第1章第二节知能优化训练
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1.（单选）关于动量，以下说法正确的是 （ ）
A .做匀速圆周运动的质点，其动量不随时间发生变化
B .单摆的摆球每次经过最低点时的动量均相同
C .匀速飞行的巡航导弹巡航时动量始终不变
D .平抛运动的质点在竖直方向上的动量与运动时间成正比 解析：选D.做匀速圆周运动的物体速
度方向时刻变化，故动量时刻变化, 的摆球相邻两次经过最低点时动量大小相等，但方向相反，故
度不变，但由于燃料不断燃烧 质量不断减小，导弹动量减小，
运动，在竖直方向的分动量
2. （单选）下面关于物体动量和冲量的说法不
A .物体所受合外力冲量越大，它的动量也越大
B .物体所受合外力冲量不为零，它的动量一定
要改变
C .物体动量变化量的方向，就是它所受合外力的冲量方向
D .物体所受合外力越大，它的动量变化就越快 解析：选A.由Ft = Ap 知，Ft 越大，Ap 越大，
但动量不一定大，它还与初状态的动量
P ，- P
有关；冲量不仅与 Ap 大小相等，而且方向相同.由 F =—— 知，物体所受合外力越大, 动量变
化越快.
3.
（双选）质量为m 的物体以速度 v 0从地面竖直上抛（不计空气阻力）到落回地面，在
此 过程中（ ）
A .上升过程和下落过程中动量的变化均为 mv 0，但方向相反
B .整个过程中重力的冲量大小为 2mv 0
C .整个过程中重力的冲量为 0
D .上升过程重力的冲量大小为 mv 0，方向向下
解析：选BD.某个力的冲量等于这个力与作用时间的乘积， 示.
4.（单选）甲、乙两船静止在湖面上，总质量分别是 通过绳子，用力 F 拉乙船，若水对两船的阻力大小均为 程中
（）
A .甲船的动量守恒
B .乙船的动量守恒
C. 甲、乙两船的总动量守恒
D. 甲、乙两船的总动量不守恒
解析：选C.甲、乙每只小船所受的合外力不为零，动量不守恒，而对于甲、乙两船组 成的系统所受的合外力为零，总动量守恒.
5. （2011年高考四川卷）随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显.分析交通违 法事例，将警示我们遵守交通法规， 珍惜生命.一货车严重超载后的总质量为 49 t ，以54 km/h
的速率匀速行驶.发现红灯时司机刹车，货车即做匀减速直线运动，加速度的大小为 2.5
m/s 2（不超载时则为5 m/s 2
）.
（1） 若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？
A 错；单摆
B 错；巡航导弹巡航时虽速
（导弹中燃料占其总质量的一部分，不可忽略 ），从而使导弹
总
故 C 错；平抛运动物体在竖直方向上的分运动为自由落体
P 竖=mv y = mgt ，故 D 正确.
也可用过程中动量变化来表
m 1、m 2,两船相距S ,甲船上的人 f ，
且f （2）若超载货车刹车时正前方25 m处停着总质量为1 t的轿车，两车将发生碰撞，设相 互作用0.1 S后获得相同速度，问货车对轿车的平均冲力多大？ 解析：(1)设货车刹车时速度大小为v。、加速度大小为a，末速度大小为v t,刹车距离为 S 联立①②③式，代入数据得 T = 9.8 X 104 N. 答案：(1)45 m 22.5 m 一、单项选择题 1?对于任何一个质量不变的物体，下列说法正确的是 A .物体的动量发生变化，其动能一定变化 B .物体的动量发生变化，其动能不一定变化 C.物体的动能不变，其动量不变 D ?物体的动能发生变化，其动量不一定变化 解析：选B.动量P = mv,是矢量，速度v的大小或方向发生变化，动量就变化；而动能只在速率改变时才发生变化，故选项B正确，A、C、D均错. 选C.物体做匀速圆周运动时，动量大小不变，但方向在发生变化，故计算动量变化Ap 时应使用平行四边形定则，如图所示，设P为初动量，P'为末动量，而由于P、P'大小均为mv,且p’与P垂直，则AP大小为V2mv.选项C正确. 3.用水平力F拉静止在地面上的桌子，作用了t时间，但桌子未动.则力F对桌子所做的功及在时间t内的冲量分别为( ) A. 0, Ft B. 0,0 C.均不为零 D .无法确定 解析：选A.由功的定义知，在力F的方向上无位移，故做功为零；由冲量的定义知， 力F不为零，作用时间为t，故力F的冲量为Ft.应选A. 4. v2—v2 代入数据，得超载时S1 = 45 m，若不超载82= 22.5 m. (2)设货车刹车后经s' = 25 m与轿车碰撞时的初速度大小为v i v i = A J v2—2as'① 设碰撞后两车共同速度为 Mv i= (M + m)v2 ② 设货车对轿车的作用时间为 V2、货车质量为M、轿车质量为m,由动量守恒定律 At、平均冲力大小为F ，由动量定理F At= mv2③ (2)9.8 X 104 N 2?—质量为m的物体做匀速圆周运动, 动量改变量的大小为( ) A. 0 C.V2mv 解析： 线速度大小为V,当物体从某位置转过-周期时, mv 2mv P 如图1-2-8所示，两个质量相等的物体在同一高度沿倾角不同的两个光滑斜面由静止 自由滑下，在到达斜面底端的过程中 （ ） A .重力的冲量相同 B. 弹力的冲量相同 C. 合力的冲量相同 D ?以上说法均不对 解析：选D.设物体质量为m,沿倾角为0的斜面下滑的加速度为 a ,根据牛顿第二定律, 有mgsin 0= ma.设物体开始下滑时高度为 h ,根据初速度为零的匀加速直线运动的位移公式, 如图1 — 2 — 9所示，质量为 M 的小车置于光滑的水平面上，车的上表面粗糙，有一质 量为 m 的木块以初速度 v o 水平地滑至车的上表面，若车表面足够长，则 （ ） A ?木块的最终速度为 -^v 0 M + m B .由于车表面粗糙，小车和木块所组成的系统动量不守恒 C .车表面越粗糙，木块减少的动量越多 D .车表面越粗糙，小车获得的动量越多 解析：选A.木块和小车间存在摩擦，为内力， 木块减少的动量和小车增加的动量不变. 6. Cf b a 图 1-2- 10 如图1-2 —10所示，三辆完全相同的平板小车 a 、 b 、 c 成一直线排列，静止在光滑水 平面上.c 车上有一小孩跳到 b 车上，接着又立即从 b 车跳到a 车上?小孩跳离c 车和b 车 时相对于地面水平速度相同.他跳到 a 车上时，相对于a 车保持静止，此后（ ） A . a 、b 两车运动速率相等 B. a 、c 两车运动速率相等 C. 三辆车的速率关系是 V c >V a >V b D. a 、c 两车运动方向相同 可得物体下滑的时间为 10= mgt = mg 7誅.同理可得， / 2 h mg 、/ —厂厂，因为 0M 3 y gsin a 须大小和方向都相同.因该题中 0M a 故弹力的方向和合力的方向都不同，弹力的冲量的 方向和合力的冲量的方向也不同，选项 B 、 C 错误；综上所述，该题答案为 D. 5. 物体沿倾角为 a 所以I 0工I a , a 的光滑斜面下滑过程中重力的冲量为 选项A 错误；力的冲量是矢量.两个矢量相同，必 mv o 系统所受合外力为零，动量守恒，由 mv 0 v = ----- ?车面越粗糙，滑动摩擦力越大，但 M + m =（M + m ）v ，可知木块和小车最终有共同速度 鑰.下滑过程中重力的冲量为 t = 寸2h/sin 解析：选C.设小孩的质量为 m ,平板小车的质量为 M ，小孩跳离c 车和b 车时相对地 所以C 项正确. 二、双项选择题 7?下列说法中正确的是（ ） A ?物体的动量改变，一定是物体的速率改变 B .运动物体在任一时刻的动量方向，一定是该时刻的速度方向 C .物体的运动速度改变，其动量一定改变 D ?物体的加速度不变（不为0），其动量一定不变 解析：选BC.A 中物体的速率变化了是指物体速度大小的变化，是标量，而动量变化是 矢量，故A 错误；据动量P = mv 知，动量的方向与速度的方向相同，所以 B 正确；据定义 式知，速度改变，则动量必改变，故 C 正确.物体的加速度不变，则物体做匀变速运动， 速度一定要变化，因而动量要变化，所以动量一定不变是错误的. & A 、B 两球质量相等，A 球竖直上抛，B 球平抛，两球在运动中空气阻力不计，则下 列说法中正确的是（ ） A .相同时间内，动量的变化大小相等，方向相同 B ?相同时间内，动量的变化大小相等，方向不同 C .动量的变化率大小相等，方向相同 D ?动量的变化率大小相等，方向不同 解析：选AC.A 、B 球在空中只受重力作用，因此相同时间内重力的冲量相同，因此两 人P Av A 选项正确；动量的变化率为 A t = m~Af = mg ,大小相 等，方向相同，C 选项正确. 9. 码II Mi I 图 1 — 2— 11 如图1 — 2— 11所示，水平面上有两个木块的质量分别为 m i 、m 2,且m 2 = 2m i .开始两木 块之间有一根用轻绳缚住的压缩轻弹簧，烧断细绳后，两木块分别向左右运动?若两木块 m 1和m 2与水平面间的动摩擦因数为 2、国且2 = 2回则在弹簧伸长的过程中， 两木块（ ） A .动量大小之比为 1 : 2 B .速度大小之比为 2: 1 C .通过的路程之比为 2 : 1 D ?通过的路程之比为 1 : 1 解析：选BC.以两木块及弹簧为研究对象，绳断开后，弹簧将对两木块有推力作用，这 可以看成是内力；水平面对两木块有方向相反的滑动摩擦力，且 f 1= 2m 1g , f 2= 2m 2g.因此 系统所受合外力 F 合=2m 1g — 2m 2g = 0,即满足动量守恒定律条件. 面水平速度为 小孩跳离 小孩跳上 小孩跳离 小孩跳上 V ,则根据动量守恒定律，得: c 车： b 车： b 车: a 车: 0= mv + Mv c ① mv = (m + M)v '② (m + M)v ‘ = mv + Mv b ③ mv = (m + M)v a ④ 由①式可得, 由②③式可得, 由④式可得, c 车的速度v c =— ^v , b 车的速度v b = 0, a 车的速度va=^^v. m + M 球动量的变化大小相等，方向相同, 10. 图 i — 2— i2 如图i — 2— i2所示，两个带同种电荷的小球 A 和B ，A 、B 的质量分别为 m 和2m ，开 始时将它们固定在绝缘的光滑水平面上保持静止. A 、B 的相互作用力遵循牛顿第三定律， 现同时释放A 、B ，经过一段时间，B 的速度大小为v ，则此时( ) v A . A 球的速度大小为2 B. A 球的动量大小为 mv C. A 球与B 球的动量大小之比一直为 i : i 2mv 2 B 两带电小球被释放后，其构成的系统动量守恒，由 mv ' = 2mv ，可 A 球动量为2mv ， B 错；因A 、B 两 带电小球被释放后动量一直守恒， 1 : 1的关系，C 正确；A 选物体为研究对象，对于撤去 度为v.取水平力F 的方向为正方向，根据动量定理有: (F — 1 mg i = mv — 0, 对于撤去F 后，物体做匀减速运动的过程，始态速度为 v ,终态速度为零?根据动量定 理有： —mg # 0— mv. 以上两式联立解得: F — 1 mg 30— 0.2 X 5X 10 t 2 =「gtu 0.2 X 5X 10 x 6 s = 12 s. 法二：用动量定理解，研究全过程. 选物体作为研究对象， 研究整个运动过程，这个过程的始、终状态的物体速度都等于零. 取水平力F 的方向为正方向，根据动量定理得 (F — 1 mg i + (— 1 mg 2 = 0 设弹簧伸长过程中某一时刻，两木块速度分别为 方向)： —m i v i + m 2V 2= 0，即 m i v i = 即两物体的动量大小之比为 V I 、V 2.由动量守恒定律有(以向右为正 则两物体的速度大小之比为: 度，两木块通过的路程之比三 S 2 m 2v 2. 1 : 1，故A 项错误. ￥=晋=2 .故B 项正确.由于木块通过的路程正比于其速 v 2 m i 1 v i 2 =—=1.故C 项正确，D 项错误. D . A 球的动能为 解析：选CD.A 、 得V = 2v ,故A 错； 因此A 球与B 球的动量一定是大小相等方向相反，存在数值上的 球的动能 E kA = 2mv ‘ 2 = 2m(2v)2 = 2mv 2 , 三、非选择题 ii .在水平力F = 30 N 的作用力下， 知 物体与水平面间的动摩擦因数 多长时间才停 止？ (g 取i0 m/s 2 ) 解析：法一：用动量定理解， D 正确.应选C 、D. 尸 0.2, 质量m = 5 kg 的物体由静止开始沿水平面运动. 已 若F 作用6 s 后撤去，撤去F 后物体还能向前运动 分段处理. F 前物体做匀加速运动的过程，始态速度为零，终态速 F —卩 mg 30 — 0.2X 5X 10 解得：t 2 = =mg t 1 = 0.2X 5X 10 X 6 s = 12 s. 答案：12 s 辺， 2 jn m 2 hl 图 1 — 2- 13 12.如图1 — 2 — 13所示，光滑水平直轨道上有三个滑块 m c = 2m , m B = m , A 、B 用细绳连接，中间有一压缩的轻弹簧 A 、B 以共同速度v o 运动，C 静止.某时刻细绳突然断开， 生碰撞并粘在一起，最终三滑块速度恰好相同.求 B 与C 碰撞前B 的速度. 解析：设共同速度为v ，木块A 与B 分开后，B 的速度为V B ,由动量守恒定律得 (m A + m B )v 0= m A v + m B v B , m B v B = (m B + m c )v 9 联立解得B 与C 碰撞前B 的速度V B = gv o . 5 9 答案：9v o 5 A 、 B 、 C ,质量分别为 m A = （弹簧与滑块不拴接）?开始时 A 、B 被弹 开，然后B 又与C 发 第二章 优化设计的数学基础 优化设计中绝大多数是多变量有约束的非线性规划问题，即是求解多变量非线性函数的极值问题。由此可见，优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的，对于无约束优化问题为数学上的无条件极值问题，而对于约束优化问题则为数学上的条件极值问题。本章主要叙述与此相关的数学基础知识。 第一节 函数的方向导数与梯度 一、函数的方向导数 一个二元函数()21,x x F 在点() 02010,x x X 处的偏导数，即函数沿坐标轴方向的变化率定义为： 而沿空间任一方向S 的变化率即方向导数为： 方向导数与偏导数之间的数量关系为 依此类推可知n 维函数()n x x x F ,,,21 在空间一点() 002010,,,n x x x X 沿S 方向的方向导数为 二、函数的梯度 函数()X F 在某点X 的方向导数表明函数沿某一方向S 的变化率。—般函数在某一确定点沿不同方向的变化率是不同的。为求得函数在某点X 的方向导数为最大的方向，引入梯度的概念。 仍以二元函数()21,x x F 为例进行讨论，将函数沿方向S 的方向导数写成如下形式 令： 图2-1 二维空间中的方向 图2-2 三维空间中的方向 称为()21,x x F 在点X 处的梯度()X F grad ，而同时设S 为单位向量 于是方向导数可写为： 此式表明，函数()X F 沿S 方向的方向导数等于向量()X F ?在S 方向上的投影。且当()()1,cos =?S X F ，即向量()X F ?与S 的方向相向时，向量()X F ?在S 方向上的投影最大，其值为()X F ?。这表明梯度()X F ?是函数()X F 在点X 处方向导数最大的方向，也就是导数变化率最大的方向。 上述梯度的定义和运算可以推广到n 维函数中去，即对于n 元函数()n x x x F ,,,2 1 ，其梯度定义为 由此可见，梯度是一个向量，梯度方向是函数具有最大变化率的方向。即梯度()X F ?方向是函数()X F 的最速上升方向，而负梯度()X F ?-方向则为函数()X F 的最速下降方向。 例2-1 求二元函数()2214x x F π =X 在[]T 1,10=X 点沿 ???===44211πθπθS 和???===6 3212πθπθS 的方向导数。 解：()()()????????????=????????????????=?2121214 2x x x x F x F F ππX X X ，将[]T 1,10=X 代入可得优化设计的数学基础