高中数学《几类不同增长的函数模型》导学案

3．2.1几类不同增长的函数模型

函数模型

(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝xα(α>0)都是□1增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．

(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝a x(a>1)的□2增长速度越来越快，会超过□3并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的□4增长速度则会越来越慢．

(3)对于函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)，y＝xα(α>0)，存在一个x0，使得当x>x0时，有□5a x>xα>log a x.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x3比y＝2x增长的速度更快些．()

(2)当x>100时，函数y＝10x－1比y＝lg x增长的速度快．()

(3)能用指数型函数f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数．()答案(1)×(2)√(3)√

2．做一做

(1)已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1个单位时，y的变化情况是________．

(2)(教材改编P98T1)当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关

系为________．

(3)(教材改编P95例1)某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则k＝________.

(4)如图所示的曲线反映的是________函数模型的增长趋势．

答案(1)减少3个单位(2)b

『释疑解难』

(1)一次函数模型

一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．

(2)指数函数模型

指数函数模型y＝a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．

(3)对数函数模型

对数函数模型y＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．

(4)幂函数模型

幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．

探究1建立函数模型解决实际问题

例1某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米

污水排出，为了净化环境，工厂设计了两套方案对污水进行处理，并准备实施．

方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；

方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：

(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；

(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？

解设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为y1，选择方案二的利润为y2，由题意知

y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000.

y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.

(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，

∵y1

(2)当x＝6000时，y1＝114000，y2＝108000，

∵y1>y2，∴应选择方案一处理污水．

拓展提升

建立函数模型是为了预测和决策，预测准不准主要靠建立的函数模型与实际的拟合程度．而要获得好的拟合度，就需要丰富、详实的数据．

【跟踪训练1】某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；

乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．

哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少

元？(结果精确到0.01万元)

解 按甲方案，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元；

按乙方案，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86万元．

故按乙方案投资5年可多得利息3.86万元，更有利．

探究2 需选择函数模型的实际问题

例2 上世纪九十年代，政府气候变化专业委员会(IPCC)提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO 2浓度增加．据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO 2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位．若用一个函数模拟上世纪九十年代每年CO 2浓度增加的可比单位数y 与年份增加数x 的关系，模拟函数可选用二次函数f (x )＝px 2＋qx ＋r 或指数型函数g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，且b ≠1)，且又知1994年大气中的CO 2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？

解 ①若以二次函数f (x )＝px 2＋qx ＋r 作模拟函数，则

????? p ＋q ＋r ＝1，4p ＋2q ＋r ＝3，

9p ＋3q ＋r ＝6，

解得????? p ＝12，q ＝12，r ＝0.

∴f (x )＝12x 2＋12x .

②若以指数型函数g (x )＝a ·b x ＋c 作模拟函数，则

????? ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝3，

ab 3＋c ＝6，解得????? a ＝83，b ＝32，c ＝－3，

∴g (x )＝83·? ??

??32x －3. 利用f (x )，g (x )对1994年CO 2浓度作估算，则其数值分别为：f (5)＝15个可比单位，g (5)＝17.25个可比单位．

∵|f (5)－16|<|g (5)－16|，

∴f (x )＝12x 2＋12x 作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近．故

用函数f (x )＝12x 2＋12x 模拟较好．

拓展提升

用函数模型解应用题的四个步骤

【跟踪训练2】 一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅

行社说：“家庭旅行为集体票，按原价23

优惠．”这两家旅行社的原

价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．

解 设家庭中孩子数为x (x ≥1，x ∈N *)，旅游收费为y ，旅游原价为a .

甲旅行社收费：y ＝a ＋a 2(x ＋1)＝a 2(x ＋3)；

乙旅行社收费：y ＝2a 3(x ＋2)．

∵2a 3(x ＋2)－a 2(x ＋3)＝a 6(x －1)，

∴当x ＝1时，两家旅行社收费相等．

当x >1时，甲旅行社更优惠．

探究3 幂函数、指数函数、对数函数增长的差异

例3 观察下面表中的数据，你对函数y ＝2x ，y ＝x 2，y ＝log 2x 的增长差异有什么认识？

解 尽管在x 的某一范围内，有2x 4时，2x >x 2>log 2x .

拓展提升

判断函数的增长速度，一是可以直接感受函数值的增长快慢．二是可以设Δx ＝x n ＋1－x n ，通过观察函数值的差Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )来量化．三还可以借助图象，增长速度匀速的，图象是直线；增长速度越来越快的图象表现为下凹，反之则为上凸．

【跟踪训练3】 函数f (x )＝2x 和g (x )＝x 3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1

(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；

(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2018)，g(2018)的大小．

解(1)当x充分大时，图象位于上方的函数是指数函数y＝2x，另一个函数就是幂函数y＝x3.

∴C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.

(2)∵f(1)>g(1)，f(2)g(10)，

∴1

∴x1<6x2.

从图象上可以看出，当x1

∴f(6)

当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2018)>g(2018)．

又g(2018)>g(6)，∴f(2018)>g(2018)>g(6)>f(6)．

1.函数应用题的类型

函数应用题主要有：(1)函数类型已知的问题；(2)函数类型未知的问题；(3)利用函数拟合法得到函数模型的问题.

2.解决实际问题的流程

1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是() A．y＝100x B．y＝log100x

C．y＝x100D．y＝100x

答案D

解析几种函数模型中，指数函数增长速度最快，故选D.

2．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x.如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是()

A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝2x

C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x

答案D

解析由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大，故选D.

3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到() A．300只B．400只

C．500只D．600只

答案A

解析由已知第一年有100只，得a＝100.将a＝100，x＝7代入y＝a log2(x＋1)，得y＝300.

4．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝e kt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________；经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．答案2ln 21024

解析设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e k

2

，解得

k＝2ln 2，y(5)＝e(2ln 2)·5＝e10ln 2＝210＝1024(个)．

5．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表：

试问：

(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？

(2)各函数增长速度的快慢有什么不同？

解(1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．

(2)由题表可以看出：各函数增长速度的快慢不同，其中f(x)＝2x 的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝x2，增长速度也在变大；而f(x)＝2x＋7的增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)＝log2x，其增长速度越来越小．

A级：基础巩固练

一、选择题

1．当2

A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2x

C．2x>log2x>x2D．x2>log2x>2x

答案B

解析解法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y ＝log2x的图象，所以x2>2x>log2x.

解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.

2．有一组实验数据如下表所示：

A．y＝log a x(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)

C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝log a x＋b(a>1)

答案C

解析通过所给数据可知y随x的增大而增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.

3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()

A．一次函数B．二次函数

C．指数型函数D．对数型函数

答案D

解析一次函数保持均匀的增长，不能体现题意；二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越

来越慢”的要求；因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢．

4．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是()

A．y＝0.2x B．y＝1

10(x2＋2x)

C．y＝2x

10D．y＝0.2＋log16x 答案C

解析将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算即可．

5．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象是()

答案D

解析设今年绿地面积为m，则有my＝(1＋10%)x m，

∴y＝1.1x，故选D.

二、填空题

6．若已知16

2

和log2x的大小关系

为________．

答案x 1

2

>log2x

解析作出f(x)＝x 1

2

和g(x)＝log2x的图象，如图所示：

由图象可知，在(0,4)内，x 1

2

>log2x；

x＝4或x＝16时，x 1

2

＝log2x；

在(4,16)内x 1

2

1

2

>log2x.

7.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．

以下四种说法：

①前三年产量增长的速度越来越快；

②前三年产量增长的速度越来越慢；

③第三年后这种产品停止生产；

④第三年后产量保持不变．

其中说法正确的序号是________．

答案 ②③

解析 由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1)．反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3,8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．

8．有一个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的，设从某时刻开始5 min 内只进水不出水，在随后的15 min 内既进水又出水，得到水量y (L)与时间x (min)之间的关系如图所示．若20 min 后只放水不进水，直到放完为止，则这时y 与x 之间的函数关系式是________．

答案 y ＝95－3x ?

????20≤x ≤953 解析 先由图求出每分钟的进水量与出水量．由图可知每分钟的

进水量为205＝4(L)．设每分钟的出水量为u (L)，则35－2020－5

＝4－u ，∴u ＝3.因此，20 min 后，水量y ＝35－3(x －20)，即y ＝95－3x ? ??

??20≤x ≤953. 三、解答题

9．为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (分)与通话费用y (元)的关系如图所示．

(1)分别求出通话费用y 1，y 2与通话时间x 之间的函数解析式；

(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．

解 (1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30,35)，C (30,15)

分别代入y 1，y 2的解析式，得k 1＝15，k 2＝12.

∴y 1＝15x ＋29(x ≥0)，y 2＝12x (x ≥0)．

(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.

当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；

当x <9623时，y 1>y 2，使用便民卡便宜；

当x >9623时，y 1

B 级：能力提升练

10．森林具有净化空气的功能，经研究发现，森林净化空气量Q

与森林面积S 的关系是Q ＝50log 2S 10.

(1)若要保证森林具有净化效果(Q ≥0)，则森林面积至少为多少个单位？

(2)当某森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为多少个单位？

解 (1)由题，知当Q ＝0时，代入关系式可得

0＝50log2S

10

，解得S＝10.

因为Q随S的增大而增大，所以当Q≥0时，S≥10，

即森林面积至少为10个单位．

(2)将S＝80代入关系式，

得Q＝50log280

10

＝50log28＝150.

即森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为150个单位．