圆与切线综合专题

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第三讲 圆与切线

【例一】（1）如图，直角梯形ABCD 中，以AD 为直径的圆0与BC 相切于点E ，BO 交半圆于点F ，DF 的延长线交AB 于点P ，连DE ，以下结论：①DE ∥OB;②AB+CD=BC ；③PB=PF ；④以BC 为直径的圆一定与AD 相切。其中正确的有哪些_______________________。

（2）如图，梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠A=90°，AD+BC=CD ．

①若O 是腰CD 的中点，试判断以O 为圆心，OC 为半径的圆与直线AB 的位置关系，并证明你的结论． ②以AB 为直径的圆与直线CD 有怎样的位置关系？为什么？

【例二】（1）如图，等腰△ABC ，AB=AC ，以AB 为直径作○O ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，过B 点的切线交

OE 的延长线于点F ，连接FD ，则下列结论中：① DE=BE

；②FD 是 O 的切线；③C=DFB ∠∠；④E 为△BDF 的内心，其中正确的有哪些_______________________。

（2）如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ．

①求证：直线DE 是⊙O 的切线； ②连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，求∠A 的度数．

O P F

E D

C B A O F

E

D

C B

A

A B C D C E

B A O

F D

【例三】（1）如图，梯形ABCD 的内切圆分别切AB 、BC 、CD 、DA 于E 、F 、G 、

H 四点，且AB ∥CD ，连接BO 、CO 、EF ，下列结论：①BO 垂直平分EF ；②EF ∥OC ；③AB+CD=AD+BC ；④EG 为 O 的直径。其中正确的有______________。

（2）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的 O 与边BC 交于点D ，与边AC 交于点E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F 。

①求证：DF 为 O 的切线。 ②若AB=5，求AE 的长。

【例四】（1）如图，PA 、PB 是 O 的切线，A 、B 是切点，BC 是 O 的直径，PO 交 O 于D ，下列结论：①AB ⊥OP ；②PD=OD ；③点D 是△PAB 的内心；④当∠APB=60°时，四边形ACDP 是平行四边形，其中正确的有哪些____________。

（2）如图，C 为⊙O 上的一点，过点C 作直径AB 的垂线，垂足为D ，P 为BA 延长线上的点，且∠PCD=2∠PBC ．

①求证：PC 为⊙O 的切线； ②若AC ︿ =CE ︿ ，AD=4，CD=8，求△BCE 的面积．

H G

O F

E D

C B

A O D C

B A P P

B A

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【例五】（1）如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ．AB=c ，AC=b ，BC=a ．求AD 、BE 、CF 的长．

（2）已知△ABC 中，∠C=90°，AB=c ，AC=b ，BC=a ．则△ABC 的外接圆半径等于____________；

内切圆半径等于________________．

【例六】如图，在平面直角坐标系中，P 为第一象限内的一定点，M 为一个动点，以M 为圆心，过O 、P 两点作⊙M 交两坐标轴于A 、B 两点．

（1）如图，若P 点的坐标为（2，2），M 为第四象限内，当M 点动时，试探索：①OA ＋OB 的值不变；②OA －OB 的值不变．请选择正确的结论证明并求值．

（2）如图，若P 点的坐标为（2，2），M 在第四象限内， I 为△ABO 的内心，IQ ⊥AB 于点Q ，当M 点运动时，试探索： ①AQ －BQ 的值不变；②AQ·BQ 的值不变．请选择正确的结论证明并求值．

（3）如图，若P 点的坐标为（4，4），M 在第一象限内，当M 点运动时，若△OAB 的内切圆直径为d ．试探索：①AB ＋d 的值不变；② AB －d 的值不变．请选择正确的结论证明并求值．

C

【例七】相交两圆的公共弦长为6

，两圆的半径分别为5，则这两圆的圆心距为多少？

【例八】如图1，以第一象限点M为圆心作⊙M与x轴交于点A（3，0），交y轴于C，且AC恰好平分∠MCO，直线MC交x轴于点B（－2，0）．

（1）求证：⊙M与x轴相切．

（2）求点C的坐标．

（3）如图2，若点P为y轴上一动点，连接AP，以A为圆心，AP为半径作⊙A交CB的延长线于点E，且∠APE=∠ACM，当点P运动时，线段CP－CE的值是否发生变化？为什么？

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圆的切线专题证明题

1、.已知：如图，CB 是⊙O 的直径，BP 是和⊙O 相切于点B 的切线，⊙O 的弦AC 平行于OP ． (1)求证：AP 是⊙O 的切线．(2)若∠P=60°，PB=2cm ，求AC ． 2、⊿ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，D E ⊥AC 于E.求证：DE 为⊙O 的切线 3、、如图，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，作D E ⊥BC 于E 。（1）求证：DE 为⊙O 的切线（2）作DG ⊥AB 交⊙O 于G ，垂足为F ，∠A=30°.AB=8，求DG 的长 4、如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线． 5、如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ．求证：BD 是⊙O 的切线； 6 ．如图，在中， ，以 为直径的分别交、于点、，点在的延长 线上，且 求证：直线 是⊙0的切线； O A B P E C

7、如图 9，直线n切⊙O于A，点P为直线n上的一点，直线PO交⊙O于C、B，D在线段AP上， 连接DB，且AD=DB。（1）判断DB与⊙O的位置关系,并说明理由。（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长 8、如图10，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。（1）若∠CPA=30°，求PC的长（2）若P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的值。 9．如图，MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN，交⊙O的弦BC于点P. 若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm，求⊙O的直径． 10．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线． 11、如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O 的切线交AD的延长线于点F. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长. F E D A C O B P M B D C O N

圆切线的有关证明和计算

圆切线的有关证明和计算 已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠= ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长． 解：（1） （2） 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过 B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. （1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当BC=4,cosC= 1 3 时，求⊙O 的半径. （１）通过平行找垂直。如果以下几种题型 如图，已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 经过BC 的中点D ，DE ⊥AC 于E . (1)求证:DE 是⊙O 的切线； (2)若2 1 cos = C , 6DE =, 求⊙O 的直径. 已知：如图，⊙O 为ΔABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF 使得BA 平分 ∠CBF ，过点A 作A D ⊥BF 于D （１）求证：DA 为⊙O 的切线 （２）若BD=1,⊙O 的半径为2 5 ，求tan ∠BAD F A D B O C (2)通过计算角的度数找垂直 如果以下题型 D C O A B E

10.已知，A 是⊙O 上一点，半径的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC=BC,AC= 2 1 OB 。 （１）求证：AB 是⊙O 的切线 （２）若∠ACD=４５°,OC=2,求弦CD 的长 D O C A B 已知如图，点D 是⊙O 的直径延长线上一点，点B 在⊙O 上，且OA=AB=AD (1)求证：BD 是⊙O 的切线 (2)若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且BE=８,tan ∠BFA= 2 5 ,求⊙O 的半径 B F E D A O C 已知：如图，在⊿ABC 中，D 是AB 边上一点，⊙O 过 A,B,C 三点，∠DOC=2∠ACD=90° A (1)求证：直线AC 是⊙O 的切线； D (2)如果∠ACB=75°,⊙O 的半径为２,求BD 的长 B C O (3)根据角与角的关系推导 已知：如图，AB 是O 的直径，BC 切O 于B ，AC 交O 于P ，D 为BC 边的中点，连结DP ． (1) DP 是O 的切线； (2) 若3 cos 5 A ， O 的半径为5， 求DP 的长. 如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）若E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ， O P C D B A

圆的切线专题训练

知识点一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表： 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 二、切线的性质及判定 圆的切线

1． 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理： （1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ①切线的判定定理 设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线． l A l A l 证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证d=r ②切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点 （3）过圆心

中考复习专题_圆切线证明

中考复习专题--------圆的切线的判定与性质

知识考点： 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。 2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切.

例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线.

例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切. 二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA 是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切. 例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线.

圆的切线证明及有关计算

圆切线的证明及有关计算（一） 一、课标要求 了解切线的概念：探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线。会过圆上一点画圆的切线。 二、教学目标 1．归纳直线与圆相切的性质和判定方法以及切线长定理，并能运用这些知识进行计算和证明；2．在计算与证明中培养学生的分析问题、解决问题以及综合运用知识的能力。 三、教学重点 运用切线的性质和判定方法进行计算与证明。 四、教学难点 灵活运用所学知识解决有关切线问题。 五、【基础知识回顾】 （一）.切线的定义： （二）.切线性质： 圆的切线______于过切点的半径. 提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常连接圆心和切点，即可得垂直关系 （三）.切线判定： (1) 和圆有唯一公共点的直线是圆的切线.（定义） (2) 经过半径的外端且______这条半径的直线是圆的切线.（判定定理） (3) 如果圆心到一条直线的距离等于______，那么这条直线是圆的切线. 提醒：1、在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明（连半径，证垂直）. 2、当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切（作垂直，证半径）. （四）.切线长 （1）切线长定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的，叫做这点到圆的切线长. （2）切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的相等，这一点和圆心的连线两条切线的夹角 六．【典型例题解析】 考点一：与切线性质有关的计算 例1、（九上P122 1(4)）如图，P A、PB切⊙O于A、B两点，且

∠P=70°，则∠C=_______. 分析：连接OA、OB，则OA⊥PA，OB⊥PB, 易得四边形 APBO的内角∠AOB的度数，从而可得∠C。 （变式）如图，P A、PB切⊙O于A、B两点，点C在⊙O上， 且∠ACB=50°，则∠P=_______. 例2、如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC 的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分 别为D，E，则⊙O的半径为（） A．8B．6 C．5 D．4 分析：连接OD、OE，则OD⊥BA，OE⊥AC,根据切线长定理 得AD=AE，易得正方形ADOE;若设OD=x，根据勾股定理可得OD2+BD2=BO2从而得到方程，通过解方程既得⊙O的半径。 【备考指导】解决与切线有关的求角度或线段问题的方法：当已知切线时，常作辅助线连接切点与圆心或寻找直径所对的圆周角，构造直角三角形，然后利用勾股定理或相关的三角函数知识计算线段长度；而在求角度时，往往与圆周角、圆心角有关，求解过程中有时需要作出合适的辅助线，构造与所求角有关的圆心角或直角三角形进行求解。 考点二：与切线判定有关的证明 例3.已知：如图, AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, 且DE⊥AC于点E. (1)求证: DE是⊙O的切线； (2) 若∠C＝30°,CD＝10 cm, 求⊙O的直径． 分析：(1)若所证直线与圆的交点字母标出,则连接这条半径,证明这 条半径________所证直线； (2)利用等腰三角形和直角三角形知识可求． 【备考指导】证明直线是圆的切线的方法：①可以利用定义判定， 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②若已知直线与圆有公 共点，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连圆心，证垂直；③若未知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径.可简述为：无切点、作垂直、证相等. 七、中考链接 （一）基础达标训练 1．（13.河池）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点， 则PA=．

圆的切线专题复习

2、如图，AB 是O O 的直径，/ A = 30°，延长 OE 到D,使BD= OB (OCB 是否是等边三角形？说明你的理由； 圆与特殊角度 1.已知，如图，在△ ADC 中， 长线 上，连接BF,交AD 于点E (1)求证：BF 是eO 的切线； ADC 90，以DC 为直径作半圆eO ，交边AC 于点F ,点B 在CD 的延 BED 2 C . (2)若BF FC , AE 3，求eO 的半径. 3 .如图，AB 是O O 的直径，点 D 在O O 上,OC/ AD 交O O 于E , (1)求证： ； 2)求证：CD 是O O 的切线? 证明： 点F 在CD 延长线上，且 BOC ADf =90 . 4.如图，在O O 中，弦 AE BC 于 D, BC 6 , AD 7 , BAC 45 (1) 求O O 的半径。 (2) 求DE 的长。 19.如图，已知直线 PA 交O O 于A 、B 两点，AE 是O O 的直径，C 为O O 上一 点， 且AC 平分/ PAE 过点C 作CDL PA 于D. (1) 求证：CD 是O O 的切线； (2) 若 AD DG 1： 3, AB=8，求O O 的半径. C B O P ZI C O D A B E

32?已知：如图，AB 是O O 的直径，BD 是O O 的弦，延长BD 到点C,使DGBR 连结AC 过点D 作D 巳 AC,垂足为E . 21?如图，已知 △ ABC ，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交 AC 于点F ，点E 为弧CF 的中点，连接BE 交AC 于点 M , AD ABC 勺角平分线，且 AD BE ,垂足为点H . (1) 求证：AB 是半圆O 的切线； (2) 若 AB 3, BC 4，求 BE 的长. 圆与三角函数 22.如图，在△ ABC 中，/ 0=90° , AD 是/ BAC 的平分线, (1) 求证：B0是O O 切线； (2) 若 BB 5, DO3,求 AC 的长. 解： O 是AB 上一点，以OA 为半径的O O 经过点D (1)求证：ABAC ⑵求证：DE 为O O 的切线; A A A

(完整版)证明圆的切线经典例题

证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有: 一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直? 例1 如图，在厶ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F. 求证：EF与O 0相切. 证明：连结OE, AD. ?/ AB是O 0的直径， ??? AD 丄BC. 又??? AB=BC , ???/ 3= / 4. —— ? BD=DE，/ 1 = / 2. 又??? OB=OE , OF=OF , ???△ BOF ◎△ EOF ( SAS) ???/ OBF= / OEF. ??? BF与O O相切， ?OB 丄BF. ???/ OEF=9O°. ?EF与O O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2 如图，AD 是/ BAC 的平分线, 求证：PA 与O O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ?/ AD 是/ BAC 的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2= / 1+ / DAC. ???/ 2= / B+ / DAB , ???/ 1 = / B. ?/ AE 是O O 的直径, ? AC 丄 EC ,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切. ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, 证明二：延长AD 交O O 于E ,连结 ?/ AD 是/ BAC 的平分线, ? BE=CE , ? OE 丄 BC. ???/ E+/ BDE=90 0. ?/ OA=OE , ???/ E=/ 1. P P 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.

中考九年级证明圆的切线例题方法

切线证明法 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD，

∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.

【通用版】2018届中考数学专题提升(12)与圆的切线有关的计算与证明(含答案)

专题提升(十二)与圆的切线有关的计算与证明 类型之一与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P ＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__． 图Z12－1 经典母题答图 【解析】如答图，连结OC. ∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°， 在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°， ∴OP＝2OC＝2， ∴PB＝OP－OB＝2－1＝1. 【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直． 【中考变形】 [2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D. (1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小； (2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．

图Z12－2 解：(1)如答图①，连结AC， ∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°， ∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°， 由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°； 中考变形答图①中考变形答图② (2)如答图②，连结AD， 在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°， ∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°， ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°， ∵∠ADC＝∠ABC＝50°， ∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°. 【中考预测】 [2017·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.

中考中圆的切线证明习题集锦

中考中圆切线证明习题 1、如图， PA 为⊙ O 的切线， A 为切点，过 A 作OP 的垂线 AB ，垂足为点 C,交⊙O 于点 B,延长 BO 与⊙ O 交于点 D ，与 PA 的延长线交于点 E, 求证： PB 为⊙ O 的切线； 2、如图，AB=AC ，AB 是⊙ O 的直径，⊙ O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于 M 求证：DM 与⊙O 相切. 3、如图，已知： AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上，且∠ CAB=300 ，BD=OB ，D 在 AB 的延 长线上 . 求证：DC 是⊙O 的切线 4、已知：如图， A 是e O 上一点，半径 OC 的延长线与过点 1 AC OB ． 2 （1）求证： AB 是e O 的切线； 2）若 ACD 45°， OC 2，求弦 CD 的长． P D BC ， A

5、已知：如图，在Rt△ABC中， C 90o，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E ，且CBD A． 1）判断直线BD与e O的位置关系，并证明你的结论； 2）若AD:AO 8:5 ，BC 2，求BD的长． B 6、已知：如图，在△ ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙ O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O的直径. （1）求证：AE 与⊙ O 相切； 1 （2）当BC=4,cosC=1时，求⊙ O的半径. 3 7、已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，DOC=2 ACD=90 。

求证：CD 是⊙O 的切线. 10、如图，等腰三角形 ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。以 BC 为直径作⊙ O 交AB 于点 D ， 交 AC 于点 G ，DF ⊥AC ，垂足为 F ，交 CB 的延长线于点 E (1)求证：直线 EF 是⊙O 的切线； (2)求 CF:CE 的值。 11、如图， AB 是⊙O 的直径， AC 是弦，∠ BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D ，DE ⊥AC ，交 AC 的 延 长线于点 E ，OE 交AD 于点 F ．⑴求证： 12、如图， Rt △ ABC 中， ABC 90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点 D ，E 是边BC 的中 点，连接 DE ． (1)求证：直线 DE 是⊙O 的切线； 2)连接 OC 交DE 于点 F ，若OF CF ，求 tan ACO 的值． 13、如图，点 O 在∠APB 的平分线上，⊙ O 与PA 相切于点 C ． (1) 求证：直线 PB 与⊙O 相切； F G E O E B

圆的切线专题复习

圆与特殊角度 1．已知，如图，在△ADC 中，90ADC ∠=?，以DC 为直径作半圆O ，交边AC 于点F ，点B 在CD 的延长线上，连接BF ，交AD 于点E ，2BED C ∠=∠． （1）求证：BF 是O 的切线； （2）若BF FC =，3AE =，求O 的半径． 2、如图，AB 是⊙Ｏ的直径，∠A ＝30，延长OB 到D ，使BD ＝OB ． （1）△OCB 是否是等边三角形？说明你的理由； （2）求证：DC 是⊙Ｏ的切线． 3．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上, OC ∥AD 交⊙O 于E , 点F 在CD 延长线上, 且∠BOC +∠ADF =90?． （1）求证： ; （2）求证：CD 是⊙O 的切线. 证明: 4. 如图，在⊙O 中，弦BC AE ⊥于D ，6=BC ，7=AD ，?=∠45BAC 。 （1） 求⊙O 的半径。 （2） 求DE 的长。 A B O D C D O A C B F E C A O E B

D O B C A E P 19．如图，已知直线P A 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠P AE ，过点C 作CD ⊥P A 于D ． （1） 求证：CD 是⊙O 的切线； （2） 若AD ：DC =1：3，AB =8，求⊙O 的半径． 22．如图，在△ABC 中，∠C =90°, AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点, 以OA 为半径的⊙O 经过点D . （1）求证： BC 是⊙O 切线； （2）若BD =5, DC =3, 求AC 的长. 解： 32．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连结AC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ． (1)求证：AB =AC ； (2)求证：DE 为⊙O 的切线； (3)若⊙O 的半径为5，∠BAC =60°，求DE 的长． O A C B

圆的切线计算与证明题

圆的切线证明与计算专题训练 1.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于E，B为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 2.如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 3.如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DM⊥AC于M. 求证：DM与⊙O相切. 4.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30O，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线.

5.如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于点E. 求证：AC是⊙D的切线. 6.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是弧BC的中点，DP⊥AC，垂足为点P. 求证：PD是⊙O的切线. 7.已经⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连接CO，若AD//OC交⊙O于D. 求证：CD是⊙O的切线. 8.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90O，弦BD=BA，AB=12，BC=5,BE⊥DC交DC的延长线与点E. 求证：BE是⊙O的切线.

9.如图，在△ABC中，∠C=90O，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点 D. （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BD=5，求AC的长. 10.如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点. （1）求证：GE是⊙O的切线； （2）若OC=5，CE=6，求AE的长. 11.如图，在Rt△ABC中，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径作圆. （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求证：AB+EB=AC. 12.如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于D，作DE⊥BC于E. （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，∠A=30O，AB=8，求DG的长.

中考数学专题圆的切线精华习题

中考数学专题圆的位置关系 第一部分真题精讲 【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若DE=2，tan C=1 2 ，求⊙O的直径． A 【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。 【解析】（1）证明：联结OD．∵ D为AC中点， O为AB中点， A ∴ OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC． ∵ DE⊥BC，∴∠DEC=90°. ∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D. ∴ DE为⊙O的切线． （2）解：联结DB．∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°. ∵ D为AC中点，∴AB=AC． 在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=1 2 ，∴EC=4 tan DE C =. （三角函数的意义要记牢） 由勾股定理得：DC= 在Rt △DCB 中， BD=tan DC C ?= BC=5. ∴AB=BC=5. ∴⊙O的直径为5. 【例2】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥ 于点D.（1）求证：DA为⊙O的切线；（2）若1 BD=， 1 tan 2 BAD ∠=，求⊙O的半径.

圆的切线专题

的切线知识点一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 设 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示: 二、切线的性质及判定 1.切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

2.切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3.切线长和切线长定理： （1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角? ①切线的判定定理 设创为00的半径，过半径外端川作/丄如则0到/的距离d=r, ：.1与00相切.因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可.结论是“直线是圆的切线”.举例说明：只满足题设的一个条件不是G）O的切线. 证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证d=τ②切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心

例2、已知：如图8,在Rt ΔABC 中，ZB = 90o , ZA 的平分线交BC 于点D, E 为AB 上的一点, DE=DC,以D 为圆心，DB 长为半径作GID 。 求证：(1) AC 是GID 的切线；(2) AB+EB=AC OA 过圆心，OA 过切点八则OA 丄AT ②经过圆心，垂直于切线=过切点 ⑴伽圆心］?为切点 (2)ΛB 丄 MT ③ 经过切点，垂直于切线=过圆心 (1) AM 丄 MT (2) M 为 > => AM 过圆心 考点一、圆的切线的证明 例1、如图，ΔA3C 中，AB = AC 9 0是BC 的中点，以0为圆心的圆与A3相切于点D 。求证：AC 是C)O 的切线。

圆的切线的证明复习(教案)

专题复习----圆的切线证明教案 积石山县吹麻滩中学秦明礼 一、温习梳理 1、切线的定义:直线和圆有公共点时，这条直线叫圆的切线。 2、切线的性质:圆的切线于过切点的半径。 3、切线的判定:⑴和圆只有公共点的直线是圆的切线。 ⑵到圆心距离半径的直线是圆的切线。 ⑶经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线。 4、证明直线与圆相切，一般有两种情况： ⑴已知直线与圆有公共点，则连，证明。 ⑵不知直线与圆有公共点，则作，证明垂线段的长等于。

二、课前检测: 1.如图，AC为⊙O直径，B为AC延长线上的一点，BD交⊙O于点D， ∠BAD=∠B=30° （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）请问：BC与BA有什么数量关系？写出这个关系式，并说明理 由。 三、活动于探究: 1．如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点.求证：GE是⊙O的切线.

2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ， DE ⊥AC 于E ．求证：DE 是⊙O 的切线． 3．如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切； (2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长．

4．如图，RT ?ABC 中，∠ABC=90O ，以 AB 为直径作⊙O 交边于点D ，E 是BC 边的中点，连接DE ． （1）求证：直线DE 是⊙O 的切线； （2）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ， 求tan ∠ACO 的值． 四、反馈检测: 如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC ． 求证：DE 是⊙O 的切线． 五、小结回顾： 1、本节课我们学习了：圆的切线的判定。 2、证明圆的切线的基本思路是：如果切点已知，需连接圆心做半径，证明半径和要证的切线垂直即可。而要证明垂直则需三种方法——平行、互余、全等。 B C E B A O F D

与圆的切线有关的计算与证明(2)

与圆的切线有关的计算与证明(1) 类型之一与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图Z12- 1,0 O的切线PC交直径AB的延长线于点P, C为切点，若/ P =30°,0 O的半径为1,贝U PB的长为1 . 图Z12- 1 经典母题答图 【解析】如答图，连结0C. ??PC 为O O 的切线，.?./PC0 = 90 在RtSCP 中，??OC= 1,/P = 30°, ??0P= 20C= 2, ??PB= OP- 0B= 2- 1= 1. 【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；⑵已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直. 【中考变形】 [2017天津]已知AB是O 0的直径，AT是O 0的切线，/ ABT= 50°, BT交O0于点C, E是AB上一点，延长CE交O 0于点D. (1) 如图Z12-2①，求/ T和/CDB的大小； (2) 如图②，当BE= BC时，求/ CD0的大小.

解：⑴如答图①，连结AC , ??AT 是。O 的切线，AB 是。O 的直径, ??AT 丄 AB ,即/ TAB = 90°, ? 50°,?d 90°-/ ABT = 40 由AB 是O O 的直径，得/ ACB = 90° ? Q AB = 90°』ABC = 40°,/-CDB =/CAB = 40°; ⑵如答图②，连结AD , 在厶 BCE 中，BE = BC ,/ EBC = 50 ? / BCE =/BEC = 65°, ?/ BAD = /BCD = 65 ? OA = OD ，?/ ODA =/ OAD = 65 ? / ADC =/ ABC = 50°, ? / CDO =/ ODA -/ADC = 65°- 50°= 15 【中考预测】 [2017宿迁]如图Z12-3, AB 与。O 相切于点B , BC 为。O 的弦，OC 丄OA , OA 与BC 相交于点 P. 图 Z12- 2 中考变形答图① 中考变形答图②

九年级数学证明圆的切线专题

证明圆的切线专题 证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2. 1. 如图，在Rt ABC ?中， 90C ?∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ?∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径． 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当，∠CAD=30o时，求AD 的长。 3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．

4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。 5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ． （1）求证：⊙O 与BC 相切； （2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ． 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是?AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ． （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证： AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin = ∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．

圆的有关切线证明和计算

圆的有关切线证明和计算 D 1如图，已知：△ ABC内接于O 0,点D在0C的延长线上, (1)求证：AD是O 0的切线； (2)若AC = 6,求AD的长。 A 2、如图，以△ ABC的直角边AB为直径的半圆O 0与斜边AC交于点D, E是BC边的中点，连接DE。 (1)求证：DE与O 0相切; (2)若AD、AB的长是方程x2—10x+ 24= 0的一个根，求直角边BC的 长。 3、如图，Rt△ ABC中，/ B = 90度，C是AB上的一点，以0为圆心，0B为半径的圆与AB交于点E,交AC于点D，其中DE // 0C (1)求证：AC为O 0的切线; (2) 若AD = 23，且AB 径、CD的长。 4、如图，AB是O 0的直径，延长线于点D， 交AB的延长线于点C。 (1)求证：CD是O 0的切线； 10 20 (2)若CB = — , CE=—，求AE 的长。 3 3

5、已知，如图，AB是O O的直径，O O过AC的中点D，过D作DE丄BC交BC于点E。 (1) 求证：DE是O O的切线； (2) 如果CD = 4, CE= 3,求O O的半径。 C 6、如图，等腰△ ABC中，AC = BC = 10, AB = 12,以BC为直径作O AB 于点D，交AC于点G, DF丄AC ,垂足为F,交CB的延长线于点 (1)求证：直线EF是O O的切线； (2)求DF、DE的长。 C 7、已知如图，直角梯形ABCD中，AD // BC, AD丄AB，且满 足AD + BC = CD，以AB为直径作O 0。 (1)求证：CD是O 0的切线； (2)若AD = 2, BC = 6,求O 0 的半径。 C与AE切于点E,过 8、如图, Rt△ ABC中，/ ACB = 90° CD丄AB于D,以CD为半径作O 点 B 作BM // AE。 (1)求证：BM是O C的切线； (2)作DF丄BC 于F,若AB = 16,/ DBM = 60° 求EF 的长。 B 9、如图，直角梯形ABCD中，/ A =/ B = 90° AD // B C , E为AB上一点，DE平分/ ADC , CE 平 分/ BCD。 (1)以AB为直径的圆与边CD有怎么样的关系？ (2)该题材中以CD为直径的圆与AB的位置关系如何，请证明你的猜想。 A E

圆的切线的证明专题学案

第1题 B 第2题 A 第3题第4题 圆的切线的证明 圆的切线的证明题，从直线与圆有无公共点来看，有两大类型：一是直线与圆有公共点； 二是直线与圆没有公共点。从具体的证明方法来看又分为多种类型 一、直线与圆有公共点 总体思路：“连”（连接圆心与公共点），证垂直。 (一)利用相似证垂直 1.如图，AB 是圆O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 与点E,且PC 2=PE ×PO. (1)求证：PC 是圆O 的切线. (二)利用全等证垂直 2.如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以BC 为直径的圆O 交AB 于点D,E 、F 是圆O 上的两点， 连接AE 、CF 、DF ，满足EA=CA. (1)求证：AE 圆O 的切线. (三)利用勾股定理证垂直 3.如图，圆O 的直径AB=12,点P 是AB 延长线上一点，且PB=4,点C 是圆O 上一点，PC=8. 求证：PC 是圆O 的切线. (四)利用平行线证垂直 4.如图，△ABC 内接于圆O,CD 平分∠ACB 交于圆O 于D,过点D 作PQ ∥AB 分别交CA 、CB 的延长线于P 、Q. 求证：PQ 是圆O 的切线.

B B (五)利用角的转化证垂直 5.如图，△ABC 是圆O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是圆O 外一点，且∠DBC=∠A, 连接OE 并延长与圆相交于点F ，与BC 相交于点C. (1)求证：BC 是圆O 的切线. 二、直线与圆的公共点未知 总体思路：“作”垂直(圆心到直线的垂线)，证相等(垂线与半径). (一)利用角平分线证相等 1.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,AE ⊥BC 于E,∠ADC 的平分线交AE 于O,以点O 为圆心，OA 为半径的圆经过点B. 求证：CD 与圆O 相切. (二) 利用面积法证相等 2.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点C 为圆心，半径为作圆C. 求证：圆C 与AB 相切. 练习： 1.(2017*乐山改编)如图，以AB 边为直径的圆O 经过点P ，且∠ACP=60°,D 是 AB 延长线上一点，PA=PD. 求证：PD 是圆O 的切线.

中考总复习圆的切线专题

题型专项(八)与切线有关的证明与计算 类型1与全等三角形有关 1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点A，B分别作切线，交于BO，AO的延长线于点C，D，连接CD，交⊙O于点E，F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为点M. 求证：(1)△ACO≌△BDO； (2)CE＝DF. 证明：(1)∵AC，BD分别是⊙O的切线， ∴∠A＝∠B＝90°. 又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD， ∴△ACO≌△BDO. (2)∵△ACO≌△BDO， ∴OC＝OD. 又∵OM⊥CD，∴CM＝DM. 又∵OM⊥EF，点O是圆心， ∴EM＝FM. ∴CM－EM＝DM－FM. ∴CE＝DF. 2．(2016·玉林模拟)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB 的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC. (1)求证：△CDQ是等腰三角形； (2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值． 解：(1)证明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°. ∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°. ∵CD是⊙O的切线，CO是半径， ∴CD⊥CO. ∴∠DCQ＝∠BCO＝30°. ∴∠DCQ＝∠Q. 故△CDQ是等腰三角形． (2)设⊙O的半径为1，则AB＝2，OC＝1，BC＝ 3. ∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等， ∴CQ＝CB＝ 3.

∴AP＝AQ＝. ∴BP＝AB－AP＝. ∴PO＝AP－AO＝ 3－1 (3)若∠B＝30°，AP＝AC，求证：DO＝DP. ∴＝. ∵∠PCE＝∠AOE， ∴∠PEA＝∠AOE.∵OA＝OE， ∴OF＝ 3 r.∵AP＝AC， ∴AP＝.∵PE2＝PA·PC，∴PE＝r. ∴AQ＝AC＋CQ＝1＋ 3. 11＋3 22 3－3 2 2. ∴BP∶PO＝ 3. 3．(2016·柳州)如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA的延长线上一点，点E在弧上且满足PE2＝PA·PC，连接CE，AE，OE交CA于点D. (1)求证：△PAE∽△PEC； (2)求证：PE为⊙O的切线； 1 2 证明：(1)∵PE2＝PA·PC， PE PA PC PE 又∵∠APE＝∠EPC， ∴△PAE∽△PEC. (2)∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE. 1 2 1 2 ∴∠OAE＝∠OEA. ∵∠AOE＋∠OEA＋∠OAE＝180°， ∴∠AOE＋2∠OEA＝180°， 即2∠PEA＋2∠OEA＝180°. ∴∠PEA＋∠OEA＝90°. ∴PE为⊙O的切线． (3)设⊙O的半径为r，则AB＝2r. ∵∠B＝30°，∠PCB＝90°，∴AC＝r，BC＝3r. 过点O作OF⊥AC于点F， 1 22 r3 22 在△ODF与△PDE中，