弯 曲 变 形
基 本 概 念 题
一、选择题
1. 梁的受力情况如图所示,该梁变形后的挠曲线如图( )所示(图中挠曲线的虚线部分表示直线,实线部分表示曲线)。
2. 如图所示悬臂梁,若分别采用两种坐标系,则由积分法求得的挠度和转角的正负号为( )。 题2图 题1图 A .两组结果的正负号完全一致 B .两组结果的正负号完全相反 C .挠度的正负号相反,转角正负号一致 D .挠度正负号一致,转角的正负号相反
3. 已知挠曲线方程y = q 0x (l 3 - 3lx 2 +2 x 3)∕(48EI),如图所示,则两端点的约束可能为下列约束中的( )。 题3图
4. 等截面梁如图所示,若用积分法求解梁的转角、挠度,则以下结论中( )是错误的。 A .该梁应分为AB 、BC 两段进行积分 B .挠度积分表达式中,会出现4个积分常数 -26- 题4图 题5图 C .积分常数由边界条件和连续条件来确定 D .边界条件和连续条件表达式为x = 0,y = 0;x = l ,0==右左y y ,0='y
5. 用积分法计算图所示梁的位移,边界条件和连续条件为( ) A .x = 0,y = 0;x = a + l ,y = 0;x = a ,右左y y =,右左y y '=' B .x = 0,y = 0;x = a + l ,0='y ;x = a ,右左y y =,右左y y '=' C .x = 0,y = 0;x = a + l ,y = 0,0='y ;x = a ,右左y y = D .x = 0,y = 0;x = a + l ,y = 0,0='y ;x = a ,右左y y '='
6. 材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ,所受荷载及截面尺寸如图所示。关于它们的最大挠度有如下结论,正确的是( )。 A . I 梁最大挠度是Ⅱ梁的41倍 B .I 梁最大挠度是Ⅱ梁的21倍 C . I 梁最大挠度与Ⅱ梁的相等 D .I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍
题6图 题7图
7. 如图所示等截面梁,用叠加法求得外伸端C 截面的挠度为(
)。
A . EI Pa 323
B . EI Pa 33
C .EI Pa 3
D .EI
Pa 233
8. 已知简支梁,跨度为l ,EI 为常数,挠曲线方程为)24)2(323EI x lx l qx y +-=, -27- 如图所示,则梁的弯矩图为( )。
题9图 题8图
9. 对于图示等截面梁AB ,下列结论中正确的是( )。
A .梁A
B 的位移(挠度和转角)等于梁B A ''和梁B A ''''的位移的代数和
B .梁B A ''的受力情况对于中央截面
C '对称,故截面C '处的剪力和转角必为零
C .梁B A ''''的受力情况对于中央截面C ''为反对称,故截面C ''处弯矩和挠度必为零
D .qa Q Q C C 21-=='' 22
1qa M M C C ==' 10. 研究梁的变形的目的是( )。
A .进行梁的强度计算
B .进行梁的刚度计算
C .进行梁的稳定性计算
D .为解超静定梁提供条件
11. 桥式起重机的主钢梁,设计成两端外伸梁较简支梁有利,其理由是( )。
A .减小了梁的最大弯矩值
B .减小了梁的最大剪力值
C .减小了梁的最大挠度值
D .增加了梁的抗弯刚度值
二、判断题(正确的打“√”,错的打“×”)
1. 平面弯曲梁的挠曲线必定是一条与外力作用面重合或平行的平面曲线。( )
2. 若两梁的抗弯刚度相同,弯矩方程相同,则两梁的挠曲线近似微分方程相同。
3. 如图所示,若两梁的抗弯刚度相同,弯矩方程相同,梁长相同,则两梁相应的横截
面有相同位移。( )
4. 等截面直梁在弯曲变形时,弯矩
最大处,挠度最大。( )
5. 弯矩为零的梁截面,挠度有极大
值。( )
题3图
-28-
6. 弯矩为零的梁截面,挠曲线将出现拐点。( )
7. 用积分法计算图示梁的挠度时,边界条件和连续条件(右端弹性支座的弹簧常数为k )是x = 0,y = 0;x = 2 l ,k
P y 2=';x = l ,右左y y =,右左y y '='。( ) 题7图 题8图
8. 用积分法求解梁的转角和挠度时,对于中间铰和中间支座的连续条件是中间铰处:右左
y y '=',右左y y =;中间支座处:右左y y '=',右左y y =。( ) 9. 用积分法求解等截面梁的转角和挠度,边界条件为:x = 0,y =AC l ? (AC 杆的伸长),x = l ,y = BD l ? (BD 杆的伸长)。( )
题9图 题10图
10. 图所示梁B 截面的转角B θ是负值。( )
11. 在设计中,一受弯的碳素钢轴刚度不够,可改用优质合金钢。( )
12. (a )所示简支梁,按所选截面,发现跨中挠度超过了设计允许值,可以采用图(b )这种局部增加刚度的方法。( )
题12图
三、填空题
1. 挠曲线近似微分方程EI
x M y )(-=''的近似性表现在(1).( ); -29-
(2).( )。
2. 由EI
M =ρ可知,当M 为常量即纯弯曲时,全梁的曲率不变,ρ为常量,所以挠曲线是一条圆弧线。今取图6-29所示悬臂梁,自由端作用有集中力偶m ,亦为纯弯曲,但解得EI
Mx y 22
=,即曲线是一条抛物线。试说明两者不一样的原因。( ) 题
2图
题3图 3. 图示梁AC 段的挠曲线方程为
)(0 22
a x EI
Mx y ≤≤=,则该段的转角方程为( ),截面B 的转角和挠度分别为( )和( )。
4. 画出图示各梁挠曲线的大体形状(画在原图上),并写出用积分法求解位移时,应分为几段?并写出必要的边界条件和连续条件。
题4图
图(a )分为( )段,边界条件为( ),连续条件为 ( )。
图(b )分为( )段,边界条件为( ),连续条件为 ( )。
图(c )分为( )段,边界条件为( ),连续条件为 ( )。
图(d )分为( )段,边界条件为( ),连续条件为 ( )。
5. 对图示外伸梁,当x =( )时,AB 段挠度成线性变化。
-30- 题5图 题6图
6. 对图6所示静定梁D 点的挠度为EI Pa y D 33=,截面B 的转角为EI Pa B 652
-=θ,则不难求得=D θ( );=C y ( )。
7. 用积分法求图示变截面梁的挠曲线方程时应分( )段,共有积分常数( )个。
第七章弯曲变形 一、是非题 1 梁内弯矩为零的横截面其挠度也为零。 ( ) 2 梁的最大挠度处横截面转角一定等于零。 ( ) 3梁的最大挠度必然发生在梁的最大弯矩处。( ) 4若两梁的抗弯刚度相同,弯矩方程也相同,则两梁的挠曲线形状完全相同。( ) 5 绘制挠曲线的大致形状,既要根据梁的弯矩图,也要考虑梁的支承条件。( ) 6 静不定梁的基本静定系必须是静定的和几何不变的。 ( ) 二、选择或填空 1 等截面直梁在弯曲变形时,挠曲线曲率最大发生在( )处。 A. 挠度最大 B. 转角最大 C. 剪力最大 D. 弯矩最大 2 将桥式起重机的主钢梁设计成两端外伸的外伸梁较简支梁有利,其理由是( )。 A. 减小了梁的最大弯矩值 B. 减小了梁的最大剪力值 C. 减小了梁的最大挠度值 D. 增加了梁的抗弯刚度值 3 图示两梁的抗弯刚度EI相同,载荷q相同, 则下列结论中正确的是( )。 A. 两梁对应点的内力和位移相同 B. 两梁对应点的内力和位移不相同 C. 内力相同,位移不同 D. 内力不同,位移相同 4 为提高梁的抗弯刚度,可通过( )来实现。 A. 选择优质材料 B. 合理安排梁的支座,减小梁的跨长 C. 减少梁上作用的载荷 D. 选择合理截面形状 三计算题 1 图示梁,弯曲刚度EI为常数。试绘制挠曲轴的大致形状,并用积分法计算截面C的转角。
2 图示简支梁,左右端各作用一个力偶矩分别为M1和M2的力偶,欲使挠曲轴拐点位于离左端l/3处,则M1和M2应保持何种关系。 3图示梁,弯曲刚度EI为常数。试用叠加法计算截面B的转角和截面C的挠度。
4 图示电磁开关,由铜片AB与电磁铁S组成。为使端点A与触点C接触,试求磁铁S所需吸力的最小值F以及间距a的尺寸。铜片横截面的惯性矩I z=0.18×10-12m4,弹性模量E=101GPa。
1. 图示悬臂梁,横截面为矩形,承受载荷F 1与F 2作用,且F 1=2 kN ,F 2=5 kN ,试计算梁 内的最大弯曲正应力,及该应力所在截面上K 点处的弯曲正应力。 解:(1) 画梁的弯矩图 (2) 最大弯矩(位于F 2作用点所在横截面): M max =2kNm (3) 计算应力: 最大应力:MPa W M Z 9.4661080401029 23 max max =???==-σ K 点的应力:MPa I y M Z K 2.3512 1080401021233 max =???== -σ 1 z
5. 铸铁梁的载荷及截面尺寸如图所示。许用拉应力[σl ]=40 MPa ,许用压应力[σc ]=160 MPa 。 试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变,但将T 形截面倒置成为⊥形,是否 合理?何故? 解:(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知:可能危险截面是B 和C 截面 (2) 计算截面几何性质 形心位置和形心惯性矩 mm A y A y i Ci i C 5.15730 20020030100 3020021520030=?+???+??=∑∑= 4 6232 310125.60200 30)1005.157(12 2003020030)5.157215(1230200m I zC -?=??-+?+??-+?=(3) 强度计算 B 截面的最大压应力 3max 6 20100.157552.4 []60.12510 B C C C zC M y MPa I σσ-??===?p B 截面的最大拉应力 3max 6 (0.23)2010(0.230.1575) 24.12 []60.12510B C t t zC M y MPa I σσ--?-===?p C 截面的最大拉应力 3max 6 10100.157526.2 []60.12510 C C t t zC M y MPa I σσ-??===?p 梁的强度足够。 (4) 讨论:当梁的截面倒置时,梁内的最大拉应力发生在B 截面上。 3max 6 20100.157552.4 []60.12510 B C t t ZC M y MPa I σσ-??===?f 梁的强度不够。 x
6.1. 矩形截面悬臂梁如图所示,已知l =4 m , b / h =2/3,q =10 kN/m ,[σ]=10 MPa ,试确 定此梁横截面的尺寸。 解:(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知: 2max 2 ql M = (2) 计算抗弯截面系数 32 323669 h bh h W === (3) 强度计算 2 2max max 33912[]29 416 277ql M ql h W h h mm b mm σσ= ==?≤∴≥==≥ 6.2. 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示,若[σ]=160 MPa ,试求许可载荷。 解:(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知: No20a x ql 2x
max 23 P M = (2) 查表得抗弯截面系数 6323710W m -=? (3) 强度计算 max max 66 22 3[] 33[]3237101601056.8822 P M P W W W W P kN σσσ-===?≤????∴≤== 取许可载荷 []57P kN = 6.3. 图示圆轴的外伸部分系空心轴。试作轴弯矩图,并求轴内最大正应力。 解:(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知:可能危险截面是C 和B 截面 (2) 计算危险截面上的最大正应力值 C 截面: 3max 33 32 1.341063.20.0632 C C C C C M M MPa d W σππ??====? B 截面: 3max 34 3444 0.91062.10.060.045(1)(1)32320.06B B B B B B B M M MPa D d W D σππ?====?-- (3) 轴内的最大正应力值 MPa C 2.63max max ==σσ x
弯曲变形 1. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数,今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点,则比值M e1/M e2为: (A) M e1/M e2=2; (B) M e1/M e2=3; (C) M e1/M e2=1/2; (D) M e1/M e2=1/3。 答:(C) 2. 外伸梁受载荷如 致形状有下列(A)(B)、(C),(D)四种: 答:(B) 3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示,则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为: (A)EI x M x w q x F F x M ) (d d ,d d , d d 2 2S S ===; (B)EI x M x w q x F F x M ) (d d ,d d , d d 2 2 S S =-=-=; (C)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2S S -==-=; (D)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2S S -=-==。 答:(B) 4. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图 示,自由端的挠度EI l M EI Fl w B 232 e 3+=(↓) 则截面C 处挠度为:
(A)2 e 3 322323??? ??+??? ??l EI M l EI F (↓); (B)2 3 3223/323?? ? ??+??? ??l EI Fl l EI F (↓); (C)2 e 3 322)3/(323? ? ? ??++??? ??l EI Fl M l EI F (↓);(D)2 e 3 322)3/(323? ? ? ??-+??? ??l EI Fl M l EI F (↓)。 答:(C) 5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。 答: 6. 7. (a)、(b)刚度关系为下列中的哪一种: (A) (a)>(b); (B) (a)<(b); (C) (a)=(b); (D) 不一定。 答:(C) 8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件,并定性地画出梁的挠曲线大致形状。 答:x =0, w 1=0, 1 w '=0;x =2a ,w 2 w 2;x =2a ,32 w w '='。 9. 试画出图示静定组合梁在集中力F 作用下挠曲线的大致形状。 (a) (b) (c) w ===θw w
第8章 弯曲变形 本章要点 【概念】平面弯曲,剪力、弯矩符号规定,纯弯曲,中性轴,曲率,挠度,转角。 剪力、弯矩与荷载集度的关系;弯曲正应力的适用条件;提高梁的弯曲强度的措施;运用叠加法求弯曲变形的前提条件;截面上正应力分布规律、切应力分布规律。 【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系:y ερ = 物理关系:E y σρ = 静力关系:0N A F dA σ==?,0y A M z dA σ==?,2z z A A EI E M y dA y dA σρ ρ == =?? 中性层曲率: 1 M EI ρ = 弯曲正应力应力:,M y I σ= ,max max z M W σ= 弯曲变形的正应力强度条件:[]max max z M W σσ=≤ 2. 弯曲切应力 矩形截面梁弯曲切应力:b I S F y z z S ??=* )(τ,A F bh F S S 2323max ==τ 工字形梁弯曲切应力:d I S F y z z S ??=* )(τ,A F dh F S S ==max τ 圆形截面梁弯曲切应力:b I S F y z z S ??=* )(τ,A F S 34max =τ 弯曲切应力强度条件:[]ττ≤max
3. 梁的弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程:() ''EIw M x =- 梁的转角方程:1()dw M x dx C dx EI θ= =-+? 梁的挠度方程:12()Z M x w dx dx C x C EI ??=-++ ??? ?? 练习题 一. 单选题 1、 建立平面弯曲正应力公式z I My /=σ,需要考虑的关系有( )。查看答案 A 、平衡关系,物理关系,变形几何关系 B 、变形几何关系,物理关系,静力关系; C 、变形几何关系,平衡关系,静力关系 D 、平衡关系, 物理关系,静力关系; 2、 利用积分法求梁的变形,不需要用到下面那类条件( )来确定积分常 数。查看答案 A 、平衡条件 B 、边界条件 C 、连续性条件 D 、光滑性条件 3、 在图1悬臂梁的AC 段上,各个截面上的( )。 A .剪力相同,弯矩不同 B .剪力不同,弯矩相同 C .剪力和弯矩均相同 D .剪力和弯矩均不同 图1 图2 4、 图2悬臂梁受力,其中( )。
第六章弯曲变形 一、是非判断题 1.梁的挠曲线近似微分方程为EIy’’=M(x)。(√)2.梁上弯矩最大的截面,挠度也最大,弯矩为零的截面,转角为零。(×)3.两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁,只要所受载荷相同,则两梁所对应的截面的挠度及转角相同,而与梁的材料是 否相同无关。(×)4.等截面直梁在弯曲变形时,挠曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。(×)5.若梁上中间铰链处无集中力偶作用,则中间铰链左右两侧截面的挠度相等,转角不等。(√)6.简支梁的抗弯刚度EI相同,在梁中间受载荷F相同,当梁的跨度增大一倍后,其最大挠度增加四倍。(×)7.当一个梁同时受几个力作用时,某截面的挠度和转角就等于每一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。(√)8.弯矩突变的截面转角也有突变。(×) 二、选择题 1. 梁的挠度是(D) A 横截面上任一点沿梁轴线方向的位移 B 横截面形心沿梁轴方向的位移 C横截面形心沿梁轴方向的线位移
D 横截面形心的位移 2. 在下列关于挠度、转角正负号的概念中,(B)是正确的。 A 转角的正负号与坐标系有关,挠度的正负号与坐标系无关 B 转角的正负号与坐标系无关,挠度的正负号与坐标系有关 C 转角和挠度的正负号均与坐标系有关 D 转角和挠度的正负号均与坐标系无关 3. 挠曲线近似微分方程在(D)条件下成立。 A 梁的变形属于小变形 B 材料服从胡克定律 C 挠曲线在xoy平面内 D 同时满足A、B、C 4. 等截面直梁在弯曲变形时,挠曲线的最大曲率发生在(D)处。 A 挠度最大 B 转角最大 C 剪力最大 D 弯矩最大 5. 两简支梁,一根为刚,一根为铜,已知它们的抗弯刚度相同。跨中作用有相同的力F,二者的(B)不同。 A支反力 B 最大正应力 C 最大挠度D最大转角6. 某悬臂梁其刚度为EI,跨度为l,自由端作用有力F。为减小最大挠度,则下列方案中最佳方案是(B) A 梁长改为l /2,惯性矩改为I/8 B 梁长改为3 l /4,惯性矩改为I/2 C 梁长改为5 l /4,惯性矩改为3I/2 D 梁长改为3 l /2,惯性矩改为I/4 7. 已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为: y(x)=Ax2(4lx - 6l2-x2),则该段梁上(B)
弯 曲 应 力 基 本 概 念 题 一、择题(如果题目有5个备选答案,选出2~5个正确答案,有4个备选答案选出一个正确答案。) 1. 弯曲正应力的计算公式y I M z = σ的适用条件是( ) 。 A . 粱材料是均匀连续、各向同性的 B .粱内最大应力不超过材料的比例极限 C .粱必须是纯弯曲变形 D .粱的变形是平面弯曲 E .中性轴必须是截面的对称轴 2. 在梁的正应力公式y I M z = σ中,I z 为粱的横截面对( )轴的惯性矩。 A . 形心轴 B .对称轴 C .中性轴 D .形心主惯性轴 3. 梁的截面为空心圆截面,如图所示,则梁的抗弯截面模量W 为( )。 A . 32 3 D π B . )1(32 4 3 απ-D C . 32 3 d π D . 32 32 3 3 d D ππ- E .2 6464 44 D d D ππ- 题3图 题4图 4. 欲求图示工字形截面梁上A 点剪应力τ,那么在剪应力公式z z S bI S F *=τ中,S *z 表示 的是( )对中性轴的静矩。 A .面积I B .面积Ⅱ C .面积I 和Ⅱ D .面积Ⅱ和Ⅲ E .整个截面面积 -21-
5.欲求题4图所示工字形截面梁上A 点剪应力τ,那么在剪应力公式z z S bI S F *=τ中,b 应取( )。 A .上翼缘宽度 B .下翼缘宽度 C .腹板宽度 D .上翼缘和腹板宽度的平均值 6.图为梁的横截面形状。那么,梁的抗弯截面模量W z =( )。 A . 6 2 bh B .32632d bh π- C .2641243h d bh ? ??? ??-π D .??? ? ?-???? ??-22641243d h d bh π 7.两根矩形截面的木梁叠合在一起(拼接面上无粘胶无摩擦),如图所示。那么该组合梁的抗弯截面模量W 为( ) A . 62bh B .??? ? ??622 bh C .)2(612 h b D .h bh 21222???? ?? 8.T 形截面的简支梁受集中力作用(如图),若材料的[σ]- >[σ]+,则梁截面位置的合理放置为( )。 -22-
第 五 章 弯 曲 应 力 一、是非判断题 1、设某段梁承受正弯矩的作用,则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长的和缩短的。 ( × ) 2、中性轴是梁的横截面与中性层的交线。梁发生平面弯曲时,其横截面绕中性轴旋转。 ( √ ) 3、 在非均质材料的等截面梁中,最大正应力max σ 不一定出现在max M 的截面上。( × ) 4、等截面梁产生纯弯曲时,变形前后横截面保持为平面,且其形状、大小均保持不变。 ( √ ) 5、梁产生纯弯曲时,过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。 ( × ) 6、控制梁弯曲强度的主要因素是最大弯矩值。 ( × ) 7、横力弯曲时,横截面上的最大切应力不一定发生在截面的中性轴上。 ( √ ) 二、填空题 1、应用公式y I M z = σ时,必须满足的两个条件是 满足平面假设 和 线弹性 。 2、跨度较短的工字形截面梁,在横力弯曲条件下,危险点可能发生在 翼缘外边缘 、 翼缘腹板交接处 和 腹板中心 处。 3、 如图所示的矩形截面悬臂梁,其高为h 、宽为b 、长为l ,则在其中性层的水平剪力 =S F bh F 23 。 4、梁的三种截面形状和尺寸如图所示,则其抗弯截面系数分别为 226 1 61bH BH -、 H Bh BH 66132- 和 H bh BH 66132 - 。 x
三、选择题 1、如图所示,铸铁梁有A,B,C和D四种截面形状可以供选取,根据正应力强度,采用( C )图的截面形状较合理。 2、 如图所示的两铸铁梁,材料相同,承受相同的载荷F。则当F 增大时,破坏的情况是( C )。 A 同时破坏; B (a)梁先坏; C (b)梁先坏 3、为了提高混凝土梁的抗拉强度,可在梁中配置钢筋。若矩形截面梁的弯矩图如图所示,则梁内钢筋(图中虚线所示)配置最合理的是( D ) A B C D A B D x
弯曲变形 基本概念题 一、选择题 1.梁的受力情况如图所示,该梁变形后的 挠曲线如图()所示(图中挠曲线的虚线部 分表示直线,实线部分表示曲线)。 2. 如图所示悬臂梁,若分别采用两种坐标 系,则由积分法求得的挠度和转角的正负号为 ()。 题2图题1图 A.两组结果的正负号完全一致 B.两组结果的正负号完全相反 C.挠度的正负号相反,转角正负号一致 D.挠度正负号一致,转角的正负号相反 3.已知挠曲线方程y = q0x(l3 - 3lx2 +2 x3)∕(48EI),如图所示,则两端点的约束可能为下列约束中的()。 题3图 4. 等截面梁如图所示,若用积分法求解梁的转角、挠度,则以下结论中( )是错误的。 A.该梁应分为AB、BC两段进行积分 B.挠度积分表达式中,会出现4个积分常数 -26-
题4图 题5图 C .积分常数由边界条件和连续条件来确定 D .边界条件和连续条件表达式为x = 0,y = 0;x = l ,0==右左y y ,0='y 5. 用积分法计算图所示梁的位移,边界条件和连续条件为( ) A .x = 0,y = 0;x = a + l ,y = 0;x = a ,右左y y =,右左 y y '=' B .x = 0,y = 0;x = a + l ,0='y ;x = a ,右左y y =,右左 y y '=' C .x = 0,y = 0;x = a + l ,y = 0,0='y ;x = a ,右左y y = D .x = 0,y = 0;x = a + l ,y = 0,0='y ;x = a ,右左 y y '=' 6. 材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ,所受荷载及截面尺寸如图所示。关于它们的最大挠度有如 下结论,正确的是( )。 A . I 梁最大挠度是Ⅱ梁的 41倍 B .I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2 1 倍 C . I 梁最大挠度与Ⅱ梁的相等 D .I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍 题6图 题7图 7. 如图所示等截面梁,用叠加法求得外伸端C 截面的挠度为( )。 A . EI Pa 323 B . EI Pa 33 C .EI Pa 3 D .EI Pa 233 8. 已知简支梁,跨度为l ,EI 为常数,挠曲线方程为)24)2(323EI x lx l qx y +-=, -27-
第三章弯曲工艺及弯曲模具设计复习题答案 一、填空题 1 、将板料、型材、管材或棒料等弯成一定角度、一定曲率,形成一定形状的零件的冲压方法称为弯曲。 2 、弯曲变形区内应变等于零的金属层称为应变中性层。 3 、窄板弯曲后起横截面呈扇形状。窄板弯曲时的应变状态是立体的,而应力状态是平面。 4 、弯曲终了时,变形区内圆弧部分所对的圆心角称为弯曲中心角。 5 、弯曲时,板料的最外层纤维濒于拉裂时的弯曲半径称为最小弯曲半径。 6 、弯曲时,用相对弯曲半径表示板料弯曲变形程度,不致使材料破坏的弯曲极限半径称最小弯曲半径。 7、最小弯曲半径的影响因素有材料的力学性能、弯曲线方向、材料的热处理状况、弯曲中心角。 8 、材料的塑性越好,塑性变形的稳定性越强,许可的最小弯曲半径就越小。 9 、板料表面和侧面的质量差时,容易造成应力集中并降低塑性变形的稳定性,使材料过早破坏。对于冲裁或剪切坯料,若未经退火,由于切断面存在冷变形硬化层,就会使材料塑性降低,在上述情况下均应选用较大的弯曲半径。轧制钢板具有纤维组织,顺纤维方向的塑性指标高于垂直于纤维方向的塑性指标。 10 、为了提高弯曲极限变形程度,对于经冷变形硬化的材料,可采用热处理以恢复塑性。 11 、为了提高弯曲极限变形程度,对于侧面毛刺大的工件,应先去毛刺;当毛刺较小时,也可以使有毛刺的一面处于弯曲受压的内缘(或朝向弯曲凸模),以免产生应力集中而开裂。 12 、为了提高弯曲极限变形程度,对于厚料,如果结构允许,可以采用先在弯角内侧开槽后,再弯曲的工艺,如果结构不允许,则采用加热弯曲或拉弯的工艺。 13 、在弯曲变形区内,内层纤维切向受压而缩短应变,外层纤维切向受受拉而伸长应变,而中性层则保持不变。 14 、板料塑性弯曲的变形特点是:( 1 )中性层内移( 2 )变形区板料的厚度变薄( 3 )变形区板料长
组合变形 一、判断题 1.斜弯曲区别与平面弯曲的基本特征是斜弯曲问题中荷载是沿斜向作用的。( ) 2.斜弯曲时,横截面的中性轴是通过截面形心的一条直线。( ) 3.梁发生斜弯曲变形时,挠曲线不在外力作用面内。( ) 4.正方形杆受力如图1所示,A点的正应力为拉应力。( ) 图 1 5. 上图中,梁的最大拉应力发生在B点。( ) 6. 图2所示简支斜梁,在C处承受铅垂力F的作用,该梁的AC段发生压弯组合变形,CB段发生弯曲变形。( ) 图 2 7.拉(压)与弯曲组合变形中,若不计横截面上的剪力则各点的应力状态为单轴应力。( ) 8.工字形截面梁在图3所示荷载作用下,截面m--m上的正应力如图3(C)所示。( )
图 3 9. 矩形截面的截面核心形状是矩形。( ) 10.截面核心与截面的形状与尺寸及外力的大小有关。( ) 11.杆件受偏心压缩时,外力作用点离横截面的形心越近,其中性轴离横截面的形心越远。( ) 12.计算组合变形的基本原理是叠加原理。() 二、选择题 1.截面核心的形状与()有关。 A、外力的大小 B、构件的受力情况 C、构件的截面形状 D、截面的形心 2.圆截面梁受力如图4所示,此梁发生弯曲是() 图 4 A、斜弯曲 B、纯弯曲 C、弯扭组合 D、平面弯曲 三、计算题 1.矩形截面悬臂梁受力F1=F,F2=2F,截面宽为b,高h=2b,试计算梁内的最大拉应力,并在图中指明它的位置。
图 5 2.图6所示简支梁AB上受力F=20KN,跨度L=2.5m,横截面为矩形,其高h=100mm,宽b=60mm,若已知α=30°,材料的许用应力[σ]=80Mpa,试校核梁的强度。 3.如图7所示挡土墙,承受土压力F=30KN,墙高H=3m,厚0.75m,许用压应力[σ]ˉ=1 Mpa,许用拉应力[σ]﹢=0.1 Mpa,墙的单位体积重量为 ,试校核挡土墙的强度。 图 6 图 7 4.一圆直杆受偏心压力作用,其偏心矩e=20mm,杆的直径d=70mm,许用应力[σ]=120Mpa,试求此杆容许承受的偏心压力F之值。 5.如图8所示,短柱横截面为2a×2a的正方形,若在短柱中间开一槽,槽深为a,问最大应力将比不开槽时增大几倍?
弯曲变形 1、 已知梁得弯曲刚度EI 为常数,今欲使梁得挠曲线在x =l /3处出现一拐点,则比值M e1/M e2为: (A) M e1/M e2=2; (B) M e1/M e2=3; (C) M e1/M e2=1/2; (D) M e1/M e2=1/3。 答:(C) 2、 外伸梁受载荷如图示, 致形状有下列(A)(B)、(C),(D)四种: 答:(B) 3、 简支梁受载荷并取坐标系如图示,则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间得关系以及挠曲线近似微分方程为: (A); (B); (C); (D)。 答:(B) 4、 弯曲刚度为EI 得悬臂梁受载荷如图示,自由端得挠度( ↓) 则截面C 处挠度为: (A)(↓); (B)(↓); (C)(↓);(D)(↓)。 答:(C) 5、 画出(a)、(b)、(c)三种梁得挠曲线大致形状。
答: 6、 7、正方形截面梁分别按(a)、(b)两种形式放置,则两者间得弯曲刚度关系为下列中得哪一种: (A) (a)>(b); (B) (a)<(b); (C) (a)=(b); (D) 不一定。 答:(C) 8、试写出图示等截面梁得位移边界条件,并定性地画出梁得挠曲线大致形状。 答:x=0, w1=0, =0;x=2a,w2=0,w3=0;x=a,w1=w2;x=2a,。 9、试画出图示静定组合梁在集中力F作用下挠曲线得大致形状。 答: (a)(b)(c)
10、 画出图示各梁得挠曲线大致形状。 答: 11、 12、 支座间得距离应为l -2a =0、577l 。 证: 2b ,,因对称性,由题意有: 得 即13、 等截面悬臂梁弯曲刚度EI 为已知,梁下有一曲面,方程为w = -Ax 3。欲使梁变形后与该曲面密合(曲面不受力),试求梁得自由端处应施加得载荷。 解: F S (x ) = -6EIA x=l , M = -6EIAl F =6EIA (↑),M e =6EIAl () 14、 变截面悬臂梁受均布载荷q 作用,已知q 、梁长l 及弹性模量E 。试求截面A 得挠度w A 与截面C 得转角θC 。 解:
弯曲应力 6-1 求图示各梁在m -m 截面上A 点的正应力和危险截面上最大正应力。 题 6-1图 解:(a )m KN M m m ?=-5.2 m KN M ?=75.3max 488 44 108.49064 1010 64 m d J x --?=??= = ππ MPa A 37.20108.490104105.28 2 3=????=--σ (压)
MPa 2.3810 8.4901051075.38 23max =????=--σ (b )m KN M m m ?=-60 m KN M ?=5.67max 488 331058321210181212m bh J x --?=??== MPa A 73.6110583210610608 2 3=????= --σ (压) MPa 2.10410 5832109105.678 23max =????=--σ (c )m KN M m m ?=-1 m KN M ?=1max 4 8106.25m J x -?= 3 6108.7m W x -?= cm y A 99.053.052.1=-= MPa A 67.38106.251099.01018 2 3=????= --σ (压) MPa 2.12810 6.251018 3 max =??=-σ 6-2 图示为直径D =6 cm 的圆轴,其外伸段为空心,内径d =4cm ,求轴内最大正应力。
解:)1(32 43 1απ-= D W x ??? ? ? -???= -463 )64(11032 6π 3 6 1002.17m -?= 346 33 21021.2132 10632 m D W x --?=??= = ππ MPa 88.521002.17109.06 3 1=??=-σ MPa 26.551021.2110172.16 3 1=??= -σ MPa 26.55max =σ 6-3 T 字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。试求梁内最大拉应力与最大压应力。已知I z =10170cm 4,h 1=9.65cm ,h 2=15.35cm 。 解:A 截面: Mpa 95.371065.910 101701040283 1 max =????=--σ (拉)
1. 梁的受力情况如图所示,该梁变形后的 挠曲线如图( )所示(图中挠曲线的虚线部 分表示直线,实线部分表示曲线 )。 2. 如图所示悬臂梁,若分别采用两种坐标 系, 则由积分法求得的挠度和转角的正负号为 )° 弯曲变形 基本概念题 一、选择题 题2图 题1图 A. 两组结果的正负号完全一致 B. 两组结果的正负号完全相反 C. 挠度的正负号相反,转角正负号一致 D. 挠度正负号一致,转角的正负号相反 3 2 3 3. 已知挠曲线方程 y = q o x (l - 3lx +2 x )/(48EI ),如图所示,则两端点的约束可能为 F 列约束中的( )° 题3图 4. 等截面梁如图所示,若用积分法求解梁的转角、挠度,则以下结论中( )是错误的。 A. 该梁应分为 AB 、BC 两段进行积分 B. 挠度积分表达式中,会出现 4个积分常数 5
题4图 题5图 C. 积分常数由边界条件和连续条件来确定 D. 边界条件和连续条件表达式为 x = 0,y = 0 ; x = l , y 左=y 右二0,y'O 5.用积分法计算图所示梁的位移,边界条件和连续条件为 ( ) A. x = =0, y = 0 );x = :a + l ,y = 0 ; x = a, y 左二 y 右,y 左 二y 右 B. x = =0, y = 0 );x = :a + l ,y = 0 ; x = a, y 左二y 右, y 左二y 右 C. x = =0, y =( );x = =a + l ,y = 0, y =0; x = a, y 左= y 右 D. x : =0, y = < 0; x = =a + l, y = 0, y "= 0; x = a, y 左二 :y 右 6. 材料相同的悬臂梁I 、n,所受荷载及截面尺寸如图所示。关于它们的最大挠度有如 下结论,正确的是( )。 1 A . I 梁最大挠度是n 梁的 倍
一、判断题(正确打“√”,错误打“X ”,本题满分为10分) 1、拉杆伸长后,横向会缩短,这是因为杆有横向应力的存在。( ) 2、圆截面杆件受扭时,横截面上的最大切应力发生在横截面离圆心最远处。( ) 3、两梁的跨度、承受载荷及支承相同,但材料和横截面面积不同,因而两梁的剪力图和弯矩图不一定相同。( ) 4、交变应力是指构件内的应力,它随时间作周期性变化,而作用在构件上的载荷可能是动载荷,也可能是静载荷。( ) 5、弹性体的应变能与加载次序无关,只与载荷的最终值有关。( ) 6、单元体上最大切应力作用面上必无正应力。( ) 7、平行移轴公式表示图形对任意两个相互平行轴的惯性矩和惯性积之间的关系。( ) 8、动载荷作用下,构件内的动应力与材料的弹性模量有关。( ) 9、构件由突加载荷所引起的应力,是由相应的静载荷所引起应力的两倍。( ) 10、包围一个点一定有一个单元体,该单元体各个面上只有正应力而无切应力。( ) 二、选择题(每个2分,本题满分16分) 1.应用拉压正应力公式A F N =σ的条件是( )。 A 、应力小于比例极限; B 、外力的合力沿杆轴线; C 、应力小于弹性极限; D 、应力小于屈服极限。 2.梁拟用图示两种方式搁置,则两种情况下的最大弯曲正应力之比 ) (m ax )(m ax b a σσ 为 ( )。 A 、1/4; B 、1/16; C 、1/64; D 3 A B C 、有应力不一定有应变,有应变一定有应力; D 、有应力一定有应变,有应变一定有应力。 4、火车运动时,其轮轴横截面边缘上危险点的应力有四种说法,正确的是 。 A :脉动循环应力: B :非对称的循环应力; C :不变的弯曲应力;D :对称循环应力 5、如图所示的铸铁制悬臂梁受集中力F 作用,其合理的截面形状应为图( ) 6、对钢制圆轴作扭转校核时,发现强度和刚度均比规定的要求低了20%,若安全因数不 (a (b
Engineering Mechanics (第3版) 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 高等教育出版社
第9章弯曲应力与弯曲变形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力 9.3 弯曲切应力简介 9.4 弯曲变形的概念 9.5 梁的挠曲线近似微分方程 9.6 用积分法求弯曲变形 9.7 用叠加法求弯曲变形 9.8 梁的刚度校核 9.9 提高梁强度和刚度的措施 小结 思考题
第9章 弯 曲 应 力 与 弯 曲 变 形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.1.1 梁的纯弯曲 前一章讨论了梁弯曲时梁横截面上的内力——剪力和弯矩。但要解决梁的强度问题,必须进一步了解横截面上应力的分布规律。剪力和弯矩是横截面上分布内力的 合成结果。切应力对应的内力为剪力,正应力对应的内力为弯矩。 梁(或某段梁)的各个横截面上仅有弯矩而无剪力,从而仅有正应力而无切应力的弯曲,称为纯弯曲。而横截面上同时存在弯矩和剪力,即既有正应力又有切应力的弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。 例如,图9 - 1a 所示简支梁。由图可知梁的CD 段为纯弯曲,AC 和DB 段为横力弯曲。 图9 – 1 y a a F F B x z A C (a) D x F S F F (c) a a F F B C D (b) A F A F B (d) Fa M x
9.1.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 研究纯弯曲时梁横截面上的正应力,需从几何、物理和静力关系等三方面考虑。 由以上试验结果可作如下假设:原为平面的横截面变形后仍保持为平面,且仍垂直于变形后梁的轴线,只是绕横截面内某一轴旋转一角度。这就是弯曲变形的平面假设。 1. 变形几何关系 取截面具有纵向对称轴(例如矩形截面)的等直梁,在其侧面画两条横向直线mm 及nn ,并在横向线间靠近顶面和底面画两条纵向线段aa 与 bb (图9 – 2a )。然后在梁的纵向对称面内两端施加一对等值、 反向的力偶,作梁的纯弯曲变形试验(图9 – 2b )。 a a b b m m n n (a) (b) m m n n y ρ M e M e O' O' b' b' a' a' d θy y z b' 中性轴 中性层 对称轴 (c) 图9 – 2 b' a a '' b b ''可观察到: (1)横向直线变形后仍为直线,且仍然垂直于已经变成弧线的 和 ,只是相对旋转了一个角度。 (2)靠近顶面的纵向线段aa 缩短,靠近底面的纵向线段bb 伸长。
第三章 1 、将板料、型材、管材或棒料等弯成一定角度、一定曲率,形成一定形状的零件的冲压方法称为弯曲。 2 、弯曲变形区内应变等于零的金属层称为应变中性层。 3 、窄板弯曲后起横截面呈扇形状。窄板弯曲时的应变状态是立体的,而应力状态是平面。 4 、弯曲终了时,变形区内圆弧部分所对的圆心角称为弯曲中心角。 5 、弯曲时,板料的最外层纤维濒于拉裂时的弯曲半径称为最小弯曲半径。 6 、弯曲时,用相对弯曲半径表示板料弯曲变形程度,不致使材料破坏的弯曲极限半径称最小弯曲半径。 7、最小弯曲半径的影响因素有材料的力学性能、弯曲线方向、材料的热处理状况、弯曲中心角。 8 、材料的塑性越好,塑性变形的稳定性越强,许可的最小弯曲半径就越小。 9 、板料表面和侧面的质量差时,容易造成应力集中并降低塑性变形的稳定性,使材料过早破坏。对于冲裁或剪 切坯料,未经退火,由于切断面存在冷变形硬化层,就会使材料塑性降低,上述情况下均应选用较大的弯曲半径。轧制钢板具有纤维组织,顺纤维方向的塑性指标高于垂直于纤维方向的塑性指标。 10 、为了提高弯曲极限变形程度,对于经冷变形硬化的材料,可采用热处理以恢复塑性。 11 、为了提高弯曲极限变形程度,对于侧面毛刺大的工件,应先去毛刺;当毛刺较小时,也可以使有毛刺的一 面处于弯曲受压的内缘(或朝向弯曲凸模),以免产生应力集中而开裂。 12 、为了提高弯曲极限变形程度,对于厚料,如果结构允许,可以采用先在弯角内侧开槽后,再弯曲的工艺, 如果结构不允许,则采用加热弯曲或拉弯的工艺。 13 、弯曲变形区内,内层纤维切向受压而缩短应变,外层纤维切向受受拉而伸长应变,而中性层保持不变 14 、板料塑性弯曲的变形特点是:( 1 )中性层内移( 2 )变形区板料的厚度变薄( 3 )变形区板料长 度增加( 4 )对于细长的板料,纵向产生翘曲,对于窄板,剖面产生畸变。 15 、弯曲时,当外载荷去除后,塑性变形保留下来,而弹性变形会完全消失,使弯曲件的形状和尺寸发生变 化而与模具尺才不一致,这种现象叫回弹。其表现形式有 _ 曲率减小、弯曲中心角减小两个方面。 16 、相对弯曲半径r ╱ t 越大,则回弹量越大。
第七章 梁弯曲时的变形 §7?1 概 述 图7?1所示的简支梁,任一横截面的形心即轴线上的点在垂直于x 轴方向的线位移,称为挠度,用y 表示;横截面绕中性轴转动的角度,称为该截面的转角,用θ表示,如图中C 截面转过的角度θ即为C 截面的转角。 (7?1) 称为挠曲线方程。 (7?2) 称为转角方程。 §7?2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 在小变形情况下,梁的挠曲线为一平坦的曲线,挠曲线近似微分方程为 EI x M x y )(d d 2 2±= (7?3) 式中的正负号取决于22d d x y 与)(x M 的正负号的规定。在如图11?2所示的坐标系中,y 轴以 向下为正,当M (x )>0时,梁的挠曲 的(7?3) ?+-== C x x M EI x d )(d θ (7?5) 再积分一次,可得 ()[]??++-=D Cx x x M EI y 2d 1 (7?6) 以上两式中,C 、D 为积分常数,可通过梁的边界条件及变形连续条件确定。例如在简支梁(图7?3a )中,A 、B 支座处的挠度都等于零;在悬臂梁(图7?3b )中,固定端处挠度和转角都等于零。积分常数C 、D 确定后,代入式(7?5)、(7?6),便可求得梁的转角方程和挠曲线方程,进而可求得梁上任一横截面的转角和挠度。 例题7?1 图示等截面悬臂梁AB EI ,试 (b)
求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度y max 和最大转角θmax 。 解 b ),弯矩方程为: (a ) (2 (b ) (3积分一次,得: ??? ??+-==C Fx Flx EI x y 2211d d θ (c ) 再积分一次,得: ??? ??++-= D Cx Fx Flx EI y 3261211 (d ) (4)利用梁的边界条件确定积分常数 在梁的固定端,横截面的转角和挠度都等于零,即: 0=x 时,0=y ,0=θ 代入式(c )、(d ),求得C =0,D =0。 (5)给出转角方程和挠曲线方程 ??? ??-==2211d d Fx Flx EI x y θ (e ) ??? ??-=3261211Fx Flx EI y (f ) (6)求最大挠度和最大转角 根据梁的受力情况和边界条件,可知此梁的最大挠度和最大转角都在自由端即x =l 处。将x =l 代入(e )、(f )两式,则可求得最大转角及最大挠度分别为: 挠度为正,说明梁变形时B 点向下移动,转角为正,说明横截面B 沿顺时针方向转动。 用积分法计算梁的位移时,应先写出梁的弯矩方程,建立梁的挠曲线近似微分方程,然后通过积分得到转角和挠曲线方程式,积分中出现的积分常数可通过边界条件确定。当全梁的弯矩不能用统一的方程式表示时,应分段列出其弯矩方程和挠曲线近似微分方程,并分段 积分。积分常数的确定除了利用梁的边界条件 外,还需利用梁的变形连续条件。 §7?3 叠加法 当梁上同时作用几种荷载时,所引起的梁 的位移可采用叠加法计算,即先分别求出每一项荷载单独作用时所引起的位移,然后计算这些位移的代数和,即为各荷载同时作用时所引起的位移。 例题7?4 图示简支梁AB ,受均布荷载 和集中力偶作用,梁的弯曲刚度为EI ,试用叠加法求梁跨中点C 的挠度值和A 、B 截面的转角。 解:此梁上的荷载可以分为两项简单荷载,如图(b )、(c )所示。 (a ) (b ) (c )
材料力学二 1、横力弯曲梁,横截面上()。[C] A、仅有正应力 B、仅有切应力 C、既有正应力,又有切应力 D、切应力很小,忽略不计 2、一圆型截面梁,直径d=40mm,其弯曲截面系数W Z为()。[B] A、1000πmm3 B、2000πmm3 C、400πmm2 D、400πmm3 3、弯曲梁上的最大正应力发生在危险截面()各点处。[B] A、中性轴上 B、离中性轴最远 C、靠近中性轴 D、离中性轴一半距离 4、考虑梁的强度和刚度,在截面面积相同时,对于抗拉和抗压强度相等的材料(如碳钢),最合理的截面形状是()。[D] A、圆形 B、环形 C、矩形 D、工字型 5、两梁的横截面上最大正应力相等的条件是()。[B] A、M MAX与横截面积A相等 B、M MAX与W Z(抗弯截面系数)相等 C、M MAX与W Z相等,且材料相同 D、都正确 6、提高梁的强度和刚度的措施有()。[c] A、变分布载荷为集中载荷 B、将载荷远离支座 C、将梁端支座向内侧移动 D、撤除中间支座 7、一铸铁梁,截面最大弯矩为负,其合理截面应为(B)。 A、工字形 B、“T”字形 C、倒“T”字形 D、“L”形 8、图示三种截面的截面积相等,高度相同,试按其抗弯截面模量由大到小依次排列( B ) A、ABC B、CBA C、CAB D、BAC 9、几何形状完全相同的两根梁,一根为铝材,一根为钢材,若两根梁受力状态也相同,则它们的( A ) A、弯曲应力相同,轴线曲率不同 B、弯曲应力不同,轴线曲率相同 C、弯曲应力和轴线曲率均相同 D、弯曲应力和轴线曲率均不同 10、设计钢梁时,宜采用中性轴为( A )的截面 A、对称轴 B、靠近受拉边的非对称轴 C、靠近受压边的非对称轴 D、任意轴 11、关于图示梁上a点的应力状态有下列四种答案:正确答案是( D )
第七章 弯 曲 变 形 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 挠度、转角、挠曲线、挠曲线近似微分方程、直接积分法、叠加法。 1.2 挠度和转角 梁弯曲变形后,梁轴线将弯曲成一条光滑而连续的曲线,称为挠曲线。以梁在变形前的轴线为x 轴,y 轴向上为正。梁的挠曲线为xy 平面内的一条平面曲线。 梁的弯曲变形用两个基本量来度量: 1 挠度:横截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移,用w 表示;向上的挠度为正,反之为负。 2 转角:横截面变形后绕中性轴转过的角度,用θ表示。逆时针转动为正,顺时针转动为负。挠度和转角之间有如下关系: () dw x dx θ= 可见确定梁的位移,关键是确定挠曲线方程()w f x =。 1.3 挠曲线近似微分方程 梁弯曲时,曲率和弯矩的关系为 1() ()() M x x EI x ρ=,式中)(x EI 为梁的抗弯刚度。在小变形的情况下,挠曲线近似微分方程为 22() d w M x dx EI = 1.4 梁变形的求解 1 直接积分法 对挠曲线近似微分方程积分一次,得转角方程 ()() ()dw x M x x dx C dx EI θ= =+? (a ) 再积分一次,得挠度方程 () ()M x w x dxdx Cx D EI =++?? (b ) 其中C 、D 为积分常数,可利用梁的边界条件和挠曲线连续条件确定。 2 叠加法 在小变形和弹性范围内,梁的挠度与载荷为线性关系,可以用叠加法求梁的挠度:即将梁的载荷分为若干种简单载荷,分别求出各种简单载荷作用下的位移,将它们叠加起来即为原载荷产生的位移。
1.5 梁的刚度条件 梁的设计中,除了需要满足强度条件外,在很多情况下,还要将变形限制在一定范围内,即满足刚度条件 max max [] [] w w θθ≤≤ 式中的[]w 和][θ分别为梁的许用挠度和许用转角,可从有关设计手册中查得。 1.6 简单超静定梁 由于多余约束的存在,某些梁的约束反力只用静力平衡方程并不能完全确定,这种梁称为超静定梁。求解方法之一为变形比较法,主要有以下步骤: (1)解除多余约束,视此约束反力为未知外力,选取静定基,得到原超静定梁的相当系统; (2)将相当系统的变形与原系统比较,找到变形所应满足的条件,即变形协调方程; (3)由变形协调方程求解未知的约束反力。 多余约束反力解出后,利用平衡方程求解其它约束反力。 1.7 提高梁刚度的措施 从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出,弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件、梁截面的惯性矩I 、材料的弹性模量E 有关。故提高梁刚度的措施为: (1)改善结构形式,减小弯矩M ; (2)增加支承,减小跨度l ; (3)选用合适的材料,增加弹性模量E : (4)选择合理的截面形状,提高惯性矩I ,如工字形截面、空心截面等。 2 重点与难点及解析方法 2.1挠曲线近似微分方程 梁弯曲变形后,曲率和弯矩之间的关系EI x M x ) ()(1= ρ是弯曲变形的基本方程,可直接用来解决梁的一些变形问题。 解析方法:梁的挠曲线近似微分方程是建立在以梁左端为原点的右手坐标系上的, 求解梁的弯曲变形时应特别注意。 2.2梁变形的求解 1 直接积分法是求解梁的变形的基本方法。