高考数学排列组合、概率统计练习题

排列组合、概率统计

一、选择题

1.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．36种

2.如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G

处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）

A ．24

B ．18

C ．12

D ．9

3.从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n

个数对11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ） A ．4n m

B ．2n m

C ．4m n

D ．2m n

4.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）

柱形图，以下结论中不正确的是（ ）

A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著.

B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效.

G

?

F

?

E

?

C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势.

D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.

5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，

连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45

6.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实

践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种

7.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参

加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

（）A．1

3B．1

2

C．2

3

D．3

4

二、填空题

1.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽

取100次，X表示抽到的二等品件数，则D X=．

2.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和

3. 甲，乙，丙三人各取走一

张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是. 3.从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和

等于5的概率为1

14

，则n=______.

4.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，

元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，

则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命

（单位：小时）服从正态分布N(1000，502)，

且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.

三、解答题

1.淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

2

2

()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=

++++

2.某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险

次数

0 1 2 3 4

≥5

保费

0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5

概率

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0. 05

（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

3.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了

20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地

62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

区

B地

73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

区

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89

不低于90分

分

满意度等级不满意满意非常满意

记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．

4.某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如

下表：

年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

年份代号 1 2 3 4 5 6 7

（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

()()

()

1

2

1

?n

i

i i n

i i t

t

y y b

t t ==--=-∑∑，??a y bt

=-.

6. （2012·18）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，

然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.

t

（Ⅰ）若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式；

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

7．（2011·19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种

新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100

件这种产

品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

B配方的频数分布表

（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t

的关系式为

2(94)

2(94102)

4(102)

,t<

y,t<

,t

-

?

?

=≤

?

?≥

?

，从用B配方生产的产品中任取一件，其利润

记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

排列组合、概率统计（解析版） 一、选择题

1.【解析】解法一：将三人分成两组，一组为三个人，有336A =种可能，另外一组从三人在选调一人，有133C =种可能；两组前后在排序，在对位找工作即可，有222A =种可能；共计有36种可能.

解法二：工作分成三份有246C =种可能，在把三组工作分给3个人有336A =可能，共计有36种可能.

2.B 解析：E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318?=种走法，故选B ．

3.C 解析：由题意得：()()12i i x y i n =???，，，，在如图所示方格中，而

平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知

π41m n

=，∴4πm

n

=

，故选C ．

4.）D 解析：由柱形图可知，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，所以二氧化硫排放量与年份负相关，故选D.

5.A 解析：设A =“某一天的空气质量为优良”，B =“随后一天的空气质量

为优良”，则()0.6

(|)0.8()

0.75

P AB P B A P A ==

=. 6.A 解析：只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共有12

2

4C C 种安排方案.

7.A 解析：每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9

种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为P =3

19

3

=，故选A. 二、填空题

1.1.96【解析】随机变量()100,0.02∽B X ，()()1 1.96D X np p =-=.

2.(1,3)解析：由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足；

若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，故甲（1，3）. 3.）8解析：从1，2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n 种取法，两数之和

为5的有(1,4)，(2,3)，共2种，所以221C 14n

=，即24111142

n n n n ==

(-)(-)，亦即n 2-n -56=0，解得n =8.

4.38

解析：由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12

，

所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2113[1(1)]2

2

8

--?=.

三、解答题

1.淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

2

2

()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=

++++

（2017·18）解析：（Ⅰ）旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为0.012×5+0.014×5+0.024×5+0.034×5+0.040×5=0.62，由于两种养殖方法的箱产量相互独立，

于是P （A ）=0.62×0.66=0.4092

（Ⅱ）旧养殖法的箱产量低于50kg 的有100×0.62=62箱，不低于50kg 的有38箱，新养殖法的箱产量不低于50kg 的有100×0.66=66箱，低于50kg 的有34箱，得到2×2列联表如下：

箱产量<50kg

箱产量≥50kg

合计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 合计

96

104

200

所以22

200(62663438)1225

15.7059610410010078

K ??-?=

=≈??? 2 6.635K ∴>，所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。

（III ）根据箱产量的频率分布直方图，新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为0.038×5+0.046×5+0.010×5+0.008×5=0.66>0.50，不低于55kg 的频率为0.046×5+0.010×5+0.008×5=0.32<0.50，于是新养殖法箱产量的中位数介于50kg 到55kg 之间，设新养殖法箱产量的中位数为x ，则有

（55-x ）×0.068+0.046×5+0.010×5+0.008×5=0.50 ，解得x=52.

3529因此，新养殖法箱产量的中位数的估计值52. 35。

（2016·18）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 解析：⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，

()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．

⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ，()0.100.053()()

0.55

11

P AB P B A P A +===．

⑶解：设本年度所交保费为随机变量X ．

平均保费：0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =?++?+?+?+?

0.2550.150.250.30.1750.1 1.23a a a a a a a =+++++=，

∴平均保费与基本保费比值为1.23．

（2015·18）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随

机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎

叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分 低于70分 70分到89

分 不低于90分 满意度等级

不满意

满意

非常满意

记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．

2.解析：（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下:

A 地区

B 地区 4 6 8 3 5 1 3 6 4 6 4 2 6 2 4 5 5 6 8 8 6 4 3 7 3 3 4 6 9 9 2 8 6 5 1 8 3 2 1 7 5 5 2 9 1 3

A 地区用户满意度评分的平均值高于

B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散。

（Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；2A C 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”；1B C 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”；2B C 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”，则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =U ，

1122()()B A B A P C P C C C C =U 1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+， 由所给数据得1212,,,A A B B C C C C 发生的频率分别为164108

,,,20202020

， 故1212164108

(),(),(),()20

202020

A A

B B P

C P C P C P C ==

==

，164108()0.4820202020P C =?+?=

3.）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据

如下表：

（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

()()

()

1

2

1

?n

i

i i n

i i t

t

y y b

t t ==--=-∑∑，??a y bt

=-. 4.解析：（Ⅰ）由题意得：4t =， 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9

4.37

y ++++++=

=，

∴2222222

(3)( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.93 1.60.5(3)(2)(1)0123

b -?-+-?-+-?-+?+?+?+?==-+-+-++++$， ∴? 4.30.54 2.3a

y bt =-=-?=$，故所求线性回归方程为：?0.5 2.3y

t =+. （Ⅱ）由（Ⅰ）中的回归方程的斜率0.50k =>可知，2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐渐增加．令9t =得：$0.59 2.3 6.8y =?+=，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元。

5.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500

元，未售出的产品，每1t 亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如有图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以x （单位：t ，100≤x ≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

（Ⅰ）将T 表示为x 的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；

（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x ∈[100, 110)，则取x =105，且x =105的概率等于需求量落入[100, 110)的概率），求利润T 的数学期望.

6.解析：（Ⅰ）当x ∈[100,130)时，T ＝500x -300(130-x )＝800x -39 000，当

x ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000. 所以80039000,10013065000,130150

x x T x -≤

≤≤?. （Ⅱ）由（Ⅰ）知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150. 由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T 的分布列为

所以ET ＝0.4＝59 400.

7.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10

元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. （Ⅰ）若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式；

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；

（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还

是17枝？请说明理由.

（2012·18）解析：（Ⅰ）当n ≥16时，y =16×(10-5)=80，当n ≤15时，

y =5n -5×(16-n )=10n -80，得1080,(15)

()80,(16)

n n y n N n -≤?=∈?

≥? .

（Ⅱ）（ⅰ）X 可能取60，70，80. P (X =60)=0.1，P (X =70)=0.2，P (X =80)=0.7， X 的分布列为：

X 的方差D (X ) =(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. （ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，X 的分布列为

，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花.

8.某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，

且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A 配方的频数分布表

B 配方的频数分布表

（Ⅰ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用B 配方生成的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值

2(94102)4(102)y ,t <,t =≤??≥?

润记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

9.解析：（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的平率为228=0.3100

+，

所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3 . 由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100

+=，所以用B 配方生

产的产品的优质品率的估计值为0.42 .

（Ⅱ）用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90, 94), [94, 102), [102, 110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，因此 P (X =-2)=0.04，P (X =2)=0.54，P (X =4)=0.42， 即X 的分布列为： X 0.54+4×0.42=2.68 .