层次分析法简介
§5 层次分析法简介
层次分析法(analytic hierarchy process, AHP)是美国运筹学家沙旦(T.L.Saaty)于20世纪70年代提出的. 适用结构复杂、难于量化、决策准则多的问题. 1. AHP 原理引入 例如某企业有一笔留成的利润, 经过商讨,打算如下
购新设备
XX 合理使用元调动劳动积极性提高企业
技术水平改善职工文化状况发奖金扩建福
利设施
办技校建图书馆
总目标层准则层方案层
层层分析后, 给出相对于总目标而言的按重要 (或偏好)程度的一个排序, 由此决策.
主要技术是: 对主观性进行量化, 依据权重, 决策.
设有n 事12,,...,n A A A , 重要度12,,...,n w w w , 比得:
11
12121
22
21
2
//...///.../............//.../n n n n n n w w w w w w w w w w w w A w w w w w w ??
????=??
??
????
若用12[,,...,]T n W w w w =乘A , 则有
AW nW = ()0A nI W -=
所以n 是特征值, W 是A 的特征向量.
实际问题中是: 设法求出权重W , 而后去决策.
当W 未知时, 可由决策者主观地先作出两两要素重要性相对比定出A (常另记为A --判断矩阵), 由此可求出max λ和近似的权重W '.
正矩阵理论结果之一 设A 的元素为/ij i j a w w =,
若(1) 1ii a =, (2) 1/ij ji a a =, (3) /ij ik jk a a a = 则A 有唯一非零的最大特征值max λ,且max λ=n .
若判断矩阵A 具有唯一最大特征值max λ=n ,则称
A 与A 一致.
但一般有偏差, 故要检验一致性.
当A 与A 一致时, 由1ii a =和矩阵性质, 得
1
1
n n
i ii
i i a
n λ====∑∑,
当A 与A 不一致时, 一般max n λ≥. 所以引入一致性指标CI: max CI 1
n
n λ-=-
若 CI=0, 则完全一致; 若 CI ≠0, 则不一致. 一般对CI ≤0.1, 认可一致.
2. 标度的约定
为了量化两两比较结果, 引入1~9的标度,作表如下标度
ij
a定义
1
3
5
7
9 2,4,6,8 i因素与j因素同样重要i因素比j因素略微重要i因素比j因素重要
i因素比j因素明显重要i因素比j因素绝对重要介于两相邻重要程度之间
只要作出(1)/2
n n 个数, 其余对称位置是倒数.
3. 各层次间的判断矩阵的建立
设已有层次模型, 及对C-A i 作准则层的判断矩阵
然后再分别给出 i A P 判断矩阵
……
直到最后一层.
XX 合理使用元
1
A 调动劳动积极性P 1发奖金2
P
扩建福利C 目标层A 准则层P 方案层2
A 提高
技术...
...
111212122212.....................n
n
n n nn
a a a a a a a a a 12...n A A A 12...n A A A C 111212122212.....................k k k k kk
a a a a a a a a a 12...k
P P P 12...k
P P P i
A
4. 最大特征值的近似值求法-方根法简介 (1) 计算A 中每行几何平均值
1
Π,1,2,...,n
n
i ij j w a i n ===
得12(,,...,)T n w w w w =. (2) 归一化
1
/,1,2,...,n
i i i i w w w i n ===∑
得12(,,...,)T n w w w w =, 这是各因素的相对权重.
(3) 近似求最大特征值max λ, 由max Aw w λ=, 得
max max 1212
111111,,...,,,...,n n Aw w n w w w w w w λλ????
? ?????== 所以有
12max
12
1111,,...,n n n w w w A w w w λ=
??
?
?? ?? ? ??? ???
(4) 判断一致性, 若较差, 须重估, 重算. 当各层相对权重得到后
5. 组合权系数计算
设当前层因素为1,...,n A A , 上层1,...,m C C , 即
则对每个i C , 由上面可求得一个权向量12i i i
i n w w w w ?? ? ?= ? ???
1,...,,...,i m
C C C 123,,,...,n
A A A A
从而可推12
i i i i n w w w w ?? ? ?= ? ?
?? 1
2111122
22
12.........
......
...m m m n n n w w w w w w B w w w ??
????=????????
若C 再对C 的上一层Z 的权重为1,...,m a a , 即
1,...,,...,i m
C C C 123,,,...,n
A A A A Z 1,...,m
a a
则当前层的n 个因素对Z 的组合权系数可写成
1211111222
22112..................
...m m n m m n
n n a w w w a w
w w W a w w w ?????
????????=???????????
?? 一般地有(121...k k k W B B B B -=????层)(见第三册). 这样逐层往下计算, 得到各层的各因素的权重系数.
例9 某单位拟从3名中层干部中选人至上层领导, 标准:政策水平,工作作风,业务知识,口才,写作,健康. 解: 这里, 目标层是选一人;
准则层有6个; 方案层有3人.
各因素对上层领导的重要性为如下判断矩阵A:
11
1411/2112411/211/21531/21/41/41/511/31/3111/33112
2231
1A ????=??????????
健康,业务,写作,口才,政策,作风
健康业务写作口才政策作风
由此看出工作作风比其它因素重要. 近似方法或其它方法求得 max 6.35λ=, 和
2[0.16,0.19,0.19,0.05,0.12,0.30]T B =
类似地, 求3个干部(A,B,C)对上述每一个标准的相互比较的权系数, 得
健康情况 业务知识 写作能力
11/41/241321/31A B C
A B C ????????, 11/41/5411/2521????????
, 131/31/311311????????
口才 政策水平 工作作风
11/353171/51/71??
??????
, 1
171171/71/71????????
, 1
791/7151/91/51????????
由此求出各属性的最大特征值
特征值 健康 业务 写作 口才 政策 作风 max λ
3.02
3.02
3.56
3.05
3.00
3.21
和
30.140.10.320.280.470.770.630.330.220.650.470.170.240.570.460.070.070.05A B B C ??
=??????
从而有 []3320.400.340.26W B B == 所以应选A 担任高层领导.