高中数学好题100题速递(含答案解析)
1．已知P 是ABC ?内任一点,且满足AP xAB yAC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．
解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++,由系数和1x y
x y x y
+=++,知点Q 在线段
BC 上．从而1AP x y AQ
+=
<．由x 、y 满足条件0,0,
1,x y x y >>??
+
易知2(0,2)y x +∈．
解法二：因为题目没有特别说明ABC ?是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则
立刻变为线性规划问题了．
2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个． 答案：30个
好题速递2
1．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1
[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子
90
n a n
+的最小值为 ． 【答案】13．
【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ??=??,其间有1个整数； 当[),1n i i ∈+,1,2,
,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ??≤<+??,其间有i 个正整数,故
(1)
112(1)12
n n n a n -=++++-=+,9091122n
a n n n +=+-, 由
91
2n n
=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种． 答案：192种
好题速递3
1．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为 ．
解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE
所以1OD OE ED ≤+
当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．
2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种． 答案：30种
1． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()1
0y x x
=
>图象上一动点．若点,P A
之间的最短距离为a 的所有值为 ． 解：函数解析式（含参数）求最值问题
()2
222
2
2211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ???????
???=-+-=+-++-=+-+- ? ? ? ??????????
???
因为0x >，则1
2x x
+
≥，分两种情况： （1）当2a ≥
时，min AP
，则a =（2）当2a <
时，min AP ==1a =-
2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种． 答案：90种
好题速递5
1．已知,x y ∈R ，则()
2
2
2x y x y ??
++- ??
?的最小值为 ．
解： 构造函数1y x =，22
y x =-，则(),x x 与2,y y ??- ??
?两点分别在
两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y ?
?- ??
?
之间的距离
平方，
令2220802y x m x mx m m y x =+???++=??=-=?=?=-??
所以y x =+1y x =平行的22
y x
=-的切线，故最小距离为2d =
所以()
2
2
2x y x y ??
++- ??
?的最小值为4
2． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种．
答案：140种
好题速递6
1．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的
离心率分别为12,e e ，则
12
12
e e e e +的值为（ ） A ．1r 和2r 中的较大者 B ．1r 和2r 中的较小者 C ．12r r +
D ．12r r -
解：取12,O O 为两个焦点，即1c =
若C 与12,O O 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=- 若C 与12,O O 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+ 因此形成了两条双曲线．
此时2121
1212212111
221122
r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e +=
2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种
植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种． 答案：6种
好题速递7
1． 已知12,F F 是双曲线
()222
2
10,0x y a b a b -=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的
一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()22
2f x x x x =+-，则()f e = ．
解：()222,x y c M a b b
y x a ?+=???=?
?
1F M b k a c =
+，所以ON b k a c =+，所以ON 的方程为b y x a c
=+，
所以
22
22
1x y a a c a b N b y x a c ?-=???+????=?+?
又N 在圆2
2
2
x y c +=
上，所以
22
2a a c c ????++= 所以322220e e e +--=，所以()22
22f e e e e
=+-=
2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个． 答案：28个
好题速递8
1． 已知ABC ?的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且19
1a b
+=，则c 的取值范围
是 ．
解：由题意知，,a c b c ≤≤，故191910
1a b c c c
=+≥+=，所以10c ≥
又因为a b c +>，而()1991016b a a b a b a b a b ??
+=++=++≥ ???
所以16c <
故综上可得1016c ≤<
2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种． 解： 48种
好题速递9
1．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ． 解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ??
∈-????
由20OA OC =得：5
22cos λθ
=+
所以()()
[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθ
θθθθ-=?
?==∈-++--
2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种． 答案：20种
好题速递10
1．点D 是直角ABC ?斜边AB 上一动点，3,2A C B C ==，将直角ABC ?沿着CD 翻折，使'B DC
?与ADC ?构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ．
解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ， 设'BCD B CD α∠=∠=，
则有'2sin ,2cos ,2
B E CE ACE π
ααα==∠=-
在AEC ?中由余弦定理得
22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα??
=+--=+- ???在'RT AEB ?中由勾股定理得
22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4
π
α=
时，'AB 取
2．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 种． 答案：45种
好题速递11
1．已知函数()421421
x x x x k f x +?+=
++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()
123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ． 解：()4211
11421
21
2
x x x x x
x k k f x +?+-=
=+
++++ 令()110,1
3212
x x g x ??
=
∈ ???
++ 当1k ≥时，()2
13
k f x +<≤
，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2
23
k +≥
，所以14k ≤≤ 当1k <时，
()2
13
k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x
为三边长的三角形，只需
2
213
k +?
≥，所以112k -≤<
综上可得，142
k -≤≤
2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种．
答案：55种
好题速递12
1．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数
a 的取值范围是 ．
解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+???????? 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+
所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+ 所以11a -≥+，即2a ≤-
2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种．
答案：31116322C C C C 种
好题速递13
1． 已知定义在R 上的函数()f x 满足①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在
[]1,1-上的表达式为(
)[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈??，则函数()f x 与函数()1
2
2,0log ,0x
x g x x x ?≤?=?>??的图象在区间[]3,3-上的交点个数为 ．
2． 若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 ． 答案：2
好题速递14
1．
()f x 是定义在正整数集上的函数，且满足
()12015
f =，()()()()212f f f n n f n ++
+=，则()2015f = ．
解：()()()()212f f f n n f n +++=，()()()()()2
12111f f f n n f n ++
+-=--
两式相减得()()()()2
211f n n f n n f n =--- 所以
()()
1
11
f n n f n n -=-+ 所以()()()()()()()()201520142201420132012
121
201512015201420131201620152014
320161008
f f f f f f f f =
??=??
?==
2．
有 种． 答案：144种
好题速递15
1． 若,a b 是两个非零向量，且a b a b λ==+，λ?
∈
???
，则b 与a b -的夹角的取值范围是 ．
解：令1a b ==，则1
a b λ
+=
设,a b θ=，则由余弦定理得()2222
1
111cos 1cos 22λπθθλ+-
-=
=
-=-
又λ?∈???
，所以11cos ,2
2θ??
∈-????
所以2,33ππθ??∈????，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ??
-∈????
2． 若(n x 的展开式中第三项系数等于6，则
n = ． 答案：12
好题速递16
1． 函数()2
2
f
x x x =
+，集合()()
()
{},|2A x
y f x f y =+
≤，
()()(){},|B x y f x f y =≤，则由A B 的元素构成的图形的面积
是 ．
解：()()(){}()()
(){}
2
2
,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=
+++≤
()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤
画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=
2． 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种． 答案：1680种
好题速递17
1． 在棱长为1的正方体
1111ABCD A B C D -中，112
AE AB =
，在面ABCD 中取一个点F ，使1E F F C +最小，则这个最小值
为 ．
解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD 于一点，即为所求点F ，使1EF FC +最小．其最小值就是2EC ．
连接212,A C B C ，计算可得2121AC B C AB ==，所以
12AB C ?为直角三角形，所以2EC =
2． 若()6
2601261mx a a x a x a x +=++++ 且123663a a a a +++
+=，则实数m 的值
为 ． 答案：1或-3