分布函数24例题

例题

【例】

解：

【例】

将介绍连续型随机变量。我们要讨论的问题是相同的，但是它们的描述方法和使用助数学工具却不相同，为此我们将给出密度函数和分布函数的概念。正态分布是概率论和数理统计中最重要的分布，无论在理论研究和实际应用中它都占有头等重要的地位.

连续型随机变量和密度函数概念

例如：

由分布函数性质很容易看出，密度函数具有下面性质：：

3．则

4．

有

5．

对于连续型随机变量，如果已知分布函数或密度函数中的任一个，可求得另一个函数。

【例】

【例】

第2章 随机变量及其分布习题解答

第二章 随机变量及其分布 1、解： 设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010 投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X 2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 解：X 可以取值3，4，5，分布律为 10 61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10 11)2,1,3()3(35 2 435 2 335 2 2=?= === ?==== ?= ==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：10 6, 103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。 解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。 35 22 )0(315313= ==C C X P 3512)1(3 15213 12=?==C C C X P 35 1)2(3 15 113 22= ?= =C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2 P ： 35 1, 3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0

(完整版)数据分析(梅长林)第1章习题答案

第1章 习 题 一、习题1.1 解：（1）利用题目中的数据，通过SAS 系统proc univariate 过程计算得到： 139.0=x 7.06387S = 49.898312=S 0.142众数= 51.0g 1-= 08192.5=CV 126129.0g 2-=由得到的数据特征可知道，偏度为负，所以呈做偏态， 峰度为负，所以均值两侧的极端值较少。 （2） 139.0=M 31.0=R 0.135Q 1= 5.144Q 3= 5.9R 131=-=Q Q 375.1394 1 2141M 31=++= ∧ Q M Q (3) 通过SAS 系统proc capability 得到直方图，并拟合正态分布曲线：

(4) 通过SAS 系统proc univariate 可以画出茎叶图，从茎叶图可以看出数据大致呈对称分布，由于所给数据都是整数，所以叶所代表的小位数都是０。 (5) 通过SAS 系统proc univariate 过程计算得到: 0.971571W 0= 00()H p P W W =≤= 0.1741 取0.05=α，因α>=0.1742p ，故不能拒绝0H ，认为样本来自正态总体分布。 通过画ＱＱ图和经验分布曲线和理论分布函数曲线，从图中可以看出ＱＱ图近似的在一条直线上，经验分布曲线的拟合程度也相当好，所以可以进一步说明此样本来自正态总体分布。

二、习题１.２ 7.8574027=x 1.62568785 S = 2.642860982=S 0.13721437g 1= 20.6898884=CV -1.4238025g 2= 由得到的数据特征可知道，偏度为正，所以呈右偏态，峰度为负，所以均值两侧的极端值较少。 （2）

《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布

第二章 随机变量及其分布 一. 填空题 1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =9 5 , 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 9 4951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2 = -p , 3 1=p 2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为c c c c 162 , 85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++= c c c c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率: P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________. P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________. 解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1) 4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442 =+++k kx x 有实根的概率为_____. 解. k 的分布密度为??? ??=0 51 )(k f 其它50≤≤k P{02442 =+++k kx x 有实根} = P{03216162 ≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =5 3 515 2=?dk 5. 已知2}{,}{k b k Y P k a k X P =-== =(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++ a a a a . 49 36 ,194= =++b b b b (X, Y)

二维随机变量及其分布题目

一、单项选择题 1．设随机变量21,X X 独立，且2 1 }1{}0{= ===i i X P X P （2,1=i ），那么下列结论正确的是 （ ） A .21X X = B .1}{21==X X P C .2 1 }{21= =X X P D .以上都不正确 2设X 与Y 相互独立，X 服从参数为12的0—1分布，Y 服从参数为1 3 的0—1分布，则方程 220t Xt Y ++=中t 有相同实根的概率为 （A ） 13 （B ）12 （C ）16 （D ）2 3 [] 3．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ()22 ,02,14, (,)0, .k x y x y f x y ?+<<<

第二章__随机变量及其概率分布_考试模拟题答案

第二章 随机变量及其概率分布 考试模拟题 (共90分) 一．选择题(每题2分共20分) 1．F(X)是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是（ B ） A.≤0F(x )1≤ B.F(x )=P{X=x } C.F(x )=P{X x ≤} D.F(∞+)=1, F(∞-)=0 解析： A,C,D 都是对于分布函数的正确结论，请记住正确结论！B 是错误的。 2．设随机变量X 的分布函数律为如下表格：F(x)为其分布函数，则F(5)=( C ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.4 解析：由分布函数定义F(5)=P{X ≤5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3．下列函数可以作为随机变量分布函数的是（ D ） 4x 01≤≤x 2x 10<≤x A.F(x)= B.F(x)= 1 其它 2 其它 -1 x<0 0 x<0 C.F(x)= 2x 10<≤x D.F(x)= 2x 5.00<≤x 1 其它 1 x ≥0.5 解析：由分布函数F(x)性质：01)(≤≤x F ，A,B,C 都不满足这个性质，选D 4 x 31<<-x 4．设X 的密度函数为f(x)= 则P{-2

A. 0 B.83 C. 43 D. 85 解析：P{-2

第二章随机变量与分布函数习题

第二章：随机变量与分布函数习题 一、“离散型随机变量与分布函数”习题： 1. 射手对靶子进行射击，用X 表示击中的环数，已知击中一环的概率为0.2，击中两环的概率为0.8；求：（1）X 的分布列及分布函数；（2）()()10,1≤<≥X P X P . 2. 射手对靶子进行射击，一次射击的命中率为0.8，现在连续射击三枪，用X 表示三枪中命中的次数，求：（1）X 的分布列及分布函数；（2）A “至少命中两枪”的概率. 3. 设随机变量X 的分布函数为 ()()???? ???≥<≤<≤--<=≤=31 318.0114.010 x x x x x X P x F 求：X 的分布列. 4. 设随机变量X 的分布函数为 ()??? ? ????? >≤≤<=2120sin 00ππx x x A x x F 求：（1）A =？ （2）??? ??<6πx P . 5. 设随机变量X 的分布列为??? ? ??--22121101q q ； 求： （1）q=？ （2）X 的分布函数. 6. 某设备由三个独立工作的元件构成，该设备在一次试验中每个元件发生故障的概率为 0.1，求该设备在一次试验在中发生故障的元件数的分布列. 7. 将一颗骰子投掷两次，以X 表示两次所得点数之和、Y 表示两次中所得的小的点数；分别求X 与Y 的分布列. 8. 设随机变量X ~()p B ,2， 随机变量Y ~()p B ,3； 已知()9 5 1=≥X P ， 求：()1≥Y P . 二、“连续型随机变量与分布函数”习题： 1. 设()()??? ??<>≥=-00 0,0212 x a x e a x x f a x ； ()?????<<=其他0 0cos 21 2 πx x x f ； ()????? <<-=其他0 22cos 3ππx x x f ； （1） 以上()()()x f x f x f 321,,是否是某随机变量X 的分布密度函数？

第三-四章 概率分布练习题

第三-四章 概率与离散变量的概率分布练习题 一、填空 1．用古典法计算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（ ）。 2．分布函数)(x F 和)(x P 或?)(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所不同的是，)(x F 累计的是（ ）。 3．如果A 和B （ ），总有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。 4．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是（ ）事件。 4．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。 二、单项选择 1．随机试验所有可能出现的结果，称为（ D ）。A 基本事件； B 样本；C 全部事件；D 样本空间。 2.在次数分布中，频率是指（ ） A.各组的频率相互之比 B.各组的分布次数相互之比 C.各组分布次数与频率之比 D.各组分布次数与总次数之比 3．以等可能性为基础的概率是（A ）。A 古典概率；B 经验概率；C 试验概率；D 主观概率。 4．古典概率的特点应为（ A ）。 A 基本事件是有限个，并且是等可能的； B 基本事件是无限个，并且是等可能的； C 基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性； D 基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。 5．任一随机事件出现的概率为（ D ）。A 在–1与1之间；B 小于0；C 不小于1；D 在0与1之间。 6．若P （A ）＝0.2，Ｐ（B ）＝0.6，P （A/B ）＝0.4，则)(B A P ＝（ D ）。A 0.8 B 0.08 C 0.12 D 0.24。 7．若A 与B 是任意的两个事件，且P （AB ）＝P （A ）·P （B ），则可称事件A 与B （C ）。 A 等价 B 互不相容 C 相互独立 D 相互对立。 8．若相互独立的随机变量X 和Y 的标准差分别为6与8，则（X ＋Y ）的标准差为（B ）。A 7 B 10 C 14 D 无法计算。 9．如果在事件A 和B 存在包含关系A ?B 的同时，又存在两事件的反向包含关系A ?B ，则称事件A 与事件B （A ）A 相等 B 互斥 C 对立 D 互相独立 10．二项分布的数学期望为（C ）。A n(1-n)p B np(1- p) C np D n(1- p)。 11．关于二项分布，下面不正确的描述是（A ）。 A 它为连续型随机变量的分布； B 二项分布的数学期望)(X E ＝μ＝np ，变异数)(X D ＝2 σ＝npq ； C 它的图形当p ＝0．5时是对称的，当p ≠ 0．5时是非对称的，而当n 愈大时非对称性愈不明显； D 二项分布只受成功事件概率p 和试验次数n 两个参数变化的影响。 12．事件A 在一次试验中发生的概率为 4 1 ,则在3次独立重复试验中，事件A 恰好发生2次的概率为(C )。 A 21 B 161 C 64 3 D 649 13．设随机变量ξ～B ????6，12，则P (ξ＝3)的值为( A ) A.516 B.316 C.58 D.716 14．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝59，则P (η≥1) ＝( )A.13 B.59 C.827 D.19 27 解析：∵P (ξ≥1) ＝2p (1－p )＋p 2＝59， ∴p ＝13 ，∴P (η≥1) ＝C 13????13????232＋C 23????132????23＋C 33????133＝1927，故选D. 15．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( A ) A ．[0.4,1) B ．(0,0.6] C ．(0,0.4] D ．[0.6,1)

课后习题参考答案

习题一 1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X . 解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ， 11223344555 11 1 55(1) (,,,,)()(1)(1)i i n x x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏ 其中：5 1 15i i x x ==∑ 2）对总体~()X P λ 11223344555 1 1 555 1 (,,,,)()! ! i x n i i i i i x i i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λ λ λλ-==-========== ∏∏ ∏ 其中：5 1 15i i x x ==∑ 3）对总体~(,)X U a b 5 511511,,1,...,5 (,,)()0i i i i a x b i f x x f x b a ==?≤≤=?==-??? ∏∏ ，其他 4）对总体~(,1) X N μ ()() ()2 55 55/2 22 1511 1 1 (,,)()=2exp 2i x i i i i i f x x f x x μπμ-- -===??==-- ??? ∑∏

2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形. 解 设(=0,1,2,3,4)i i 代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1： 经验分布函数的定义式为： ()()() (1)10,(),,=1,2,,1,1,n k k k x x k F x x x x k n n x x +

概率统计习题 5.2

习题与解答5.2 1. 以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数 149 156 160 138 149 153 153 169 156 156 试由这批数据构造经验分布函数并作图. 解 此样本容量为10,经排序可得有序样本: (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)138,149,153,156,160,169 x x x x x x x x x x ========== 其经验分布函数及其图形分别如下 ()01380.11490.31530.51560.81600.91691n x F

()037.50.1547.50.3557.50.7567.50.977.51n x x F

连续型随机变量的分布与例题讲解

连续型随机变量的分布 （一）连续型随机变量及其概率密度函数 1.定义：对于随机变量X 的分布函数 F(X) ，若存在非负函数f(x), 使对于 任意的实数 x，有F ( x)x f(x) 称为 X f (t)dt ，则称X为连续性随机变量， 的概率密度函数，简称概率密度。 注： F(x)表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。 2 .密度函数f(x) 的性质：注： f( x)不是概率。 1) f( x)≥ 0 + f ( x) dx = 1 2) ò-x 2 3)P{x 1 < X ? x 2 }òx1 f (x) dx = F (x 2 ) - F (x 1 ) 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{ X = x} = 0. （但 { X=x} 并不一定是不可能事件） 因此P(a≤X ≤ b)= P(a< X

第三-四章概率分布练习题

第三 - 四章 概率与离散变量的概率分布练习题 一、填空 1．用古典法计算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（ ）。 2．分布函数 F ( x) 和 P( x) 或 ( x) 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所不同的是， F ( x) 累计的是（ ）。 3．如果 A 和 B （ ），总有 P(A/B) ＝ P 〔 B/A 〕＝ 0。 4．若事件 A 和事件 B 不能同时发生，则称 A 和 B 是（ ）事件。 4．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（ 1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红 桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。 二、单项选择 1．随机试验所有可能出现的结果，称为（ D ）。 A 基本事件； B 样本； C 全部事件； D 样本空间。 2.在次数分布中，频率是指（ ） A. 各组的频率相互之比 B. 各组的分布次数相互之比 C.各组分布次数与频率之比 D.各组分布次数与总次数之比 3．以等可能性为基础的概率是（ A ）。 A 古典概率； B 经验概率； C 试验概率； D 主观概率。 4．古典概率的特点应为（ A ）。 A 基本事件是有限个，并且是等可能的； B 基本事件是无限个，并且是等可能的； C 基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性； D 基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。 5．任一随机事件出现的概率为（ D ）。A 在–1 与 1之间； B 小于 0；C 不小于 1；D 在 0与1之间。 6．若 P （ A ）＝ 0.2，Ｐ（ B ）＝ 0.6，P （ A/B ）＝ 0.4，则 P( A B) ＝（ D ）。 A 0.8 B 0.08 C 0.12 D 0.24 。 7．若 A 与 B 是任意的两个事件，且 P （ AB ）＝ P （ A ）· P （B ），则可称事件 A 与B （C ）。 A 等价 B 互不相容 C 相互独立 D 相互对立。 8．若相互独立的随机变量 X 和 Y 的标准差分别为 6 与 8，则（ X ＋Y ）的标准差为（ B ）。A 7 B 10 C 14 D 无法计算。 9．如果在事件 A 和 B 存在包含关系 A B 的同时，又存在两事件的反向包含关系 A B A 与事件 B ） ，则称事件 （A A 相等 B 互斥 C 对立 D 互相独立 10．二项分布的数学期望为（ C ）。A n(1-n)p B np(1- p) C np D n(1- p) 。 11．关于二项分布，下面不正确的描述是（ A ）。 A 它为连续型随机变量的分布； B 二项分布的数学期望 E(X)＝ ＝ np ，变异数 D ( X ) ＝ 2 ＝ npq ； C 它的图形当 p ＝ 0．5 时是对称的，当 p ≠ 0．5 时是非对称的，而当 n 愈大时非对称性愈不明显； D 二项分布只受成功事件概率 p 和试验次数 n 两个参数变化的影响。 12．事件 A 在一次试验中发生的概率为 1 , 则在 3 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 2 次的概率为 ( C ) 。 4 A 1 B 1 C 3 D 9 2 16 64 64 13．设随机变量 ξ～ B 6， 1 ，则 P(ξ＝ 3)的值为 ( A ) A. 5 B. 3 C. 5 D. 7 2 16 16 8 16 5 ，则 P( η≥1) ＝ ( )A. 1 5 8 19 14．设随机变量 ξ～ B(2， p)，随机变量 η ～ B(3， p)，若 P(ξ≥ 1) ＝9 3 B.9 C. 27 D. 27 2 5 1 1 1 2 2 2 1 2 2 3 1 3 19 解析： ∵ P(ξ≥ 1) ＝ 2p(1－p)＋ p ＝ 9， ∴p ＝ 3 ， ∴P(η≥ 1) ＝ C 3 3 3 ＋C 3 3 3 ＋ C 3 3 ＝ 27，故选 D. 15．在 4 次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 2 次的概率，则事件 A 在一次试验中 发生的概率 p 的取值范围是 ( A ) A ．[0.4,1) B ． (0,0.6] C ． (0,0.4] D ． [0.6,1)

第二章 随机变量及其分布习题

第二章 随机变量及其分布习题 一 、填空题 1. 设随机变量ξ的分布律为N a K P = =)(ξ（K=1,2, N ）,则常数=a 。 2. 盒内有5个零件，其中2件次品，从中任取3件，用ξ表示取出的次品数，则ξ的概率 分布为 。 3.设)(x F 是离散型随机变量的分布函数，若______)(==b P ξ，则 )()()(a F b F b a P -=<<ξ成立。 4.设离散型随机变量ξ的分布函数为 ? ?≥+<≤-<≤--<=2 2132 1110)(x b a x a x a x x F ，且2 1)2(= =ξP ，则___________________,______, 的分布律为ξ==b a 5. 设连续型随机变量ξ的概率密度为??? ??≤>=-0 0)(2x x ke x f x 则 ____)2(____,)2(____,)21(___,=<===≤<=ξξξP P P k 6. 设5个晶体管中有2个次品，3个正品，如果每次从中任取1个进行测试，测试后的产品不放回，直到把2个次品都找到为止，则需要进行的测试次数ξ是一个随机变量，则 ________)2(______,)5(=≤==ξξP P 7. 设随机变量ξ的概率密度为8 )1(2)(--=x ke x f （+∞<<∞-x ），则=k 。 8. 两个随机变量ηξ，相互独立的充要条件是______ 9. 设连续型随机变量ξ的概率密度为?? ?<≥=-0 )(x x e x f x ，则ξ的函数ξη=的概率密度________)(=y η? 10. 设随机变量ξ的概率密度为

?? ?>><<=其他 ) 0,0(,10)(k b x kx x f b ， 且________________,,75.0)2 1 (===> b k P 则ξ 二 、选择题 1 .k k p x P 2 )(= =ξ)2,1( =k 为一随机变量ξ的分布律的必要条件是（ ） （A ）k x 非负 （B ）k x 为整数 （C ）20≤≤k p （D ）2≥k p 2 . 若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度，则（ ）一定成立 （A ）)(x f 的定义域为[0，1] （B ）)(x f 的值域为[0，1] (C) )(x f 非负 (D) )(x f 在） ，（∞∞-内连续 3.如果)(x F 是（ ），则)(x F 一定不可以是连续型随机变量的分布函数（ ） （A ）非负函数 （B ）连续函数 （C ）有界函数 （D ）单调减少函数 4.下列函数中，（ ）可以作为连续型随机变量的分布函数 (A))(x F = ?? ?≥<0 1 0x x e x （B ）G(x)= ?? ?≥<-0 1 0x x e x (C)=Φ)(x ???≥-<010 x e x x (D) H(x)= ???≥+<-0 100 x e x x 5 . 设）（ηξ, 的联合概率密度为??? ??≤+=其他 11 ),(22y x y x f π 则ηξ与为（ ）的随机变量 （A ）独立同分布 （B ）独立不同分布 （C ）不独立同分布 （D ）不独立也不同分布 三、计算题

概率论第五章 习题解答

第五章 数理统计的基础知识 I 教学基本要求 1、理解总体、个体、样本、统计量、样本均值和样本方差的概念，会根据样本数据计算样本均值和样本方差； 2、了解经验分布函数的概念，了解直方图、茎叶图的作法； 3、了解2χ分布、t 分布、F 分布的定义，会查表计算分位数； 4、了解正态总体的常用抽样分布. II 习题解答 A 组 1、某学校学生会进行问卷调查了解大学生使用手机的情况，该项研究中总体和样本各是什么？ 解：该项研究中总体是该学校全体大学生；样本是该学校被问卷调查的大学生. 2、为了解经济系管理专业本科毕业生工作后的就业情况，调查了某地区30名2010年毕业的管理专业本科生工作后的月薪情况.该项研究中总体和样本各是什么？样本容量是多少？ 解：总体是该地区2010年毕业的经济系管理专业本科生的月薪；样本是被调查的30名2010年毕业的经济系管理专业本科生的月薪；样本容量是30. 3、某厂生产的晶体管的使用寿命服从指数分布，为了解其平均寿命，从中抽出n 件产品检测，什么是总体、样本？样本的分布是什么？ 解：总体是该厂生产的晶体管的寿命，其分布是指数分布()E λ；样本是从该厂抽出的 n 个晶体管的寿命；记第i 个晶体管的寿命为i x ，则~()i x E λ(1 ,2,,)i n =，样本的分布为 ∑==-=-∏n i i i x n n i x e e 1 1 λ λλλ. 4、某工厂通过抽样调查得到5名工人一周内生产的产品数为149、156、160、138、149. 求样本均值和样本方差？ 解：样本均值 5111 (149156160138149)150.455 i i x x ===++++=∑； 样本方差 52 21 1()51i i s x x ==--∑ 2221 [(149150.4)(156150.4)(149150.4)]70.34 =-+-++-=.

分布函数练习题

分布函数练习题 1、设12()()F x F x 与分别是随机变量1X 与2X 的分布函数，为使12()()()F x aF x F x =-b 是某有随机变量X 的分布函数，则应有 A ．a = 3/5，b = 2/5 B ．a = 3/5， b = -2/5 C ．a = 1/2，c = 1/2 D ．a = 1/3，b = -1/3 2、设12()()F x F x 、分别是随机变量1X 、2X 的分布函数，若12()()aF x bF x +为某一随机变量的分布函数，则 A ．a = 0.5，b = 0.5 B ．a = 0.3，b = 0.6 C ．a = 1.5，b = 0.5 D ．a = 0.5，b = 1.5 3、设随机变量X 的分布函数为(){},{}F x P X x P X a =≤=则为 A ．()F a B ．0 C ．(0)()F a F a +- D ．()(0)F a F a -- 4、如果()F x 是连续随机变量的分布函数，则下列各项不成立的是 A ．()F x 在整个实轴上连续 B ．()F x 在整个实轴上有界 C ．()F x 是非负函数 D ．()F x 严格单调增加 5、下列函数中能够作为分布函数的是

A ．0,1,1(),12,3 1, 2. x F x x x <-???=-≤≤??>?? B ．0,0,()ln(1),0.1x F x x x x ≤≤?? ，则A = .

2016数理统计期末练习题1

数理统计期末练习题 1. 在总体)4,6.7(N 中抽取容量为n 的样本,如果要求样本均值落在)6.9,6.5(内的概率不小于0.95,则n 至少为多少 2．设n x x ,,1 是来自)25,(μN 的样本,问n 多大时才能使得95.0)1|(|≥<-μx P 成立 常数c 使得1n n c n x x t c s +-=服从t 分布,并指出分布的自由度。 13．设从两个方差相等的正态总体中分别抽取容量为15,20的样本,其样本方差分别为,,2 22 1s s 试求).2(2 2 1>S S p

14. 某厂生产的灯泡使用寿命)250,2250(~2N X ,现进行质量检查,方法如下：随机抽取若干个灯泡,如果这些灯泡的平均寿命超过2200h,就认为该厂生产的灯泡质量合格,若要使检查能通过的概率不低于0.997,问至少应检查多少只灯泡？ 15．设)(171x x 是来自正态分布),(2 σμN 的一个样本,_ x 与2s 分别是样本均值与样本方差。 _ 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有T e A S S S =+ 1、设来自总体X 的样本值为(3,2,1,2,0)-，则总体X 的经验分布函数5()F x 在 0.8x =处的值为_____________。

2、设来自总体(1,)B θ的一个样本为12,,,n X X X ，X 为样本均值。则()Var X =___________。 3、设112,,,,...,m m m X X X X + 是来自总体2 (0,)N σ的简单随机样本，则统 m i X ∑概率为（ ）。 （A ）1/2 （B ）3/4 （C ）5/16 （D ）11/16 4、设12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本,总体X 的方差2σ未知，2,X S 分别为样本均值和样本无偏方差，则下述结论正确的是（ ）。 （A ）S 是σ的无偏估计量 （B ）S 是σ的最大似然估计量 （C ）S 是σ的相合估计量（D ）S 与X 相互独立

概率统计重难点和例题汇总

参考教材概率论与数理统计第四版 （浙江大学主编） 重要定理、性质、公式、结论 经典例题、重要例题及不需要做的题目 第一章概率论的基本概念（考小题） 第一节随机试验（了解） 第二节样本空间，随机事件（了解） 第三节频率与概率（频率可以不用看，了解） 第四节等可能概率（古典概论）（难点非重点，做一些基本题即可）第五节条件概率（重要，考小题为主，考大题有时会用到） 第六节独立性（重要，考小题为主，大题经常会用到） 第二章随机变量及其分布（至少考小题，考大题一定会用到） 第一节随机变量（了解） 第二节离散型随机变量及其分布律（重要，经常考） 第三节随机变量的分布函数（重要，每年必考） 第四节连续型随机变量及其概率密度（重要，每年必考） 第五节随机变量的函数分布（重要，大题的命题点） 第三章多维随机变量及其分布（考大题可能性极大） 第一节二维随机变量（了解） 第二节边缘分布（理解） 第三节条件分布（理解） 第四节概率独立的随机变量（重要，基本每年必考） 第五节两个随机变量函数的分布（重要，大题的经典命题点） 第四章随机变量的数字特征（重要） 第一节数学期望（重要，每年必考） 第二节方差（重要，每年必考） 第三节协方差与相关系数（重要，经常考） 第四节矩，协方差矩阵（矩，了解，协方差矩阵不用看）. 第五章大数定律及中心极限定理(了解) 第一节大数定律(了解,关注定律的前提条件与结论) 第二节中心极限定理（了解，关注定理的前提条件与结论）

第六章样本及抽样分布（考小题为主） 第一随机样本（了解，其中有重要概念，简单随机样本） 第二直方图和箱线图（重要，考小题） 第三抽样分布（重要，考小题） 第七章参数估计（重要，考大题经典章节） 第一节点估计（极其重要，矩估计：重点非难点，最大似然估计（重点且难点））第二节基于截尾样本的最大似然估计（不用看） 第三节估计量的评选标准（数一重要，数三不用看） 区间估计（数一理解，考的比较少） 第五正态总体均值与方差的区间估计（数一理解，考的比较少） 第六（０－１）分布参数的区间估计（不用看） 第七单侧置信区间（理解，一般不考） （第四－第七，只有数一考，数三均不用看） 第八章假设检验（理解，一般不考，只有数一有要求，数三不考） 第一假设检验（理解） 第二正态总体均值的假设检验（理解） 第三正态总体方差的假设检验（理解） 第四，第五，第六，第七，第八（均不用看）．

《概率论与数理统计》习题及答案 第六章

·82· 《概率论与数理统计》习题及答案 第 六 章 1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为λ的泊松分布，从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X L ，求样本的分布. 解 样本12(,,,)n X X X L 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为 11221 (,,,)()n n n i i i P X k X k X k P X k ===== =∏L 1 ! i k n i i e k λλ-==∏ 112!!! n i i n k n e k k k λ λ=-∑= L 0,1,i k =L ，1,2,,,i n =L 2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/λ的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n 件零件构成一个容量为n 的样本，求样本分布。 解 零件的加工时间为总体X ，则~()X E λ，其概率密度为 ,0, ()0,0.x e x f x x λλ-?>=?≤? 于是样本12(,,,)n X X X L 的密度为 1121,0(,,,)0,.n i i i x n n x i n i e x f x x x e λλλλ=--=?∑?>= =??? ∏K 其它 1,2,,i n =L 3．一批产品中有成品L 个，次品M 个，总计N L M =+个。今从中取容 量为2的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当,/N M N p →∞→时样本分布为（6.1）式中2n =的情况。 解 总体~(01)X -，即(0),(1)L M P X P X N N ==== 于是样本12(,)X X 的分布如下 121(0,0)1L L P X X N N -=== ? -，12(0,1)1 L M P X X N N ===?-

常见的分布函数

6数理统计的基本概念 6.1 基本要求 1 理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。能在总体分布给定情况下，正确无误地写出样本的联合分布，这是本章的难点。 2*了解样本的频率分布、经验分布函数的定义，了解频率直方图的作法。 3 了解χ2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解临界值的概念并会查表计算。 4 理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。了解样本矩的性质，能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。了解正态总体的某些常用抽样分布。 6.2 内容提要 6.2.1 总体和样本 1 总体和个体研究对象的某项特征指标值的全体称为总体(或母体)，组成总体的每个元素称为个体。总体是一个随机变量，常用X，Y等来表示。 2 样本从总体中随机抽出n个个体称为容量为n的样本，其中每个个体称为样品，它们都是随机变量。 3 简单随机样本设X1，X2，…，X n是来自总体X的容量为n 的样本，如果这n个随机变量X1，X2，…，X n相互独立且每个样品X i与总体X具有相同的分布，则称X1，X2，…，X n为总体X的简单随机样本。 4 样本的联合分布 *该部分内容考研不作要求。 149

150 若总体X 具有分布函数F (x )，则样本(X 1，X 2，…，X n )的联合分布函数为 ∏== n i i n x F x x x F 1 21) (),,,( 若总体X 为连续型随机变量，其概率密度函数为f (x )，则样本的联合概率密度为 ∏ == n i i n x f x x x f 1 21) (),,,( (6.1) 若总体X 为离散型随机变量，其分布律为P {X =a i }=p i (i =1，2，…n)，则样本的联合分布为 ∏=== ===n i i i n n x X P x X x X x X P 1 22 11} {},,,{ (6.2) 其中),,,(21n x x x 为),,,(21n X X X 的任一组可能的观察值。 6.2.2 样本分布 1 频率分布 设样本值(x 1，x 2，…，x n )中不同的数值是x 1*，x 2*，…，x l *，记相应的频数分别为n 1，n 2，…，n l ，其中x 1*< x 2*<…< x l * 且n n l i i =∑=1 。 则样本的频数分布及频率分布可由表6-1给出。