高等数学B(上)复习资料
华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导
一、 求函数值 例题：
1、若2()f x x =，()x x e ?=，则(())f x ?= ． 解：()
2
2(())()x
x x f x f e e
e ?===
2、若(1)21f x x -=+，则()f x = ． 解：令1x t -=，则1x t =+ 所以()2(1)123f t t t =++=+
即 ()23f x x =+
二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小：
0~sin ~tan ~arcsin ~arctan x x x x x x →时,
~ln(1)~x x x e +-1
211cos ~,2x x -1
1~2
x -
无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用
相应的等价无穷小替换
例题： 1、320sin 3lim x x
x
→= 解：当0sin3~3x x x →，
， 原式=3
200(3)lim lim270x x x x x
→→==
2、0sin3lim x x
x →=
解：原式=03lim
3x x
x
→=
3、201-cos lim
x x
x
→= 解：当2
10cos ~2x x x →，1-
原式=220112lim 2x x
x →=
4、0ln(13)
lim
x x x
→+=
解：当03)~3x x x →，ln(1+
原式=.03lim
3x x
x
→=.
5、201
lim x x e x
→-=
解：当201~2x x e x →-，
原式=.02lim 2x x x →=.
三、 多项式之比的极限
2lim 03x x
x x →∞=+，22
11lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x
→∞+=∞
四、 导数的几何意义（填空题）
0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率
曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为：
000()()()y f x f x x x '-=-
曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为：
0001
()()()
y f x x x f x -=-
-' 例题： 1、曲线44x
y x
+=-在点(2,3)M 的切线的斜率． 解：2
22
(4)'(4)(4)(4)(4)x x x x x x y x =='
+--+-'=
- 2
2
82(4)x x ==
=-
2、曲线cos x x
y e =在点(0,1)M 处的切线方程．
解：2
(cos )'cos ()()x x x x x x e x e y e =='
-'= 2
sin cos 1()x x
x x xe xe e =--=
=-
所以曲线cos x x
y e
=
在点(0,1)M 处的切线方程为： 1(0)y x -=--，即10x y +-=
3
、曲线y =
在点(1,1)M 处的切线方程． 解：5
3
11
223
3x x y x =='=-=-
所以曲线y =
在点(1,1)M 处的切线方程为：
2
1(1)3y x -=--，即2350x y +-=
五、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分 复合函数求导的链式法则：
d d d (),()[()]:
d d d y y u y f u u g x y f g x x u x
==?==?
()()().y x f u g x '''=?或
微分：()dy f x dx '= 例题：
1
、设y =，则'y =
解：()(
)1'
2
221112
y x x -'=+?+=
2、设2sin y x =，则'y = 解：()'
'
2
22
cos 2cos y x x
x x =?=
3、设sin 2x y =，则dy = 解：()'
'
sin sin 2
ln 2sin 2cos ln 2x
x y x x =?=
则dy =sin 2cos ln 2x x dx
4、设sin x y e =，则dy = 解：()'
'
cos cos x
x x
x y e e
e
e =?=
所以cos x x dy e e dx = 5、设2
x y e -=，则dy =（答案：2
2x xe
dx --）
六、 运用导数判定单调性、求极值 例题：
1、求ln y x x =的单调区间和极值． 解：定义域(0,)x ∈+∞
令ln 10y x '=+=，求出驻点1x e -=
函数的单调递减区间为1(0,]e -，单调递增区间为1(,)e -+∞
极小值为11
()y e e
=-．
2、求x y xe -=的单调区间和极值． 解：定义域(,)x ∈-∞+∞
令(1)0x x x y e xe x e --'=-=-=，求出驻点1x =
函数的单调递减区间为[1,)+∞，
单调递增区间为(,1)-∞，
极大值为1(1)y e -=．
3、求函数.2
()x f x e
-=.的单调区间和极值．
解：定义域(,)x ∈-∞+∞ 令2
()2x f x xe -'=-，得0x =
单调递增区间：(,0)-∞，单调递减区间：(0,)+∞， 极大值为(0)1f =．
4、求函数31()3f x x x =-的极值．答案：极小值为2
(1)3y =-，
极大值为2
(1)3y -=
七、 隐函数求导 例题：
1、求由方程2sin 0x e y xy +-=所确定的隐函数()y y x =的导数
dy
dx
． 解：方程两边关于x 求导，得：
2cos (2)0x e y y y xy y ''+?-+=
即 2cos 2x
y e y y xy
-'=-
2、求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数
dy dx
．
解：方程两边同时关于x 求导，得：
sin()(1)y x y y ''=-++
即
sin()
1sin()
x y y x y -+'=
++
3、求由方程sin()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dy
dx
． 答案： cos()1cos()dy x y dx x y +=-+
4、求由方程ln ln 0xy x y ++=所确定的隐函数()y y x =的导数dy
dx
． 答案： dy y dx x =-
八、 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理 例题：
1、求极限01
1lim 1sin x x e x →??- ?-?? 解：原式0sin (1)
lim (1)sin x x x x e e x
→--=-
20sin (1)lim x x x e x
→--=.()0sin ~,1~x
x x x e x →- 当时，.
0cos lim 2x
x x e x
→-=
0sin lim
2
x
x x e →--= 12=-
2、求极限3
sin lim
tan x x x x →-00??
???
解：原式=30sin lim x x x
x
→-()0tan ~x x x → 当时， 201cos lim 3x x
x
→-= =2
2012lim 3x x
x → 2101cos ~2x x x ??→- ??
? 当时， 1
6=
3、求201lim x x e x x →--00?? ???
（答案：1
2）
九、 原函数、不定积分的概念及其性质 知识点：
设()()F x f x '=，则称()F x 是()f x 的一个原函数，
()F x C +是()f x 的全体原函数，且有：
()()f x dx F x C =+?
例题：
1、( )是函数33x x +的原函数． A ．2
33x +
B ．42
1342x x + C ．42x x +
D ．42
1142
x x +
解：因为4231334
2x x x x '
??+=+ ???
所以42
1342x x +是33x x +的原函数．
2、( )是函数2cos x x 的原函数． A ．2
2sin x -
B ．2
2sin x
C ．21
sin 2x -
D ．21
sin 2
x
解：因为22211sin (cos )2cos 22
x x x x x '??
=?= ???
所以21
sin 2x 是2cos x x 的原函数．
3
是( )的原函数
A ．12x
B
C ．ln x
D
解：因为
'
=
的原函数．
4、( )是函数1
x
的原函数．
A ．21x
B ．21x -
C ．ln x -
D ．ln ||x
解：因为()1ln ||x x
'=
所以ln ||x 是1
x
的原函数．
十、 凑微分法求不定积分（或定积分）
简单凑微分问题：2x e dx ?，sin 4xdx ?，cos5xdx ?,ln ln xd x ? 一般的凑微分问题
：
?
，
?
，sin 1cos x dx x +?，ln x
dx x ?
例题： 1
、?
解：注意到2(1)2x x '-=- 原式
=()2112x -
-
?C ??=+ ???
参考公式 ()
1
22
1x C =--+
2
、?
解：注意到2(23)6x x '-=-
原式21=(23)6x --
3
2
23x C ??=+ ???
?参考公式
=31
9
C -+
3、sin 1cos x dx x
+?
解：注意到(1cos )sin x x '+=-
原式1=(1cos )1cos d x x -++?1ln ||dx x C x ??
=+ ???
?参考公式
=ln |1cos x |C -++
4、5x e dx +?
解：原式=5(5)x e d x ++?()
x x e dx e C =+?参考公式
=5x e C ++
5、cos5xdx ? 解：原式1
cos5(5)5
xd x =
?()
cos sin xdx x C =+?参考公式 1
sin55
x C =+
6、sin 3xdx ?
解：原式1
sin3(3)3
xd x =?()
sin cos xdx x C =-+?参考公式
1
cos33
x C =-+
十一、 不定积分的第二类换元法——去根号（或定积分）
等 例题：
1
、求不定积分
t =，则221ln(1)x e t x t =-?=- 2
21
t
dx dt t =
- 原式=22121
211t dt dt t t t ?=--??
1111
dt dt t t =--+?
? ln |1|ln |1|t t C =--++
ln |1|ln |1|C =--++
2
、4
?．
t =，则22x t dx tdt =?= 当0042x t x t ====时，；当时，
原式=2
2001
11221+t 1+t
t tdt dt +-?=??
2
2
0012()1+t
dt dt =-??
2
02(2ln |1|)t =-+ 2(2ln 3)=-
3
、1
0?
t =，则21x t =-，2dx tdt =
当0x =时，1t =；当1x =
时，t =
原积分21
1)2t t tdt =-?
421
2)t t dt =-
531
125
3t t ?=-??
4
1)15
=+
十二、 不定积分的分部积分法（或定积分）
诸如sin x xdx ?，cos x xdx ?，x xe dx ?，x xe dx -?，
ln x xdx ?，可采用分部积分法
分部积分公式：()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-??
例题：
1、求不定积分sin x xdx ?． 解 sin (cos )x xdx xd x =-??
cos (cos )x x x dx =---?
cos cos x x xdx =-+?
cos sin x x x C =-++
2、求不定积分x xe dx -? 解 x x xe dx xde --=-?? x x xe e dx --=-+?
x x xe e C --=--+
3、求不定积分ln x xdx ?
解 21
ln ln ()2x xdx xd x =??
22
11ln ln 22
x x x d x =-?
211
ln 22
x x xdx =
-? 22
11ln 24
x x x C =-+
十三、 定积分的概念及其性质
知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等
例题：
1、定积分2
3a
x a x e dx -?等于 ．
解： 因为2
3x x e 是x 的奇函数，所以原式=0 2、定积分23sin a
a x xdx -?等于 ．
解： 因为23sin x x 是x 的奇函数，所以原式=0
3、定积分22
sin 1x x
dx x π
-π+?等于 ．
解： 因为22
sin 1x x
x
+是x 的奇函数，所以原式=0
十四、 变上限积分函数求导
4
3
'()(),()x a
F x f t dt F x ==?
则______
解
33''
()()()F x f x x =233()
x f x ＝()C 变上限积分函数的导数公式
()
[]'
()
'()()()
x a
f t dt f x x Φ=ΦΦ?
例题：
1、 设函数
()f x 在[,]a b 上连续，3
()()x a
F x f t dt =?
，则()F x '=
（ C ）．
A ．()f x
B ．3()f x
C ．233()x f x
D ．23()x f x
2、设2
1
()arctan x f x tdt =?，则()f x '=22arctan x x ．
3、设30
()sin x
f x t dt =?，则()f x '=3sin x ．
十五、 凑微分法求定积分（或不定积分） 思想与不定积分类似 例题：
1
、1
0x ?
解：注意到32(1)3x x '+=
原式301(1)3x =+
?32
23x C ??=+ ???
?参考公式
=1
30
2
9
2
1)9
=-
十六、 定积分的第二类换元法——去根号（或不定积分， 思想与不定积分类似
例题： 1
、4
?．
t =，则22x t dx tdt =?= 当0042x t x t ====时，；当时，
原式=2
2001
11221+t 1+t
t tdt dt +-?=??
2
2
01
2()1+t
dt dt =-??
2
02(2ln |1|)t =-+ 2(2ln 3)=-
2
、1
0?
t =，则21x t =-，2dx tdt =
当0x =时，1t =；当1x =
时，t =
原积分21
1)2t t tdt =-?
421
2)t t dt =-
531125
3t t ?=-??