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数列题型完美总结

1.数列的概念

(1)通项公式、递推公式的定义: (2)数列的函数特征与图象表示:

(3)数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;②按数列项与项之间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。

(4)数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系:1

1(1)(2)n n

n S n a S S n -=?=?-?≥

例:已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ,求数列}{n a 的通项公式 练习

1.数列{}n a 中,已知21

()3

n n n a n N ++-=

∈ (1)写出,1a ,2a ,3a ,1n a +,2n a ; (2)2

79

3

是否是数列中的项?若是,是第几项? 2、由前几项猜想通项:

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根据下面的图形及相应的点数,在空格及括号中分别填上适当的图形和数,写出点数的通项公式.

3.观察下列各图,并阅读下面的文字,像这样,10条直线相交,交点的个数最多是( ),其通项公式为 .

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数列题型完美总结

A .40个

B .45个

C .50个

D .55个

等差数列

1、等差数列定义:

2、等差数列的通项公式:

3、等差中项的概念:

2条直线相交,最多有1

个交点

3条

线相交,最多有

3个交点

4条直

线

相交,最多有

6个交点

(1) (4)

(7)

( )

( )

例:设{}n a 是公差为正数的等差数列,若12315a a a ++=,12380a a a =,则111213a a a ++= ( )

A .120

B .105

C .90

D .75

4、等差数列的性质:

(1)在等差数列{}n a 中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列{}n a 中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列; (3)在等差数列{}n a 中,对任意m ,n N +∈,()n m a a n m d =+-,n m

a a d n m

-=

-()m n ≠;

(4)在等差数列{}n a 中,若m ,n ,p ,q N +∈且m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+; 5、等差数列的前n 和的求和公式:11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+n d

a )(2

n 2112-+=。(),(2为常数B A Bn

An S n +=?{}n a 是等差数列 )

公式:2

)(2)()1(1n

a a n a a S m n m n n --+=+=

例:1.如果等差数列{}n a 中,34512a a a ++=,那么127...a a a +++=

(A )14 (B )21 (C )28 (D )35 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知23a =,611a =,则7S 等于( ) A .13 B .35 C .49 D . 63 3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若972S =,则249a a a ++=

4.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )

A.13项

B.12项

C.11项

D.10项 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若=+++=118521221a a a a S ,则 6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若535a a =则

9

5

S S = 7.已知{}n a 数列是等差数列,1010=a ,其前10项的和7010=S ,则其公差d 等于( )

313

2

-

-

..B A C.31 D.3

2

8.设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列{

n

S n

}的前n 项和,求T n 。

6.结论:对于一个等差数列:

(1)若项数为偶数,设共有2n 项,则①S 偶-S 奇nd =; ② 1

n n S a

S a +=奇偶; (2)若项数为奇数,设共有21n -项,则①S 奇-S 偶n a a ==中;②1

S n

S n =-奇偶。

7.和的性质:对与一个等差数列,n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。

例:1.等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( )

A.130

B.170

C.210

D.260

2.已知等差数列{}n a 的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为 3.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,971043014S S S S ,则,=-== 4设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若

36S S =13,则612

S

S = A .

310 B .13 C .1

8 D .

1

9

8.判断或证明一个数列是等差数列的方法:

①定义法:)常数)(*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法:)221*++∈+=N n a a a n n n (?{}n a 是等差数列 ③通项公式法:),(为常数b k b

kn a n +=?{}n a 是等差数列

④前n 项和公式法:),(2为常数B A Bn

An S n +=?{}n a 是等差数列

例:1.已知一个数列}{n a 的前n 项和422+=n s n ,则数列}{n a 为( )

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 2.已知一个数列}{n a 的前n 项和22n s n =,则数列}{n a 为( )

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 3.已知一个数列}{n a 满足0212=+-++n n n a a a ,则数列}{n a 为( )

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

4设S n 是数列{a n }的前n 项和,且S n =n 2

,则{a n }是( )

A.等比数列,但不是等差数列

B.等差数列,但不是等比数列

C.等差数列,而且也是等比数列

D.既非等比数列又非等差数列 5.已知数列{}n a 中,,31=a 前n 和1)1)(1(2

1

-++=n n a n S ①求证:数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式

9.数列最值

(1)10a >,0d <时,n S 有最大值;10a <,0d >时,n S 有最小值;

(2)n S 最值的求法:①若已知n S ,n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值; 可用二次函数最值的求法(n N +∈);②或者求出{}n a 中的正、负分界项,即: 若已知n a ,则n S 最值时n 的值(n N +∈)可如下确定100n n a a +≥??

≤?或10

n n a a +≤??≥?。

例:1.等差数列{}n a 中,12910S S a =>,,则前 项的和最大。

2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知 001213123<>=S S a ,, ①求出公差d 的范围,

②指出1221S S S ,,, 中哪一个值最大,并说明理由。

3.已知}{n a 是等差数列,其中131a =,公差8d =-。 (1)数列}{n a 从哪一项开始小于0?

(2)求数列}{n a 前n 项和的最大值,并求出对应n 的值.

4.已知}{n a 是各项不为零的等差数列,其中10a >,公差0d <,若100S =,求数列}{n a 前n 项和的最大值.

等比数列

.等比数列定义

1在等比数列{}n a 中

,712,a q =则19_____.a =

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2.在各项都为正数的等比数列{}n a 中,首项13a =,前三项和为21,则345a a a ++=( ) A 33 B 72 C 84 D 189 。等比中项:

例:

1.2+

2( )

数列题型完美总结

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2.设{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,

则{}n a 的前n 项和n S =( ) A .2744

n n +

B .2533n n +

C .2324n n

+ D .2

n n +

。等比数列的基本性质,),,,(*∈N q p n m 其中 (1)q p n m a a a a q p n m ?=?+=+,则若 (2))(2

*+--∈?==

N n a a a a a q

m n m n n m

n m

n , (3){}n a 为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列. (4){}n a 既是等差数列又是等比数列?{}n a 是各项不为零的常数列.

例:1.在等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程2

2510x x ++=的两个根,则47a a ?=( )

5()2A -

()2

B 1()2

C - 1()2D

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2.在等比数列{}n a 中,143613233+>==+n n a a a a a a ,, ①求n a

②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++=

3.等比数列{}n a 的各项为正数,且5647313231018,log log log a a a a a a a +=+++=则( )

A .12

B .10

C .8

D .2+3log 5

4.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=,且25252(3)n

n a a n -?=≥,则当1n ≥时,

2123

221l o g l o g l o g n a a a -+++= ( )

A. (21)n n -

B. 2(1)n +

C. 2n

D. 2(1)n -

。前n 项和公式

)1(11)1()1(111

≠??

?

??--=

--==q q q

a a q q a q na S n n n

例 1.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,已,62=a 30631=+a a ,求n a 和n S

2设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈,则()f n 等于( ) A .

2(81)7

n

- B .12(81)7n +- C .32(81)7n +- D .4

2(81)7

n +-

3.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ,若 6

3S S =3 ,则 69S S =

A. 2

B. 73

C. 8

3 D.3

4.一个等比数列前n 项的和为48,前2n 项的和为60,则前3n 项的和为( ) A .83 B .108 C .75 D .63

.等比数列的判定法 (1)定义法:

?=+(常数)q a a n

n 1

{}n a 为等比数列; (2)中项法:?≠?=++)0(2

2

1n n n n a a a a {}n a 为等比数列;

(3)通项公式法:??=为常数)q k q k a n n ,({}n a 为等比数列; (4)前n 项和法:?-=为常数)(q k q k S n n ,)1({}n a 为等比数列。

?-=为常数)(q k kq k S n n ,{}n a 为等比数列。

例:1.已知数列}{n a 的通项为n n a 2=,则数列}{n a 为 ( )

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 2.已知数列}{n a 满足)0(2

2

1≠?=++n n n n a a a a ,则数列}{n a 为 ( )

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 3.已知一个数列}{n a 的前n 项和1n 22+-=n s ,则数列}{n a 为( )

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

4已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ,且*15()n n S S n n N +=++∈,证明数列{}1n a +是等比数列.

求数列通项公式方法 (1).公式法(定义法)

根据等差数列、等比数列的定义求通项

例:1已知等差数列}{n a 满足:26,7753=+=a a a , 求n a ;

2.已知数列}{n a 满足)1(1,211≥=-=-n a a a n n ,求数列}{n a 的通项公式;

3.数列{}n a 满足1a =8,022124=+-=++n n n a a a a ,且 (*∈N n ),求数列{}n a 的通项公式;

4. 已知数列}{n a 满足21

1,

21

1=-

=+n

n a a a ,求数列{}n a 的通项公式; 5.设数列}{n a 满足01=a 且

111

111=---+n

n a a ,求}{n a 的通项公式

6. 已知数列{}n a 满足112,12

n

n n a a a a +=

=+,求数列{}n a 的通项公式。 7.等比数列}{n a 的各项均为正数,且13221=+a a ,622

39a a a =,求数列}{n a 的通项公式 8. 已知数列}{n a 满足)1(3,211≥===n a a a n n ,求数列}{n a 的通项公式;

9.已知数列}{n a 满足2

122142++=?==n n n a a a a a 且, (*

∈N n ),求数列{}n a 的通项公式;

10.已知数列}{n a 满足,21=a 且1152(5)n n n n a a ++-=-(*∈N n ),求数列{}n a 的通项公式; 11. 已知数列}{n a 满足,21=a 且115223(522)n n n n a a +++?+=+?+(*∈N n ),求数列{}n a 的通

项公式;

12.数列已知数列{}n a 满足111

,41(1).2

n n a a a n -==+>则数列{}n a 的通项公式= (2)累加法

1、累加法 适用于:1()n n a a f n +=+

若1()n n a a f n +-=(2)n ≥,则

21321(1)

(2)

()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-

=

数列题型完美总结

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=∑

例:1.已知数列{}n a 满足1

41,2

12

11-+

==

+n a a a n n ,求数列{}n a 的通项公式。

2. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。

3.已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。

4.设数列}{n a 满足21=a ,12123-+?=-n n n a a ,求数列}{n a 的通项公式 (3)累乘法

适用于: 1()n n a f n a +=

1()n n a f n a +=,则31212(1)(2)()n n

a a

a

f f f n a a a +===,,, 两边分别相乘得,1

11

1()n

n k a a f k a +==?∏

例:1. 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=,,求数列{}n a 的通项公式。

2.已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n n

a 11+=

+,求n a 。 3.已知31=a ,n n a n n a 2

3131

+-=+ )1(≥n ,求n a 。 (4)待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+ 解题基本步骤: 1、确定()f n

2、设等比数列{}1()n a f n λ+,公比为

3、列出关系式)]([)1(2211n f a n f a n n λλλ+=+++

4、比较系数求1λ,2λ

5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式

6、解得数列{}n a 的通项公式

例:1. 已知数列{}n a 中,111,21(2)n n a a a n -==+≥,求数列{}n a 的通项公式。

2.(2006,重庆,文,14)在数列{}n a 中,若111,23(1)n n a a a n +==+≥,则该数列的通项

n a =_______________

3.(2006. 福建.理22.本小题满分14分)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式;

4.已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+?=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:设1152(5)n n n n a x a x +++?=+?

5. 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:设1123(2)n n n n a x y a x y +++?+=+?+

6.已知数列{}n a 中,651=

a ,1

1)2

1(31+++=n n n a a ,求n a 7. 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++

8. 已知数列{}n a 满足1112431n n n a a a -+=+?=,,求数列{}n a 的通项公式。 递推公式为n n n qa pa a +=++12(其中p ,q 均为常数)。 先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++

其中s ,t 满足?

??-==+q st p

t s

9. 已知数列{}n a 满足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=,求数列{}n a 的通项公式。 (5)递推公式中既有n S

分析:把已知关系通过11,1

,2

n n n S n a S S n -=?=?

-≥?转化为数列{}n a 或n S 的递推关系,然后采用相应的方法求

解。

1.数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,11

3

n n a S +=,n =1,2,3,……,求a 2,a 3,a 4的值及数列{a n }的通项公式.

2.已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ,且*15()n n S S n n N +=++∈,证明数列{}1n a +是等比数列.

3.已知数列{}n a 中,,31=a 前n 和1)1)(1(2

1

-++=n n a n S ①求证:数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式

4. 已知数列{}n a 的各项均为正数,且前n 项和n S 满足1

(1)(2)6

n n n S a a =++,且249,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的通项公式。 (6)根据条件找1+n 与n 项关系

例1.已知数列}{n a 中,n n a C a a 1,111-

==+,若2

1,25-==n n a b C ,求数列}{n b 的通项公式 2.(2009全国卷Ⅰ理)在数列{}n a 中,

11111,(1)2n n n

n a a a n ++==++ (I )设

n

n a b n =

,求数列{}n b 的通项公式

(7)倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例:1. 已知数列{}n a 满足112,12

n

n n a a a a +=

=+,求数列{}n a 的通项公式。 (8)对无穷递推数列

消项得到第1+n 与n 项的关系

例:1. (2004年全国I 第15题,原题是填空题)已知数列{}n a 满足

11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥,,求{}n a 的通项公式。

2.设数列{}n a 满足21

1233333

n n n a a a a -++++=

…,a ∈*

N .求数列{}n a 的通项; (8)、迭代法

例:1.已知数列{}n a 满足3(1)2

115n

n n n a a a ++==,,求数列{}n a 的通项公式。

解:因为3(1)21n

n n n a a ++=,所以

121

2(2)(1)

32(2)(1)

3(3)(2)(1)112(3)(323(1)232

3(1)2

12

2

3(2)23(1)23

3(2)(1)23

323(2)(1)21

[] []

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a

----+---+--+-+--++

+-+?-??-??----?-??---?-??-?-??======

=2)(1)

(1)1

2

3

!21 n n n n n a -+---??=

数列题型完美总结

又15a =,所以数列{}n a 的通项公式为(1)12

3!2

5n n n n n a --??=。

数列求和

1.直接用等差、等比数列的求和公式求和。

d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ?????≠--==)1(1)1()

1(11q q

q a q na S n n 公比含字母时一定要讨论

例:1.已知等差数列}{n a 满足,11=a 32=a ,求前n 项和}{n S

2. 等差数列{a n }中,a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n =( ) A .9 B .10 C .11 D .12

3.已知等比数列}{n a 满足,11=a 32=a ,求前n 项和}{n S

4.设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈,则()f n 等于( )

A.

2(81)7n - B.12(81)7n +- C.32

(81)7n +- D.

4

2(81)7

n +- 2.错位相减法求和:如:{}{}.

,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 例:1.求和2

1123n n S x x nx -=+++

+

2.求和:n n a

n a a a S ++++=

32321 3.设{}n a 是等差数列,{}n b 是各项都为正数的等比数列,且111a b ==,3521a b +=,5313a b += (Ⅰ)求{}n a ,{}n b 的通项公式;(Ⅱ)求数列n n a b ??

?

???

的前n 项和n S . 3.裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项:

1

11)1(1+-=+n n n n )

121

121(21)12)(12(1+--=+-n n n n )211(21)2(1+-=+n n n n ])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n

!)!1(!n n n n -+=?

)!1(1!1)!1(+-=+n n n n i

n i n i n C C C 1

11----=

数列{}n a 是等差数列,数列?

??

??

?

+11n n a a 的前n 项和

例:1.数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1

(1)

n a n n =

+,则5S 等于( B )

A .1

B .

56 C .16 D .130

2.已知数列}{n a 的通项公式为1

(1)

n a n n =

+,求前n 项的和;

3.已知数列}{n a

的通项公式为n a =

n 项的和.

数列题型完美总结

4.已知数列}{n a 的通项公式为n a =12n +,设1324

2

11

1

n n n T a a a a a a +=+++

???,求n T .

5.求)(,32114321132112111*N n n

∈+++++++++++++++

。 6.已知1,0≠>a a ,数列{}n a 是首项为a ,公比也为a 的等比数列,令)(lg N n a a b n n n ∈?=,求数列{}n b 的前n 项和n S 4.倒序相加法求和

综合练习:

1.设数列}{n a 满足01=a 且111

111=---+n

n a a

(1)求}{n a 的通项公式 (2)设,11

n

a b n n +-=

记∑==n

k k n b S 1

,证明:1

2.等比数列}{n a 的各项均为正数,且13221=+a a ,622

39a a a = (1)求数列}{n a 的通项公式

(2)设n a

a a n

b 333log ...log log 21+++=,求数列}1

{

n

b 的前n 项和 3.已知等差数列}{n a 满足02=a , 1086-=+a a . (1)求数列}{n a 的通项公式及n S (2)求数列}2{

1

-n n

a 的前n 项和 4.已知两个等比数列}{n a ,}{n

b ,满足)0(1>=a a a ,111=-a b ,222=-a b ,333=-a b (1)若,1=a 求数列}{n a 的通项公式 (2)若数列}{n a 唯一,求a 的值

5.设数列}{n a 满足21=a ,12123-+?=-n n n a a (1)求数列}{n a 的通项公式

(2)令n n na b =,求数列}{n b 的前n 项和

6.已知a 1=2,点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2

+2x 的图象上,其中=1,2,3,… (1) 证明数列{lg(1+a n )}是等比数列;

(2) 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n ),求T n 及数列{a n }的通项; (3) 记b n =

211++

n n a a ,求{b n }数列的前项和S n ,并证明S n +1

32

-n T =1. 7.已知等差数列}{n a 满足:26,7753=+=a a a ,}{n a 的前n 项和n S (1)求n a 及n S (2)令1

12

-=

n n a b (+

∈N n ),求数列}{n b 前n 项和n T

求M 的最小值,若不存在,试说明理由。