通信原理(第六版)1-7章课后答案_0001

'。5 习题解答 .

· -·已知英文宇-母 e出现的概率为 0. 105,?出现的概率为 0.002,i式求 e和解的信息量。解 e的信息量

f, e log.p右 =-1og2P(e) m-log.0.105 = 3.25 (:b it) 知的償息量

「. = log.p右高 -1og.P(”) =-l og.0.002 _ 8.97 (bit)

评注: 概率越小,信息量越大。

'-2 某信源符号集由 A、B、C、D和E组成,设每一符号独立出现,其出现概率分别为1/4,l/

8,1/8,3/16和5/16。试求该信程l源符号的平均信息量。

解平均信息量(婀)

9(先) =- 3P(·;)'°9·P(·;)

一 -j-'。g2 -j- - 合'。g2 十 - 十'。g2 告 - 養,。g.是 - 是'。g2 養.= 2.23 (b','

符号)

' -3 设有4个符号,其中前3个符号的出现概率分别为1/4 ,l/8 ,1/8 ,且各符号的出现是相对独立的。试计算该符号集的平均信息量。解各符号的概率之和等于l ,故第4个符号的概率为1/2,则该符号集的平均信息量为

膚? --j-1。g2j-2 x告l。g2告一告1。動告 = 1-75 (bi'/符号)

l-4 设有一个由字母 A、B、C、D组成的字,传输每一个字母用=进制码元编码,“00”代替 A,,“01”代替 B,“10”代替C,“ll”代替 D,每个码元宽度为-5mg。

( 1 ) 不同的字母是等可能出现时,试计算传输的平均信息速率;

一一一 (2)若每个字母出现的可能性分别为

pA= _1_, pn益_1_,pc= 1,p =i

5 4 4 o l0 试计算传输的平均信息速率。

解 ( 1 ) 一个字母对应两个=进制码元,属于四进制符号,故一个字母的持续时间(码元宽度)为2 x5me,传送字母的符号速率为表

o=2x5:10: = 100 (9) . 等概时的平均信息速率

置b= 置n1og.M= 量.1og24 ? 200 (bit/s) (2)平均信息量为

置 = 告log.5+-j-log24+j1og24+ 高1og2学 = l.985 (bi,/符号)

非等概时的平均信息速率为

表b= 及B· l f = 100 x1.985益198.5 (bit/s)

评注: 符号速率(码元速率)仅与码元宽度有关;

等概时;;1t能获得最大信息速率,这是因为等概时有最大f商。

l -5 国际摩尔斯电码用“点”和“划”的序列发送英文字母,“划”用持续3单位的电流脉冲表示,“点”用特续1个単位的电流脉冲表示;且“划”出现的概率是“点”出现概率的l/3 。

(1)计算“点”和“划”的信息量;

(2)计算“点”和“划”的平均信息量。.解 (1)设点与划出现的概率分别为P.和P_ ,

已知P_ =1P. ,且P_+P. =1,故得P_ = -j-,P. =号,则点的信息量为

f.益log2ff = log2手 =0.415 (bit)

划的信息量Z2

f_= 1og2j = log24 = 2 (bit)

(2)平均信息量为 .

9 =jxf.+-j-xf_E0.81 (bit/符号)

1 -6 设某信息源的输出由128个不同的符号组成,其中16个出现的概率为1/32,其余112个的出现概率为l/224。信息源每秒发出1000个符号,且每个符号彼此独立。试计算该信息源的平均信息速率。

解每个符号的平均信息量

# = 16 X3jlO9232+112 X 念l?g2224 = 6.405( bit/ 待号)

已知符号速率盘a=1000(B) ,故平均信息速率 .

量b,=RE-f = 1000 x6.404 =6.405 x103 (bi l/s)

1 -7 设某数字传输系统传送二进制码元的速率为2400B d ,试求该系统的信息速率;若该系统改为传送16进制信号码元,码元速率不变,则这时的系统信息速率为多少? (设各码元独立等概率出

现) . 解 (1)二进制

时,.Rb=.Rn=:2400- (bit/s)

(2) 16进制时,.R1,=量B1og2l6選2400 x4=9600 (bit/s)评注: 码元速率不变时,通过增加进制数 M,可

以提高信息速率。

1-8 若题1 -2中信息源以1000B速率传送信息。 (1)试计算传送1h的信息量; (2)试计算传送1h可能达到的最大信息

量。 . 解 (1)由题1-2可知信息源的先商 .

9 = - jl°92 -j--2 x ;log2 ? - 養l og2 告 - 是lig。

( bit/ 符号)?益2.23

故平均信息速率

表b= 量n·F 器1000 x2.23 =2.23 x103 (bit/s)

传送1h的信息量·

f出 Rb·i=2.23 x103 x3600出8.023x106 (bjl) (2)等概时的信息脑最大。由式(1. 2 _4)可得

9m? =1og25 =2.33 (bit/特号)

此时平均信息速率最大,故有最大信息量

fM益(.Rn·直m_) ·t=1000x2.33x3600=8.352x106 (bjt)

评注: f商建立了信息速率与码元速率的关系。因此,当码元速率不变时,描越大,信息速率就越大,在一定时间内传送的信息量也就越多。

l-9 如果二进制独立等概信号的码元宽度为 0.5ms,求.Rl1和及b;若改为四进制信号,码元宽度不変,求传码率置n

和独立等概时的传信率置b。.13

Kb 2400 R

s(') -1

30

解 (1)已知码元宽度 l 「=o.5ms,则码元速率

KB =j- =2ooo (B)

二进制时,信息速率等于码元速率,即. Rb 最Rn=2000 (bit/s)

(2) 著码元宽度不变,则码元速率也不变,即仍为200oB,故四进制时,且独立等概发送,信息速率

为 ,R l,=,Rn ·1og24器2000 x2 =4000 (bit/s)

评注: 码元速率 量B 仅与码元宽度有美,而与进制数无关,与各符号出现的概率无关。

码元速率 RB 一定时,信息速率随进制数的增加而增加 。

l -10 已知某四进制数字传输系统的信息速率为24oOb/s,接收端在 0. 5h 内共收到216个错误码元,试计算该系统

的误码率 」P.。 解 码元速率为

= 1200 (B)

一B- 1og2M- 1og24 - -- 、一·

0. 5k(1800s)内传送的码元个数为 fV ?KB ·i= 1200 x1800 - 2.16 x106 (个)

错误码元数 Ne a216个,因此误码率 」P.为 p 。 ?生 重_f16。6 = ,o, N 2.16xl0

2。..5 习题解答

(说明:本节中引用的公式序号与?通信原理?(第6版)的一致) 2-1

试证明图 u-1中周期性信号的频谱为

s(,) =;告j 器c 。s(2n+ 1) π,

证明 取区间一1/2≤t ≤3/2作为一个周期进行计算,并令

周期 f 。=2,则由式(2. 2 - 1)可得

c.=c(,,M 。) 類六f:2s(t)ej2'成'd,=

一2 图 P2-1 信号s(,)的波形

士2

3

j[f:as(')e-Jd'] = j[f::e-Pd'_

f:e-'前d,] =

1 [e-jma_ej 前a]_ 1 [P ·一 e-i 前a _

-j2n71-n11;e - ]-

n 毒sin(学)- 毒e-sin(学) =

{i -

l n π

言[1-COS(lt 元)]Sin(子)- _j =4&+

n π n 3

o n ?偶

将上式代入式(2.2 -2) ,得到

s(t) 続'.che,nKaa · =

ef ”'_ efT')

告COS (7「t) -3美COS(3πt)十5美COS(5?t)--·- =

告差器cos(2n+1) T,

【证毕]

2-2 设一个信号s(t)可以表示成

s(t) H2oos(27l;t 十0) -oo<.l

试问它是功率信号还是能量信号,并求出其功率谱密度或能量谱密度。 . 解 (1)它是功率信

号。 . (2)计算其功率谱密度:信号的振幅A 最2,基频.f 。 =i ,周期 f 。 ? 1,先求此周期性

信号的傳里叶级数的系数lC. l ,由式(2.2-1),得

Cn 最告f::2s(i)eP 一明fdt= f::a2cos(2-)e'波「adt=

[e i OW 十e-j ″Sin(1十n)'「f] =0土1

(1 n )1t (1+n)71; n 或者写成

{J ?

1o C ·響 e0

所.以,仅当 nH :'1时,上式才不等于0,并且得出

n 器十1

n=-1 其他

于是

2

国i l1i 一Z- '一、J'' 商能量谱密度为 I S(f) l2 =4/(1+47'''f2) 2 -4 试问下列函数中哪一些满足功率谱密度的性质:(1)δ(f) 十cos227l:f

(2)a 十δ(f-a) (3) exp(a_f2)

[提示: 可以用式(2. 2 -44)验证。]

解 由式(2.2-44) P 置 f:Puf,得

(1)δ0 十 cos22 体f

Cn1=1 n=士1

Cnl2=1 n 意土1

将上式代入式(2. 2-48) ,得到 s(t)的功率谱密度.

P(f) = l I C(f) l2δ(f-n 明。) ,ii(f-f 。)+,ii (f+f 。)

n_-0

2-3 设有一信号如下: ·

· {2e x p(-t) t ≥0

前(t) =

0 t<0

试问它是功率信号还是能量信号,并求出其功率谱密度或能量谱密度 。 解 (1)计算

此信号的能量:

e2'dt ?_2[ea]: =_2(0_1)器2 (有限值)

所以此信号是能量信号。

(2) 计算其能量谱密度:首先计算其频谱密度

su =f:2e-'e-'a 常fdt 最 2 f:e-('+」aKn'd

-2 」.0_1]= 2 1十 1+j27「f

lSff) l =

- (1十j21t f

[e-(1+'nfn;]j;裁

P 意f:a[δ◆ + cos22元f]f = f:。δuy+ f:noos'2

体fy =

1+[jf+8高sin4π4:。

=°°

不满足功率谱密度的性质 。

(2) a 十δ(f-a)

P= f:[a+δ(f- a)](1lf= a

32 f:。f + f:a,δ( -a)f=afl:。+1 =°°

P(f 33

不满足功率谱密度的性质 。 (3)

exp(a_f2)

p ?

f:e °一fdf = ea

f:e-fd-a ?

(上式最后一步利用了积分公式:f:e-a ·的出 2

表f)

满足功率谱密度的性质。 2 -5 试求出 s(t)

=Aoosot 的自相美函数,并从其自相美函数求出其功率。

解 对·于周期性功率信号,自相关函数的定义为

及(7) = 女f::,s(t)s(t+r)dt -a

所以有

R(r) 裁女

(2行t/:「o)cos [2·「l :(t 十r)/:「o]dt ?

(A2/1「o) f::2l cos(271i /:「o)[cos(2Ti/:「o)cos(27r11/「1o) f sin(2%t/fo)sin(2m/1「l1)]l

dt ?

(A2/「o) {cos(2'f l :t/1「o) 2基[j(2先f/1「o )+ j s in(4元i;「of:2 -

sin(2'1:·z /1「o) 2基[jsin2(2'1:/:「o)]::2} =

(.a ',,r 。) {手c 。s(2-。) _o}裁 等。。s(f)

其中,1「o=2·r,1/o 。

平均功率为

P=-=等

功率谱密度为

= f:表(r)e'2'Pd τ= 手 f:c 。s(于)eP 资dr

等[S(f-fo)+3-o)] 其中,.f1。=1/1「。

2 -6 设信号 s(t)的傅里叶变換为 S(f) =sin Tf πf,试求此信号的自相美.函数 最.(7) 。

解 由式(2.2-25)可知,著令该式中r=1,则

S(f) =0(f

所以,直接得知

一1/2ls(_o l1/2 f

要一mp1_

-''2 'fi:if)1 ' m 経W 一1/2-11 1/2 t 入R'(t)!、 h

{1 ltl ≤1/2

s(i)演

0 lt1 >1/2 由自相美函数定义式(2. 3 -

1) ,并参照下图,可以写出

。

{f::a1·d' -1-

最。(T) 最fHS(t)S(t+「)dt= la 装

f1a1·dt 0≤「≤1

{1十「 -1≤「≤0=1_lrl _1≤r ≤1

1-r 0≤r ≤1

.i ?

-1 0

2 -7 已知一信号 s(t)的自相关函数为

及o(7) =;e-Md

(1 )试求其功率谱密度 P (f) 和功率 P;

(2)试画出表。(r)和Pn(_f)的曲线。 - 解.(1)由式(2.3-14b),得 P 。u 差 f:a 最(r)e 」融f 资dr=;·

t a,=常数

2Af

h2

h四

P=置.(0) =h/2

(2) R。(r)和 Pn(f)的曲线:

2 -8 已知一信号 s(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数:

K(r) =1- lrl -1≤r<1

试求 s(t)的功率谱密度 P。 (f)并画出其曲线。·解 (l)对」R(·r)进行傅里叶变换,得到

PT(f)裁 sinc2(7f)

3

49

0 /

P.(f) = 学jPr (f)δ(f- 手) = 行jsinc2(ff)δ(f 一号)

(2)功率谱密度P,(f)曲线:

-2-3/2-1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2 f

2-9 已知一信号 s(t)的双边功率谱密度为

{10-;f2 _10kHz

P(f) = ·

o 其他

试求其平均功率。

解 s(t)的功率为

P f:。P 。u-o4 f:二f2d-o' · jf3]“為 j1o9

·3。5 习题解答 3-1 设X 是 a

建o,o- 組1的高斯随机变量,试确定随机变量 r= cx + d 的概率密度函数f(1y ) , 其中o,d 均为常数。

解 因为高斯随机变量经过线性变换后仍是高斯型,所以.y 也是高斯随机变量。 「的均

值:.E'[「]益通

[aX+d]==d · l'的方差:

n[「] :二.1i [(r_d)2] =B[(or)2] -o2g[(21)2j ;益ca. o ·=c2

r的概率密度西数:

f(y) = 右exp(_ -)

3 -2 设一个随机过程f(t)可表示成 e(t) = 2cos(2πi十l9)

式中,0是一个离散随机变量,且 P(θ=0°) = 1/2、P(θ=f/2) 整 1/2,试求 9f(1)及置f(0,1 ) 。

解在,= 1时,i(,)的均值: 9f(1):=?i'[2cos(2Tt十θ)] 1‘.1 =29[cos(2元十θ)] =

29[cosθ] = 2(jcos0°+jcos号)= l

在 t, ?0,t2 =1时,f(i)的自相芙題数

Kf(0,1) =9[f(0) ·l f(1)] =9[2cosθ·2cos(2f十θ)] =

.8'[4cos2θ] = 4(jo os20°+jcos2号) 報 2

3 -3 设随机过程 y(t) =K,cosωa,-X,sinω。t,若,「,与;「,是彼此独立且均值为 0、方差为o,2的高新随机变量,试求: (1) g[y(t)]、g[「2(t)];

(2) 「(t)的一维分布密度函数f(y) ; .(3) 足(t1,t2)和B(t;,t2). . 解 (1) 通[「(t)] =9[Xlcos0ot-X2sin ωot] =

cosωot· l f[Xl] -sinooi·通[X2] =0

g[「2(t)] 器g[(11c osj0ot-X2s in0oi)2] = cos20ot·通[X12]-si通ωt· 9[X I X2]十sin2ωot· 9[X22]

因为X,和K2相互独立,所以g[.X1.X l t]

=g[.Xl] ·il1[X2]又因 9[X1]=9[X2]出0,所以.. 9[Xf]置通[X量] = r2

故 g[「2(l)] = (cos2ωot十sjn2ool) ·f2 = f2 1「(i)的方差 . 」0[「(j)] =g[「2(l)] _g2[「(j)] =o,2

(2)因为 X,和X2服从高斯分布, 「(i)是X,和 X2的线性组合,所以 y(i)也服从高斯分布,其一维概率密度函数

f(y)= 右exp(_2券) 50

(3) R(il,t2) ng[「(i1) ·「(t2)]毒

g[(.X I COS00tl -X2Sinω0t1)(.X I COSω0t2 -X2Sinω0t2) ] =

σ2[COSω0tlCOSω0t2 十Sil lω0t1Sin00t2]最 0·2cosω0(t1 -t2)最0-2cosω0(t2-t1) =

f2 · cosor

其中, r=t2 -i1 。

8(tl,t2) = 長(tl,t2) -g[i(i1)] ·g[Z(t2)]

因为9[?(i)] 準0,所以 .

B(t l,t2) =R(t1,i2) =0·2cos10o「

3 -

4 已知 X('l)和「('l)是统计独立的平稳随机过程,且它们的均值分别为 a.r和 ar;自相美函数分别为表.(r)和 R,( r) 。 . (1)试求乘积Z(i):=.X(t) · y(t)的自相美函数。

(2)试求和 Z(i) =.1t(,l)+「(i)的自相关函数。

解 (1) IR z(t1,i2) =g[Z(il) ·Z(i2)] =g[.;「(i1)1「(i1) ·X(t2)「(t2)]= ; i[X(t1)X(t2) ·y(t1)y(12)]器g[X(i1).X(t2)] ·1g[y(i1)「(t2)] (.X,「独立)=,

Rr(tl,t2) · Ry(t1,t2) =正r(r) ·表r(r) (1「,「平稳)

(2) 表z(i1,t2)=」ll1[Z(l1) ·Z(t2)]器

石l[X(fl)十1'(i1)][;「(i2) 十y(t2)]l =

石[X(il).X(1l2) 十X(tl)「(i2)十y(i1).X(i2)十y(il)「(t2)] = Kf(·「)十aK,ar十ara?十量y( 「) 二=ft.f(「)十置r(·r)十2a?ay

评注: 两个独立的平稳随机过程,其乘积的自相关函数等于它们各自的自相美函数的乘积;其和的自相美函数等于它们各自的自相美函数的之和,并外加两者均值之积的2倍。

3 -5已知随机过程 z(t) =m(t)cos(ωet+θ) ,其中,m(t)是广义平稳过程,且其自相美函数为

{1十「 -1<-)

足m(·r) = 1_·r 0≤τ<1

o 其他 .

随机变量θ在(0,27f )上服从均匀分布,它与 m( t)彼此统计独立。

(1)证明z(i)是广义平稳的; (2)试四出自相关函数.ii:(r)的波形;

(3)试求功率谱密度 P_(f)及功率 S。

解 (1)欲证随机过程 z(i)广义平稳,只需验证名( t)的均值与时间无美,自相关題数仅与时间间隔r有关即可。

由题意可知,m(t)的均值为常数1f(l9) 業2美,(o≤θ≤2 r) ,所以

9[z(t) n9[m(t)cos(oo?十θ)] 9 9[m(t)] -,9[oos(oot十θ)] [因为m(t)独立] =

f[m(i)] · fKoos(ωot+θ) 2告dθ= 0

f1

及.(t1,t2) =g[Z(tl)Z(t2)] =

g[m(t1) -cos(ω0t1十θ) ·m(t2) ·COS(00t2十0)]重

g[m(tl) ·m(t2)] ·g[coS(0otl 十l9) ·COS(a00t1十0)] ?

nm(r) ·通{_j_cos[2θ+0o(tl+t2)]+-j-00s0o(t1 -ta)}=

量m(r) , {19[j-cos[20十oo(t1十t1)]]+通[jCOSωo(tt-t2) ] } =

表n(r) · [0+-j-eo s oo(t,-t2) ] = 置国(r) ·一j-oosoor= 及.(「)可见,z(t)的均值与 t无美,自相美藍l数仅与时间间隔r有美,故 z(i)广义平稳。

(2) 表:(r) =j最国(r) · cosoor?

jj('+r)c。s。。 -' <-

j(1_r)cosoor 0≤r<1

o 其他

其波形如图3 -7所示。

图3-7 自相关函数,R,(r)的波形 ,,(3)因为z(t)广义平稳,所以其功率j着密度P.(o)?R:(r)。由图3 -7可见,j R(?)的渡形可视为余弦函数与三角波的乘积。利用傅里叶变換的频域卷积性质,可得

p二(。) =2去. ,,[δ(ω+o。) +δ(ω一o。)] * jSa2(号 x1)=

j[sa2(学)+Sa2(学)]

平均功率

s=,R.(0)量j 3-6 已知噪声n(l)的自相关函数为

53

量.(?) = je-''·' f,为常数

(1)试求其功率谱密度 P.(f)及功率jv ;

(2)试画出 量n(r)及」P.(f)的图形。

解 (1)对于平稳过程 n(t) ,有 P.(ω),1=,·.1tn (r) ,因此

p.(o) =f:量一e-'Mdr;f ehe-'Md+告fe-·e 一如·dr=

;[,高 - &高]組 高

f V =.R.(0)益 ; (2) 最.(r)和 Pn(f)

的.图形如图3 -8所本。

表.(T)

f 图3-8一和Pn ?的图形 . ~本和一i

?· · 樹 , - 、 本_

3-1 -i 均值为 a,自相美函数为量.(r)的平稳随机过程X(t)通过一i 线性系统后的输出过

程为 「(t) =X(t)+X(l-1「) l 「为延迟

时间 (1)试画出该线性系统的框图;

(2)试求 y(t)的自相关函数和功率谱密度。 解 (1)线性系统框图如图3-9所示。

(2) 根据平稳过程 X(t)通过线性系统后的输出过程 y(t )也是平稳的,以及由维纳一辛钦定理可知 最

r(r),t=;·P r (ω) ,.Ry(r)·t=;·Pr(ω)。 1「(t)的自相美函数为

图3-9 线性系统框图

及r(?) =19[】「(t)「(t十r)] =il[X(t)十K(t-「)][K(i十r)十X(t十「一「)]l 8

g[X(t)X(t十 t) -l.X(i)X(t十「一「)十X(i- 「).X(i十「) 十X(i- 「)X(t十「一「)] 指

JR?(r)+RT(·r-「)+表x(r十l「)+Rr( r) =2最r(r) +Kx,(?-「)+」R1r(7+「)

功率谱密度为

Pr((0) = 2pA,(ω)十Px(ω)eiJ「十Pr(ω)ej°「当 2(1 十cosω「)p?(ω)

另一种方法:利用公式 Pr(ω) = 1 9(ω) 12 ·」P?(ω)求解:

该系统的単位冲激响应

h(i) 器δ(t) 十δ(t-「)

其相应的传速函数

H(0) = 1+e-i°「= e-f乎(ej平 +e-i学) =2cos?e-j学

所以」Py(ω) = l.方(ω) l2P A(a)) =2(1+coso「)P.t(c o)

- Rr(·z-) =2量x(r) +量r(τ一「)十」Rx(「+「) 3-8 一个中心频率为fc、带宽为 B的理想带通滤波器如图P3 -1所示。假设输入是均值为零、功率谱密度为 n。/2 的高斯自噪声,试求:

-J;,.. o fe

图P3-1

( 1 ) 滤波器输出噪声的自相美題数;

(2)滤波器输出噪声的平均功率;

(3)输出噪声的一_维概率密度函数。·

解 (1) 已知高斯自噪声的功率谱密度 P.(f) =号,所以、社注波器输出噪声 n。(t)的功率谱密度

P。(f) =号I F-2 =

{警 fe一号≤ lfl≤fc+;

o 其他根据P。「)?足。(r) ,输'出噪声 n。(f)的自相美函数

5

2

i 5

一 j 「)eiaPdf = f:;学e'aT 步df+ f:;

手e'選Pdf=

no8Sa(,;n;8 r)cos2 電fa r

n.(i)的平均功率

fV 。= 量。(0) =no 」

或

1V 。出 J :P 。(f)df 出 no8

(2 ) 高斯过程通过线性系统后的输出仍为高斯过程,且有

9[n 。(t)] =9[n1(t)] ·ff (0) =0

o 2 =.0[no(i)] =Ro(0) _Ro(oo) =nog

因此,输出噪声 n 。(i)的一维概率密度函数

f(χ) = 右exP[-2基]器 高exp[-2毒]

3 -9 一个 RC 低通滤渡器如图P3 -2所示,假设输人是均值为零、功率谱密度为 no/2的高斯 自噪声,试求: ( 1 ) 输出噪声的

功率谱密度和自相美函数;

( 2) 输出噪声的一维概率密度函数。

解 (1) RC 低通渡波器的传输函数

9(。) - 高

输出噪声n 。·(,)的功率谱密度为 -.

po(a l) =pj(0) l g(l ω) l R 图P3-2

2_生

根据.it(7)·o ;'P 。(o) ,并利用

l.l 2a

e 0 2十 2

a ,l ,l

可得 n 。(l)的自相美函数

K 。(7)器4品e-f 論1t1

(2) 根据随机过程通过线性系统的理论,可得输出噪声 n 。(,)的均值

9[n 。(t)] 指19[nl(i)] ,H(0) 選0

和方差