭圆C 上的点到 ⑵在椭圆C 上，是否存在点 M(m, n)，使得直线I: mx+ ny= 1与圆O: x 2 + y 2 = 1相交于不同的两点 A 、B, OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的厶 OAB 的面积；若不存在，请说明理由. 2 2 C : 3?+菇1 即 &3y 2=3b 2 , ⑴由e=a= a= 3b,椭圆

高中数学教学论文在解析几何中求参数范围的种方法

从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景 解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。 背景之一：题目所给的条件 利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。 例1：椭圆),0(1 22 22为半焦距c b c a b y a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点P(x , y )为其 上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。 解：设P(x 1, y )，∠F 1PF 2是钝角?cos∠F 1PF 2 =||||2||||||2 12 212221PF PF F F PF PF ?-+ 222212221)(||||||0y c x F F PF PF ++?<+?<2)(c x -+2 2224y x c y +?<+22 22222222 2 )(x a b a c x a a b x c -?<-+?<)(2 222222b c c a x b c -

解析几何中的与三角形面积相关的问题

解析几何中的与三角形面积相关的问题 类型 对应典例 椭圆中有关三角形的面积最值 典例1 抛物线中有关三角形的面积最值 典例2 椭圆中有关三角形的面积的取值范围 典例3 抛物线中有关三角形的面积的取值范围 典例4 椭圆中由三角形面积问题求参数值或范围 典例5 抛物线中由三角形面积问题求参数值或范围 典例6 椭圆中由三角形面积问题求直线方程 典例7 抛物线中由三角形面积问题求直线方程 典例8 【典例1】已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2 2 ，且与抛物线x y =2交于M ，N 两点，OMN ?（O 为坐标原点）的面积为22 （1）求椭圆C 的方程； （2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点）1F ，2F 为左、右焦点，2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ?面积的最大值． 【解析】（1）椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线x y =2交于M ，N 两点， 可设(M x x ，(,)N x x -， ∵OMN ?的面积为22 ∴22x x =2x =，∴2)M ，(2,2)N ， 由已知得222222 242 1c a a b a b c ?=? ??+=??=+??? ，解得22a =2b =，2c =，

∴椭圆C 的方程为22 184 x y +=. （2）①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A ，(2,B ，(2,C -，故 1 42 ABC ?=?=； ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立方程22(2)18 4y k x x y =-???+=??，化简得()2222 218880k x k x k +-+-=， 则()()()2222 64421883210k k k k ?=-+-=+>， 2122821k x x k +=+，212288 21 k x x k -?=+， ||AB = = 22121k k +=+， 点O 到直线02=-- k y kx 的距离d = = ， 因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d = ， ∴1 ||22ABC S AB d ?= ?2211221k k ??+=? ?+?? = ∵ () () ()()22222 2 2 2211211k k k k k k k ++= ?? +++??() () 222211 4 41k k k k += +，又221 k k ≠+ ，所以等号不成立. ∴ ABC S ?=< 综上，ABC ?面积的最大值为 【典例2】已知抛物线()02:2>=p py x C ，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，

解析几何中的最值问题.

解析几何中的最值问题 解析几何中的最值问题是很有代表性的一类问题，具有题形多样，涉及知识面广等特点。解决这类问题，需要扎实的基础知识和灵活的解决方法，对培养学生综合解题能力和联想思维能力颇有益处。本文通过实例，就这类问题的解法归纳如下： 一、 转化法 例1、 点Q 在椭圆 22 147 x y +=上，则点Q 到直线32160x y --=的距 离的最大值为 （ ） A B C D 分析：可转化为求已知椭圆平行于已知直线的切线，其中距离已知直线较远的一条切线到该直线的距离即为所求的最大值。 解：设椭圆的切线方程为 3 2 y x b =+，与 22 147 x y +=消去y 得 224370x bx b ++-=由?=01272=+-b 可得4(4)b b ==-舍去，与 32160x y --=平行且距离远的切线方程为3280x y -+= 所以所求最大值为d = = ，故选C 二 、配方法 例2、 在椭圆 22 221x y a b +=的所有内接矩形中，何种矩形面积最大？ 分析：可根据题意建立关系式，然后根据配方法求函数的最值。 解：设椭圆内接矩形在第一象限的顶点坐标为A (),x y ，则由椭圆对称性，矩形的长为2x ，宽为2y ，面积为4xy ，与 22 221x y a b +=消去 y 得： 22b S x a =?=

可知当x a = 时，max 2S ab = 三、 基本不等式法 例3、 设21,F F 是椭圆14 22 =+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF ?的最大值是 解： 124PF PF += 由12PF PF +≥得 44 )(2 2121=+≤ ?PF PF PF PF 即21PF PF ?的最大值是4 。 四、 利用圆锥曲线的统一定义 例4 、设点A (-，P 为椭圆22 11612 x y +=的右焦点，点 M 在椭 圆上，当取2AM PM +最小值时，点M 的坐标为 （ ） A (- B (- C D 解：由已知得椭圆的离心率为1 2 e = ， 过M 作右准线L 的垂线，垂足为N ，由圆锥曲线的统一定义得 2MN PM = 2AM PM AM MN ∴+=+ 当点M 运动到过A 垂直于L 的直线上时， AM MN +的值最小，此时点M 的坐标为，故选 C 五、 利用平面几何知识 例5 、平面上有两点(1,0),(1,0)A B -，在圆22 (3)(4)4x y -+-=上取一点 P ，求使22 AP BP +取最小值时点P 的坐标。

解析几何中定值与定点问题

解析几何中定值与定点问题 【探究问题解决的技巧、方法】 (1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究． 【实例探究】 题型1：定值问题: 例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的 焦点，离心率等于 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 为定值. 解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b= 1. ∴椭圆C的方程为 （II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为 易知F点的坐标为（2，0）. 将A点坐标代入到椭圆方程中，得

去分母整理得 方法二：设A、B、M点的坐标分别为 又易知F点的坐标为（2，0）. 显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 又 例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0). 1）求椭圆方程 2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值 （1）a2-b2=c2 =1 设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1 将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b2-9=0 解得b2=3 （另一值舍） 所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1 （2） 设AE斜率为k 则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①

解析几何的范围问题

A ．() 1,2 B ． ( ) 2,2 C ．()1,2 D ． ( ) 2,+∞ 2．（2020·湖北高考模拟（理））设椭圆222 14 x y m +=与双曲线22 214x y a -=在第一象限的交点为12,,T F F 为其共同的左右的焦点，且14TF <，若椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则22 12e e +的取值范围为 A ．262, 9? ? ??? B ．527, 9?? ??? C ．261, 9?? ??? D ．50,9?? +∞ ??? 3.（2020六安市第一中学模拟）点在椭圆上， 的右焦点为，点在圆 上，则 的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 类型二 通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围 【例2】（2020·玉林高级中学高考模拟（理））已知椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为,A B ，F 为椭圆 C 的右焦点，圆22 4x y +=上有一动点P ，P 不同于,A B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则PB QF k k 的取 值范围是（ ） A ．33,0,44????-∞- ? ? ????? B ．()3,00,4??-∞? ??? C ．()(),10,1-∞-? D ．()(),00,1-∞ 【举一反三】 1.抛物线上一点 到抛物线准线的距离为 ，点关于轴的对称点为，为坐标原点， 的内切圆与 切于点，点为内切圆上任意一点，则 的取值范围为__________． 2.（2020哈尔滨师大附中模拟）已知直线 与椭圆： 相交于，两点，为坐标原点. 当的面积取得最大值时，（ ）A ． B ． C ． D ． 类型三 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围

解析几何题型2——《解析几何中的定值定点问题》

解析几何题型2——《解析几何中的定值定点问题》 题型特点： 定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点。解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。这类试题考查的是在运动变化过程中寻找不变量的方法。 典例 1 如图，已知双曲线)0(1:222 >=-a y a x C 的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，OB AB ⊥，OA BF //（O 为坐标原点）。 （1）求双曲线C 的方程； （2）过C 上一点),(00y x P 的直线1: 020=-y y a x x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，NF MF 恒为定值，并求此定值。 典例2 已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8。 （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2）已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点。

典例3 已知直线6:+=x y l ，圆5:2 2=+y x O ，椭圆)0(1:2222>>=+b a b x a y E 的离心率33=e ，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等。 （1）求椭圆E 的方程； （2）过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值。 典例4 椭圆的两焦点坐标分别为)0,3(1-F 和)0,3(2F ,且椭圆过点)23,1(- 。 （1）求椭圆方程； （2）过点)0,5 6(-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断MAN ∠的大小是否为定值，并说明理由。

解析几何中的最值问题教案

解析几何中的最值问题 一、教学目标 解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景，以函数和不等式等知识作为工具，具有较强的综合性，这类问题的解决没有固定的模式，其解法一般灵活多样，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成为了数学高考中的难关。基本内容：有关距离的最值，角的最值，面积的最值。 二、教学重点 方法的灵活应用。 三、教学程序 1、基础知识 探求解析几何最值的方法有以下几种: (1)函数法（设法将一个较复杂的最值问题，通过引入适当的变量能归为某初等函数（常见）的有二次函数和三角函数）的最值问题，然后通过对该函数单调性和最值的考察使问题得以解决。 (2)不等式法：（常用的不等式法主要有基本不等式等） (3)曲线定义法：利用圆锥曲线的定义刻画了动点与动点（或定直线）距离之间的不变关系，一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可以考虑该方法 （4）平面几何法：有些最值问题具有相应的几何意义（如分式最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式等等） （1）函数法 例1、已知P 点在圆()2241x y +-=上移动，Q 点在椭圆2 219 x y +=上移动,试求PQ 的最大值。 分析：两个都是动点，看不出究竟，P 、Q 在什么位置时|PQ|最大 故先让Q 点在椭圆上固定，显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大，因此要求|PQ| 的最大值，只要求|OQ|的最大值。 说明：函数法其我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不易忽视。 例2 在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 是椭圆2 213 x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值 （2）不等式法