卡诺图法在《离散数学》教学中的应用

卡诺图法在《离散数学》教学中的应用

[摘要] 本文主要阐述了卡诺图法在《离散数学》教学中的几个具体应用,诸如如何利用卡诺图表示或化简命题公式、求解公式的主析(合)取范式、化简布尔代数以及证明布尔恒等式等。

[关键词] 卡诺图命题公式卡诺圈布尔代数范式

离散数学是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标,其研究对象一般是有限个或可数个元素。因此,它充分描述了计算机科学离散性的特点,是计算机科学中基础理论的核心课程。由于离散数学具有很强的逻辑推理性,因而卡诺图可以用来表示或化简命题公式、求解公式的主析(合)取范式、化简布尔代数以及证明布尔恒等式等。

一、用卡诺图表示命题公式

具体做法是,根据命题公式所包含的命题变元数目,先画出相应的极小项卡诺图;然后,将公式中包含的极小项,在卡诺图对应的方格中填上“1”;公式中不包含的极小项方格中填上“0”或不填,所得图形就是该命题公式的卡诺图。

【例题1】用卡诺图表示下列命题公式

(1)A=﹁(P→Q)

(2)B=(﹁P∧Q)→R

【解】(1)A是一个二变元命题公式,先画好二变元极小项卡诺图,然后在A包含的极小项对应的方格中填上“1”(见图1)。公式A的极小项表达式为:

A=P∧﹁Q

(2)B是一个三变元命题公式,除画好二变元极小项卡诺图外(见图2),还需将公式展示成极小项表达式为:

B=(﹁P∧﹁Q∧﹁R)∨(P∧Q∧﹁R)∨(﹁P∧﹁Q∧R)∨(P∧﹁Q∧﹁R)∨(﹁P∧Q∧R)∨(P∧﹁Q∧R)∨(P∧Q∧R)

二、用卡诺图化简命题公式或布尔代数

通常的化简步骤是:

逻辑函数的卡诺图化简法

b 第十章 数字逻辑基础 补充：逻辑函数的卡诺图化简法 1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。卡诺图是按一定规则画出来的方框图。 优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。 缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。公式化简法优点：变量个数不受限制 缺点：结果是否最简有时不易判断。2．最小项（1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的 形式出现一次。 注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。如：Y=F （A ，B ） （2个变量共有4个最小项 ） B A B A B A AB Y=F （A ，B ，C ） （3个变量共有8个最小项 C B A C B A C B A BC A ） C B A C B A C AB ABC 结论：n 变量共有2n 个最小项。三变量最小项真值表 （2）最小项的性质 ①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1：②任意两个最小项的乘种为零；③全体最小项之和为1。 （3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的

h i n g s n 十进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。 3．最小项表达式——标准与或式 任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB(+C)+BC(+A)+CA(+B) C A B =ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++ =3 567m m m m +++例2.写出下列函数的标准与或式：C B AD AB Y ++=解：))()( C B D A B A Y +++=（ ) )((C B D B A ++= D C B C A B A B A +++= D C B A D C B A C B A C B A BC A ++++= D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A D BC A BCD A ++++++=_ 8014567m m m m m m m ++++++= ＝） 8,7,6,5,4,1,0(m ∑列真值表写最小项表达式。

卡诺图化简法

卡诺图化简 一卡诺图的构成 卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。 1．结构特点 卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，图2．5(a)、(b)、(c)、(d)分别为2变量、3变量、4变量、5变量卡诺图的一种排列方案。图中，变量的坐标值0表示相应变量的反变量，1表示相应变量的原变量。各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。 在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i 。 图2. 5 2～5变量卡诺图 从图2.5所示的各卡诺图可以看出，卡诺图上变量的排列规律使最小项的相邻关系能在图

形上清晰地反映出来。具体地说，在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。以四变量卡诺图为例，图中每个最小项应有4个相邻最小项，如m5的4个相邻最小项分别是m1，m4，m7，m13，这4个最小项对应的小方格与m5对应的小方格分别相连，也就是说在几何位置上是相邻的，这种相邻称为几何相邻。而m2则不完全相同，它的4个相邻最小项除了与之几何相邻的m3和m6之外，另外两个是处在“相对”位置的m0(同一列的两端)和m10(同一行的两端)。这种相邻似乎不太直观，但只要把这个图的上、下边缘连接，卷成圆筒状，便可看出m0和m2在几何位置上是相邻的。同样，把图的左、右边缘连接，便可使m2和m10相邻。通常把这种相邻称为相对相邻。除此之外，还有“相重”位置的最小项相邻，如五变量卡诺图中的m3，除了几何相邻的m1，m2，m 7和相对相邻的m11外，还与m19相邻。对于这种情形，可以把卡诺图左边的矩形重叠到右边矩形之上来看，凡上下重叠的最小项相邻，这种相邻称为重叠相邻。 归纳起来，卡诺图在构造上具有以下两个特点： ☆n个变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项； ☆卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。 二卡诺图的性质 卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项合并。合并的理论依据是并项定理AB+AB=A。例如， 根据定理AB+AB=A和相邻最小项的定义，两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。例如，4变量最小项ABCD和ABCD相邻，可以合并为ABD；ABCD和ABCD 相邻，可以合并为ABD；而与项ABD和ABD又为相邻与项，故按同样道理可进一步将两个相邻与项合并为BD。 用卡诺图化简逻辑函数的基本原理就是把上述逻辑依据和图形特征结合起来，通过把卡

卡诺图的研究与应用

哈尔滨师范大学 学年论文 题目卡诺图的研究与应用 学生夏亮亮 指导教师赵庆明副教授 年级2010级 专业电子信息科学与技术 系别光电工程系 学院物理与电子工程学院 哈尔滨师范大学 2013年5月

论文提要 对数字电路的分析与研究成为电子工程技术人员必须掌握的知识，卡诺图是重要的分析工具。卡诺图直观形象、易于掌握，是数字电路的基本知识。本文针对卡诺图，作出了更为系统的介绍分析，使人们对卡诺图的认识更为直接化、系统化。当然希望大家能够了解卡诺图、应用卡诺图、研究出卡诺图更多的应用。

卡诺图的研究与应用 夏亮亮 摘 要：卡诺图形象直观，易于掌握，在数字电路中应用广泛，很多课本都很零散地作了介绍，而且是本着用到提到，不用不提的思想。为此，本文针对卡诺图作出了较为系统的总结，并对卡诺图的一些重要应用作了介绍。通过系统总结，可以让读者更为直观，全面的认识卡诺图，了解卡诺图，应用卡诺图。 关键词：图像法 直观形象 简单快捷 随着数字技术的快速发展，现代电子设备已经从模拟化向数字化转变。目前，大多数电路只在信号采集、微弱信号放大、高频大功率输入等局部采用模拟电路，其余部分广泛采用数字技术及数字处理电路。因此，对数字电路的分析与研究成为电子工程技术人员必须掌握的知识。在数字电子技术中数字逻辑电路的设计是非常重要的，而卡诺图在逻辑电路设计中又起到非常重要的作用，所以本文对卡诺图作出进一步的分析与讨论。 一、卡诺图的简介 组合电路逻辑关系的图形表示法可以追溯到英国逻辑学家约翰·维恩（John Venn ）1881年发明的在集合论中处理集合间逻辑关系的文氏图，爱德华·维奇（Edward Veitch ）在1952年将文氏图中的圆形改画成矩形而发明了维奇图。但这些图都不如美国贝尔实验室的电信工程师莫里斯·卡诺（Maurice Karnaugh ）在1953年根据维奇图改进的卡诺图。卡诺图又称K 图，它比代数法形象直观，易于掌握，只要熟悉一些简单规则，便可十分迅速地将函数化简为最简式。卡诺图法是逻辑设计中一种十分有用的工具，在电路设计、数字逻辑、故障诊断等许多领域中应用广泛。 二、卡诺图的构成 卡诺图是由表示逻辑变量的所有可能取值组合的小方格所构成的图形，是真值表的特殊形式。它把函数中的变量分为两组构成二维图表。第一组变量的所有组合值安排在左列；第二组变量的所有组合值安排在最上行。行、列两组变量组合值所构成的每个小方格即为这些变量的乘积，亦即最小项。最小项是逻辑函数的标准形式，其定义为：对于一个给定变量数目的逻辑函数，所有变量参加相“与”的项叫做最小项。在最小项中，每个变量只能以原变量或反变量出现一次。例如： 一个变量A 有 2 个最小项：A 、A ； 两个变量A 、B 有 4 个最小项：B A 、B A 、B A 、AB ； 一个变量A 、B 、C 有 8 个最小项：C B A 、…、ABC 。 以此类推，4 变量A 、B 、C 、D 共有 1624 个最小项，n 变量共有n 2个最小项。 将这些小方格以循环码顺序排列（即满足最小项按相邻项排列），就可以构成n 个变量的卡诺图。图1-1中（a ）、（b ）、（c ）分别给出了2～4变量的卡诺图。

数电补充内容——卡诺图的应用

2.8 卡诺图其他的应用 2.8.1 通过卡诺图生成逻辑函数真值表 由于卡诺图与真值表完全等效，两者仅仅是形态的不同，而四个变量以内的卡诺图很容易制作。因此，以后不再使用逻辑运算法则求解四个变量以内的逻辑函数的真值表。 例如，画出逻辑函数Y=BC C A AB ++的真值表 引申——前面曾经提到“如果两个逻辑函数代数式的真值表相同，则这两个逻辑函数代数式等效”，因此对于四个变量以内的逻辑函数来说，可引申为“如果两个逻辑函数的卡诺图相同，则这两个逻辑函数代数式等效”。 2.8.2 通过卡诺图生成逻辑函数的标准“与—或”式 基于卡诺图中取值为1的最小项就是逻辑函数标准“与—或”式中的项，因此以后也不再利用A A +=1，A+A=A 等基本逻辑公式获取逻辑函数的标准“与—或”式。 例如，写出逻辑函数Y=BC C A AB ++的标准“与—或”式。 2.8.3 通过卡诺图生成逻辑函数Y 最大项积的形式 方法：先画出逻辑函数Y 的卡诺图→写出反函数Y 的标准“与—或”式→利用摩根定理将其中的最小项转化为或非式→再取反→再利用摩根定理去掉非号即可。 例如，写出逻辑函数Y=BC C A AB ++的最大项积形式。 (1) 逻辑函数Y 卡诺图如下： 00 01 1011 1 0A B C 1111 (2) 写出反函数Y 的标准“与—或”式 Y =C B A C B A C B A C B A +++ =A +++(在每个项上添加两个非号)

=B C B C A +++++++++(摩根定理) (3) 两边取反得 Y=C B A C B A C B A C B A +++++++++++ =)B ()C B ()C A ()C B A (++?++?++?++ 2.8.4 利用卡诺图获得几种常用逻辑函数的最简式(P38页内容补充及整理) 通过卡诺图化简获得逻辑函数Y 最简“与—或”式不是目的，而是为了获得最简“与非—与非”式、最简“或非—或非”式以及最简“与或非”式。原因是在逻辑门电路中只生产与非门、或非门及反相器。 1. 最简“与非—与非”式 [概念]逻辑函数“与非—与非”式特征：不同变量组合先与后非，再与再非，如 Y=C A AB ? 最简“与非—与非”式特征：非号个数最少，且非号下乘积项中变量个数也达到最少，总之要求与非门输入端的个数达到最少。 求解逻辑函数Y=F(A,B,C,D)最简“与非—与非”式步骤：先画出逻辑函数Y 的卡诺图→求出函数Y 的最简“与—或”式→添加两个非号(取反再取反) →利用摩根定理去掉下面的非好即可。 例如，求Y=BC C A AB ++的最简“与非—与非”式 (1) 逻辑函数Y 卡诺图如下： 00 01 1011 1 0A B C 1111 (2) 由卡诺图可得Y 的最简与或式 Y=C A AB + =C A AB +(添加两个非号) =C A AB ?(利用摩根定理，去掉下面的非号) [目的] 获得最简“与非—与非”式后就可以用输入端个数最少的与非门电路实现逻辑函数的功能，如

对布尔代数中卡诺图的研究

第25卷第3期合肥工业大学学报(自然科学版)Vol.25No.3 2002年6月JOURN AL OF HEFEI U NIVERSITY OF T ECH NOLOGY Jun.2002对布尔代数中卡诺图的研究 方志鸣 (黄山学院物理系,安徽黄山　245021) 摘　要:由于卡诺图具有几何相邻与逻辑相邻之间的良好对应关系,故在布尔代数中得到广泛应用,文章分析了传统卡诺图在简化多变量(n>5)函数时,其对应关系所面临的困难,提出三维卡诺图及卡诺图阵列的概念。采用适当的排列方式可将图中几何相邻与逻辑相邻的对应项增加到6个以上,为了使其具有实用性,又引入一定的画图规则,对三维卡诺图加以改进,并举例说明它们的使用方法。结果表明,采用该方法对六变量至八变量的逻辑函数进行综合化简时,仍具有简便直观、可靠性高及易操作等优点,且有较好的实用价值。 关键词:几何相邻;逻辑相邻;三维卡诺图;卡诺图阵列 中图分类号:O153.2 文献标识码:A 文章编号:1003-5060(2002)03-0455-04 Research on Karnaugh map in Boolean algebra FANG Zhi-ming (Dept.of Physics,Huan gshan College,Huangsh an245021,China) Abstract:Karnaug h map can be used larg ely in Boo lean alg ebra because it has fine correspondence be-tw een adjacency on g eo metr y and adjacency on log ic.In this paper,the difficulty of co rrespondence in sim plifying the m ultiple-variable(n>5)function w ith the traditional Kar naugh map is analyzed,and the concepts o f three-dimensional Karnaug h map and Karnaugh map array are proposed.By using pr oper range,the correspondence term s betw een adjacency on geom etry and adjacency on logic can in-crease to six or more in the map.Some pictorial rules are adopted,and the three-dim ensional Kar-naugh map is improved for practicality o f the map,and the usag e o f the im pro ved map is illustrated w ith examples in the paper.T he lo gic functions of six to eight variables ar e simplified and sy nthesized by using the improved m ap.The r esult show s that the presented m ethod has the advantages of sim-plicity,intuition,g ood reliability and easy operation,so it is valuable in practical use. Key words:adjacency on geometry;adjacency on logic;three-dimensional Kar naugh map;Karnaugh map array 在有关文献[1～4]中,使用卡诺图时只讨论到四变量为止,因为通常画出的五变量及五变量以上的卡诺图用来化简逻辑函数时,已逐渐失去了简便直观的优点,故应用较少。本文将卡诺图加以改进,可应用于五变量以上的逻辑函数的化简,而且不失其直观和简便的优点。 收稿日期:2001-08-14;修改日期:2001-11-04 作者简介:方志鸣(1947-),男,安徽歙县人,黄山学院讲师.

用卡诺图化简逻辑函数

1.4 用卡诺图化简逻辑函数 本次重点内容 1、卡诺图的画法与性质 2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图 逻辑函数可以用卡诺图表示。所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。对n 个变量的卡诺图来说，有2n个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。 二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义 在n个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。通常用m表示最小项，其下标为最小项的编号。编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。如最小项C B A对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。因此，最小项C B A的编 号为m 0，如最小项C B A的编号为m 4 ，其余最小项的编号以此类推。 2、最小项的基本性质： （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。 （2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。 图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最

卡诺图化简所应用的逻辑代数原理与方法

题目：卡诺图化简所应用的逻辑代数原理与方法 Topic：Cano figure reduction applied logic algebra principle and method 摘要：对卡诺图化简所应用的逻辑代数原理进行讨论，并总结化简的方法，以及卡诺图在其他方面的作用。 关键字：卡诺图，原理，方法，作用。 Abstract：Cano figure reduction of applied logic algebra theory discussed and summarized reduction method, and the carnot chart in other roles. Key word：Cano figure, principle, method, effect. 正文： 1、卡诺图化简所应用的逻辑代数原理： 卡诺图是逻辑函数真值表的图形表示。图1—1是有2、3、4个变量的逻辑函数的卡诺图。 （1）二变量卡诺图 （2）三变量卡诺图 （3）四变量卡诺图 图1—1 卡诺图的行和列都做了标记，以便容易的确定该单元对应的输入组合。单元中的小数字是真值表中相应的最小项编号，假设真值表的输入是从左到右按字母顺序标记的，而且行是按二进制计数顺序计数的.例如四变量卡诺图中单元14对应于真值表的A B C D=1110行。

卡诺图中每个单元都包含函数真值表对应行的信息。如果对应输入组合的函数值为0时，图中单元内也是0，否则为1. 卡诺图的行号和列号采用的是格雷码，才用的这种编码的原因是格雷码的任意两个相邻的代码之间只有一位不同，而且格雷码是循环码。在卡诺图中的实际用途就是，例如，4变量图的单元13和15是相邻的，它们只有C值不同。在最小化“积之和”时，因为“项+0=项”，所以“积之和”时函数值为0的项对逻辑函数是没有作用的，只会增加逻辑函数表达式的项，从而增加成本。故在最小化“积之和”时，只考虑函数值为1的项。同理可得，当最小化“和之积”时，因为“项*1=项”，所以最小化“积之和”时，只考虑函数值为0的项。 对于最小化“积之和”时，在卡诺图中的相邻单元，其最小项只有一个变量不同。根据“项*X+项*X非=项*（X+X非）=项*1=项”，将这一对最小项合并成单个乘积项。最小化“和之积”时同理。所以，我们能用卡诺图来简化逻辑函数的标准和式，降低制造成本。 在最小化“积之和”时，如果逻辑函数的i个变量具有所有2的i次方，则2的i次方个“1”单元集可被合并，而剩余的n-i个变量值不变。相应的乘积项有n-i个变量，若变量在“1”单元中为0，则对其求反，若为1则不求反。 2、化简方法 2.1.与或逻辑化简 ①根据给定的逻辑函数确定变量的个数，然后画出相应的卡诺图； ②圈出无相邻项的孤立1格； ③圈出只有一种圈法，即只有一种合并可能的1格的合并圈； ④余下的1格都有两种或两种以上的圈法，此时的原则是在保证有没有圈到 1格的前提下，合并圈越大越好，圈的数目越少越好，所有1格至少被圈过一次； ⑤将所有合并圈对应的乘积项相加，即得到化简后的最简与或式。 例1化简F=BCD+BC+A CD+A BC。 解第一步：用卡诺图表示该逻辑函数。 BCD：对应m3、m11 BC：对应m4、m5、m12、m13 A CD：对应m1、m5 A BC：对应m10、m11 卡诺图如图例1—1所示。上述方格填入“1”，其他方格可不填入。 第二步：画卡诺圈圈住全部“1”方格。

卡诺图化简所应用的逻辑代数原理与方法

卡诺图化简所应用的逻辑代数原理与方法 kamaugh map Simplification of the application of principles and methods of algebraic logic 【摘要】逻辑代数卡诺图化简是数字电子技术的一个重要内容，本文讨论了卡诺图化简逻辑代数的化简原理以及基本方法。卡诺图利用了格雷码的循环相接性质进行化简，采用画卡诺圈进行逻辑合并。 【关键词】逻辑代数；卡诺图；化简 【Abstract】Simplifying logic function by kamaugh map is an important content of digital electronic technique. This paper explores the principleand basicmethods of Simplifying logic function by kamaugh map.K-map use thecycle phase nature ofthe Gray code to simplifying logic function and use carnot cycle tomerge logic. 【Key Word】Logic Function;KarnaughMap;Simplifying 引言 在ASIC设计和基于PLD的设计中，最小化都是一个重要的步骤。多余的门和门输入端需要更多的面积，从而增加了成本。但是在杂乱的代数符号中找出可结合的项是困难的。卡诺图是逻辑函数真值表的图形表示，是一种更适于人工操作的最小化方法，其出发点是对真值表进行图形等效，它是通过一种直观形象、易于操作的方式来实现逻辑代数化简。 一、卡诺图化简的相关概念 1、最小和：逻辑函数F的最小和是F的一个“积之和”表达式，F的其它“积之和”表达式不会比最小和最小和式中的乘积项更少。 2、主蕴含项定理：最小和是主蕴含项之和。 3、奇异“1”单元：是一个仅被单一主蕴含项覆盖的输入组合。 4、质主蕴含项：是覆盖一个或多个奇异“1”单元的主蕴含项。 5、蕴涵项：在函数的“与-或”表达式中,每个“与”项被称为该函数的蕴涵项 二、卡诺图的构成及化简的原理 1、卡诺图是一种平面方格阵列图，n个变量的卡诺图由2n个小方格构成。卡诺图是真值表图形化的结果，n个变量函数的真值表是用2n行的纵列依次给出变量的2n种取值，每行的取值与一个最小项对应；而n个变量函数的卡诺图是用二维图形中2n个小方格的坐标值给出变量的2n种取值，每个小方格与一个最小项对应。 2、格雷码具有循环邻接的特性，而将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。卡诺图上上下左右在几何上相邻的方格内只有一个

卡诺图化简

卡诺图化简法 卡诺图化简法又称为图形化简法。该方法简单、直观、容易掌握，因而在逻辑设计中得到广泛应用。 一卡诺图的构成 卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。 1．结构特点 卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，图2．5(a)、(b)、(c)、(d)分别为2变量、3变量、4变量、5变量卡诺图的一种排列方案。图中，变量的坐标值应0表示相变量的反变量，1表示相应变量的原变量。各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。 在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i。

图2. 5 2～5变量卡诺图 从图2.5所示的各卡诺图可以看出，卡诺图上变量的排列规律使最小项的相邻关系能在图形上清晰地反映出来。具体地说，在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。以四变量卡诺图为例，图中每个最小项应有4个相邻最小项，如m5的4个相邻最小项分别是m1，m4，m7，m13，这4个最小项对应的小方格与m5对应的小方格分别相连，也就是说在几何位置上是相邻的，这种相邻称为几何相邻。而m2则不完全相同，它的4个相邻最小项除了与之几何相邻的m3和m6之外，另外两个是处在“相对”位置的m0(同一列的两端)和m10(同一行的两端)。这种相邻似乎不太直观，但只要把这个图的上、下边缘连接，卷成圆筒状，便可看出m0和m2在几何位置上是相邻的。同样，把图的左、右边缘连接，便可使m2和m10相邻。通常把这种相邻称为相对相邻。除此之外，还有“相重”位置的最小项相邻，如五变量卡诺图中的m3，除了几何相邻的m1，m2，m7和相对相邻的m11外，还与m19相邻。对于这种情形，可以把卡诺图左边的矩形重叠到右边矩形之上来看，凡上下重叠的最小项相邻，这种相邻称为重叠相邻。 归纳起来，卡诺图在构造上具有以下两个特点： ☆ n个变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项； ☆ 卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。 二卡诺图的性质 卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项合并。合并的理论依据是并项定理AB+AB=A。例如，

卡诺图化简方法.pdf

卡诺图化简方法 学生姓名：陈曦指导教师：杜启高 将输出与输入之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组合式，就是逻辑函数式。 一、逻辑函数的卡诺图表示法 将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻 地排列起来，所得到的图形称为n变量最小项的卡诺图。 为了保证图中几何位置相邻地最小项在逻辑上也具有相邻性，这些数码不能按自然二进制数从小到大地顺序排列，而必须按图中的方式排列，以确保相邻的两个最小项仅有一个变量是不同的。 从卡诺图上可以看到，处在任何一行或一列两端的最小项也仅有一个变量不同，所以它们也具有逻辑相邻性。因此，从几何位置上应当将卡诺图看成是上下、左右闭合的图形。 任何一个逻辑函数都能表示为若干最小项之和的形式，自然也可以用卡诺图来表示任意一个逻辑函数。具体做法是：首先将逻辑函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图上标出与之相对应的最小 项，在其余位置上标入0，就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。也就是说，任何一个逻辑函数都等于 卡诺图中填入1的那些最小项之和。 二、用卡诺图化解逻辑函数 化简时依据的基本原理就是具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子。由于在卡诺图上 几何位置相邻与逻辑上的相邻性是一致的，因而从卡诺图上能直观的找出那些具有相邻性的最小项并 将其合并化简。 合并最小项的原则：若两个最小项相邻，则可以合并为一项并消去一对因子。若四个最小项相邻 并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去两队因子。若八个最小项相邻并且排列成一个矩形组， 则可以合并成一项并消去三对因子。合并后的结果中只剩下公共因子。

卡诺图化简法步骤：（一）将函数式化为最小项之和的形式； （二）画出表示该逻辑函数的卡诺图； （三）找出可以合并的最小项； （四）画出包围圈并选取化简后的乘积项。 在画包围圈时要注意：（一）包围圈越大越好； （二）包围圈的个数越少越好； （三）同一个“1”方块可以被圈多次； （四）画包围圈时，可先圈大，再圈小； （五）每个圈要有新的成分，如果某一圈中所有的“1”方块均被别的包围圈包围，就可以舍掉这个包围圈； （六）不要遗漏任何方块。 通常我们都是通过合并卡诺图中的1来求得化简结果得。但有时也可以通过合并卡诺图中的0先求出'Y的化简结果，然后再将'Y求反而得到Y。

逻辑函数的卡诺图化简法

逻辑函数的卡诺图化简法 逻辑函数的卡诺图化简法 由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。但首先需要了解最小项的概念。 一、最小项的定义及其性质 1.最小项的基本概念 由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个 被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是 1. 每项都只有三个因子 2. 每个变量都是它的一个因子 3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次 一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n＝3 时，最小项有23＝8个

2.最小项的性质 为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最 小项的真值表。 由此可见，最小项具有下列性质： （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。 （2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 （4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。 3.最小项的编号 最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC 是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3 按此原则，3个变量的最小项

二、逻辑函数的最小项表达式 利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式 。下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系, 将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即 又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步： （1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式； （2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式； （3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。 由此可见，任一个逻辑函数都可化成为唯一的最小项表达式。

逻辑函数的卡诺图化简法

第十章 数字逻辑基础 补充：逻辑函数的卡诺图化简法 1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。卡诺图是按一定 规则画出来的方框图。 优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。 缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。 公式化简法优点：变量个数不受限制 缺点：结果是否最简有时不易判断。 2．最小项 （1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的 形式出现一次。 注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。 如：Y=F （A ，B ） （2个变量共有4个最小项B A B A B A AB ） Y=F （A ，B ，C ） （3个变量共有8个最小项C B A C B A C B A BC A C B A C B A C AB ABC ） 结论： n 变量共有2n 个最小项。 三变量最小项真值表 （2）最小项的性质 ①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1： ②任意两个最小项的乘种为零； ③全体最小项之和为1。 （3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。 3．最小项表达式——标准与或式 任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB(C +C)+BC(A +A)+CA(B +B) =ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++ =3567m m m m +++ 例2.写出下列函数的标准与或式：C B AD AB Y ++=

逻辑函数的卡诺图化简法

卡诺图 　 　 3.3.1 卡诺图化简的基本原理（略） 　 3.3.2 逻辑函数的标准式—最小项 　 1. 最小项的定义 先看一个有三变量的真值表: 三变量的真值表 A B C 三变量与因式最小项编号 0 0 0 ABC m0 0 0 1 ABC m1 0 1 0 ABC m2 0 1 1 ABC m3 1 0 0 ABC m4 1 0 1 ABC m5 1 1 0 ABC m6 1 1 1 ABC m7 对于n个变量，有2n个可能的取值，全部变量的“与”项，称为最小项。 观察表中，在一个最小项中，每个变量只能以原变量或反变量出现一次。 举例： 下列三变量乘积项中，哪些是最小项，哪些是一般项？ ABCA A（B+C） AB ABC ABC 一个变量有21=2个最小项, A, A 二个变量有22=4个最小项, AB，AB，AB，AB。 n个有2n个最小项。 　 2.最小项的性质（看表） （1）对于任意一个最小项，只有一组取值使得它的值为1，而在其他各组值时，这个最小项的值都是0 （纵向看）

（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 （4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。（横向看） 　 　 (2)真值表法 A B C A B C BC AC F 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 写逻辑表达式 F=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC （根据最小项性质：逻辑函数，对于任意一个最小项，只有一组变量的取值使其为1，而其他组取值为0。）。 1 1 1 0 1 0 1