超难奥数题之组合专题超难组合数学(三)

组合专题：超难组合数学㈢

1．某地区网球俱乐部的20名成员举行14场单打比赛，每人至少上场一次。求证：必有6场比赛，其12个参赛者各不相同。

2．100个运动员参加赛跑，已知其中任意12个人中总有两个彼此熟悉的，证明：运动员的号码不论如何编排(未必是从1到100)，总可以找到两个彼此熟悉的运动员，他们的号码是以相同的数字开头的(即最高数位的数字相同)。

3．能否在9×9的表格中写上1至81的自然数，使得每个3×3的正方形表格中各数之和都是相等的？

4．为了统计到图书馆去的读者人数，挂了两块黑板。每一个读者必须在一块黑板上写上当他进入阅览室时他看见有多少读者，而在另一块黑板上写上当他离开图书馆时，阅览室还剩下多少读者。证明：在一天之内，两块黑板上出现同样的数(可能次序不同)。

测试题

一条马路上有六个车站(如图)，今有一辆汽车由a1驶向a6，沿途各站可自由上下乘客，但此辆汽车在任何时候至多可载乘客5人，试证：在此六站中必有两对(四个不同的)车站A1、B1；A2、B2，使得没有乘客在A1站上而且在B1站下(A1在B1之前)，也没有乘客在A2站上而且在B2站下(A2在B2之前)。

【分析】设在站a i(i＝1，2，3)上车、站a j(j＝4，5，6)下车的人数为b ij。在车从a3开往a4的途中，这些人全在车上。由于车上至多载客5人，b ij(i＝1，2，3；j＝4，5，6)

中至少有4个为0。其中有两个具有相同的i，不失一般性，可以假定b14＝b15＝0。

在b2j，b3j(j＝4，5，6)中至少有一个为0。不妨设b24＝0，则站a1，a5；a2，a4即

为所求的两对车站。