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专题29 数列求和-2019年高考理科数学一轮复习精品讲义

专题29 数列求和

1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式;

2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。

1.求数列的前n 项和的方法 (1)公式法

①等差数列的前n 项和公式

S n = 2 n (a1+an )=na 1+2n (n -1)d . ②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q =1时,S n =na 1;

(ⅱ)当q ≠1时,S n =1-q a1(1-qn )= 1-q a1-anq . (2)分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. (3)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法

把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法

主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广.

(6)并项求和法

一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a n = (-1)n f (n )类型,可采用两项合并求解.

例如,S n =1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. 2.常见的裂项公式 (1)n (n +1)1=n 1-n +11.

(2)(2n -1)(2n +1)1=212n +11

. (3)n +11

=-.

高频考点一 分组转化法求和

例1、已知{a n }是等比数列,前n 项和为S n (n ∈N +),且a11-a21=a32

,S 6=63. (1)求{a n }的通项公式;

(2)若对任意的n ∈N +,b n 是log 2a n 和log 2a n +1的等差中项,求数列{(-1)n b n 2

}的前2n 项和.

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(2)由题意,得b n =21(log 2a n +log 2a n +1)=21(log 22n -1+log 22n

)=n -21, 即{b n }是首项为21

,公差为1的等差数列. 设数列{(-1)n b n 2

}的前n 项和为T n ,则

T 2n =(-b 12+b 22)+(-b 32+b 42)+…+(-b 2n -12+b 2n 2

) =b 1+b 2+b 3+b 4+…+b 2n -1+b 2n =22n (b1+b2n )

=2n 2.

【方法规律】(1)若数列{c n }的通项公式为c n =a n ±b n ,且{a n },{b n }为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.

(2)若数列{c n }的通项公式为c n =bn ,n 为偶数,an ,n 为奇数,

其中数列{a n },{b n }是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.

【变式探究】 (1)数列121,341,581,7161,…,(2n -1)+2n 1

,…的前n 项和S n 的值等于( ) A.n 2+1-2n 1

B.2n 2-n +1-2n 1

C.n 2+1-2n -11

D.n 2-n +1-2n 1

(2)数列{a n }的通项公式a n =n cos 2nπ

,其前n 项和为S n ,则S 2 016等于( ) A.1 008 B.2 016 C.504 D.0

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(2)a 1=cos 2π

=0,a 2=2 cos π=-2,a 3=0,a 4=4,….

所以数列{a n }的所有奇数项为0,前2 016项的所有偶数项(共1 008项)依次为-2,4,-6,8,…,-2 014,2 016.

故S 2 016=0+(-2+4)+(-6+8)+…+(-2 014+2 016)=1 008. 答案 (1)A (2)A

高频考点二 错位相减法求和

例2、[2017·山东高考]已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=6,a 1a 2=a 3. (1)求数列{a n }的通项公式;

(2){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和为S n .已知S 2n +1=b n b n +1,求数列an bn

的前n 项和T n .

解 (1)设{a n }的公比为q ,

由题意知a 1(1+q )=6,a 12

q =a 1q 2,

又a n >0,由以上两式联立方程组解得a 1=2,q =2, 所以a n =2n .

(2)由题意知S 2n +1=2b1+b2n +1

=(2n +1)·b n +1, 又S 2n +1=b n b n +1,b n +1≠0, 所以b n =2n +1.

令c n =an bn ,则c n =2n 2n +1. 因此T n =c 1+c 2+…+c n

=23+225+237+…+2n -12n -1+2n 2n +1,

又21T n =223+235+247+…+2n 2n -1+2n +12n +1, 两式相减得

21T n =23+2n -11-2n +12n +1, 所以T n =5-2n 2n +5

.

【方法技巧】用错位相减法求和应注意的问题

(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.

(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n -qS n ”的表达式.

(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

【举一反三】已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n ,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n +1. (1)求数列{b n }的通项公式;

(2)令c n =(bn +2)n (an +1)n +1

.求数列{c n }的前n 项和T n .

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(2)由(1)知,c n =(3n +3)n (6n +6)n +1=3(n +1)·2n +

1.. 又T n =c 1+c 2+…+c n .

得T n =3×[2×22+3×23+…+(n +1)×2n +

1].

2T n =3×[2×23+3×24+…+(n +1)×2n +

2].

两式作差,得

-T n =3×[2×22+23+24+…+2n +

1-(n +1)×2n +

2]

=3×-(n +1)×2n +24(1-2n )=-3n ·2n +2. 所以T n =3n ·2n +

2.

【方法规律】(1)一般地,如果数列{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,求数列{a n ·b n }的

前n 项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比,然后作差求解;

(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n -qS n ”的表达式.

【变式探究】 已知{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4是方程x 2-5x +6=0的根. (1)求{a n }的通项公式; (2)求数列2n an

的前n 项和.

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(2)设2n an 的前n 项和为S n ,由(1)知2n an =2n +1n +2, 则S n =223+234+…+2n n +1+2n +1n +2

, 21S n =233+244+…+2n +1n +1+2n +2n +2. 两式相减得21S n =43+2n +11-2n +2n +2

=43+412n -11-2n +2n +2. 所以S n =2-2n +1n +4

.

高频考点三 裂项相消法求和

例3、[2017·全国卷Ⅲ]设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+(2n -1)a n =2n . (1)求{a n }的通项公式; (2)求数列2n +1an

的前n 项和.

解 (1)因为a 1+3a 2+…+(2n -1)a n =2n ,

故当n ≥2时,a 1+3a 2+…+(2n -3)a n -1=2(n -1), 两式相减得(2n -1)a n =2, 所以a n =2n -12

(n ≥2).

又由题设可得a 1=2,满足上式,

所以{a n }的通项公式为a n =2n -12

(n ∈N *). (2)记2n +1an

的前n 项和为S n .

由(1)知2n +1an =2n -12=2n -11-2n +11

, 则S n =11-31+31-51+…+2n -11-2n +11=2n +12n

.

【举一反三】S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2

+2a n =4S n +3. (1)求{a n }的通项公式;

(2)设b n =anan +11

,求数列{b n }的前n 项和.

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(2)由a n =2n +1可知

b n =anan +11=(2n +1)(2n +3)1=212n +31

. 设数列{b n }的前n 项和为T n ,则 T n =b 1+b 2+…+b n =212n +31 =3(2n +3)n

.

【方法规律】裂项相消法求和问题的常见类型及解题策略 (1)直接考查裂项相消法求和.解决此类问题应注意以下两点:

①抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项; ②将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相

等.如:若{a n }是等差数列,则anan +1=d

an +11,anan +21=2d 1an +21.

(2)与不等式相结合考查裂项相消法求和.解决此类问题应分两步:第一步,求和;第二步,利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式.

【变式探究】 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知S 3=a 7,a 8-2a 3=3. (1)求a n ;

(2)设b n =Sn 1

,求数列{b n }的前n 项和为T n .

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【举一反三】在数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,其前n 项和S n 满足S n 2=a n 21

. (1)求S n 的表达式;

(2)设b n =2n +1Sn

,求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵S n 2=a n 21

,a n =S n -S n -1 (n ≥2), ∴S n 2=(S n -S n -1)21, 即2S n -1S n =S n -1-S n ,① 由题意得S n -1·S n ≠0,

①式两边同除以S n -1·S n ,得Sn -Sn -1=2,

∴数列Sn 1是首项为S11=a11

=1,公差为2的等差数列. ∴Sn 1=1+2(n -1)=2n -1,∴S n =2n -11. (2)∵b n =2n +1Sn

=212n +11

∴T n =b 1+b 2+…+b n =21[(1-31)+(31-51)+…+(2n -11-2n +11)]=212n +11=2n +1n

. 高频考点四 求数列{|a n |}的前n 项和问题

例4、在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列. (1)求d ,a n ;

(2)若d <0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |.

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【方法技巧】求数列{|a n |}前n 项和的一般步骤 第一步:求数列{a n }的前n 项和; 第二步:令a n ≤0(或a n ≥0)确定分类标准; 第三步:分两类分别求前n 项和; 第四步:用分段函数形式表示结论;

第五步:反思回顾,即查看{|a n |}的前n 项和与{a n }的前n 项和的关系,以防求错结果.

【变式探究】已知数列{a n }的前n 项和S n =12n -n 2. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .

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(2)令a n =13-2n ≥0,n ≤213

.当n ≤6时,数列{|a n |}的前n 项和T n =S n =12n -n 2; 当n >6时,a 7,a 8,…,a n 均为负数,故S n -S 6<0, 此时T n =S 6+|S n -S 6|=S 6+S 6-S n =72+n 2-12n . 故{|a n |}的前n 项和T n =n2-12n +72,n>6.12n -n2,n≤6,

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1. (2018年浙江卷)已知等比数列{a n }的公比q >1,且a 3+a 4+a 5=28,a 4+2是a 3,a 5的等差中项.数列

{b n }满足b 1=1,数列{(b n +1?b n )a n }的前n 项和为2n 2+n .

(Ⅰ)求q 的值;

(Ⅱ)求数列{b n }的通项公式.

【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ)