设x解方程

题目中的变化过程比较多，在设立未知数后，一步步跟上分析，把每一步的变化结果都用x的式子表示出来，最后建立等量关系.

第十讲列方程解应用题

小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。他就

问管理员叔叔共有多少只猩猩，管理员叔叔开心的答道：“头数加只数，只数减头数，头数乘只数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？

呵呵！认真学习今天的好方法，你就可以准确、快速的解答出上

面的问题了！

列方程解应用题的一般步骤是：

①审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系，；

②合理设未知数x，设未知数的方法有两种：问什么设什么（直接

设未知数），间接设未知数；

③依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程；

④解方程；

⑤将结果代入原题检验。

概括成五个字就是：“审、设、列、解、验”.

列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。寻找等量关系的常用

方法是：根据题中“不

变量”找等量关系。

一些基本概念：

（1）像4x+2=9这样的的等式，只含有一个未知数x，而且未知数x的指数为1的方程叫做一元一次方程；

（2）像2x+y=8这样的的等式，含有两个未知数x、y，而且未知数的指数都为1的方程叫做二元一次方程；把两个二元一次方程用“﹛”写在一起，就组成了一个二元一次方程组；

类型Ⅰ：列简易方程解应用题

【例1】（清华附中培训试题）（难度系数：★★）解下列方程：

（1）（2）

（3）（4）

（5）（6）

（7）（8）

【例2】（清华附中培训试题）（难度系数：★★）汽车以每小时72公里的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回音，听到回音时汽车离山谷多远？（声音的速度以340米/秒计算）

分析：72千米/小时=72000米/3600秒=2米/秒，设听到回音时汽车离山谷x米，根据题意可得：

340×4=2x+2×4，解得x=676（米）.

【例3】（小数报数学竞赛初赛）（难度系数：★★★）用绳子测井深，绳子两折时,余60厘米,绳子三折时,差40厘米，求绳长和井深？

分析：法1：设井深是x厘米，则有：2x+60×2=3x-40×3 ，井深x=240（厘米），绳长600厘米；

【例4】（奥数网习题库）（难度系数：★★）箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3倍多两个，每次从箱子里取出7个白球，15个红球．如果经过若干次以后，箱子里只剩下3个白球，53个红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个?

分析：设取球的次数为x次．那么原有的白球数为（3+7x），红球数

为（53+15x）．再根据题中的第一个条件：53+15x=3×（3+7x）+2，解得x=7，所以原有红球158个，原有白球52个，红球比白球多106个．此题用逆向思维较难求解，但是用方程则思路非常清晰简单．

【例5】（奥数网习题库）（难度系数：★★★）小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩，管理员叔叔开心的答道：“头数加只数，只数减头数，头数乘只数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？

分析：设动物园有x只猩猩，依题意有：（x+x）+（x-x）+x×x+x÷x=100，即2x+0+ x×x+1=100，亦即

x（x+2）=99，又ｘ整数，只有唯一解ｘ=9．

【附1】（101测试题）（难度系数：★★）甲、乙、丙、丁四人共做零件270个。如果甲多做10个，乙少做10个，丙的个数乘以2，丁做的个数除以2，那么四人做的零件数恰好相等，问丙实际做了多少个？

分析:设四人做的零件数恰好都为x，根据题意可得：

（x-10）+（x+10）+（x÷2）+（x×2）=270 ，解得x=60 ，丙实际做

了60÷2=30（个）.

【附3】（奥数网习题库）（难度系数：★★★）有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆石子个数就也相等了；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的两倍，问：原来甲堆有多少个石子?

分析：设甲堆原来有x个石子，那么甲堆取出8个给乙后，甲乙两堆都是(x-8)个石子；然后乙取6个给丙，乙丙的石子数都变成了x-8-6=x-14；再从丙堆取2个给甲堆，那么甲堆变为x-8+2=x-6，丙堆变为

x-14-2=x-16，此时有关系：x-6=2（x-16），解得x=26．

4．现有一笔钱，都是硬币。其中2分硬币比5分硬币多24个。按钱数算，5分的钱数比2分的钱数多3角，还有53个1分硬币，这笔钱一共有多少分？

练习十请你用方程法解答下列问题！

1．一个数的4倍加上3乘以0.7的积，和是，则这个数是多少？

2．某校有学生465人，其中女生的比男生的少20人，那么男生比女生少多少人?

3．某班原分成两个小组活动，第一组26人，第二组22人，根据学校活动器材的数量，要将一组人数调整为二组人数的一半，应从一组调多少人到二组去？

5．甲、乙、丙共有100本课外书．甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，而且余数也都是1．乙有书____本．

7．设A和B都是自然数，并且满足：+=，那么，A+B= 。

非齐次线性微分方程通解的证明

非齐次线性微分方程通解的证明 问题重述 如果 是区间上的连续函数， 是 区间上齐次线性微分方程 （5.21） 的基本解组，那么，非齐次线性微分方程 (5.28) 的满足初值条件 的解由下面公式给出 （5.29） 这里 是的朗斯基行列式， 是在 中的第k 行代以 后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式 ，（5.30） 这里 是适当选取的常数。 公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。 我们指出，这时方程（5.28）的通解可以表示为 证明 考虑n 阶线性微分方程的初值问题 12(),(),...,(),() n a t a t a t f t a t b ≤≤12x (),x (),...,x (), n t t t a t b ≤≤()(n-11()+...+()x=0 n n x a t x a t +）()(n-11()+...+()x=() n n x a t x a t f t +）(1)0000()0()=0()=0,[,] n a b t t t t ???-'=∈，，...,0 n 12k 1 12[x (),x (),...,x ()] ()=x (){ }()[x (),x (),...,x ()]t k n k t n W s s s t t f s ds W s s s ?=∑?12[x (),x (),...,x ()] k n W s s s 12x (),x (),...,x () n s s s 12[x (),x (),...,x ()] k n W s s s 12[x (),x (),...,x ()] n W s s s (0,0,...,0,1)T 1122()()()...()() n n u t c x t c x t c x t t ?=++++12,,...,n c c c 1122()()...()() n n x c x t c x t c x t t ?=++++

某些线性微分方程的算子解法

第23卷第5期 唐山师范学院学报 2001年9月 Vol. 23 No.5 Journal of Tangshan Teachers College Sep. 2001 ────────── 收稿日期：2001-06-20 作者简介：崔万臣（1953-），男，河北丰南人，唐山师范学院数学系讲师。 - 41 - 某些线性微分方程的算子解法 崔万臣 (唐山师范学院 数学系，河北 唐山 063000) 摘 要：给出了某些基本类型的线性微分方程的算子解法。 关键词：算子；逆算子；线性方程；特征根 中图分类号：O17 文献标识码：A 文章编号：1009-9115（2001）05-0041-02 在常微分方程中，方程求解问题是很重要的内容。一般常微分方程的求解不是容易的，但常系数线性方程的求解已经有了较多的方法。本文给出某些基本类型的常系数线性微分方程的算子解法。 1 算子的概念和性质 定义1 记d D dx =;222d D dx =… …n n n d D dx =。称2n D,D ......D 极其多项式n n 11n 1n L(D)D a D a D a --=++++ 为微分算子，简称算子。于是方程n n 11n 1n n n 1d d d y a y ......a y a y f (x)dx dx dx ---++++=可记为L(D)y f (x)= 定义2 设L(D)为一算子，若存在算子H(D)使L(D)(H(D)f (x))f (x)=，则称H(D)为L(D)的逆算子，记为1H(D)L(D)=于是方程L(D)y=f(x)等价于1y f (x)L(D) =可以证明，算子具有以下性质(证明略) 1．11221122L(D)(a y a y )a L(D)y a L(D)y +=+ 2．()()()()1212L (D)L D y L D L D y = 3． x x 11e e (L()0)L(D)L()λλ=λ≠λ 4.()x x 11e f (x)e f x L(D)L(D ) λλ=+λ 2 某些基本类型微分方程的算子解法 类型Ⅰ k L(D)y f (x)=，其中k f (x)为x 的k 次多项式。分两种情况讨论 1°若L(0)≠0，由逆算子定义直接可求得特解k k 1y f (x)Q(D)f (x)L(D) == 2°若L(0)=0,此时，()()()s 11L(D)D L D L 00,s 0=≠> 由性质2，方程的特解k k s 111y f (x)f (x)L(D)D L(D) == 例1 求方程22(D 1)y x 5+=+特解

小学五年级解方程计算步骤

小学五年级解方程计算步骤 小学阶段解方程计算题一般有以下几个步骤，大家要认真把这几个步骤记住，看到相关题型就按照下面的方法去做就可以了。 一．移项 所谓移项就是把一个数从等号的一边移到等号的另一边去。注意，加减法移项和乘除法移项不一样，移项规则：当把一个数从等号的一边移到另一边去的时候，要把这个数原来前面的运算符号改成和它相反的运算符号，比如“+”变成“-”，或是“×”变成“÷” 请看例题： 加减法移项： x + 4 = 9 x-8=19 x=9-4 x=19+8 x=5 x=27 乘除法移项： 3x=27 x÷6=8 x=27÷3 x=8×6 x=9 x=48 1.常规题目，第一步，把所有跟未知数不能直接运算的数字，转移到与未知数相反的等号 那一边。比如： 3x - 4 = 8 5x + 9 = 24 3x=8+4 5x=24 - 9 3x=12 5x=15 x=4 x=3 2.第二种情况请记住，当未知数前面出现“－”或是“÷”的时候，要把这两个符号变成 “＋”或是“×”，具体如何改变请看下面例题： 20 – 3x=2 20=2 + 3x -----(注意：也就是前面提过的移项问题，改变符号在方程里面就是移项) 20-2=3x 18=3x x=6 36÷4x = 3 36=3×4x ----(注意：也就是前面提过的移项问题，改变符号在方程里面就是移项) 36=12x x=3

3.未知数在小括号里面的情况，注意，这种情况要分两种，第一种是根据乘法分配律先把 小括号去掉 例如：3(3x+4) = 57 9x + 12=57 9x=57-12 9x=45 x=5 第二种情况就是，要看括号前面的那个数跟等号后面的那个数是否倍数关系，如果是倍数关系，可以互相除一下，当然，用这一种方法的前提就是等号另一边的数只有一个数字，如果有多个，则先要计算成一个。 例如 3(3x+4) = 57 2(4x - 6) = 30+9-3 3x+4 = 57÷3 2(4x-6) = 36 3x+4 = 19 4x – 6=36÷2 3x = 19-4 4x-6=18 3x = 15 4x=18+6 x = 5 4x=24 x=6 4.第四种情况就是未知数在等号的两边都有，这种情况就是要把未知数都移项到一边，把 其它的数字移项到另一边，具体规则，如果两个未知数前面的运算符号不一样，要把未知数前面是“－”的移到“＋”这一边来，如果两个未知数前面的运算符号一样，则要把小一点的未知数移到大一点的未知数那一边去。 例如： 3x +12 = 48 – 6x 3x + 48 = 8 + 5x 3x + 6x = 48-12 48-8 = 5x – 3x 9x = 36 40 = 2x x = 4 x = 20

二元一次方程组的解法----加减消元法

二元一次方程组的解法 ——加减消元法教学设计 姓名初亚兵 工作单位濮阳县化肥厂职工子弟学校 学科（专业）初中数学

二元一次方程组的解法 ——加减消元法教学设计 一、教学内容解析： 本节课内容节选自人教版七年级数学下册第8章第二节第2课时。是在学生学习了代入消元法解二元一次方程组的基础上，继续学习的另一种消元方法——加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。教材的编写目的是让学生通过学习加减消元法充分体会“化未知为已知”的转化过程，体会代数的一些特点和优越性。对于学生理解并掌握方程思想、转化思想、消元法等重要的数学思想方法有着重要的意义。理解并掌握解二元一次方程组的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础。 二、教学目标设置： 通过对新课程标准的学习，我把本节课的三维教学目标确定如下： （一）知识与技能目标： 1、学会用加减消元法解二元一次方程组； 2、灵活的对方程进行恒等变形使之便于加减消元； 3、理解加减消元法的基本思想，体会化未知为已知的化归思想。 （二）过程与方法目标： 1、通过经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想方法； 2、经历个体思考探究、小组交流、全班交流的合作化学习过程理解根据加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。 （三）情感态度及价值观： 1、培养学生学会自主探索、尝试、比较，养成与他人合作、交流思维过程的习惯； 2、通过交流学习获取成功体验，感受加减消元法的应用价值，激发学生的学习兴趣，品尝成功的喜悦，树立学习自信心； 教学重点：探索并掌握加减消元法解二元一次方程组，体会消元化归思想。 教学难点：灵活运用加减消元法的技巧，把“二元”转化为“一元”。三、学生学情分析： 我所任教的班级学生基础比较好，他们已经具备了一定的探索能力和思维能力，也初步养成了合作交流的习惯。大多数学生的好胜心比较强，性格比较活泼,他们希望有展现自我才华的机会，但是对于七年级的学生来说，他们独立分析问

用加减消元法解方程组

8.2 消元——加减消元法解二元一次方程组（第1课时） 一、学习目标 1. 进一步体会解二元一次方程组的基本思想——消元思想。 2. 能理解、运用加减消元法解简单的二元一次方程组。 3. 培养阅读课本的方法，提高自学能力。 二、 温故知新： 1． 根据等式性质填空: <1>若a =b ，那么a ±c = . (等式性质1) <2>若a =b ，那么ac = . (等式性质2) <3>思考:若a =b ，c =d ,那么a ±c =b ±d 吗? 2．用代入法解方程的关键是什么？ 3．之前我们用什么方法解过下面这个方程组？ ???=+=+40 222y x y x 具体步骤是：由①得 =y . ③，把③代入①得 .从而达到消元的目的。（即把二元一次方程变成我们较熟悉的一元一次方程） 三、学习内容： （一）提出问题，阅读课本，得出加减法的定义。 1． 解这个方程组???=+=+40 222y x y x 除了用代入法，还有别的方法吗？ 2. 请大家认真阅读课本99面第二个思考前的内容。回答第一个思考中的问题。 3．探讨：课本上的这半句话：“②－①可消去y ，得 x =18”中隐含了那些步骤？ 4. 思考：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组???=-=+. 81015,6.3104y x y x 5．总结得出加减法的定义。

初一（ ）班 号 姓名 2．填空题。 （1）已知方程组???=-=+6 32173y x y x 两个方程只要两边 就可以消去未知数 。 （2）已知方程组???=+=-10 62516725y x y x 两个方程只要两边 就可以消去未知数 。 3．选择题。 （1）用加减法解方程组???=--=+1756 76y x y x 应用 （ ） A.①-②消去y. B.①-②消去x. C. ②-①消去常数项. D. 以上都不对. （2）方程组???=-=+5231323y x y x 消去y 后所得的方程是 A.6x =8. B.6x =18. C.6x =5. D.x =18. （三）例题分析。 例3．用加减法解方程组 ???=-=+336516 43y x y x 解： （四）练习。 1．用加减法解下列方程组。 ???=+=+5238 52)1(y x y x ???-=-=+2 236 32)2(y x y x 四、小结。 五、布置作业。 P 103 习题8.2第3大题。

(word完整版)五年级上册解方程类型

类型一（简单的一步方程） 1、学校开展绿色校园活动，六年级各班之间比赛收集易拉罐。六一班收集了60个，六二班比六一班多收集15个，六二班收集了几个？ 2、学校开展绿色校园活动，六年级各班之间比赛收集易拉罐。六二班收集了60个，六二班比六一班多收集15个，六一班收集了几个？ 3、学校开展绿色校园活动，六年级各班之间比赛收集易拉罐。六二班收集了60个，六二班收集的是六一班的2倍，六一班收集了几个？ 4、学校开展绿色校园活动，六年级各班之间比赛收集易拉罐。其中六二班收集了60个，六二班共有4个小组，平均每个小组收集多少个？（用除法） 类型二（几倍多多少/少多少）： 1、食堂运来150千克大米，比运来的面粉的3倍少30千克。食堂运来面粉多少千克？ 2、吉阳村有粮食作物84公顷，比经济作物的4倍多2公顷，经济作物有多少公顷？ 3、农场一共收获了1200棵大白菜，每22棵装一筐，装完后还剩12棵，共装了几筐？

类型三（求每份数）： 1、学校买来10箱粉笔，用去250盒后，还剩下550盒，平均每箱多少盒？ 2、四年级共有学生200人，课外活动时，80名女生都去跳绳。男生分成5组去踢足球，平均每组几人？ 3、果园里有52棵桃树，有6行梨树，梨树比桃树多20棵。平均每行梨树有多少棵？ 类型四（买东西和卖东西）： 1、小明有面值2角和5角的共9元，其中2角的有10张，5角的有多少张？ 2、我买了两套丛书，单价分别是：<<科学家>>2.5元/本，<<发明家>>3元/本，两套丛共花了28元。其中《科学家》这本书买了4本，《发明家》买了多少本？ 3、王奶奶拿了孙子们帮她收集的易拉罐和饮料瓶去废品收购站卖，共得到7元，易拉罐和饮料瓶每个都是0.15元，已知易拉罐有20个，那么饮料瓶有几个？ 类型五（和倍问题 / 差倍问题）： 1、粮店运来大米和面粉480包，大米的包数是面粉的3倍，运来大米和面粉各多少包？

加减消元法解二元一次方程

8.2.2消元-----二元一次方程组的解法 （加减消元法） 授课年级：七年级 授课教师：武旭飞

8.2.2消元-----二元一次方程组的解法 （加减消元法） 授课年级：七年级授课教师：武旭飞 教学目标： 1、知识技能目标 掌握加减消元法的基本步骤，熟练运用加减消元法解简单的二元一次方程组 2、能力目标： 能够熟练运用加减消元法解二元一次方程组，训练学生的运算技巧，养成检验的习惯。 3、情感态度及价值目标： 通过研究解决问题的方法,培养合作交流意识和探究精神,进而体会数学的独特魅力。教学重点： 用加减法解二元一次方程组。 教学难点： 灵活运用加减消元法的技巧，把“二元”转化为“一元” 教学过程 （一）复习与准备 问题1：等式有哪些基本性质？如何用数学式子来表示它们？ 学生回顾结果： <1>若a=b,那么a±c=b±c <2>若a=b,那么ac=bc 让学生思考：若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗? 问题2：前面我们学习了用代入法解二元一次方程组，同学们，回想一下，用代入法解二元一次方程组的基本思路是什么？其一般步骤有哪些？ 学生回顾回答： 基本思路：消元，把二元转化为一元 一般步骤：<1>变——用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数,写成y=ax+b或x=ay+b； <2>代——把变形后的方程代入到另一个方程中，消去一个未知数； <3>解——解得出的一元一次方程，求出一个未知数的值；

<4>回代——把求出的未知数的值代回方程，求出另一个未知数的值； <5>联——用“﹛ ”把求出的未知数的值括起来。 设计意图：通过此活动，即复习巩固了前面所学知识，又为本节课的学习做了必要的铺垫。 （二）感受身边的数学，引入新课 问题3：列方程组解决下面的问题： 篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 学生思考，设未知数，设这个队胜x 场，负y 场，根据题意列出方程组： 列出方程组后，让同学用自己的方法把这个方程组解出来。 教师巡视观察学生的参与状况，并适时给与指导。 待学生解出后，师生一起总结归纳解题方法： 1、用前面学过的代入法来解 把其中一个未知数用另一个来表示，然后进行代入求解。如把②变形为 10y x =- ③，把③代入②就可以求出未知数x=6，再把x=6代入③，即可解出y=4.则该方程组的解为 2、有同学可能预习了后面的知识，会用到加减法，充分肯定后，一起来探讨发现这种方法。 设计意图：通过实际问题，引发学生思考，由于问题贴近生活，而且等量关系简单，学生比较容易列出方程组，列方程组是让学生感受实际生活与数学的密切联系，而如何解这个方程组才是我们这节课的重点。学生通过前面的学习，很容易想到用代入法来解决，要鼓励学生思考除代入法之外的解题办法。 （三）新知探求 问题4：你还能用其他方法解这个方程组吗？ 引导学生观察未知数的系数，找出其中的特点。（未知数y 的系数相等，都为1，）根据系数的特点，让学生思考发现新的解方程组的方法：利用等式的性质把两个方程的左右两边10216x y x y +=??+=?① ② 64 x y =??=?10216x y x y +=??+=?① ②

小学解方程方法及答案

小学四年级解方程的方法详解 方程：含有未知数的等式叫做方程。如4x-3=21，6x-2(2x-3)=20 方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。如上式解得x=6 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 解方程的依据：方程就是一架天平，“=”两边是平衡的，一样重！ 1. 等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以同一个非零的数，等式仍然成立。 2. 加减乘除法的变形： (1) 加法：a + b = 和则 a = 和－b b = 和－a 例：4+5=9 则有：4=9-5 5=9-4 (2) 减法：被减数a –减数b = 差则： 被减数a = 差＋减数b 被减数a－差= 减数b 例：12-4=8则有：12=8+4 12-8=4 (3) 乘法：乘数a ×乘数b = 积则： 乘数a = 积÷乘数b 乘数b= 积÷乘数a 例：3×7=21则有：3=21÷7 7=21÷3 (4) 除法：被除数a ÷除数b = 商则： 被除数a= 商×除数b 除数b=被除数a ÷商例：63÷7=9 则有：63=9×7 7=63÷9 解方程的步骤： 1、去括号：（1）运用乘法分配律；（2）括号前边是“－”，去掉括号要变号；括号前边是“＋”，去掉括号不变号。 2、移项：法1——运用等式性质，两边同加或同减，同乘或同除；法2——符号过墙魔法，越过“=”时，加减号互变，乘除号互变。 注意两点：（1）总是移小的；（2）带未知数的放一边，常数值放另一边。 3、合并同类项：未知数的系数合并；常数加减计算。 4、系数化为1：利用同乘或同除，使未知数的系数化为1。 5、写出解：未知数放在“=”左边，数值（即解）放右边；如x=6 6、验算：将原方程中的未知数换成数，检查等号两边是否相等！ 注意：（1）做题开始要写“解：”（2）上下“=”要始终对齐 【例1】 x-5=13 x-5=13

一阶线性非齐次方程解法推倒

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程 方程 dy dx P x y Q x += ()() 1 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果 Q x()≡0，则方程称为齐次的； 如果 Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。 a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程 dy dx P x y += ()0 2 的通解问题。 分离变量得dy y P x dx =-() 两边积分得ln()ln y P x dx c =-+ ? 或 y c e P x dx =?-?() 其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。 将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换 y u e P x dx =?-?() 两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()() ?=-? 两边求导得dy dx u e uP x e P x dx P x dx ='- -?-? ()() () 代入方程1得

'=-?u e Q x P x dx ()() ， '=?u Q x e P x dx ()() u c Q x e dx P x dx =+??()() 于是得到非齐次线性方程1的通解 [] y e c Q x e dx P x dx P x dx =?+-???()()() 将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =?+?--????()()()() 不难发现： 第一项是对应的齐次线性方程2的通解； 第二项是非齐次线性方程1的一个特解。 由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。

《加减消元法解二元一次方程组》教学设计学习资料

§7.2二元一次方程组的解法 ——加减消元法教学设计 福建省晋江市第一中学许清海一、教学内容解析： 本节课内容节选自华师大版七年级数学下册第7章第二节第2课时。是在学生学习了代入消元法解二元一次方程组的基础上，继续学习的另一种消元方法——加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。教材的编写目的是让学生通过学习加减消元法充分体会“化未知为已知”的转化过程，体会代数的一些特点和优越性。对于学生理解并掌握方程思想、转化思想、消元法等重要的数学思想方法有着重要的意义。理解并掌握解二元一次方程组的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础。 本节内容的教学重点：探索并掌握加减消元法解二元一次方程组，体会消元化归思想。 二、教学目标设置： 通过对新课程标准的的学习，结合我班学生的实际情况，我把本节课的三维教学目标确定如下： （一）知识与技能目标： 1、学会用加减消元法解二元一次方程组； 2、灵活的对方程进行恒等变形使之便于加减消元； 3、理解加减消元法的基本思想，体会化未知为已知的化归思想。 （二）过程与方法目标： 1、通过经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想方法； 2、经历个体思考探究、小组交流、全班交流的合作化学习过程理解根据加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。 （三）情感态度及价值观： 1、培养学生学会自主探索、尝试、比较，养成与他人合作、交流思维过程的习惯； 2、通过交流学习获取成功体验，感受加减消元法的应用价值，激发学生的学习兴趣，品尝成功的喜悦，树立学习自信心； 3、通过知识的学习形成辩证唯物主义观以解决问题。 三、学生学情分析：

非齐次线性方程组

非齐次线性方程组解的结构的进一步讨论 摘要：本文通过矩阵的初等变换及非齐次线性方程组的解的有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组的解的结构问题，虽然非齐次线性方程组的解向量的全体不能构成向量空间，也没有基础解系，但我们找到了类似齐次线性方程组的基础解系的解向量组，这个解向量组线性无关。并且的任意一个解都可以由这个解向量组线性表示。最后，给出了非齐次线性方程组有全非零解的充要条件，并给出了相应例题。 关键字：非零解，基础解系，线性无关，初等变换 引言 非其次线性方程组???????=+++=+++=+++n n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222222********* （Ⅰ） 的矩阵形式为B AX =.取0=B ,得到其次线性方程组0=AX 称为非其次线性方程组B AX =的导出组。我们知道非其次线性方程组B AX =的解有以下的一些性质： （1） 若1u 是非其次线性方程组B AX =的一个解，1v 是其导出组0=AX 的一个解，则 11v u +也是0=AX 的一个解。 证明：因为1u 是非其次线性方程组B AX =的一个解，所以有B Au =1，同理有01=Av ，则由()B B Av Au v u A =+=+=+01111.所以11v u +是非其次线性方程组B AX =的解。 （2） 若21,v v 是非其次线性方程组的两个解，则21v v -是其导出组的解 证明：由B Av =1,B Av =2,所以有()02121=-=-=-B B Av Av v v A ,故21v v -为其导出组的解。 2.定理 （非其次线性方程组解的结构定理）若1v 是非其次线性方程组B AX =的一个解，v 是其导出组的通解，则11v v u +=是非其次线性方程组的通解。 证明：由性质（1）可知1u 加上其导出组的一个解仍是非其次线性方程组的一个解，所以只需证明，非其次线性方程组的任意一个解* v ，一定是1u 与其导出组某一个解1v 的和，取 1*1u v v -= 由性质（2）可知，1v 是导出组的一个解，于是得到11* v u v +=，即非其次线性方程组的任意一个解与其导出组的某一个解的和。 由上面这个定理我们可以知道，一个其次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表

消元法解二元一次方程组(加减消元法)

消元法解二元一次方程组 ——加减消元法 教学目标 【知识与技能】 1、探索经历加减消元法解二元一次方程组的过程，掌握加减消元法解二元一次方程组。 2、熟练掌握对二元一次方程恒等变形，利于用加减消元。 3、理解加减消元法的基本思路，体会化未知为已知的化归思想。 【过程与方法】 1、通过经历二元一次方程组解法的探究过程，体会化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想方法； 2、经历自主学习，小组活动，课堂展示的过程理解加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。 【情感态度】 1、初步认识数学与人类生活的密切关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学解题的逻辑性。形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。 【教学重点】加减消元法. 【教学难点】对二元一次方程组变形进行加减消元 教学过程 一、自主预习（利用多媒体展示）

<学生活动> 学生带着问题独立阅读课文，对所学知识进行全方位了解 二、情境导入，初步认识 问题1、22240.x y x y +=??+=?，① ②观察①、②中y 的系数____，②-①可消除未知数____，得x=____，从 而求得y=____.这种消元方法叫 __________.

问题2、???=-=+810158 .210y x y x 观察得①、②中y 的系数____，①+②得___________，解这个二元一 次方程组得x=_____，从而求得y=_____

三、思考探究，获取新知 思考 什么叫做加减消元法？ <学生活动> 学生分组探究，得出结论 <学生活动> 学生小组发言，总结这两道题的解题方法，并指出方法的依据 <教师小结> 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 《合作探究》问题2 用加减法解方程组34165633.x y x y +=?? -=?， 追问1 直接加减是否可以消去一个未知数？ 追问2 能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相等？ <学生活动> 学生分组讨论，如何解决未知数系数的绝对值不相等的二元一次方程组的解法

人教版初一数学下册加减消元法解二元一次方程组

8.2消元一一用加减法解二元一次方程组 教学设计 教材分析 学生是在学过代入消元法解二元一次方程组基础上学习本节内 容，初步知道消元”解决二元一次方程组是核心，其中蕴含着转化思想，而本节课学习加减消元法深化对消元理解，拓展对二元一次方程的解法。 教学目标： （1）知识与技能：会用加减消元法求未知数系数相等或相反数的二元一次方程组的解。 （2）过程与方法：通过探究二元一次方程组的解法，经历用加减法把二元”专化为一元”的过程，体会消元的思想。 （3）情感态度与价值观：让学生在探究中感受数学知识的实际用价值，养成良好的学习习惯。教学重难点 重点：用加减法解二元一次方程组 难点：两个方程相减消元时，对被减得方程各项符号要做变号处 理。 教学方法：本节课采用小组合作探究”的教学法。 学情分析 我所任教的班级学生基础一般，本节课主要围绕重点，打好基础。 结合学校采取的小组合作学习，他们已经具备了一定的合作探索能力和交流思维能力。大多数学生性格比较活泼，他们希望自己的能力得到周

围人的勺肯定y, 5但是对于七年级的学生来说，他们独立分析问题的能力和灵活应帶的能力还有待提高，很多时候还需要教师的点拨、引 导和归纳。因此，我遵循学生的认识规律，由浅入深，适时引导，调 动学生的积极性，并适当地给予表扬和鼓励，借此增强他们的自信心。 教学过程 一、知识回顾 1、温故而知新：复习等式的性质 2、解二元一次方程组的基本思想：要把二元一次方程组转化一元 一次方程. 3、用代入法解方程的步骤 「321x + 123y =567 4、用代入法解方程〔345x-123y = 99 认真观察此方程组中y的系数有什么特点，并根据特点你想到什么解题方法？课上探究：能否有其他方法解答。（设计目的；这部分是学生在课前已经完成，这样可以巩固上节课的内容，同时能为本节课学习做一个铺垫） 二、探究新知 例 1 ：!321x+i23y=567 345^123^99 认真观察此方程组中y的系数有什么特点，并根据特点你想到什么解题方法？ 例 2 : ?x+5y=5 < 3x_4y = 23 认真观察此方程组中x的系数有什么特点，并根据特点你想到什

小学奥数中解方程

奥数中的解方程 知识精讲 1、 含有未知数的等式叫做方程。 2、 左右两边都相等的式子叫做等式。 3、 等式的两边同时加（或减）相同的数，等式不变。 4、 等式的两边同时乘（或除以）相同的数（0除外），等式不变。 本讲我们要解决稍复杂的方程，像方程两边都含有未知数，如()62108+=-x x ；等号两边都是分数形式的方程，如3 7615=+x 。 解稍复杂的方程，要先加以变形，变为较简单的简易方程。 所说的变形要求，常用的方法是： 1、 运用乘法分配律，去掉括号； 2、 两边是分数形式的方程，运用交叉相乘法，转化为不是分数形式的方程。 3、 方程的两边都加上或减去相等的数或相等的式子，等式仍然成立，这时等式的性质。利用这个性质可以简化方程。 4、 方程的两边都乘以或除以相等的数或相等的式子（这些书与式子不能为0），这也是等式的性质。利用这个性质也可以化简方程。 5、 根据四则运算中的六个关系式，求出方程的解。 解方程步骤要规范，求出得数后腰加以检验，看得数是否正确，是否合理。 例1、 解方程： 6437+=-x x 练习1、94.18.94.3+=-x x 2、x x 82552-=+ 例2、()()72225+=+x x

练习1、()()75726+=-x x 2、()()5.0624.135-=-x x 例3、 解方程：()6 .06.06.06=--x 练习1、()5422.5=--x 2 、()x x 265.55.1=?-- 例4、()72423-=÷+x x

练习1、()()52144=+÷+x x 2、()153813-=÷+x x 例5、 解方程：32 400400 6.0=++x x 练习1、27 23914=-+x x 2、4.05.08.109=-+x x 3、()()() 12421752413---=+-x x x x

初中七年级数学用加减消元法解方程组

第2课时 用加减消元法解方程组 基础题 知识点1 用加减法解二元一次方程组 1．方程组? ????x ＋y ＝5，①2x ＋y ＝10，②由②－①，得正确的方程是(B ) A ．3x ＝10 B ．x ＝5 C ．3x ＝－5 D ．x ＝－5 2．用加减法解方程组? ????2a ＋2b ＝3，①3a ＋b ＝4，②最简单的方法是(D ) A ．①×3－②×2 B ．①×3＋②×2 C ．①＋②×2 D ．①－②×2 3．方程组? ????2x －y ＝4，5x ＋y ＝3的解是(D ) A .?????x ＝1y ＝2 B .? ????x ＝3y ＝1 C .?????x ＝0y ＝－2 D .? ????x ＝1y ＝－2 4．(襄阳中考)若方程mx ＋ny ＝6的两个解是? ????x ＝1，y ＝1，?????x ＝2，y ＝－1，则m ，n 的值为(A ) A ．4，2 B ．2，4 C ．－4，－2 D ．－2，－4 5．已知方程组? ????x ＋3y ＝17，2x －3y ＝6，两个方程只要两边分别相加就可以消去未知数y ． 6．解方程组： (1)(聊城中考)? ????x －y ＝5，①2x ＋y ＝4；② 解：①＋②，得3x ＝9，解得x ＝3. 把x ＝3代入②，得y ＝－2. ∴原方程组的解为? ????x ＝3，y ＝－2. (2)(重庆中考B 卷)? ????x －2y ＝1，①x ＋3y ＝6；② 解：②－①，得y ＝1. 将y ＝1代入①，得x ＝3.

∴原方程组的解为?????x ＝3，y ＝1. (3)(赤峰中考)? ????2x －y ＝7，①3x ＋2y ＝0.② 解：①×2＋②，得7x ＝14，∴x ＝2. 把x ＝2代入①，得4－y ＝7，解得y ＝－3. ∴原方程组的解是? ????x ＝2，y ＝－3. 知识点2 用加减法解二元一次方程组的简单应用 7．(苏州中考)某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？ 解：设中型车有x 辆，小型车有y 辆，根据题意，得 ?????x ＋y ＝50，12x ＋8y ＝480，解得? ????x ＝20，y ＝30. 答：中型车有20辆，小型车有30辆． 中档题 8．(河北中考)利用加减消元法解方程组? ????2x ＋5y ＝－10，①5x －3y ＝6，②下列做法正确的是(D ) A ．要消去y ，可以将①×5＋②×2 B ．要消去x ，可以将①×3＋②×(－5) C ．要消去y ，可以将①×5＋②×3 D ．要消去x ，可以将①×(－5)＋②×2 9．若|m －n －3|＋(m ＋n ＋1)2 ＝0，则m ＋2n 的值为(B ) A ．－1 B ．－3 C ．0 D ．3 10．若点P(x ，y)在第一象限内，且点P 到两坐标轴的距离相等，并满足2x －y ＝4，则?????x ＝4，y ＝4Ｗ. 11．解方程组： (1)? ????2x ＋3y ＝4，①5x ＋6y ＝7；② 解：由①×2，得4x ＋6y ＝8.③ ②－③，得x ＝－1. 把x ＝－1代入①，得 2×(－1)＋3y ＝4，解得y ＝2. ∴原方程组的解为? ????x ＝－1，y ＝2.

六年级解方程类型题

六年级解方程类型题 解方程的根本性方法是利用方程中各个数字之间的关系，将复杂的方程转化为基本形式即Ax=B 的形式，本质就是删繁就简的一个数字游戏。六年级数学涉及到的方程问题包含了基本整数，分数，小数还有百分数，如何进行转移和转化，是解决方程问题的关键。 数字间的基本等量关系 加数+加数=和 一个加数=和—另一个加数 被减数-减数=差 减数=被减数-差 被减数=差+减数 因数 ×因数=积 一个因数=积 ÷另一个因数 被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数 一、 简单的类型 1.加法中的未知数 例题： 6x ＋5 = 2x + 25 = 35 21x + 6 1 x = 4 8 3 4143=+X 70%x+ 20%x = 25% + 10x = 54 练习题： 100+ x=250 x+=4 +x= 3 5 +x=2 35%x+4=11 +25= +x=15 2.减法中的未知数 x-24=63 7x-4x=36 4x －3 ×9 = 29 5x －3×215 ＝7 5 X — 27 x =43 x - 15%x = 68 x －=65

练习题：54-x=23 = X －37 X= 8 9 3.乘法中的未知数 6x=126 218X=15 4 = x ×53=20×41 98 x = 61×5116 4X =30% 练习题： 95x ＝495 = 21x ×61=8×4 3 4 .除法中的未知数 未知数用作被除数：32x ÷4 1 ＝12 未知数用作除数： 125 ÷x =310 练习题：7x ÷14=5 11x ÷=3 X ÷ 356=4526×2513 X ÷356=4526÷25 13 五．比例方程 解比例的关键在将方程转化为a:b=c:d 的形式，利用内项积等于外项目积的等量关系进行计算。 354 61∶8=x ∶52 x ∶28=41∶5 2

解方程的方法

解方程的方法详解 方程：含有未知数的等式叫做方程。如4x-3=21，6x-2(2x-3)=20 方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。如上式解得x=6 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 解方程的依据：方程就是一架天平，“=”两边是平衡的，一样重。 等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以同一个非零的数，等式仍然成立。 解方程的步骤： 1、去括号：（1）运用乘法分配律；（2）括号前边是“－”，去掉括号要变号；括号前边是 “＋”，去掉括号不变号。 2、移项：法1——运用等式性质，两边同加或同减，同乘或同除；法2——符号过墙魔法， 越过“=”时，加减号互变，乘除号互变。 注意两点：（1）总是移小的；（2）带未知数的放一边，常数值放另一边。 3、合并同类项：未知数的系数合并；常数加减计算。 4、系数化为1：利用同乘或同除，使未知数的系数化为1。 5、写出解：未知数放在“=”左边，数值（即解）放右边；如x=6 6、验算：将原方程中的未知数换成数，检查等号两边是否相等！注意：（1）做题开始要写 “解：”（2）上下“=”要始终对齐 【1】x-5=13 【2】3(x+5)-6=18 9÷（4x）=1 【3】 24-x =15+2x2(2x-1)=3x+103(x+5)-6=5(2x-7)+2 应用题 一、根据题意把方程补充完整： 1、三角形的面积是25.6平方厘米，高是6.4厘米，底边长x厘米。（=25.6） 2、水果店运来苹果420千克，每25千克装一箱，装了x箱后还剩下20千克。（ =20）

二、用一根铁丝可以围成一个边长是4厘米的正方形,还用这根铁丝，围成一个宽是2厘米的长方形,这个长方形的长是多少厘米？ 三、洗衣机厂今年每日生产洗衣机260台，比去年平均日产量的2.5倍少40台，去年平均日产洗衣机多少台? 四、甲、乙、丙三条铁路共长1191千米，甲铁路长比乙铁路的2倍少189千米，乙铁路长比丙铁路少8千米，求甲铁路的长． 五、小明期中考试语文、数学、地理三科平均分为96分，英语分数比语文、数学、地理、英语四科的平均分少3分．求英语学科分数．

2.2 算子和算子方程

2.2 算子和算子方程 2.2.1 线性算子 1. 定义：设A D 和A D '都是线性函数集，且H D A ?，若元素A D ∈φ经算子A 映射得唯一的确定的元素A D '∈ψ，其映射关系为 φψA = 并满足线性运算律(α、β为任意常数) 2121)(φβφαβφαφA A A +=+ 则称A 为线性算子。其中：A D 是A 的定义域，A D '是A 的值域。 若对于任意的A D ∈φ，都有 i i φφφφA A =→lim 成立，则称A 为线性连续算子。 若对于任意的A D ∈φ，都有 φφC ≤A (C 为有限常数) 成立，则称A 为线性有界算子。 可以证明：线性连续算子等价于线性有界算子。 2. 运算性质 设A 、B 为线性算子，A D 、B D 分别为其定义域 (1) 算子的和——若B A D D ?∈φ φφφφ)()(A B B A B A +=+=+ (2) 算子的积——若B D ∈φ，A D ∈φB )A (B )B (A )B (A φφφ≠= (3) 算子的逆——若φφ=)(AB ，则 1-=A B ，1-=B A 称A 与B 互为逆算子。ψψ=-)(1AA 。 3. 线性算子方程： 可分为两种类型：

(1) 设A 是已知线性算子，若其值域中的已知点A D '∈ψ由定义域中相应未知点A D ∈φ映射而得，即 ψφ=A 则称之为确定性算子方程。 由算子方程的运算性质： ψφφφ111)()(---===A A A A A 确定性算子方程的求解任务：算子求逆运算。若1-A 存在，则解答是唯一的，1-A 连续，则解答是稳定的。 (2) 设A 为已知线性算子，其值域等于定义域A A D D ='，且λφψ=(λ为待定常数)在值域中也是未知点，则 λφφ=A 称为本征值算子方程。 本征值算子方程的求解任务： ①确定n λ所取的待定的值{ } ,2,1=n n λ； ②求出n λ所对应的解{} ,2,1=n n φ。 2.2.2对称算子和正定算子 1. 对称算子 定义1：设)()(),()(22E L D x V E L D x U A ?∈?'∈A ，则 ?>=<)(*)(,x E dx V U V U A A 称为含算子的内积，也即是交集上的线性泛函。 定义2：若函数集)(2E L D ?中的任何两个元素U 和V 所构成含算子的内积都满足 >>=<=

五年级解方程分类练习题

五年级数学（下）解方程练习（1） 　班级姓名 1.加数+加数=和加数=和-另一个加数 例：20+ⅹ=45（ⅹ是一个加数，应用：加数=和-另一个加数方法来 解） 解：ⅹ=45-20 ⅹ=25 练习20题： 35+ⅹ=10012.5+ⅹ=45 47+ⅹ=305 3.5+ⅹ=30.5 　4.6+ⅹ=27 4.4+ⅹ=100 2.3+ⅹ=30 14+ⅹ=30.5 60+ⅹ=160.5 2.04+ⅹ=35.2ⅹ＋25=38 ⅹ＋2.5=3.8 ⅹ＋3.2=15 ⅹ＋52=100 ⅹ＋0.64=64 ⅹ＋17=35.7 ⅹ＋0.25=1　ⅹ＋14=23.4 ⅹ＋0.64=64.64 ⅹ＋12.72=35.7 五年级数学（下）解方程练习（2） 　班级姓名 2、被减数-减数=差被减数=差+减数减数=被减数-差

例：ⅹ-51=43（ⅹ是一个被减数，应用：被减数=差+减数方法来 解）解：ⅹ=43+51 ⅹ=94 例：64-ⅹ=20（ⅹ是一个减数，应用：减数=被减数-差方法来解） 解：ⅹ=64-20 ⅹ=44 练习20题： ⅹ-51=68　ⅹ-12.5=5ⅹ-14.25=43 ⅹ-3.52=2.48 ⅹ－12.5=6.8 ⅹ-3.14=1.86ⅹ-2.33=5.65 ⅹ-40=60 94-ⅹ=20 42.32-ⅹ=30 0.64-ⅹ=0.25 100-ⅹ=0.25 ⅹ-7.24=4.3ⅹ-12=5.6　80-ⅹ=70 1.5-ⅹ=0.25 9.4-ⅹ=2.4 100.5-ⅹ=0.5　0.64-ⅹ=0.25 10-ⅹ=0.55 五年级数学（下）解方程练习（3） 　班级姓名 3、　因数×因数=积　因数=积÷另一个因数 例：6ⅹ=48（ⅹ是一个因数，应用：因数=积÷另一个因数方法来 解）