1．数列的概念

（1）通项公式、递推公式的定义： （2）数列的函数特征与图象表示：

（3）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

（4）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1

1(1)(2)n n

n S n a S S n -=?=?-?≥

例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式 练习

1．数列{}n a 中，已知21

()3

n n n a n N ++-=

∈ （1）写出,1a ，2a ，3a ，1n a +，2n a ； （2）2

79

3

是否是数列中的项？若是，是第几项？ 2、由前几项猜想通项：

根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.

3.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（ ），其通项公式为 .

A ．40个

B ．45个

C ．50个

D ．55个

等差数列

1、等差数列定义：

2、等差数列的通项公式：

3、等差中项的概念：

2条直线相交，最多有1

个交点

3条

直

线相交，最多有

3个交点

4条直

线

相交，最多有

6个交点

（1） （4）

（7）

（ ）

（ ）

例：设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （ ）

A ．120

B ．105

C ．90

D ．75

4、等差数列的性质：

（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m

a a d n m

-=

-()m n ≠；

（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 5、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+n d

a ）（2

n 2112-+=。(),(2为常数B A Bn

An S n +=?{}n a 是等差数列 )

公式：2

)(2)()1(1n

a a n a a S m n m n n --+=+=

例：1.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=

（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=

4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）

A.13项

B.12项

C.11项

D.10项 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则

9

5

S S = 7.已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( )

313

2

-

-

．．B A C.31 D.3

2

8．设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛

n

S n

｝的前n 项和，求T n 。

6.结论：对于一个等差数列：

（1）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 偶-S 奇nd =； ② 1

n n S a

S a +=奇偶； （2）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 奇-S 偶n a a ==中；②1

S n

S n =-奇偶。

7.和的性质：对与一个等差数列，n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。

例：1.等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）

A.130

B.170

C.210

D.260

2．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 3.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== 4设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若

36S S ＝13，则612

S

S ＝ A ．

310 B ．13 C ．1

8 D ．

1

9

8．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法：)221*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列 ③通项公式法：),(为常数b k b

kn a n +=?{}n a 是等差数列

④前n 项和公式法：),(2为常数B A Bn

An S n +=?{}n a 是等差数列

例：1.已知一个数列}{n a 的前n 项和422+=n s n ，则数列}{n a 为（ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 2.已知一个数列}{n a 的前n 项和22n s n =，则数列}{n a 为（ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 3.已知一个数列}{n a 满足0212=+-++n n n a a a ，则数列}{n a 为（ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

4设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2

，则{a n }是（ ）

A.等比数列，但不是等差数列

B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列

D.既非等比数列又非等差数列 5.已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(2

1

-++=n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式

9.数列最值

（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；

（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值； 可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②或者求出{}n a 中的正、负分界项，即： 若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥??

≤?或10

n n a a +≤??≥?。

例：1．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大。

2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 001213123<>=S S a ，， ①求出公差d 的范围，

②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由。

3.已知}{n a 是等差数列，其中131a =，公差8d =-。 （1）数列}{n a 从哪一项开始小于0？

（2）求数列}{n a 前n 项和的最大值，并求出对应n 的值．

4.已知}{n a 是各项不为零的等差数列，其中10a >，公差0d <，若100S =,求数列}{n a 前n 项和的最大值．

等比数列

．等比数列定义

1在等比数列{}n a 中

,712,a q =则19_____.a =

2.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项和为21，则345a a a ++=（ ） A 33 B 72 C 84 D 189 。等比中项：

例：

1.2+

2( )

2.设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，

则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．2744

n n +

B ．2533n n +

C ．2324n n

+ D ．2

n n +

。等比数列的基本性质，),,,(*∈N q p n m 其中 （1）q p n m a a a a q p n m ?=?+=+，则若 （2）)(2

*+--∈?==

N n a a a a a q

m n m n n m

n m

n ， （3）{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）{}n a 既是等差数列又是等比数列?{}n a 是各项不为零的常数列.

例：1．在等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程2

2510x x ++=的两个根,则47a a ?=( )

5()2A -

()2

B 1()2

C - 1()2D

2.在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，， ①求n a

②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++=

3.等比数列{}n a 的各项为正数，且5647313231018,log log log a a a a a a a +=+++=则（ ）

A ．12

B ．10

C ．8

D ．2+3log 5

4.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n

n a a n -?=≥，则当1n ≥时，

2123

221l o g l o g l o g n a a a -+++= （ ）

A. (21)n n -

B. 2(1)n +

C. 2n

D. 2(1)n -

。前n 项和公式

)1(11)1()1(111

≠??

?

??--=

--==q q q

a a q q a q na S n n n

例 1.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已,62=a 30631=+a a ，求n a 和n S

2设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ ） A ．

2(81)7

n

- B ．12(81)7n +- C ．32(81)7n +- D ．4

2(81)7

n +-

3.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 6

3S S =3 ，则 69S S =

A. 2

B. 73

C. 8

3 D.3

4.一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（ ） A ．83 B ．108 C ．75 D ．63

.等比数列的判定法 （1）定义法：

?=+（常数）q a a n

n 1

{}n a 为等比数列； （2）中项法：?≠?=++)0(2

2

1n n n n a a a a {}n a 为等比数列；

（3）通项公式法：??=为常数）q k q k a n n ,({}n a 为等比数列； （4）前n 项和法：?-=为常数）（q k q k S n n ,)1({}n a 为等比数列。

?-=为常数）（q k kq k S n n ,{}n a 为等比数列。

例：1.已知数列}{n a 的通项为n n a 2=，则数列}{n a 为 （ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 2.已知数列}{n a 满足)0(2

2

1≠?=++n n n n a a a a ，则数列}{n a 为 （ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 3.已知一个数列}{n a 的前n 项和1n 22+-=n s ，则数列}{n a 为（ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

4已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．

求数列通项公式方法 （1）．公式法（定义法）

根据等差数列、等比数列的定义求通项

例：1已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ， 求n a ；

2.已知数列}{n a 满足)1(1,211≥=-=-n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；

3.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且 （*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；

4. 已知数列}{n a 满足21

1,

21

1=-

=+n

n a a a ，求数列{}n a 的通项公式； 5.设数列}{n a 满足01=a 且

111

111=---+n

n a a ，求}{n a 的通项公式

6. 已知数列{}n a 满足112,12

n

n n a a a a +=

=+，求数列{}n a 的通项公式。 7.等比数列}{n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，622

39a a a =，求数列}{n a 的通项公式 8. 已知数列}{n a 满足)1(3,211≥===n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；

9.已知数列}{n a 满足2

122142++=?==n n n a a a a a 且， （*

∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；

10.已知数列}{n a 满足，21=a 且1152(5)n n n n a a ++-=-（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式； 11. 已知数列}{n a 满足，21=a 且115223(522)n n n n a a +++?+=+?+（*∈N n ），求数列{}n a 的通

项公式；

12.数列已知数列{}n a 满足111

,41(1).2

n n a a a n -==+>则数列{}n a 的通项公式= （2）累加法

1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+

若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则

21321(1)

(2)

()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-

=

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=∑

例：1.已知数列{}n a 满足1

41,2

12

11-+

==

+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。

2. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

3.已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

4.设数列}{n a 满足21=a ，12123-+?=-n n n a a ，求数列}{n a 的通项公式 （3）累乘法

适用于： 1()n n a f n a +=

若

1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n

a a

a

f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1

11

1()n

n k a a f k a +==?∏

例：1. 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

2.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n

a 11+=

+，求n a 。 3.已知31=a ，n n a n n a 2

3131

+-=+ )1(≥n ，求n a 。 （4）待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+ 解题基本步骤： 1、确定()f n

2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为

3、列出关系式)]([)1(2211n f a n f a n n λλλ+=+++

4、比较系数求1λ，2λ

5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式

6、解得数列{}n a 的通项公式

例：1. 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

2.（2006，重庆,文,14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项

n a =_______________

3.（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式；

4.已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：设1152(5)n n n n a x a x +++?=+?

5. 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：设1123(2)n n n n a x y a x y +++?+=+?+

6.已知数列{}n a 中，651=

a ,1

1)2

1(31+++=n n n a a ，求n a 7. 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++

8. 已知数列{}n a 满足1112431n n n a a a -+=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++

其中s ，t 满足?

??-==+q st p

t s

9. 已知数列{}n a 满足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=，求数列{}n a 的通项公式。 （5）递推公式中既有n S

分析：把已知关系通过11,1

,2

n n n S n a S S n -=?=?

-≥?转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采用相应的方法求

解。

1.数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11

3

n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．

2.已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．

3．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(2

1

-++=n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式

4. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足1

(1)(2)6

n n n S a a =++，且249,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式。 （6）根据条件找1+n 与n 项关系

例1.已知数列}{n a 中，n n a C a a 1,111-

==+，若2

1,25-==n n a b C ，求数列}{n b 的通项公式 2.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，

11111,(1)2n n n

n a a a n ++==++ （I ）设

n

n a b n =

，求数列{}n b 的通项公式

（7）倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例：1. 已知数列{}n a 满足112,12

n

n n a a a a +=

=+，求数列{}n a 的通项公式。 （8）对无穷递推数列

消项得到第1+n 与n 项的关系

例：1. （2004年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足

11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。

2.设数列{}n a 满足21

1233333

n n n a a a a -++++=

…，a ∈*

N ．求数列{}n a 的通项； （8）、迭代法

例：1.已知数列{}n a 满足3(1)2

115n

n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为3(1)21n

n n n a a ++=，所以

121

2(2)(1)

32(2)(1)

3(3)(2)(1)112(3)(323(1)232

3(1)2

12

2

3(2)23(1)23

3(2)(1)23

323(2)(1)21

[] []

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a

----+---+--+-+--++

+-+?-??-??----?-??---?-??-?-??======

=2)(1)

(1)1

2

3

!21 n n n n n a -+---??=

又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12

3!2

5n n n n n a --??=。

数列求和

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ?????≠--==)1(1)1()

1(11q q

q a q na S n n 公比含字母时一定要讨论

例：1.已知等差数列}{n a 满足,11=a 32=a ，求前n 项和}{n S

2. 等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12

3.已知等比数列}{n a 满足,11=a 32=a ，求前n 项和}{n S

4.设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ ）

A.

2(81)7n - B.12(81)7n +- C.32

(81)7n +- D.

4

2(81)7

n +- 2．错位相减法求和：如：{}{}.

,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 例：1．求和2

1123n n S x x nx -=+++

+

2.求和：n n a

n a a a S ++++=

32321 3.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ??

?

???

的前n 项和n S ． 3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项：

1

11)1(1+-=+n n n n )

121

121(21)12)(12(1+--=+-n n n n )211(21)2(1+-=+n n n n ])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n

!)!1(!n n n n -+=?

)!1(1!1)!1(+-=+n n n n i

n i n i n C C C 1

11----=

数列{}n a 是等差数列，数列?

??

??

?

+11n n a a 的前n 项和

例：1.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1

(1)

n a n n =

+，则5S 等于（ B ）

A ．1

B ．

56 C ．16 D ．130

2.已知数列}{n a 的通项公式为1

(1)

n a n n =

+，求前n 项的和；

3.已知数列}{n a

的通项公式为n a =

n 项的和．

4.已知数列}{n a 的通项公式为n a ＝12n +，设1324

2

11

1

n n n T a a a a a a +=+++

???，求n T ．

5．求)(,32114321132112111*N n n

∈+++++++++++++++

。 6．已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令)(lg N n a a b n n n ∈?=，求数列{}n b 的前n 项和n S 4．倒序相加法求和

综合练习：

1.设数列}{n a 满足01=a 且111

111=---+n

n a a

（1）求}{n a 的通项公式 （2）设,11

n

a b n n +-=

记∑==n

k k n b S 1

，证明：1

2.等比数列}{n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，622

39a a a = （1）求数列}{n a 的通项公式

（2）设n a

a a n

b 333log ...log log 21+++=，求数列}1

{

n

b 的前n 项和 3.已知等差数列}{n a 满足02=a , 1086-=+a a . (1)求数列}{n a 的通项公式及n S （2）求数列}2{

1

-n n

a 的前n 项和 4.已知两个等比数列}{n a ，}{n

b ，满足)0(1>=a a a ，111=-a b ，222=-a b ，333=-a b （1）若,1=a 求数列}{n a 的通项公式 （2）若数列}{n a 唯一，求a 的值

5.设数列}{n a 满足21=a ，12123-+?=-n n n a a （1）求数列}{n a 的通项公式

（2）令n n na b =，求数列}{n b 的前n 项和

6.已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2

+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；

（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项； （3） 记b n =

211++

n n a a ，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +1

32

-n T =1. 7.已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ，}{n a 的前n 项和n S （1）求n a 及n S （2）令1

12

-=

n n a b （+

∈N n ），求数列}{n b 前n 项和n T

求M 的最小值，若不存在，试说明理由。