创新设计数学文江苏专用一轮复习 课时作业33导数的综合应用 含答案
第3讲导数的综合应用
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为
________．
解析①当x∈(－∞，－1)和x∈(1，＋∞)时，f(x)是增函数，
∴f′(x)>0，
由x·f′(x)<0，得x<0，∴x<－1.
②当x∈(－1,1)时，f(x)是减函数，∴f′(x)<0.
由x·f′(x)<0，得x>0，∴0 故x·f′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)． 答案(－∞，－1)∪(0,1) 2．若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围是________． 解析y′＝3(1－x)(1＋x)，由y′＝0，得x＝±1.∴y极大＝2，y极小＝－2，∴－2 答案(－2,2) 3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________． 解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f ′(x )＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)＞0，解得a ＜－3或a ＞6. 答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞) 4．若f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (－3)，f ? ?? ??π2，f (2)的大小关系为________． 解析 函数f (x )为偶函数，因此f (－3)＝f (3)．又f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝ x cos x ，当x ∈? ?? ??π2，π时， f ′(x )<0.∴f (x )在区间? ?? ??π2，π上是减函数， ∴f ? ?? ??π2>f (2)>f (3)＝f (－3)． 答案 f (－3) ??π2 5．f (x )＝kx 3－3x ＋1，x ∈R ，若对任意x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数k 的范围为________． 解析 当x ∈(0,1]时，f (x )≥0，可化为k ≥3x 2－1x 3， 设g (x )＝3x 2－1x 3， 则g ′(x )＝3(1－2x )x 4， ∴g (x )在? ?? ??0，12上单调递增， 在? ?? ??12，1上单调递减． ∴g (x )max ＝g ? ?? ??12＝4.∴k ≥4. 答案 [4，＋∞) 6．(2015·南京、盐城模拟)表面积为12 π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为________． 解析 设圆柱的底面圆半径为r ，高为l ，则表面积为2πr 2＋2πrl ＝12π，则l ＝ 6－r 2r ，r ∈(0，6)，体积为V ＝πr 2l ＝πr 2·6－r 2r ＝π(6r －r 3)，r ∈(0，6)，所以 V ′＝π(6－3r 2)，由V ′＝0解得r ＝2，且r ∈(0，2)时V ′＞0，r ∈(2，6)时V ′＜0，所以r ＝2时，该圆柱的体积取得最大值，此时高l ＝ 42 ＝22，底面半径与高的比为r l ＝12. 答案 12 7，已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________． 解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3. 由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ， 易知f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9. 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13. 答案 －13 8．设函数f (x )＝6ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋4，则方程f (x )－g (x )＝0有________个实根． 解析 设φ(x )＝g (x )－f (x )＝x 2－4x ＋4－6ln x ，则φ′(x )＝2x 2－4x －6x ＝2(x ＋1)(x －3)x ，且x >0.由φ′(x )＝0，得x ＝3.当0 与x 轴有两个交点，则方程f (x )－g (x )＝0有两个实根． 答案 2 二、解答题 9．(2014·南通调研)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋b x ，函数f (x )的图象与x 轴的交点 也在函数g (x )的图象上，且在此点有公切线． (1)求a ，b 的值； (2)试比较f (x )与g (x )的大小． 解 (1)f (x )＝ln x 的图象与x 轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得g (1)＝a ＋b ＝0，① 又f ′(x )＝1x ，g ′(x )＝a －b x 2， 又f (x )与g (x )在点(1,0)处有公切线， ∴g ′(1)＝f ′(1)＝1，即a －b ＝1，② 由①②得a ＝12，b ＝－12. (2)令F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )＝ln x －? ?? ??12x －12x ＝ln x －12x ＋12x (x ＞0)，∴F ′(x )＝1x －12－12x 2＝－12? ?? ??1x －12≤0.∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数，且F (1)＝0， 当0＜x ＜1时，F (x )＞F (1)＝0，即f (x )＞g (x )； 当x ＝1时，F (x )＝F (1)＝0，即f (x )＝g (x )； 当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即f (x )＜g (x )． 综上可知，当0＜x ＜1时，f (x )＞g (x )； 当x ＝1时，f (x )＝g (x )； 当x ＞1时，即f (x )＜g (x )． 10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式； (2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝m x －1， 所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256? ?? ??m x －1＋m x (2＋x )x ＝256x m ＋m x ＋2m －256. (2)由(1)知， f ′(x )＝－256m x 2＋12mx ＝m 2x 2(x －512)． 令f ′(x )＝0，得x ＝512，所以x ＝64. 当0 当64 此时n ＝m x －1＝64064－1＝9. 故需新建9个桥墩才能使工程的费用y 最小． 能力提升题组 (建议用时：25分钟) 1．(2015·德州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析 因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称， 所以函数y ＝xf (x )为奇函数． 因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )， 且当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＜0， 所以函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减； 因为1＜20.2＜2,0＜log π3＜1，log 39＝2， 所以0＜log π 3＜20.2＜log 3 9，所以b ＞a ＞c . 答案 b ＞a ＞c 2．(2014·辽宁卷改编)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析 由题意知?x ∈[－2,1]都有ax 3－x 2＋4x ＋3≥0，即ax 3≥x 2－4x －3在x ∈[－2,1]上恒成立． 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立， 即a ∈R . 当0＜x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3＝－3x 3－4x 2＋1x . 令t ＝1x (t ≥1)，g (t )＝－3t 3－4t 2＋t ，因为g ′(t )＝－9t 2－8t ＋1＜0(t ≥1)，所以g (t )在[1，＋∞)上单调递减，g (t )max ＝g (1)＝－6(t ≥1)，所以a ≥－6. 当－2≤x ＜0时，a ≤－3x 3－4x 2＋1x ，同理， g (t )在(－∞，－1]上递减，在? ?? ??－1，－12上递增． 因此g (t )min ＝g (－1)＝－2? ?? ??t ≤－12，所以a ≤－2. 综上，－6≤a ≤－2. 答案 [－6，－2] 3．已知f (x )＝x e x ，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若?x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________． 解析 f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )． 当x >－1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 所以函数f (x )的最小值为f (－1)＝－1e . 而函数g (x )的最大值为a ，则由题意， 可得－1e ≤a 即a ≥－1e . 答案 ???? ??－1e ，＋∞ 4．(2015·南京调研)已知函数f (x )＝e x －m －x ，其中m 为常数． (1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0恒成立，求m 的取值范围； (2)当m >1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由． 解 (1)依题意，可知f (x )在R 上连续， 且f ′(x )＝e x －m －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝m . 故当x ∈(－∞，m )时，e x －m <1，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(m ，＋∞)时，e x －m >1，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 故当x ＝m 时，f (m )为极小值也是最小值． 令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1， 即对任意x ∈R ，f (x )≥0恒成立时，m 的取值范围是(－∞，1]． (2)当m >1时，f (m )＝1－m <0. ∵f (0)＝e －m >0，f (0)·f (m )<0，且f (x )在(0，m )上单调递减．∴f (x )在(0，m )上有一个零点． 又f (2m )＝e m －2m ，令g (m )＝e m －2m ， 则g ′(m )＝e m －2， ∵当m >1时，g ′(m )＝e m －2>0， ∴g (m )在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (m )>g (1)＝e －2>0，即f (2m )>0. ∴f (m )·f (2m )<0，∴f (x )在(m,2m )上有一个零点． 故f (x )在[0,2m ]上有两个零点.