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线性代数考研中的证明题方法总结

线性代数考研中的证明题方法总结
线性代数考研中的证明题方法总结

三、计算题与证明题

1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)问,a b 为何值时,线性方程组

1234234

23412340,221,(3)2,321

x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=??++=??

-+--=??+++=-? 有唯一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.

【考点】非齐次线性方程组解的理论的应用.

解 方法一:

[]1

111001221001

010

1

0r

B A b a b a ?????

?=→??

-+??-??

. (1)当()41R A a =?≠时,方程组有惟一解;

(2)当1a =时,方程组无解或无穷多解,此时

[]1111001221000010

000

0r

B A b b ?????

?=→??

+????

.

①当1b =-时,()()24R A R B ==<,方程组有无穷多解;此时

[]1011101221000000

0r

B A b ---?????

?=→??????

, 方程组的通解为1212111221,,100010x k k k k -????????????

--??????=++??????????????????

为任意常数; ②当1b ≠-时,()2,()3R A R B ==,方程组无解.

综上可得:

(1)当1a ≠时,方程组有惟一解; (2)当1,1a b ==-时,方程组有无穷多解;

(3)当1,1a

b =≠-时,方程组无解.

方法二:方程组的系数行列式2(1)A a =-.

(1)当

2(1)1A a a =-?≠时,方程组有惟一解;

(2)以下同方法一.

【注意】

(1)含有参数的线性方程组的解的讨论都是用方法一或方法二解决.但方法一具有普遍性,即这类问题都

可用方法一求解;方法二具有特殊性,其适用范围是: ①方程的个数等于未知数的个数; ②方程组的系数行列式含参数.

(2)求解这类问题的关键点是先讨论方程组有惟一解的情形,再讨论无解或无穷多解.切记切记.

2.(1987—Ⅱ;1990—Ⅳ)设

A 为n 阶矩阵,1λ和2λ是A 的两个不同的特征值;12,x x 是分别属于1λ和

2λ的特征向量,试证明12x x +不是A 的特征向量.

【考点】特征值的定义,性质及向量组线性相(无)关的定义. 解 反证法:假设12x x +是A 的特征向量,则存在数λ,使得1212()()A x x x x λ+=+,则

1122()()0x x λλλλ-+-=.

因为12λλ≠,所以12,x x 线性无关,则11220

λλλλλλ-=??=?-=?.矛盾.

【注】矩阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关.

3.(1987—Ⅳ,Ⅴ)设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+,其中423110123A ????=????-??

,求矩阵B .

【考点】解矩阵方程.

解 由12(2)B

A B B A E A -=+?=-

1434233861531102961641232129----??????

??????=--=--????????????---??????

.

4.(1987—Ⅳ,Ⅴ)解线性方程组

1234134

1231342434,3,31,773 3.

x x x x x x x x x x x x x -+-=-??+-=-??

++=??+-=? 【考点】求解非齐次线性方程组.

2143410103

10

113012

08(|)311

01

0001670

73

30

r B A b ---???

?????----?

???==→?????

???-???

?. 由()()34R A R B ==<,得方程组有无穷多解.方程组的解13233

3286x x x x x =-+??

=-??=?,令3x k =得方程组的通解

12343182,0160x x k k x x -????????????-??????=+????????????

??

????为任意常数.

5.(1987—Ⅳ,Ⅴ)求矩阵312014101A --????=-????-??

的实特征值及对应的特征向量.

【考点】求矩阵的特征值及特征向量. 解

2(1)(45)A E λλλλ-=-++,得A 的实特征值1λ=.解()0A E x -=得其对应的特

征向量021x k ??

??=??????

,其中k 为不为零的任意常数. 6.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知AP PB =,其中

100100000,210001211B P ????

????==-????

????-????

,

求A 及5A .

【考点】解矩阵方程及求矩阵的幂.

1

10

0200611A P P B A P B P -????=?=

=??

??--??

.

5511A PB P PBP A --===.

【注意】若1A PBP -=

,则1k k A PB P -=;一般地,设10()m m x a x a x a ?=+

++,则方阵A 的

多项式

110()()m m A a A a A a E P B P ??-=+++=.

7.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知矩阵20000101A x ????=??????与20000001B y ????=??

??-??

相似:

(1)求x 与y ;(2)求一个满足1P AP B -=的可逆矩阵P .

【考点】相似矩阵的性质及一般矩阵的对角化方法. 解 (1)方法一:A 与B 相似,则A E B E

λλ-=-,即

22(2)(1)(2)((1))x y y λλλλλλ---=-+--,

比较系数,得

10

11x y x y y -=-=????

?-=-=??

.

方法二:B 的特征值为2,,1y -.由A 与B 相似,则A 的特征值为2,,1y -.故

2(1)200

2(1)21y x x y A y ++-=++?=????

???-==-=???

.

【注意】方法一具有一般性;方法二具有特殊性(为什么?)如果利用方法二得到的不是惟一解,则方

法二失效.但方法二比较简单,建议:做填空题与选择题时用方法二,做解答题时用方法一.

(2)分别求出

A 的对应于特征值1232,1,1λλλ===-的线性无关的特征向量为

1231000,1,1011p p p ????????????===-??????

????????????.

令可逆矩阵[]1

2

3100011011P

p p p ??

??==-??

????

,则1P AP B -=.

8.(1988—Ⅳ) 设3阶方阵A 的伴随矩阵为*A ,且2

1=

A ,求*

12)3(A A --.

【考点】矩阵运算的性质.

1*111

12(3)2233

A A A A A A -----=

-=-,所以

1*131228116

(3)2()332727A A A A A ----=-=-=-?=-.

*1

*

1*

**114(3)222333

A A A A A A A A ---=-=?-=-,则

31

1**3*446416(3)2()332727

A A A A A ---=-

=-=-?=-. 【注意】求解此类问题,一般是将行列式中的式子先化简,再求行列式.此处用到矩阵的如下性质:

1

11(),0kA A k k --=≠;*11

*11*1;;;.n A A A A A A A A A A

----====

9.(1988—Ⅳ,Ⅴ) 设向量组)2(,,,21≥s

s ααα 线性无关,且

=+=+=-1322211,,,s βααβααβ 11,s s s s ααβαα-+=+,

讨论向量组s βββ,,,21 的线性相关性.

【考点】向量组的线性相关性的判别方法. 解 方法一:设11220s s x x x βββ++

+=,即

111221()()()0s s s s x x x x x x ααα-++++

++=.

因为12,,

,s ααα线性无关,则11210

00s s s x x x x x x -+=??+=?

???+=?,其系数行列式

1100

01

11

00

1

(1)011

00000

11

s A -==+-. (1)当s 为奇数,20A =≠,方程组只有零解,则向量组s βββ,,,21 线性无关; (2)当s 为偶数,0A =,方程组有非零解,则向量组s βββ,,,21 线性相关.

方法二:显然

1212121000111000(,,,)(,,,)(,,

,)0

1100000

11s s s s s K βββαααααα???

? ?

?== ? ? ??

?

,

因为12,,,s ααα线性无关,则1212(,,,)min{(,,,),()}()s s R R R K R K βββααα≤=

(1)

1()1(1)0s R K s K s -=?=+-≠?为奇数时,12(,,,)s R s

βββ=,则向量组

s βββ,,,21 线性无关;

(2)

1()1(1)0s R K s K s -

s βββ,,,21 线性相关.

【注意】

(1)已知12,,

,m βββ可由12,,,m ααα线性表示的具体表达式,且12,,,m ααα线性无

关时,用方法二求解一般较简便.

(2)若B 可逆,则()()R AB R A =

.一般地()min{(),()}R AB R A R B ≤,即乘积矩阵的秩不

小于每一个因子的秩.

10.(1988—Ⅳ,Ⅴ) 设线性方程组为??????

?=+--=+--=+++=+++2

4321431214

3214321121053153363132k x x x x x x k x x x x x x x x x x ,问1k 与2k 各取何值时,方程

组无解?有惟一解?有无穷多解?有无穷多解时,求其一般解.

【考点】含参数的线性方程组解的讨论. 解 方法一:(一般情形)

112211

2311

123

11361

301212(|)3115300224151012

3

5r B A b k k k k ????????-?

???==→????---+?

???--+????

.

(1)当11()

()4202R A R B k k ==?-+≠?≠时,方程组有惟一解;

(2)当12k =时,21123

101212000120

00

1r

B k ????-?

?→????-??

,则 ①当21k ≠时,()3()4R A R B =≠=,方程组无解;

②当2

1k =时,()()34R A R B ==<,方程组有无穷多解,且

1000801203000120

000

0r

B -?????

?→??????

, 则通解(一般解)为

12348032,0120x x k k x x -????????????-??????=+??????????????

????为任意常数. *

综上:当1

2k ≠时,方程组有惟一解;当12k =且21k ≠时,方程组无解;当12k =且21k =时,

方程组有无穷多解,且一般解为*式.

方法二:(特殊情形)方程组的系数行列式16(2)A k =-.

(1)当

116(2)02A k k =-≠?≠时,方程组有惟一解;以下同方法一.

11. (1988—Ⅴ)已知n 阶方阵

A 满足矩阵方程2320A A E --=.证明A 可逆,并求出其逆矩阵

1A -.

【考点】抽象矩阵是求逆. 解 由2

3202A E A

A E A E A ---=??

=?可逆,且12

A E

A --=

.

12.(1989—Ⅰ,Ⅱ)问λ为何值时,线性方程组

1312312

3,

422,6423

x x x x x x x x λλλ+=??

++=+??++=+? 有解,并求出解的一般形式.

【考点】含参数的非齐次线性方程组解的讨论及非齐次线性方程组的求解.

[]1

01101

4

122012326

1

4

230001

r

B A b λλλλλλ??

??

????==+→--+????????+-+

????.

线性方程组有解()()R A R B ?=101λλ?-+=?=,其通解为

1121,11x k k -????

????=+-????

????????

为任意常数.

13.(1989—Ⅰ,Ⅱ)假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明:

(1)1

λ

1

A

-的特征值; (2)

A

λ

A 的伴随矩阵*A 的特征值.

【考点】特征值的概念. 证 (1)设A 对应于特征值λ的特征向量为x ,则

1

1

1

11

()()Ax x A Ax A x A x x A x x λλλλλ

≠----=?=?=?=

.

(2)

***

*()()A

Ax x A Ax A x A x A x A x x λλλλλ

≠=?=?=?=

.

14.(1989—Ⅳ,Ⅴ)已知B AX X +=,其中???

?

? ??--=????? ??---=350211,10111

1010B A ,求矩阵X .

【考点】解矩阵方程.

1

211131

1()32120203

0115311

X E A B ---

????????????=-=-=????????????--??????. 15. (1989—Ⅳ)设),3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t ===ααα.

(1)问当t 为何值时,向量组321,,ααα线性无关? (2)问当t 为何值时,向量组321,,ααα线性相关?

(3)当向量组321,,ααα线性相关时,将3α表示为1α和2α的线性组合.

【考点】含参数的向量组线性相关性的讨论及求向量由向量组线性表示的具体表示式.

解 方法一:(一般情形)

12311111

1(,,)12301213005r

T T T

A t t ααα????????==→????

????-????

. (1)当5t ≠时,12312

3123(,,)(,,)3,,T T T

R R ααααααααα==?线性无关;

(2)当5t

=时,12312

3123(,,)(,,)23,,T T T R R ααααααααα==

(3)当5t =时,123111101(,,)12301213000r

T T T

t ααα-????????=→????

????????

,则 31231222T T T

αααααα=-+?=-+.

方法二:(特殊情形)321,,ααα线性无关123111

,,12350513A t t t

ααα?

===-≠?≠;

当5t =时,321,,ααα线性相关;令311223122x x αααααα=+?=-+.

【注意】方法二只有在向量组所含向量的个数等于向量的维数时才适用.

16.(1989—Ⅳ,Ⅴ)设???

?

? ??-----=122212

22

1A . (1)试求矩阵

A 的特征值;

(2)利用(1)的结果,求矩阵1-+

A E 的特征值,其中E 是三阶单位矩阵.

【考点】特征值的计算及特征值的性质. 解 (1)

2(1)(5)A E λλλ-=--+,则A 的特征值为1,1,5-.

(2)设λ为可逆矩阵A 的特征值,x 为对应的特征向量,则

1111()(1)Ax x A x x E A x x λλλ----=?=?+=+,

即1

1λ-+为1-+

A E 的特征值.所以1-+A E 的特征值为4

2,2,

5

.

17. (1989—Ⅴ)讨论向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ααα==-=的线性相关性.

【考点】含参数的向量组线性相关性的讨论. 解 参考15. (1989—Ⅳ).答案:当1t ≠时线性无关;当1t =时线性相关.

18.(1990—Ⅰ,Ⅱ)设四阶矩阵

1100213401100

213,,0011002100010002B C -????????-?

???==????

-????

????

且矩阵A 满足关系式

1()T T A E C B C E --=,

其中E 为四阶单位矩阵,1

C -表示C 的逆矩阵,T

C 表示C 的转置矩阵,将上述关系式化简并求矩阵

A .

【考点】解矩阵方程及矩阵的运算. 解 111

()[()]

()()

T T

T T

T T T

A E C

B

C E A C C B C E

A C

B

C C E

----=?-=?-=

1()()()T T T A C B CC E A C B E -?-=?-=

1

100

01100[()]12100121T A C B -????-?

??=-=??-?

?-??

. 【注意】在解矩阵方程时,如果矩阵方程中含有已知矩阵A 的逆矩阵1A -或伴随矩阵*A ,利用

11AA A A E --==或**AA A A E ==

化掉

1A -或*A .

19.(1990—Ⅰ,Ⅱ)求一个正交变换化二次型

222

12312132344448f x x x x x x x x x =++-+-

成标准形.

【考点】利用正交变换化二次型为标准形的方法.

解 (1)写出二次型的矩阵:122244244A -??

??=--????-??

.

(2)求A 的特征值:2(9)A E λλλ-=-?A 的特征值为1,230,9λλ==.

(3)求

A 的两两正交且单位化的特征向量:对应于特征值1,20λ=的线性无关的特征向量为

1210ξ????=??????,2201ξ-????=??????,正交化得1210η????=??????,221455η-??

??=??

????

,

单位化得12,0p p ?????

==??????

???????

???

.

对应于特征值1,2

0λ=的线性无关的特征向量为3122ξ????=-??????

,单位化得3132

323p ??

??

??

??=-??????????

.

(4)构造正交变换:令正交矩阵[

]123132,,320

3P p p p ????

==-???????

?

,则所求正交变换为

11

22331323

20

3x y x y x y ???????

?????=-???????????????????

?

. (5)写出二次型的标准形:二次型的标准形为

2

39f y =.

【注意】利用正交变换化二次型为标准形的步骤: (1)写出二次型的矩阵;

(2)求

A 的特征值;

(3)求A 的两两正交且单位化的特征向量;

(4)构造正交变换; (5)写出二次型的标准形.

20.(1990—Ⅳ,Ⅴ) 已知线性方程组

??????

?=-+++=+++=-+++=++++2

334562203235432154325

432154321x x x x x b x x x x x x x x x a x x x x x (1)b a 、为何值时,方程组有解?

(2)方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系; (3)方程组有解时,求出方程组的全部解. 【考点】含参数的线性方程组解的讨论.

解 参考10.(1988—Ⅳ,Ⅴ),此题只能用方法一(一般情形)(为什么?请读者自己考虑).

111111

11113

21130012263(|)0122

6

0000035

4331

20

0000

22r a a

a B A

b b b a a ????????-?

???==→????

-????--????

.

(1)方程组有解301

()()2203

b a a R A R B a b -==???

=????

-==??;

(2)当1

3

a b =??=?时,101152012263(|)0000000

0r B A b ----?????

?=→??????

,方程组的解

13452

34552

2263x x x x x x x x =++-??

=---+?. 方程组的导出组的解1345

2345

5226x x x x x x x x =++??

=---?,令3451000,1,0001x x x ????????

????????=????????????????????????

,得方程组的导出组的一个基础解系123115226,,100010001ξξξ????????????---????????????===????????????????????????.令345000x x x ????????=????????????,得方程组的一个特解23000η-??????

??=????

????

.则方程组

的通解112233x

k k k ηξξξ=+++,其中123,,k k k 为任意常数.

21.(1990—Ⅳ) 已知对于n 阶方阵

A ,存在自然数k ,使得0=k A .试证明矩阵A E -可逆,并写出其

逆矩阵的表达式(E 为n 阶单位阵). 【考点】抽象矩阵求逆. 证 1

()()k k k

k E E A E A E A E A A -=-=-=-++

+,所以A E -可逆,且

11()k E A E A A ---=+++.

22.(1990—Ⅴ)设

A 为1010?矩阵

1001000001000000110

0000A ??

????

?

?=?

???????

计算行列式A E λ-,其中E 为10阶单位矩阵,λ为常数.

【考点】行列式的计算. 解

1010

10A E

λλ--按第一列展开

=

.

23.(1990—Ⅴ)设方阵

A 满足条件T A A E =,其中T A 是A 的转置矩阵, E 为单位阵.试证明A 的

实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1. 【考点】特征值与特征向量的概念. 证 设

A 的实特征向量0x ≠所对应的特征值为λ,则Ax x λ=.又

22()()()()11T T T T Ax Ax x x x x x x λλλλλ=?=?=?=.(0)T x x x =≠

【注】注意本题的

A 是正交矩阵,由此有如下结论:实对称正交矩阵的特征值必为1±.

24.(1991—Ⅰ,Ⅱ)已知

123(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1)a ααα===-+,4(1,2,4,8)a α=+及(1,1,3,5)b β=+.

(1),a b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?

(2),a b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?并写出该表示式. 【考点】含有参数的向量可由向量组线性表示的讨论.

β可由1234,,,αααα线性表示?线性方程组11223344x x x x ααααβ+++=有解.

1234

1111101121,,,232

433

5

1

8

5T T T T T a b a ααααβ????-????=????

++??+??

1111101121001

00

1

0r a b a ????-??→??+??+??

. (1)当1,0a b =-≠时,线性方程组无解,β

不能由1234,,,αααα线性表示;

(2)当1a ≠-时,线性方程组有惟一解,β可由1234,,,αααα惟一地线性表示.此时

1234

210001

10100,,,1001010001

0r T T T T T

b a a b a b a ααααβ?

?-

??

+??

++??????→+???

?????+???

?,

则123421,,,0111

b a b b

x x x x a a a ++=-

===+++,所以 1234210111

b a b b

a a a βαααα++=-++++++.

25.(1991—Ⅰ,Ⅱ)设A 是n 阶正定矩阵,E 是n 阶单位矩阵,证明A E +的行列式大于1. 【考点】正定矩阵的性质,特征值的性质,实对称矩阵的对角化理论.

证 方法一:

A 为n 阶正定矩阵,则A 的特征值120,0,

,0n λλλ>>>.而A E +的特征值分别

为1211,11,

,11n λλλ+>+>+>,则12(1)(1)

(1)1n A E λλλ+=+++>.

方法二:

A 为n 阶正定矩阵,则存在正交矩阵U ,使得112(,,

,)n U AU diag λλλ-=Λ=,即

1A U U -=Λ.

其中12,,,n λλλ为A 的特征值,且120,0,

,0n λλλ>>>.则

1111

()A E U U UEU U E U U E U ----+=Λ+=Λ+=?Λ+?

12(1)(1)(1)1n E λλλ=Λ+=+++>.

26.(1991—Ⅳ,Ⅴ)设有三维列向量

????

? ??=????? ??+=????? ??+=????? ??+=23210,111,111,111λλβλαλαλα,

问λ取何值时:

(1)β可由321,,ααα线性表示,且表达式惟一;

(2)β可由321,,ααα线性表示,且表达式不惟一; (3)β不能由321,,ααα线性表示.

【考点】含参数的向量可由向量组线性表示的讨论,等价于含有参数的线性方程组解的讨论.

解 方法一:(一般情形)

12321110(,,)111

111λ

αααβλλλλ+??

?=+ ? ?+??

2

211

10(1)00(3)

(12)r λλλλλλλλλλλ??+

?

→-- ? ?-+--?

?

. (1)当

12312300

(,,)(,,,)3(3)03

R R λλααααααβλλλ≠≠??==????

-+≠≠-??时,

β

可由

321,,ααα惟一地线性表示;

(2)当0λ

=时,123123(,,)(,,,)13R R ααααααβ==<,β可由321,,ααα线性表示,且表达

式不惟一;

(3)当3λ

=-时,123123(,,)2(,,,)3R R ααααααβ=≠=,β

不能由321,,ααα线性表示.

方法二:

2123111,,1

11(3)1

1

αααλλλλ

+=+=++.

(1)当

1230

,,03λαααλ≠?≠??

≠-?时,123(,,)3R ααα=,β可由321,,ααα惟一地线性表示;

(2)当0λ

=时,

123111

01110(,,)111

0000

01110000

0r αααβ????

?

?=→ ? ? ? ??

???

, 123123(,,)(,,,)13R R ααααααβ==<,β

可由321,,ααα线性表示,且表达式不惟一;

(3)当3λ

=-时,123123(,,)2(,,,)3R R ααααααβ=≠=,β

不能由321,,ααα线性表示.

【注意】

(1)向量β可由12,,

,m ααα线性表示1122m m x x x αααβ

?++

+=有解

12(,,,)m x αααβ

?=有解Ax β

?

=有解,其中

12(,,,)m A ααα=

1212(,,,)(,,,)m m R R ααααααβ?=.

(2)本题实质上等价为

问λ取何值时,线性方程组 1231232123(1)0(1)(1)x x x x x x x x x λλλλλ

?+++=?

+++=??+++=?有惟一解,无解,有无穷多解.

27.(1991—Ⅳ)考虑二次型

3231212

32221422x x x x x x x x x f +-+++=λ

问λ取何值时,f

为正定二次型?

【考点】判别二次型正定的霍尔维茨定理.

解 二次型的矩阵1142124A λλ-??

?

= ? ?-??

.则

f 为正定二次型1223

101402144(1)(2)0A λλλλλλ??=>?

?

??==->?-<

??==-+>?.

28.(1991—Ⅳ)试证明n 维列向量n ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是

02

12221212111≠=

n

T

n T n T n n

T T T n T T T D αααααααααααααααααα

,

其中T

i α表示列向量i α的转置,n i ,,2,1 =.

【考点】线性无关的判别定理,分块矩阵的运算,矩阵的性质.

n 维列向量n ααα,,,21 线性无关?12,,,0n A ααα=≠.又

()111121*********

2,,

,T T T T n T T T T

T n n T T T T

n n n n n A A αααααααα

αααααααααααααα

αα??

??

? ? ? ?

== ? ?

? ? ? ?????

,

则2

T D A A A

==,即00D A ≠?≠.

29.(1991—Ⅴ)设n 阶矩阵A 和B 满足条件A B AB +=.

(1)证明A E -为可逆矩阵; (2)已知130210002B -????=??????

,求矩阵A .

【考点】证明抽象矩阵可逆及解矩阵方程.

证 (1)由()()()()A B AB A E B A E E A E B E E +=

?---=?--=,则A E -可逆.

(2)由(1)得,111021()10300

2A B E E -?? ?

? ?=-+=-

? ? ? ??

?

.

30.(1991—Ⅴ)已知向量(1,,1)T k α=是矩阵211121112A ????=??????

的逆矩阵1

A -的特征向量,试求常数

k 的值.

【考点】特征值与特征向量的概念. 解 设λ为对应于α的1

A -的特征值,则1A A αλαλαα-=?=.解方程组得1k =或2-.

【注意】

(1)已知含参数的矩阵

A 的特征值,求参数时,方法是运用特征值的性质或特征多项式求解;

(2)已知含参数的矩阵A 的特征向量,求参数时,方法是运用特征值与特征向量的定义,得线性方程组再

解之. 31.(1992—Ⅰ,Ⅱ)设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问: (1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论. 【考点】向量组线性相关的性质.

解 (1)1α能由23,αα线性表出.事实上,234,,ααα线性无关,则23,αα线性无关,又123,,ααα线

性相关,所以1α能由23,αα线性表出. (2)4α不能由123,,ααα线性表出. 方法一:

123423423123(,,|)(,,)3(,)(,,)R R R R αααααααααααα≥=>=.

方法二:假设4α能由123,,ααα线性表出.由(1)知1α能由23,αα线性表出,则4α能由23,αα线性

表出,与234,,ααα线性无关矛盾.

32.(1992—Ⅰ,Ⅱ)设三阶矩阵

A 的特征值为1231,2,3λλλ===,对应的特征向量依次为

1231111,2,3149ξξξ????????????===??????????????????,又向量113β????=??

????

.

(1)将β用123,,ξξξ线性表出; (2)求n

A

β(n 为自然数).

【考点】向量的线性表示,特征值与特征向量的概念.

解 (1)解方程组111223312323(,,)x x x x x x ξξξβξξξβ??

?

++=?= ?

???

得12322β

ξξξ=-+.

(2)12

112311223332223222222

3223n n n n n n n n n n n n n A A A A βξξξλξλξλξ+++++??-+ ?=-+=-+=-+ ? ?-+??

.

33.(1992—Ⅱ)设,A B 为3阶矩阵,I 为三阶单位矩阵,满足

2AB I A B +=+,又知

101020101A ??

??=??

??-??

,

求矩阵B .

34.(1992—Ⅳ)设矩阵

A 与

B 相似,其中

20010022,02031100A x B y --????

????==????

????????

.

(1)求x 和y 的值; (2)求可逆矩阵P ,使1P AP B -=.

【考点】已知矩阵的特征值求矩阵含参数;相似矩阵的性质;矩阵的相似对角化. 解 (1)方法一:A 与B 相似,则A E B E

λλ-=-,即

2(2)((1)(2))(1)(2)()x x y λλλλλλ+-++-=+--,

解得0,2x y ==-.

方法二:显然B 的特征值为1,2,y -;A 有特征值2-.A 与B 相似,则A 与B 有相同的特征值,故

2y =-.又(1)2(2)10y x x -++=-++?=

(2)

A 的对应于特征值1,2,2--的特征向量分别为

1230012,1,0111p p p -??????

??????=-==??????

????????????

,令可逆矩

阵123(,,)P p p p =,则1P AP B -=.

【注意】

(1) 对(1)求解时,若由(1)2(2)1

(1)22(2)

y x y A x -++=-++???

-??==--??,得,x y 有无穷多解,此时这种方法失效.

(2) 在(1)的解法中,方法二非常简便,它综合运用了特征值的性质,避免了烦琐的计算.读者不觉得好好玩味一下吗?

35.(1992—Ⅳ)已知三阶矩阵B O ≠,且B 的每一个列向量都是以下方程组的解:

123123123

220,20,30.x x x x x x x x x λ+-=??

-+=??+-=? (1)求λ的值; (2)证明0B =.

【考点】线性方程组解的理论的应用.

解 (1)由题意知,齐次线性方程组有非零解,则方程组的系数行列式

1

22

21

5(1)013

1

1

A λλλ-=-=-=?=-.

(2)由题意,得0AB =.若00B A ≠?=,矛盾,所以0B =.

或 由0()()3AB R A R B =?+≤;又0()1A R A ≠?≥,则()3R B

【注意】 (1) 若

0m s s n A B ??=,则有下面两个常用的结论:①()()R A R B s +≤.②若B O ≠,则齐次线性方

程组0m s A x ?=有非零解.

(2)

0()n n A R A n ?=?<,即非奇异矩阵就是降秩矩阵.

36.(1992—Ⅳ)设,A B 分别为,m n 阶正定矩阵,试判定分块矩阵A O C O B ??

=??

??

是否是正定矩阵. 【考点】正定矩阵的判别定理.

解 方法一:用定义证明.

0x y ??

?≠ ???

,不妨设0x ≠,则0,0T T x Ax y By >≥,故

()0T

T T T T x x A O x C x y x Ax y By y y O B y ????????==+> ? ? ???????

????

,

即A O C

O B ??

=??

??

是正定矩阵.

方法二:用特征值证明.

A E O C E A E

B E O

B E

λλλλλ--=

=-?--,即C 的特征值由

,A B 的特征值的全部.而,A B 的特征值全大于零,则C 的特征值全大于零,即C 是正定矩阵.

【注意】讨论抽象矩阵的正定性,一般用上面两种方法.

37.(1992—Ⅴ)设矩阵101020101A ????=??????

,矩阵X 满足

2AX I A X +=+,其中I

为三阶单位矩阵.

试求出矩阵X .

【考点】解矩阵方程.

解 由2()()()AX

I A X A I X A I A I +=+?-=-+.又10A I -=-≠,则

201030102X A I ?? ?

=+= ? ???

.

【注意】此题也可由

12()()X A I A I -=--求解,但计算烦琐.在矩阵的运算时,应尽量应用矩阵的

性质先化简.

38.(1992—Ⅴ)设线性方程组

123123123

220,20,30x x x x x x x x x λ+-=??

-+=??+-=? 的系数矩阵为A ,三阶矩阵B O ≠,且AB O =.试求λ的值.

参考35.(1992—Ⅳ)的(1).

39.(1992—Ⅴ)已知实矩阵

33

ij A a ???=??

满足条件:(1)ij

ij a A =(,1,2,3i j =),其中ij A 是ij a 的代数

余子式;(2)110a ≠.计算行列式A

.

【考点】伴随矩阵及其性质;行列式按行(列)展开定理. 解 由23

**0T T ij ij a A A A AA AA A E A A A =?=?==?=?=或1A =.又

222

11111212131311121301A a A a A a A a a a A =++=++≠?=.

40.(1993—Ⅰ,Ⅱ)已知二次型

222

123232332(0)f x x x ax x a =+++>,

通过正交变换化为标准形222

12325f y y y =++,求参数a 及所用的正交变换矩阵.

【考点】二次型理论;用正交变换化二次型为标准形的方法.

解 二次型的矩阵2000303A a a ?? ?

= ? ???,则A 的特征值为1231,2,5λλλ===.由

2

2

(2)(69)(1)(2)(5)2a A E a a λλλλλλλ>-=--+-=---?=.

或 由

2

123952a A a a λλλ>=?-=?=.

对应于特征值11λ=的特征向量1011ξ??

?

=- ? ???

,单位化,

得1110p ξξ??

? ? == ? ???

;

对应于特征值22λ=的特征向量2100ξ?? ?= ? ???,单位化,得2100p ?? ?

= ? ???

;

对应于特征值35λ=的特征向量3011ξ??

?

= ? ???

,单位化,

得333

0p ξξ?

? ? ?==.

则所求的正交变换矩阵123010(,,)00

P p p p ?? ? ? == ?. 41.(1993—Ⅰ,Ⅱ)设A 是n m ?矩阵,B 是m n ?矩阵,其中n m <,I 是n 阶单位矩阵.若

AB I =,

证明B 的列向量组线性无关.

【考点】抽象向量组线性相关性的判别.

证 方法一:用定义证明.设1

0()000m n n B x AB x Ix x ??=?=?=?=,则B 的列向量组线

线性代数的一些证明题

线性代数一些证明题 1 题目 设n 阶可逆矩阵A 满足A 2=A ,求A 的特征值。 知识点 特征值与特征向量 矩阵的行列式 解题过程 解:因为A 2=A 所以A 2-A =0 所以det(A 2-A )=det[A (A -E )]=det(A )det(A -E )=0 A 为可逆矩阵,所以det(A )≠0 所以det(A -E )=0 所以A 的特征值为1. 常见错误 设存在λ,使Ax =λx 成立 则 det(Ax )=det(A )det(x ) =det(λx ) =n λdet(x ) (错误在于向量取行列式) 所以 有)det(A n =λ成立. 又因为A 2=A det(A )2=det(A), 即det(A )=0或det(A )=1.

由于A 为可逆矩阵,det(A)≠0. 所以 det(A )=1 1=n λ 当n 为奇数时,λ=1. 当n 为偶数时,λ=±1. 相关例题 设A 为n 阶矩阵,若A 2=E ,试证A 的特征值是1或-1. 2题目 设A 是奇数阶正交矩阵,且det(A )=1,证明det(E -A )=0. 知识点 ①正交矩阵的定义:A T A=E ②单位矩阵的性质:EA=AE=A E T =E ③矩阵运算规律 ④转置矩阵的性质:(A+B )T =A T +B T ⑤det(A )=det(A T ) ⑥det(AB )=det(A )det(B ) ⑦det(-A )=(-1)n det(A ) 解题过程 ∵A 是正交矩阵 ∴E -A= A T A -A= A T A -EA=( A T -E )A ∵det(A )=1

看我是怎么整理考研数学笔记的

得数学者得天下,数学的重要性不言自明,一定要好好准备,我高中,大学数学底子还不错,自己也努力了,感觉数学里面最容易的还是线性代数和概率论和数理统计,因为题型有限,变化不大,对比历年真题就会发现。真正难的是高数,因为花样太多了,虽然考点有限,但是怎么个综合法,你就不知道了,所以高数题目要多见识,今年考研高数证明题我就看过很类似的,所以很快就做出来了,没见过的同学都不知道怎么下手。我今年数学考得不太好的 原因是我线性代数和概率论各算错一道题目,后悔死了,所以大家在准备考研时,别忘记提 醒自己时刻细心做题。数学的辅导书我很反感陈文登的,比较支持李永乐的,蔡遂林的也不错。 我数学资料做了一大批。要不我把做过的辅导书点评下,仅供参考! 2008数学大纲解析:由于2009没出版,只能用2008的,这是本好书,都是真题,分析透彻,建议买。 轻轻松松考高分线代概率历年真题分类解析——李永乐,这本书对历年真题对比分析, 让你知道考研真正考什么?该准备什么。强烈推荐。 2006考研数学历年真题解析与指导--高教,图书馆借的,现在不出版了,也是分析真题, 像大纲解析,如果图书馆有的话,可以看看。 2009数学考试分析--高教,近3年的试题分析,数一到数四都包括,花2天时间琢磨出题的变化,觉得不错,你会发现一些规律。 武钟祥的历年真题分析,这是我认为真题分析最全面最好的书,里面涵盖了所以年份的试题,数一到数四的都有,大家要知道,数学题目经常是今年数学一考了,明年后年可能数学三考,只是变换出题的方式,大家不要只看数学一的题目。强烈推荐。其实上面这么多 书我觉得最好的还是这本,有一本就够了。 线性代数辅导讲义--李永乐,这本书要多看几遍,越看越好,越看越懂,然后做真题。强烈推荐。 概率论与数理统计辅导讲义--龚兆仁,还可以,有些地方有些繁琐,有些根本不会考的也作了详细介绍。 数学基础过关660题--李永乐。不是很必要买,做了没什么感觉。 陈文登的复习指南,我不推荐买,原因就不说了,你们在网上搜搜看评价,本人用过,的确不怎么样。 李永乐的全书,贴合实际,但是稍显繁琐,很多同学到了11月底才看完,根本没时间去想,思 考。感觉知识点是全,是细,但是你记起来就不容易了。数学的记不像政治,数学 要练习,多思考才能有体会,才能记得深刻,最后才能灵活用。如果买全书的话,要注意时

线性代数基本定理-新版.pdf

线性代数基本定理一、矩阵的运算 1.不可逆矩阵的运算不满足消去律AB=O,A 也可以不等于 O 11-1-1?è???÷1-1-11?è???÷=0000?è?? ? ÷ 2.矩阵不可交换 (A+B)2=A 2+AB+BA+B 2 (AB)k =ABABABAB ...A B 3.常被忽略的矩阵运算规则 (A+B)T =A T +B T (l A)T =l A T

4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算 (diag(a 1,a 2 ,...,a n ))-1=diag( 1 a 1 , 1 a 2 ,..., 1 a n ) (kA)-1=1 k A-1 方法 1.特殊矩阵的乘法 A.对角矩阵乘以对角矩阵,结果仍为对角矩阵。且: B.上三角矩阵乘以上三角矩阵,结果为上三角矩阵2.矩阵等价的判断 A@B?R(A)=R(B) 任何矩阵等价于其标准型

3.左乘初等矩阵为行变换,右乘初等矩阵为列变换如:m*n 的矩阵,左乘 m 阶为行变换,右乘 n 阶为列变换 4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆如:A 2 -A-2I =O ,证明(A+2I)可逆。把2I 项挪到等式右边,左边凑出含有 A+2I 的一个多项式, 在确保A 平方项与 A 项的系数分别为原式的系数情况下,看I 项多加或少加了几个。5.矩阵的分块进行计算加法:分块方法完全相同 矩阵乘法(以A*B 为例):A 的列的分法要与B 行的分法一 致,如: 如红线所示:左边矩阵列分块在第 2列与第3列之间,那么,右边矩阵分 块在第二行与第三行之间 1-1003-1000100002-1 é? êêêêù?úúúú1000-1000013-1021 4 é? ê êêêù? úúúú

考研线性代数知识点全面总结资料

《线性代数》复习提纲 第一章、行列式 1.行列式的定义:用2n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。 (1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和; (2)展开式共有n!项,其中符号正负各半; 2.行列式的计算 一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则; N 阶(n ≥3)行列式的计算:降阶法 定理:n 阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。 特殊情况:上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积; ?行列式值为0的几种情况: Ⅰ 行列式某行(列)元素全为0; Ⅱ 行列式某行(列)的对应元素相同; Ⅲ 行列式某行(列)的元素对应成比例; Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。 3.概念:全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:一个排列中任意两个元素对换,改变排列的奇偶性。 奇排列变为标准排列的对换次数为基数,偶排列为偶数。 n 阶行列式也可定义:n q q q n a a a ?=∑21t 2 1 1-D )(,t 为n q q q ?21的逆序数 4.行列式性质: 1、行列式与其转置行列式相等。 2、互换行列式两行或两列,行列式变号。若有两行(列)相等或成比例,则为行列式0。 3、行列式某行(列)乘数k,等于k 乘此行列式。行列式某行(列)的公因子可提到外面。 4、行列式某行(列)的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行(列)乘一个数加到另一行(列)上,行列式不变。 6、行列式等于他的任一行(列)的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。(按行、列展开法则) 7、行列式某一行(列)与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和为0. 5.克拉默法则: :若线性方程组的系数行列式0D ≠,则方程有且仅有唯一解D D D D x D D n =?== n 2211x ,x ,,。

高数部分考研必备:超经典的考研数学考点与题型归类分析总结

高数部分考研必备:超经典的考研数学考点与 题型归类分析总结 1、1 高数第一章《函数、极限、连续》 1、2 求极限题最常用的解题方向: 1、利用等价无穷小; 2、利用洛必达法则,对于型和型的题目直接用洛必达法则,对于、、型的题目则是先转化为型或型,再使用洛比达法则; 3、利用重要极限,包括、、; 4、夹逼定理。 1、3 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识,一方面有单独出题的情况,如历年真题的填空题第一题常常是求极限;更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用,故非常有必要打牢基础。对于第三章《不定积分》,陈文灯复习指南分类讨论的非常全面,范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点:不定积分中的积分常数C容易被忽略,而考试时如果在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象:定积分的结果可以写为 F(x)+1,1指的就是那一分,把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C

也就漏掉了这1分。第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用,解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章:对于型定积分,若f(x)是奇函数则有=0;若f(x)为偶函数则有=2;对于型积分,f(x)一般含三角函数,此时用的代换是常用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手,对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利用性质、。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 1、4 高数第五章《中值定理的证明技巧》由本章《中值定理的证明技巧》讨论一下证明题的应对方法。用以下这组逻辑公式来作模型:假如有逻辑推导公式AE、(AB) C、(CDE)F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题,其中一个可以是这样的:条件给出 A、 B、D,求证F成立。为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手,我们把从条件入手证明称之为正方向,把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类: 1、已知的逻辑推导公式太多,难以从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的AE就可能有AH、A(IK)、(AB)

线性代数证明题

线性代数证明题 1.设1234,,,αααα是非零的四维列向量,1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵,已知 0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ,证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系. 2.设A 是n 阶矩阵,且0n A =,则A E n -必是可逆矩阵。 3.,,A B C 均是n 阶矩阵,E 为n 阶单位矩阵,若ABC E =,证明:BCA E = 4.设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-,证明:2A E -可逆,并求其逆. 5.设A 是一个n 级方阵,且()R A r =,证明:存在一个n 级可逆矩阵P 使1 PAP -的后n r -行全为零. 6.设矩阵,m n n m A B ??,且,m n AB E <=,证明:A 的行向量组线性无关. 7.如果,2 A A =称A 为幂等矩阵.设 B A ,为n 阶幂等矩阵,证明:B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB 8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1-A 也是对称矩阵 9.设A ,B ,C 都是n 阶方阵,且C 可逆,T --+=A E B C C )(11 , 证明:A 可逆且T -+=)(C B A 1 。 10.设0=k A ,其中k 为正整数,证明:121)(--++++=-k A A A E A E 11.设方阵A 满足A 2 -A-2E=O ,证明A 及A+2E 都可逆,并求1 1 2--+)及(E A A 12.试证:对任意方阵A ,均有 T A A +为对称矩阵, T A A -为反对称矩阵。 13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量T β,使T A αβ= 14.设A 为列满秩矩阵,C A B =,证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ?矩阵,证明方程m E AX =有解m A R =?)( 16.向量组A 能 用向量组B 表示,则R(A)<=R(B) 17.设B A ,分别为m n n m ??,矩阵,则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。 18、设,,,,144433322211ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组

考研线性代数核心知识点和易错点总结

考研线性代数核心知识点和易错点总结

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2018考研线性代数核心知识点和易错 点总结 通过7-9月这三个月时间的复习,大家应该做到把所学的知识系统化综合化,尤其是考研数学中的线性代数。在考研数学中线性代数只占分值的22%,所占比例虽然不高,但是对每位考研学子来说同样重要。线性代数部分的内容相对容易,从历年真题分析可知考试的时候出题的套路也比较固定。但是线性代数的知识点比较琐碎,记忆量大而且容易混淆的地方较多;另外这门学科的知识点之间的联系性也比较强,这种联系不仅指各个章节之间的相互联系,更重要的是不同章节中的各种性质、定理、判定法则之间也有着相互推导和前后印证的关系。因此,在复习线性代数的时候,要求考生做到“融会贯通”,即不仅要找到不同知识点之间的内在联系,还要掌握不同知识点之间的顺承关系。为了使广大考生在暑期强化阶段更好地复习线性代数这门学科,下面为大家总结了本门课程的核心考点和易错考点,希望对大家的复习能有所帮助! 一、核心考点 1、行列式 本章的核心考点是行列式的计算,包括数值型行列式的计算和抽象型行列式的计算,其中数值型行列式的计算又分为低阶行列式和高阶行列式两种类型。对于低阶的数值型行列式来说,主要的处理方法是:找1,化0,展开,即首先找行列式中最简单的元素,利用行列式的性质将最简单元素所在的行或者列的其他元素均化为0,然后再利用行列式的展开定理对目标行列式进行降阶,最后利用已知公式求得目标行列式的值。对于高阶的数值型行列式来说,它的处理方法有两种:一是三角化;二是展开。所谓的三角化就是利用行列式的性质将目标行列式化成上三角行列式或者下三角行列式,三角化的主要思想就是化零,即利用行列式中各元素之间的关系通过行列式的性质化出较多的零,它是解决“爪型”行列式和“对角线型”行列式的主要方法。而所谓的展开就是利用行列式的展开定理对目标行列式进行降阶,一般解决的是递推形式的行列式,而它的关键点则是找出与的结构。对于数值型行列式来说,考试直接考查的题目相对较少,它总是伴随着线性方程组或者特征值与特征向量等的相关知识出题的。对行列式的考查多以抽象型行列式的形式出现,这一部分的考题综合性很强,与后续章节的联系比较紧密,除了要用到行列式常见的性质以外,更需要结合矩阵的运算,综合特征值特征向量等相关考点,对考生能力要求较高,需要考生有扎实的基础,对线性代数整个学科进行过细致而全面的复习。抽象行列式的计算常见的方法有三种:一是利用行列式的性质;二是使用矩阵运算;三是结合特征值与特征向量。 2、矩阵 矩阵是线性代数的核心内容,它是后续章节知识的基础,矩阵的概念、运算及其相关理论贯穿着整个线性代数这门学科。这部分的考点较多,重点是矩阵的运算,尤其是逆矩阵、矩阵的初等变换和矩阵的秩是重中之重的核心考点。考试题目中经常涉及到伴随矩阵的定义、性质、行列式、可逆阵的逆矩阵、矩阵的秩及包含伴随矩阵的矩阵方程等。另外,这几年还经常出现与初等变换与初等矩阵相关的命题。本章常见题型有:计算方阵的幂、与伴随矩阵相关的命题、与初等变换相关的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程等。 3、向量 本章的核心考点是向量组的线性相关性的判断,它也是线性代数的重点,同时也是考研的重点。2014年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念,熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用,在做此处题目的时候要学会与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相关知识联

线性代数常见证明题型及常用思路

线性代数常见证明题型及 常用思路 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

《线性代数》常见证明题型及常用思路 二、证明题 题型1.关于1, ,m αα线性相关性的证明中常用的结论 (1)设110m m λαλα++=,然后根据题设条件,通过解方程 组或其他手段:如果能证明1,,m λλ必全为零,则1,,m αα线性 无关;如果能得到不全为零的1, ,m λλ使得等式成立,则1,,m αα线性相关。 (2)1,,m αα线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表 示。 (3)如果1, ,n m F αα∈,则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。 (4)如果我们有两个线性无关组, 11,,,m W αα∈12,,,t W ββ∈且12,W W 是同一个线性空间的两 个子空间,要证11, ,,,,m t ααββ线性无关。这种情况下,有些时候我们设 111111110,,m m t t m m t t λαλαμβμβαλαλαβμβμβ+ ++++==++=++。 根据题设条件往往能得到0αβ==,进而由 11,,,m W αα∈12,,t W ββ∈的线性无关得到系数全为零。 题型2. 关于欧氏空间常用结论

(1)内积的定义 (2)单位正交基的定义 (3)设1{,,}n B αα=是单位正交基, 11(,,),(,,)B n B n u x x v y y ==。则 11(,)n n u v x y x y =++ 5 题型3. 关于矩阵的秩的证明中常用的结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩 (2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 (3)阶梯形的秩 (4)几个公式(最好知道如何证明):常用来证明关于秩的不等式 ()()(); ()min{(),()}; ()()(); max{(),()}(,)()();()();()()()()();0()()T T T T m n r A B r A r B r AB r A r B r A r A r A A A r A r B r A B r r A r B B A r r A r B B A r A r B r r A r B r C C B A B r A r B n ?+≤+≤==??≤=≤+ ??? ??=+ ??? ??+≤≤++ ??? =?+≤ (5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式) 例:证明:()()()m n r A r B n r AB ?+≤+。 证:

考研数学十真题题型总结考研必备

考研数学十年真题题型总结! 高等数学(①10年考题总数:117题②总分值:764分③占三部分题量之比重:53%④占三部分分值之比重:60%第一章函数、极限、连续(①10年考题总数:15题②总分值:69分③占第一部分题量之比重:12%④占第一部分分值之比重:9%)|考研|考研网:y/f S,Z H \%\题型 1 求1∞型极限(一(1),2003) 题型 2 求0/0型极限(一(1),1998;一(1),2006)|考研|考研网 D!V \ k [ g u 题型 3 求∞-∞型极限(一(1),1999) 题型 4 求分段函数的极限(二(2),1999;三,2000) 题型 5 函数性质(奇偶性,周期性,单调性,有界性)的判断(二(1),1999;二(8),2004)|考研|考研网 n1g:z1~ q9`*M m 题型 6 无穷小的比较或确定无穷小的阶(二(7),2004) 题型 7 数列极限的判定或求解(二(2),2003;六(1),1997;四,2002;三(16),2006)https://www.wendangku.net/doc/86924586.html, u6t I+N+v r ` 题型 8 求n项和的数列极限(七,1998) 题型 9 函数在某点连续性的判断(含分段函数)(二(2),1999) 第二章一元函数微分学考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕 X I!P R5m;i$^ U w

(①10年考题总数:26题②总分值:136分③占第一部分题量之比重:22%④占第一部分分值之比重:17%)5432考研论坛是考研人的网上考研家园,主要提供考研资料下载,学习讨论等 x*x F4as.E%s&Z.e 题型 1 与函数导数或微分概念和性质相关的命题(二(7),2006)考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕#G:w X K1V S O R 题型 2 函数可导性及导函数的连续性的判定(五,1997;二(3),2001;二(7),2005) 题型 3 求函数或复合函数的导数(七(1),2002)考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕.m!n;l y(`*O.O u 题型 4 求反函数的导数(七(1),2003) 题型 5 求隐函数的导数(一(2),2002) n8U C G+J k B.R3w 题型 6 函数极值点、拐点的判定或求解(二(7),2003) 题型 7 函数与其导函数的图形关系或其他性质的判定(二(1),2001;二(3),2002) 题型 8 函数在某点可导的判断(含分段函数在分段点的可导性的判断)(二(2),1999)考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕/E+?;g CW u$Q 题型 9 求一元函数在一点的切线方程或法线方程(一(3),1997;四,

强化复习线性代数各章重点及题型考研

线性代数在考研数学中占有重要地位,必须予以高度重视。线性代数试题的特点比较突出,以计算题为主,证明题为辅,因此,必须注重计算能力。线性代数在数学一、二、三中均占22%,所以考生要想取得高分,学好线代也是必要的,下面就将线代中重点内容和典型题型做了总结,希望对大家学习有帮助。 行列式在整张试卷中所占比例不是很大,一般以填空题、选择题为主,它是必考内容, 不只是考察行列式的概念、性质、运算,与行列式有关的考题也不少,例如方阵的行列式、 逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等 问题中都会涉及到行列式。如果试卷中没有独立的行列式的试题,必然会在其他章、节的试 题中得以体现。行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法,计算行列式的主要方法是降阶 法,用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进 行恒等变形,化简之后再展开。另外,一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对 角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握。常见题型有:数字型行列式的计算、抽 象行列式的计算、含参数的行列式的计算。 矩阵是线性代数的核心,是后续各章的基础。矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的 始终。这部分考点较多,重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程。涉及伴随矩阵的定义、 性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题。这几

年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题。常见题型有以下几种:计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。 向量组的线性相关性是线性代数的重点,也是考研的重点。考生一定要吃透向量组线性相关性的概念,熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用,还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系,从各个侧面加强对线性相关性的理解。常见题型有:判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 往年考题中,方程组出现的频率较高,几乎每年都有考题,也是线性代数部分考查的重点内容。本章的重点内容有:齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)。主要题型有:线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。 特征值、特征向量是线性代数的重点内容,是考研的重点之一,题多分值大,共有三部分重点内容:特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。重点题型有:数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。 由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的,所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题,可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。重点内容包括:掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型的秩和标准形等概念; 了解二次型的规范形和惯性定理;掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法。重点题型有:二次型表成矩阵形式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。

线性代数常见证明题型及常用思路

《线性代数》常见证明题型及常用思路 、证明题 题型1关于1,K , m 线性相关性的证明中常用的结论 (1)设1 1 L m m 0,然后根据题设条件,通过解方程组 或其他手段:如果能证明 1,K , m 必全为零,则1,K , m 线性无 关;如果能得到不全为零的1 ,K , m 使得等式成立,贝S 1,K , m 线 性相关。 2) 1,K , m 线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。 时候我们设 0, 根据题设条件 1,K , m W 1, 1,K , t W 2的线性无关得到系数全为零。 题型2.关于欧氏空间常用结论 (1) 内积的定义 (2) 单位正交基的定义 (3)设B { 1,K , n }是单位正交基, (3)如果 1,K , m F “,则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。 4 ) 一如果 有两个线性无关组, 1,K , m W 1, 1,K , t W 2,且W 1,她是同一个线性空间的两 个子空间,要证 1,K , 1,K , t 线性无关。这种情况下,有些 0 ,进而由

U B (X i,K,X n),V B (y i,K,y n)。则(u,v) x$ L x“y n5 题型3.关于矩阵的秩的证明中常用的结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩 (2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 (3)阶梯形的秩 (4)几个公式(最好知道如何证明):常用来证明关于秩的不等式 r(A B) r(A) r(B); r(AB) min{ r(A),r(B)}; r(A) r(A T) r(A T A); A T 计")'")} "A? r B T r(A) r(B); A r(A)r(B); r B A r(A) r(B) r(C); B r(A)r(B)r C B0r(A)r(B) n A m n (5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式) 例:证明:r(A m n) r(B) n r(AB)。 证:

考研线性代数知识点归纳

1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90o ,所得行列式为2D ,则(1)2 2(1)n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解;

考研线性代数习题集(带答案)

第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4. =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6.在函数10 3 23211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 734111113263478 ----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 40 3 --= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

考研数学三大题型答题技巧总结

考研数学三大题型答题技巧总结 考研数学的题量较大,时间却是有限的,想要在有限的时间内取得最高的分数,除了自己的实力之外,应用答题技巧是十分必要的。按照科学的答题顺序作答,对最后成绩也是很有好处的! 一、选择题答题技巧 在做选择题的时候大家还是有很多方法可选的,常用的方法有:代入法、排除法、图示法、逆推法、反例法等。 代入法:也就是说将备选的一个答案用具体的数字代入,如果与假设条件或众所周知的事实发生矛盾则予以否定。 演算法:它适用于题干中给出的条件是解析式子。 图形法:它适用于题干中给出的函数具有某种特性,例如奇偶性、周期性或者给出的事件是两个事件的情形,用图示法做就显得格外简单。 排除法:排除了三个,第四个就是正确的答案,这种方法适用于题干中给出的函数是抽象函的情况。 反推法:所谓逆推法就是假定被选的四个答案中某一个正确,然后做反推,如果得到的结果与题设条件或尽人皆知的正确结果矛盾,则否定这个备选答案。 如果考试的时候大家发现哪种方法都不奏效的话,大家还可以选择猜测法,至少有25%的正确性。 二、填空题答题技巧 填空题的答案是唯一的,做题的时候给出最后的结果就行,不需要推导过程,同样也是答对得满分,答错或者不答得0分,不倒扣分。 这一部分的题目一般是需要一定技巧的计算,但不会有太复杂的计算题。题目的难度与选择题不相上下,也是适中。 填空题总共有6个,一般高数4个,线代和概率各1个,主要考查的是考研数学中的三基本:基本概念、基本原理、基本方法以及一些基本的性质。做这24分的题目时需要认真审题,快速计算,并且需要有融会贯通的知识作为保障。 三、解答题的答题技巧 解答主观大题目一定要学会放弃不会做的题,每道题思考时间一般不应超过10分钟,否则容易导致概率和线性代数等部分的题目无法解答,不要为了一道题目耽误了后面20~30分的内容。

考研数学线性代数题型归纳.doc

三、线性方程组与向量常考的题型有:1.向量组的线性表出,2.向量组的线性相关性,3.向量组的秩与极大线性无关组,4.向量空间的基与过渡矩阵,5.线性方程组解的判定,6.齐次线性方程组的基础解系,7.线性方程组的求解,8.同解与公共解。 四、特征值与特征向量常考的题型有:1.特征值与特征向量的定义与性质,2.矩阵的相似对角化,3.实对称矩阵的相关问题,4.综合应用。 五、二次型常考的题型有:1.二次型及其矩阵,2.化二次型为标准型,3.二次型的惯性系数与合同规范型,4.正定二次型。 2019考研数学线性代数知识点总结 【行列式】 1、行列式本质——就是一个数 2、行列式概念、逆序数 考研:小题,无法联系其他知识点,当场解决。

3、二阶、三阶行列式具体性计算 考研:不会单独出题,常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。 4、余子式和代数余子式 考研:代数余子式的正负是一个易错点,了解代数余子式才能学习行列式展开定理。 5、行列式展开定理 考研:核心知识点,必考! 6、行列式性质 考研:核心知识点,必考!小题为主。 7、行列式计算的几个题型 ①、划三角(正三角、倒三角) ②、各项均加到第一列(行) ③、逐项相加 ④、分块矩阵 ⑤、找公因 这样做的目的,在行/列消出一个0,方便运用行列式展开定理。 考研:经常运用在找特征值中。

⑥数学归纳法 ⑦范德蒙行列式 ⑧代数余子式求和 ⑨构造新的代数余子式 8、抽象型行列式(矩阵行列式) ①转置 ②K倍 ③可逆 ③伴随 ④题型丨A+B丨;丨A+B-1丨;丨A-1+B丨型 (这部分内容放在第二章,但属于第一章的内容) 考研:出小题概率非常大,抽象性行列式与行列式性质结合考察。 【矩阵】 1、矩阵性质 考研:与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。 2、数字型n阶矩阵运算

(超级总结吐血推荐)考研数学二经典知识点题型技巧总结(高数线代)综合网上与个人线代心得

高等数学 (数二 > 一. 重点知识标记 高等数学 科目大纲章节知识点题型重要度等级 高等数学 第一章函数、极限、连续 1 . 等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限★★★★★ 2. 函数连续的概念、函数间断点的类型 3 . 判断函数连续性与间断点的类型★★★ 第二章一元函数微分学 1. 导数的定义、可导与连续之间的关系 按定义求一点处的导数,可导与连续的关系★★★★ 2 . 函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值★★★★ 3. 闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用★★★★★ 第三章一元函数积分学 1 . 积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★ 2. 有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分 计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分★★ 第四章多元函数微分学 1. 隐函数、偏导数、的存在性以及它们之间的因果关系 2. 函数在一点处极限的存在性,连续性,偏导数的存在性,全微分存在性与偏导数的连 续性的讨论与它们之间的因果关系★★ 3 . 多元复合函数、隐函数的求导法求偏导数,全微分★★★★★ 第五章多元函数积分学 1.二重积分的概念、性质及计算 2.二重积分的计算及应用★★ 第六章常微分方程 1.一阶线性微分方程、齐次方程, 2.微分方程的简单应用,用微分方程解决一些应用问题★★★★ 一、函数、极限、连续部分:

极限的运算法则、极限存在的准则( 单调有界准则和夹逼准则 >、未定式的极限、主要的等价无穷 小、函数 间断点的判断以及分类,还有闭区间上连续函数的性质( 尤其是介值定理 >,这些知识点在历年真题中出现的概率比较高,属于重点内容,但是很基础,不是难点,因此这部分内容一定不要丢分。 二、微分学部分: 主要是一元函数微分学和多元函数微分学,其中一元函数微分学是基础亦是重点。 一元函数微分学,主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系,另外要掌握各种函数求导的方法,尤其是复合函数、隐函数求导。微分中值定理也是重点掌握的内容,这一部分可以出各种各样构造辅助函数的证明,包括等式和不等式的证明,这种类型题目的技巧性比较强,应多加练习。函数的凹凸性、拐点及渐近 线 ,也是一个重点内容,在近几年考研中常出现。 多元函数微分学,掌握连续性、偏导性、可微性三者之间的关系,重点掌握各种函数求偏导的方法。多元函数的应用也是重点,主要是条件极值和最值问 题 。 三、积分学部分: 一元函数积分学 一个重点是不定积分与定积分的计算。在计算过程中,会用 到 不定积分 / 定积分的基本性质、换元积分法、 分部积分法。其中,换元积分法是重点,会涉及到三角函数换元、倒代换,如何准确地进行换元从而得到最终 答案,却是需要下一番工夫的。定积分的应用同样是重点,常考的是面积、体积的求解,多练掌握解题技巧。对于定积分在物理上的应用( 数二有要求 >,如功、引力、压力、质心、形心等,近几年考试基本都没有涉及, 考生只要记住求解公式即可。 多元函数积分学的一个重点是二重积分的计算,其中要用到二重积分的性质, 以及 直角坐标与极坐标的相 互转化。这部分内容,每年都会考到,考生要引起重视,需要明白的是,二重积分并不是难点。 四、微分方程: 这里有两个重点:一阶线性微分方程。二阶常系数齐次/ 非齐次线性微分方程。 线性 第一章行列式 1.行列式的运算 2.计算抽象矩阵的行列式★★★ 第二章矩阵 1.矩阵的运算 2.求矩阵高次幂等★★★ 3. 矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题★★★★★ 第三章向量

《线性代数》常见证明题型及常用思路

《线性代数》常见证明题型及常用思路 二、证明题 题型1.关于1,,m ααK 线性相关性的证明中常用的结论 (1)设110m m λαλα++=L ,然后根据题设条件,通过解方程组或其她手段:如果能证明1,,m λλK 必全为零,则1,,m ααK 线性无关;如果能得到不全为零的1,,m λλK 使得等式成立,则1,,m ααK 线性相关。 (2)1,,m ααK 线性相关当且仅当其中之一可用其她向量线性表示。 (3)如果1,,n m F αα∈K ,则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。 (4)如果我们有两个线性无关组,11,,,m W αα∈K 12,,,t W ββ∈K 且12,W W 就是同一个线性空间的两个子空间,要证11,,,,,m t ααββK K 线性无关。这种情况下,有些时候我们设 111111110, ,m m t t m m t t λαλαμβμβαλαλαβμβμβ+++++==++=++L L L L 。 根据题设条件往往能得到0αβ==,进而由11,,,m W αα∈K 12,,t W ββ∈K 的线性无关得到系数全为零。 题型2、 关于欧氏空间常用结论 (1)内积的定义 (2)单位正交基的定义 (3)设1{,,}n B αα=K 就是单位正交基, 11(,,),(,,)B n B n u x x v y y ==K K 。则11(,)n n u v x y x y =++L 5 题型3、 关于矩阵的秩的证明中常用的结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩

(2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 (3)阶梯形的秩 (4)几个公式(最好知道如何证明):常用来证明关于秩的不等式 ()()(); ()min{(),()}; ()()(); max{(),()}(,)()();()();()()()()();0()()T T T T m n r A B r A r B r AB r A r B r A r A r A A A r A r B r A B r r A r B B A r r A r B B A r A r B r r A r B r C C B A B r A r B n ?+≤+≤==??≤=≤+ ??? ??=+ ??? ??+≤≤++ ??? =?+≤ (5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式) 例:证明:()()()m n r A r B n r AB ?+≤+。 证: ()()()0n n n E E n r AB r r AB A AB E B r r A r B A ????+== ? ?????-??=≤+ ??? 上面第二个等号就是用A 左乘第一个分块矩阵的第一行,然后加到第二行所得;第三个等号就是用B -又乘第二个分块矩阵的第一列,然后加到第二列所得。

2018考研数学线性代数六大考点

跨考考研线性代数在考研数学中占比22%,因此,学好线代很关键。一般,线性代数常考计算题和证明题,因此大家要把握好公式和理论重点。下面和大家分享线性代数六大考点,大家注意复习。 一、行列式部分,强化概念性质,熟练行列式的求法 在这里我们需要明确下面几条:行列式对应的是一个数值,是一个实数,明确这一点可以帮助我们检查一些疏漏的低级错误;行列式的计算方法中常用的是定义法,比较重要的是加边法,数学归纳法,降阶法,利用行列式的性质对行列式进行恒等变形,化简之后再按行或列展开。另外范德蒙行列式也是需要掌握的;行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等。 二、矩阵部分,重视矩阵运算,掌握矩阵秩的应用 通过历年真题分类统计与考点分布,矩阵部分的重点考点集中在逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程,其内容包括伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩,在课堂辅导的时候会重点强调.此外,伴随矩阵的矩阵方程以及矩阵与行列式的结合也是需要同学们熟练掌握的细节。涉及秩的应用,包含矩阵的秩与向量组的秩之间的关系,矩阵等价与向量组等价,对矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析,备考需要在理解概念的基础上,系统地进行归纳总结,并做习题加以巩固。 三、向量部分,理解相关无关概念,灵活进行判定 向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重,也是考研线性代数每年必出的考点。如何掌握这部分内容呢?首先在于对定义概念的理解,然后就是分析判定的重点,即:看是否存在一组全为零的或者有非零解的实数对。基础线性相关问题也会涉及类似的题型:判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 四、线性方程组部分,判断解的个数,明确通解的求解思路 线性方程组解的情况,主要涵盖了齐次线性方程组有非零解、非齐次线性方程组解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明以及带参数的线性方程组的解的情况。为了使考生牢固掌握线性方程组的求解问题,博研堂专家对含参数的方程通解的求解思路进行了整理,希望对考研同学有所帮助。通解的求法有两种,若为齐次线性方程组,首先求解方程组的矩阵对应的行列式的值,在特征值为零和不为零的情况下分别进行讨论,为零说明有解,带入增广矩阵化简整理;不为零则有唯一解直接求出即可。若为非齐次方程组,则按照对增广矩阵的讨论进行求解。 五、矩阵的特征值与特征向量部分,理解概念方法,掌握矩阵对角化的求解 矩阵的特征值、特征向量部分可划分为三给我板块:特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。相关题型有:数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、有关实对称矩阵的问题。 六、二次型部分,熟悉正定矩阵的判别,了解规范性和惯性定理 二次型矩阵是二次型问题的一个基础,且大部分都可以转化为它的实对称矩阵的问题来处理。另外二次型及其矩阵表示,二次型的秩和标准形等概念、二次型的规范形和惯性定理也是填空选择题中的不可或缺的部分,二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连,要会用配方法、正交变换化二次型为标准形;掌握二次型正定性的判别方法等等。 2018考研交流总群337587371

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