几何运算
实验三、几何运算
一、实验目的与要求
1．理解图像几何运算的基本定义和常见方法;
2．掌握在MTLAB中对图像进行几何运算的方法;
3．利用图像相加实现均值降噪。
二、实验内容及原理
几何运算可改变图像中各物体之间的空间关系。这种运算可以被看成是将（各）物体在图像内移动。
1.图像的几何运算
A)改变图像的大小
例：读入图像…ic.tif?，改变图像大小，分别将原图像放大1.25倍和缩小0.5倍。
I=imread('ic.tif');
J=imresize(I,1.25);
K=imresize(I,0.5);
imshow(I)
figure,imshow(J)
figure,imshow(K)
Y=imresize(I,[100,150]);
figure,imshow(Y)
B)旋转一幅图像
函数imrotate对图像进行旋转，参数method用于指定插值的方法，可选用的值为'nearest'（最邻近法），'bilinear'（双线性插值），'bicubic'（双三次插值），默认为'nearest'。一般说来旋转后的图像会比原图大，超出原图部分值为0。
例：将上述图像顺时针和逆时针旋转任意角度，观察显示效果。
I=imread('rice.tif');
J=imrotate(I,30,'bilinear');
imshow(I);title('原图像')
figure,imshow(J),title('旋转后的图像')
C)图像剪切
例：通过交互式操作，从一幅图像中剪切一个矩形区域。
I=imread('ic.tif');
imshow(I);
I1=imcrop;
figure,imshow(I1)
I2=imcrop(I,[30 60 120 160]);
figure,imshow(I2)
2. 均值降噪
图像相加的一个重要应用是对同一场景的多幅图像求平均值。这点被经常用来有效的降低加性随机噪声的影响。在求平均值的过程中，图像的静止部分不会改变，而对每一幅图像，各不相同的噪声图案则累积很慢。对M幅图像进行平均，使图像中每一点的平方信噪比提高了M倍幅度信噪比是功率信噪比的平方根，因此达到了提高信噪比降低噪声的作用。
代数运算中需要有若干幅带有随机噪声的图像数据，在这里我们运用MA TLAB中的FOR循环语句来完成产生多幅带有噪声的图像数据及将这些图像数据进行相加运算。MATLAB中FOR END循环的用法如下：
for end循环，这种循环允许一组命令以固定的和预定的次数重复，循环的一般形式为：for variable = expression
statements
end
举例如下：
一个简单的for循环的例子。
for i=1:10;
y(i)=i;
end;
y%显示y的结果
y =
12345678910 为了得到最大的速度，在for循环被执行之前，应预先分配数组。例如前面所考虑的第一种情况，在for循环内每执行一次命令，向量y的维数增加1。这样就使得MATLAB每通过一次循环对y分配更多的内存，这当然要花费一定的时间。为了可以不执行这个步骤，for 循环的例子应重写为：
y=zeros(1,10);
for i=1:10;
y(i)=i;
end;
y
在实际的对图像处理过程中，由于我们读出的图像是unit8型，而在MA TLAB的矩阵运算中要求所有的运算变量为double型（双精度型）。因此读出的图像数据不能直接进行相加求平均，因此必须使用一个函数将图像数据转换成双精度型数据。MATLAB中提供了这样的函数：
im2double函数，其语法格式为：
I2 = im2double(I1)
其中I1是输入的图像数据，它可能是unit8或unit16型数据，通过函数的变化输出I2为一个double型数据，这样两图像数据就可以方便的进行相加等代数运算。
例：给图像加均值为0，方差为0.02的高斯噪声，将图像相加100遍，再通过多次相加求平均的方法祛除噪声，程序如下：
[I,M]=imread('eight.tif');
J=imnoise(I,'gaussian',0,0.02);
subplot(1,2,1),imshow(I,M),title('原图像');
subplot(1,2,2),imshow(J,M),title('加噪声后图像');
K=zeros(242,308);
for i=1:100
J=imnoise(I,'gaussian',0,0.02);
J1=im2double(J);
K=K+J1;
end
K=K/100;%求图像的平均
figure;imshow(K),title('相加求平均后的图像');
三、实验步骤
1．打开计算机，启动MA TLAB程序；程序组中“work”文件夹中应有待处理的图像文件;
2．仔细阅读本实验的实验目的及内容;
3．给lena.bmp这幅图像加入椒盐噪声，运用for循环，将加入噪声后的50幅图像进行图像相加，并进行平均以提高信噪比降低噪声，命名并显示各次操作的结果图像;
4．读出lena.bmp这幅图像，使用双线性插值法，将图像分别放大1.5倍和缩小0.8倍、顺时针旋转45度、从图像中剪切一个矩形区域，分别命名并显示各次运算的结果图像;
5．记录和整理实验报告。
四．实验仪器
1．计算机;
2．MA TLAB程序;
3．移动式存储器;
4．记录用的笔、纸。
五．实验报告内容
1．叙述实验过程；
2．提交实验的原始图像和结果图像。
六、思考题：
1．一个几何运算需要有哪两种算法？
2．双线性插值法与最近邻插值法相比有什么优点？
计算共形几何-USTC
Note: This is mostly copied or translated from the papers of Prof. Xianfeng Gu (https://www.wendangku.net/doc/86941330.html,/~gu/). 计算共形几何 张威应用数学11006059 1引言 共形几何是纯数学中很多学科的交叉领域,比如黎曼曲面理论、微分几何、代数曲线、代数拓扑、偏微分方程、复分析等等.它有很长的历史,至今在现代几何与现代物理中仍然非常活跃.比如超弦理论中的共形场和理论物理中的模空间理论都是当今快速发展的研究领域. 近些年来,随着三维数字扫描仪、计算机辅助几何设计、生物信息和医学成像的快速发展,出现了越来越多的三维数字模型.因此迫切需要有效的算法来表示、处理和使用这些模型.计算共形几何在数字几何处理中扮演了一个重要角色.它已经应用在很多重要的领域,比如曲面修复、光顺、去噪、分片、特征提取、注册、重新网格化、网格样条转换、动画和纹理合成.特别地,共形几何奠定了曲面参数化的理论基础,同时也提供了严格的算法.计算共形几何还应用于计算机视觉中的人脸跟踪、识别和表情转换,医学成像中的脑电图、虚拟结肠镜和数据融合,几何建模中的具有任意拓扑流形上的样条构造. 共形几何之所以如此有用是基于以下一些事实: ?共形几何研究的是共形结构.日常生活中的所有曲面都有一个自然的共形结构,因此共形几何算法非常普遍. ?共形结构比黎曼度量结构更灵活、比拓扑结构更具有刚性.它能处理大量黎曼几何不能有效处理的变换,这些变换还能保持很多拓扑方法会丢失的几何信息. ?共形映射比较容易控制.比如,两个单连通封闭曲面之间的共形映射构成一个6维空间,因此只要固定3个点,这个映射就是唯一的.这个事实使得共形几何方法在曲面匹配和比较中非常有价值. ?共形映射保持局部形状,因此在可视化方面有很好的应用. ?所有的曲面都可以根据共形结构进行分类,而且所有的共形等价类形成一个有限维流形.这个流形有丰富的几何结构,容易对其分析和研究.与之相反,曲面的等距类形成一个难以分析处理的无穷维流形.
解析几何运算处理技巧教师版
解析几何运算处理技巧 考点一 回归定义，以逸待劳 回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果． [典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2 ＝1与双曲线C 2的 公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A.2 B. 3 C.32 D.62 [解题观摩] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得???? ? |AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12， 解得a 2＝2， 故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62 . [答案] D [关键点拨] 本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量． [对点训练] 1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上 有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2＋1|AF |2＋1 解析：选A 由题意可得S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x B x A ＝|BF |－ p 2|AF |－ p 2＝|BF |－1|AF |－1. 2．抛物线 y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为 F ，点P 为该抛物线上的 动点，若点A (－m,0)，则|PF | |P A |的最小值 为________． 解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又 |P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则??? ? |PF ||P A |2 ＝ (x P ＋m )2 (x P ＋m )2＋4mx P ＝ 11＋4mx P (x P ＋m )2 ≥11＋4mx P (2x P ·m )2 ＝1 2(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为2 2 . 答案： 22 考点二 设而不求，金蝉脱壳 设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不 求． [典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3， 0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( ) A.x 245＋y 2 36＝1 B.x 236＋y 2 27＝1 C.x 227＋y 2 18 ＝1 D.x 218＋y 2 9 ＝1 [解题观摩] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2， ??? x 21a 2 ＋y 21 b 2＝1，x 22a 2 ＋y 22b 2 ＝1， ①② ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2) b 2＝0， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2 a 2. 又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝1 2. 又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18， 所以椭圆E 的方程为x 218＋y 2 9＝1. [答案] D [关键点拨] (1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标， 巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题． (2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．
计算几何基础知识整理
计算几何基础知识整理 一、序言 计算机的出现使得很多原本十分繁琐的工作得以大幅度简化，但是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并不简单的通用解决方案，比如几何问题。作为计算机科学的一个分支，计算几何主要研究解决几何问题的算法。在现代工程和数学领域，计算几何在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。在本文中，我们将对计算几何常用的基本算法做一个全面的介绍，希望对您了解并应用计算几何的知识解决问题起到帮助。 二、本基础目录 本文整理的计算几何基本概念和常用算法包括如下内容： 1. 矢量的概念 2. 矢量加减法 3. 矢量叉积 4. 折线段的拐向判断 5. 判断点是否在线段上 6. 判断两线段是否相交 7. 判断线段和直线是否相交 8. 判断矩形是否包含点 9. 判断线段、折线、多边形是否在矩形中 10. 判断矩形是否在矩形中 11. 判断圆是否在矩形中 12. 判断点是否在多边形中 13. 判断线段是否在多边形内 14. 判断折线是否在多边形内 15. 判断多边形是否在多边形内 16. 判断矩形是否在多边形内 17. 判断圆是否在多边形内 18. 判断点是否在圆内 19. 判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内 20. 判断圆是否在圆内 21. 计算点到线段的最近点 22. 计算点到折线、矩形、多边形的最近点 23. 计算点到圆的最近距离及交点坐标 24. 计算两条共线的线段的交点 25. 计算线段或直线与线段的交点 26. 求线段或直线与折线、矩形、多边形的交点 27. 求线段或直线与圆的交点 28. 凸包的概念 29. 凸包的求法 三、算法介绍 1.矢量的概念： 如果一条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(directed
几何运算.
5 几何运算 Geometry operations 5.0图象坐标的变换，改变空间位置（分布）?? ?==) ,(') ,('y x Y y y x X x 5.1二维几何变换：平移、旋转、比例p87 5.2 坐标映射和插值p84- p86, p151 5.3 快速算法p87-88 5.4三维几何变换和透视变换：平移、旋转、比例、透视p88-91 5.5图象剪贴操作p86 1．镜象（Mirror ） 2.垂直镜象 3. 转置(Transpose) ?? ?=-=y y x N x '' ???-==y N y x x '' ???==x y y x '' 4. 90?旋转（Rotation ） 5. 180?旋转 ?? ?=-=x y y N x '' ?? ?-=-=y N y x N x '' 5．1 2D Geometry Transformation 奇次坐标关系：（正变换，逆变换） （1） S caling(Zoom in/ out) ?? ??? ?????????? ? ? ?=????? ???????? ??????? ? ?=????? ??1''10 100011110 010001''y x s s y x y x s s y x y x y x y s y x s x y x ==?',' y x s s ,取值：
1）>=1 放大（zoom in ） 2) <=s<=1 缩小（zoom out ） 3) <0, e.g. s=-1 镜像（mirror ） （2） T ranslation 图象平移y x t t --,，（坐标轴平移y x t t ++,） ???? ? ??????? ??++=????? ???????? ??????? ??--=????? ??1''10010011110010011''y x t t y x y x t t y x y x y x y x t y y t x x -=-=?',' （3） R otation 图象顺时针旋转α，（坐标轴逆时针α） ??? ? ? ??-=????? ???????? ??????? ? ?-=????? ??1000cos sin 0sin cos 111000cos sin 0sin cos 1''ααααααααy x y x y x （4） 组合矩阵 y x y x t t s s , ,,α ????? ??????? ? ??=??? ?? ??1k h g f e d c b 1''y x a y x ，刚体运动下g=h=0,k=1 一般情况下不同变换不可交换： ???? ? ??????? ??????? ??=????? ??11''22 2 222 22 211111111 1y x k h g f e d c b a k h g f e d c b a y x （1） 平移+平移可交换，旋转+旋转可交换 （2） 平移+平移不可交换，平移+比例不可交换 （5） 特例： 1） 镜象（mirror ）变换???-==y N y x x '' 2） 转置（transpose ）? ??==x y y x '' 问题：能否用一般平移、旋转、比例表示？
数字图像处理 几何运算
实验3 图像的几何运算 实验名称：图像的几何运算 实验内容： 图像的几何运算与点运算相对立，几何运算的目的在于改变像素之间的空间位置和空间关系，但没有改变灰度等级值，包括两个独立的算法：空间变换和灰度插值。其中空间变换又包括平移和镜像处理，应用空间变换和灰度插值算法可以实现对图像的缩放和旋转处理。 图像的几何中心作为坐标原点，x轴由左向右递增，Y轴由上至下递增。因此，在进行图像旋转时，是以图像的几何中心为基准进行旋转的;在进行图像缩放时，也是以图像的几何中心为基准，其上下左右均等地向内收缩或向外扩大的。这种坐标转换会使图像变换更自然。另外，在进行几何运算的时候，保持原图像的尺寸大小不变，如果变换后的图像超出该尺寸，超出部分会被截断，而不足部分会以白色像素填充。 本此实验内容包括：图像平移、图像镜像、图像缩放、图像旋转。 实验步骤： 1、界面设计如下： 打开图像代码： private void open_Click(object sender, EventArgs e) { OpenFileDialog opnDlg = new OpenFileDialog(); opnDlg.Filter = "所有图像文件 | *.bmp; *.pcx; *.png; *.jpg; *.gif;" + "*.tif; *.ico; *.dxf; *.cgm; *.cdr; *.wmf; *.eps; *.emf|" + "位图( *.bmp; *.jpg; *.png;...) | *.bmp; *.pcx; *.png; *.jpg; *.gif; *.tif; *.ico|" + "矢量图( *.wmf; *.eps; *.emf;...) | *.dxf; *.cgm; *.cdr; *.wmf; *.eps; *.emf"; opnDlg.Title = "打开图像文件";
简化解析几何运算的技巧
简化解析几何运算的技巧 中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程． 导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量简化，使解题构筑在较高的水平上． [典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2 ＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ， B 分别是 C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A.2 B.3 C.32 D.6 2 答案：D [方法演示] 解析：由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得???? ? |AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝ 32＝6 2 . [解题师说] 本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量． [应用体验] 1．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF | |P A |的最小值为 ________．
解析几何中计算方法与技巧
解析几何中计算方法与技巧 高考中解析几何综合题要求具有较强的计算能力,常规的解题方法必须熟练掌握,在此基础上积累计算经验，掌握计算技巧，则解析几何定可得到高分。 一、巧用韦达定理简化运算 1、过二次曲线C 上一点P （x 0，y 0）作直线l ，求l 与C 另一交点。 例1：求直线y=kx+22－k 与椭圆22x +y 2 =1的交点坐标。 2、合二为一的整体运算 例2：过点P （-1，2）作圆C ：（x-1）2+y 2=1的两条切线，求两条切线的斜率和。 例3：过点P （x 0，-4 1 ）作抛物线y=x 2的两条切线，求证：切点弦过定点。 例4：抛物线y 2=2x 上动点P ，过点P 作⊙C ：（x-1）2+y 2=1的切线PM ，PN 分别交y 轴于M ，N 两点，求△PMN 面积的最小值。 例5：过抛物线x 2=2y 的焦点作斜率分别为k 1、k 2的两条直线l 1和l 2，若l 1交抛物线 于A 、B 两点，l 2交抛物线于C 、D 两点。以线段AB 为直径作圆C 1，以CD 为直 径作圆C 2。若k 1+k 2=2，求两圆C 1与C 2的公共弦所在直线方程。 二、利用计算的对称性避免重复运算 引例：过原点O 作抛物线y 2=2px 的两条互相垂直的弦OA 与OB ，求证：AB 直线过定点。 例1：设椭圆E ：22x +y 2 =1上一点A （1，2 2），过A 作两条关于平行y 轴的直线对 称的两条直线AC ，AD 交椭圆E 于另两点C 和D 。求证：CD 直线的方向确定。 例2：设曲线C 1：4 2x +y 2 =1与曲线C 2：y=x 2-1。C 2的顶点为M ，过原点O 的直线l 与 C 2相交于A 、B 两点，直线MA 、MB 分别与C 1相交于 D 、 E 。 （1）证明：MD ⊥ME ； （2）若△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1、S 2，问是否存在直线l 使得21S S =32 17？
小学数学几何图像图形计算公式
小学数学几何图像图形计算公式
加数+加数=和，加数=和-另一个加数因数×因数=积，因数=积÷另一个因数被减数-减数=差，减数=被减数-差，被减数=差+减数被除数÷除数=商，被除数=商×除数，除数=被除数÷商 被除数÷除数=商……余数，除数=（被除数-余数）÷商，被除数=商×除数+余数 立体图形 图形名称图形总棱长（L）公式表面积（S）公式体（容）积（V）公式 正方体（12条棱，6个面，8个顶点）总棱长=棱长×12 L=12a 棱长=棱长总和÷12 S=一个面的面积×6 S=a×a×6 =6a2 体积=棱长×棱长 ×棱长 V= a×a×a=a3 长方体总棱长=长×4+宽×4+高× 4=4（长+宽+高） L=4（a+b+h） 长=棱长总和÷4-宽-高 宽=棱长总和÷4-长-高 高=棱长总和÷4-长-宽 表面积=(长×宽+长×高 +宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) 无盖长方体外表面积 =长×宽+（长×高+宽× 高）×2 体积=长×宽×高 V=abh 圆柱体侧面积=底面周长×高 S侧=ch=dπh=2πrh 表面积=底面积×2+侧面积 S表= S底×2+ S侧 圆柱的表面积公式： （1）有两个底面的圆柱的表面积公式： S表= S底×2+ S侧=πr2×2+πdh =πr2×2+2πrh=2πr（r+h） （2）只有1个底面的圆柱的表面积公式： S表= S底+ S侧=πr2+πdh =πr2+2πrh=πr（r+2h） （3）两个底面都没有的圆柱的表面积公式：S表=S 侧 =ch =πdh =2πrh 体积=底面积×高 ＝侧面积÷2×半 径 V= S底×h =πr2 h 圆筒 大圆柱直径为D，半径为R，周长为C；小圆柱直径 为d，半径为r，周长为c；高都为h S表= S大圆柱侧+ S小圆柱侧+（S大圆柱底－S小圆柱底）×2 = C大圆柱h+c小圆柱h+（πR2－πr2）×2 =Dπh+dπh+（πR2－πr2）×2 =πh（D+d）+2π（R2－r2） =2πh（R+r）+2π（R2－r2） V= V大圆柱－V小 圆柱 = S大圆柱底×h －S小圆柱底×h =πR2h－πr2× h =πh（R2－r2）a a b h
解析几何种技巧(终审稿)
解析几何种技巧 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
本文节选自《试题调研》数学第2辑的“热点关注”，敬请品读（版权所有，转载请注明出处）。 陕西胡波 从近几年全国各省市新课标高考试题来看，解析几何主要考查直线与圆、直线与圆锥曲线的基本知识等，在选择题、填空题、解答题中都有出现，一般试卷出现3小题1大题.综合类试题多涉及函数、导数、方程、不等式、平面向量、平面几何等知识，所考查的知识点较多，试题难度中等偏上.试题往往会出现计算量较大的情况，怎样在解题中巧妙地降低计算量、减少运算错误是我们广大考生在学习中要体会和感悟的.下面通过一些典型例题的解析，说明解析几何中的解题技巧,以供读者参考学习. 1.活用定义返璞归真 圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性.许多性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简. 2.活用平几 峰回路转 解决解析几何问题时，往往需要求解涉及含多个参数的两个以上方程组成的方程组，运算较为复杂，这对于运算能力稍差的同学，很难准
确迅速求解.若能联想题目所涉及图形的几何性质，并利用相关性质来解决问题，常常可以峰回路转，达到巧妙解题的效果. 【点评】本题重点考查运算能力，这对考生提出了较高的要求.通过对比上述通法与巧法，读者很容易看出：运用平面图形的有关几何性质来解决一些解析几何问题，可以有效地避免复杂的代数运算，达到简捷解题的目的. 3.巧设坐标?水到渠成 【点评】本题如果按常规设点Q(x,y),必将得到一个二元二次方程组,这将加大计算量,使问题复杂化. 4.数形结合一目了然】 … 5.引进参数柳暗花明 … 6.设而不求欲擒故纵 … 7.整体代换绝处逢生 … 8.引入向量轻车熟路 … 更多有关解析几何的解题技巧详见《试题调研》第2辑—三角函数、平面向量、解析几何。本辑定会让你识得了三角、解得了几何、破得了向量，真正做到好题先体验，笑在百花前！
几何证明与计算(解析版)
几何证明与计算 考向1以圆为背景的特殊四边形的动态探究题 1.（2019年河南省中原名校中考第三次大联考数学试卷）如图，AB为⊙O的直径，射线AG为⊙O的切线，点A为切点，点C为射线AG上任意一点，连接OC交⊙O于点E，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD，DE，O D． （1）求证：△OAC≌△ODC； （2）①当∠OCA的度数为时，四边形BOED为菱形； ②当∠OCA的度数为时，四边形OACD为正方形． 【答案】（1）证明见解析；（2）①∠OCA＝30°，②∠OCA＝45°． 【解析】 （1）依据SAS可证明△OAC≌△ODC； （2）①依据菱形的四条边都相等，可得△OBD是等边三角形，则∠AOC=∠OBD=60°，求出∠OCA=30°；②由正方形的性质得出∠ACD=90°，则∠ACO=45°． 【详解】（1）证明：∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∵BD∥OC， ∴∠AOC＝∠B，∠DOC＝∠ODB，
∴∠AOC＝∠COD， ∵OA＝OD，OC＝OC， ∴△OAC≌△ODC（SAS）； （2）①∵四边形BOED是菱形， ∴OB＝D B． 又∵OD＝OB， ∴OD＝OB＝D B． ∴△OBD为等边三角形， ∴∠OBD＝60°． ∵CO∥DB， ∴∠AOC＝60°， ∵射线AG为⊙O的切线， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∴∠OCA＝∠OAC﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°， ②∵四边形OADC是正方形， ∴∠ACD＝90°， ∵∠ACO＝∠DCO， ∴∠OCA＝45°， 故答案30°，45°． 【点睛】本题主要考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、等边三角
解析几何简化运算的几种方法(含答案)
博文教育讲义 课题：简化解析几何运算方法 教学目标：提高学生简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结 教学重点：简化运算方法归纳 教学难点：有关的规律总结与运用 教学过程： 解析几何的本质特征是几何问题代数化，就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代数问题，这提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出较高要求。其实，只要有简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。 1.回归定义 圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简。 例1 过椭圆左焦点倾斜角为 60的直线交椭圆于点B A ,且FB FA 2=，则此椭圆离心率为._____ 解析 本题的常规解法是：联立?? ?? ?+==+)(3,122 22c x y b y a x 再结合条件FB FA 2=求解，运算量大，作为填空题，不划算！如图1，考虑使用椭圆的定义和有关平面几何性质来求解： )2(31)(31B B A A B B A A B B FM '+'='-'+'= )2(31e BF e AF +=， 另一方面，在F C B Rt '?中C F BF C BF '=?='∠260 , 故.2 BF e BF M C C F FM += '+'=于是 =+)2(31e BF e AF 2 BF e BF FM +=， 又FB FA 2=，所以可得.3 2 =e 练习：设12F F ，是双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使 () 220.OP OF F P +?= （O 为坐标原点），且123PF PF = ，则双曲线的离心率是（ ） 32 31. .32. .312 2 A B C D ++++ 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，2=,OP OF OQ + 2OQ F P ∴⊥ 2OQ F P 且必过的中点.可知12PF F ?为直角三角形. 这就为用定义法求离心率创造了条件. 【解析】不妨设双曲线的半焦距c=1,.令 ( ) 21=,3,231PF r PF r a r =∴= - 则，1290,F PF ∠=?但是 O A B A ' B 'F x y M 1 图C C 'x y P O F 1 F 2 Q M
几何计算公式大全
几何体计算公式大全 长方形的面积=长×宽 长方形的周长=(长+宽)×2 正方形的周长=边长×4 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= (长×宽+长×高＋宽×高)×2 长方体的体积=长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体(正方体、圆柱体) 的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C与面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a与b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长 α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角S＝ah ＝absinα 菱形a－边长 α－夹角 D－长对角线长
d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形a与b－上、下底长 h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆r－半径 d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 ＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 ＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 圆环R－外圆半径 r－内圆半径 D－外圆直径 d－内圆直径 S＝π(R2-r2) ＝π(D2-d2)/4 椭圆D－长轴 d－短轴S＝πDd/4 立方图形 名称符号面积S与体积V 正方体a－边长S＝6a2 V＝a3 长方体a－长 b－宽 c－高S＝2(ab+ac+bc) V＝abc 棱柱S－底面积 h－高V＝Sh 棱锥S－底面积 h－高V＝Sh/3 棱台S1与S2－上、下底面积 h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体S1－上底面积 S2－下底面积 S0－中截面积
简化解析几何运算技巧专题
专题：简化解析几何运算的5个技巧 中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程． 以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上． [典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2 ＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1， C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A ．2 B ． 3 C ．32 D ． 62 [解析] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得???? ? |AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12， 解得a 2＝2， 故a ＝2．所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝6 2 ． [答案] D [方法点拨] 本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量． [对点演练] 抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF | |P A | 的最小值为________． 解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋
高考数学解析几何实用运算技巧
高考数学解析几何实用运算技巧 数学解析几何运算技巧：分直线与圆，主要的技巧就是数形结合，就是一定要画图才 可以。比如直线的问题，不管是垂直还是平行的这种，都有可能斜率不存在，所以你只要 画个图，多画几种情况就可以了。直线与圆的问题，经常用的就是圆心到直线的距离，半 径和弦长的一半组成直角三角形，然后比如相切的问题，也是转化为直角三角形求解的呢，所以对于直线与圆的问题套路经常是这么处理，还有最大值最小值的问题，都是画图后做 对称，或者转化就会变成比较好解决的问题，所以不会的话就画图思考吧。 数学解析几何运算技巧：椭圆抛物线和双曲线了，这一块说起来就长了，因为圆锥曲 线的问题还是有很多的套路的，首先套路是：设直线方程考虑斜率哦，联立圆锥曲线方程，消元得到一个方程后，分类讨论二次系数为0的问题，如果为0，可以直接求解，如果不 为0，下一步就是判别式大于等于0，并且韦达定理表示出来，这是套路，基本上有个题 目你这么做就算不对的话也可以拿到几分了呢。 数学解析几何运算技巧一、以纲为纲，明晰考试要求 所谓“纲”，主要指《考试说明》和《教学大纲》。简单地说，《考试说明》就是对 考什么、考多难、怎样考这三个问题的具体规定和解说。《教学大纲》则是编写教科书和 进行教学的主要依据，也是检查和评定学生学业成绩、衡量教师教学质量的重要标准。我 们可以结合上一年的高考数学评价报告，对《考试说明》进行横向和纵向的分析，发现命 题的变化规律。 数学解析几何运算技巧二、以本为本，把握通性通法 近几年高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，强调“注意通性通法，淡 化特殊技巧”。就是说高考最重视的是具有普遍意义的方法和相关的知识。例如，将直线 方程代入圆锥曲线方程，整理成一元二次方程，再利用根的判别式、求根方式、韦达定理、两点间距离公式等可以编制出很多精彩的试题。尽管复习时间紧张，但我们仍然要注意回 归课本。回归课本，不是要强记题型、死背结论，而是要抓纲悟本，对着课本目录回忆和 梳理知识，把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进 行强化训练、复习才有实效。 数学解析几何运算技巧三、以“错”纠错，查漏补缺 这里说的“错”，是指把平时做作业中的错误收集起来。高三复习，各类试题要做几 十套，甚至上百套。如果平时做题出错较多，就只需在试卷上把错题做上标记，在旁边写 上评析，然后把试卷保存好，每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。在看参考书时，也可以把精彩之处或做错的题目做上标记，以后再看这本书时就会有所侧重。查漏补缺的过程就是反思的过程。
(完整版)初一几何线段的计算专题
F A 专题：线段的计算 一、方程思想（数形结合） 1．如图所示，P 是线段AB 上一点，M ，N 分别是线段AB ，AP 的中点，若AB=16，BP=6，求线段MN 的长． 举一反三： 1．如图，AB=24cm ，C 、D 点在线段AB 上，且CD=10cm ，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，求线段MN 的长。 2．如图，E 、F 分别是线段AC 、AB 的中点，若EF=20cm ，求BC 的长。 3．如图，已知AB=20，C 为AB 的中点，D 为CB 上一点，E 为BD 的中点，且EB=3，求CD 的长。 4．如图，C 、D 、E 将线段分成2：3：4：5四部分，M 、P 、Q 、N 分别是线段AC 、CD 、DE 、EB 的中点，且 MN=21，求PQ 的长。 5．如图，延长线段AB 到C ，使BC=2AB ，若AC=6cm ，且AD=DB ， BE ：EF ：FC=1：1：3，求DE 、DF 的长。 B E D C A 第3题 Q N C A D 第4题 C 第5题
6、如图，同一直线上有A 、B 、C 、D 四点，已知,2 5 ,32CB AC AD DB ==CD=4cm ，求AB 的长。 7、如图，B 、C 两点把线段AD 分成2：3：4三部分，M 是AD 中点，CD=8， 求MC 的长. 二、分类思想 线段AB 、BC 均在直线l 上，若AB=12cm ，AC=4cm ，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 的长为_______. 举一反三： 1、 已知线段AB=8，在直线AB 上画线段BC ，使它等于3，求线段AC 的长 2、 已知，点A 在数轴上的点为-10，点B 在数轴上的点为14，点C 在数轴上，且AC ：BC=1:5，求点C 对应的 数 3、 P 是定长线段AB 的三等分点，Q 是直线AB 上一点，且AQ-BQ=PQ,求PQ:AB 的值 4、 已知，线段AB=10，C 、D 为直线AB 上的两点，且AC=6，BD=8，求线段CD 的长 三、动态问题 1、如图，直线AB 上有一点P ，点M 、N 分别为线段PA 、PB 的中点，AB=14. (1) 若点P 在线段AB 上，且AP=8，求线段MN 的长度。 N M B A P A B C D . . . . A B C D
解析几何中的简化运算
解析几何中的简化运算 发表时间：2013-04-23T11:33:42.797Z 来源：《教育学文摘》2013年3月总第79期供稿作者：◆杨福强 [导读] 朗读的形式纷繁多样，不一而足，但各种形式的朗读有各自的功能和适用范围。 ◆杨福强山东省平度开发区高中266700 在解析几何题目时，经常有这样的感觉，思路易找，但计算量太大，往往只开个头做不出正确结果。因而在教学中引导学生探索简便易行的方法降低运算量，是培养和提高学生分析解决问题能力的重要一环。 下面介绍几种简化解析几何运算的方法和技巧： 一、定义法 与圆锥曲线的焦点、焦半径有关的问题，可用定义简化解题步骤。 例1.已知双曲线16x2-9y2=144，设F1、F2为双曲线的左右焦点，设P在双曲线上且|PF1|.|PF2|=32，求∠F1PF2的大小。解：∵方程是- =1，∴a=3，c=5； 又||PF1|-|PF2||=6且|PF1|·|PF2|=32， ∴|PF1|2+|PF2|2-64=36，∴|PF1|2+|PF2|2=100， ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴∠F1PF2=90°。 二、点差法 与直线和圆锥曲线相交于弦的中点，与斜率有关的问题，运用点差法可获得简捷而巧妙的解题方法。 例2.已知抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一弦使它恰好被点P平分，求此弦所在的直线方程。 解：设弦的两端点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），斜率为k， ∵y12=6x1，y22=6x2， 两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=6（x1-x2）， ∴= 。∵y1+y2=2，∴k=3， ∴所求弦所在直线方程为y-1=(3(x-4)， 即3x-y-11=0。 例3.已知椭圆+y2=1，求过点A（2，1）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程。 解：设弦的两端点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），中点为（x，y），则： +y12=1，+y22=1；两式相减得： +（y1+y2）（y1-y2）=0 ∴＋(y1+y2) =0，∴x1+x2=2x，y1+y2=2y， ∴x+2y =0；又= ， ∴x+2y =0，∴x2+2y2-2x-2y=0， ∴所求的弦中点的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0（夹在椭圆内的部分）。 三、几何法 在解决直线与二次曲线的问题时，若恰当运用平面几何性质可避免烦琐的运算。 例4.在直线L：2x+y+3=0上求一点P，使由P向圆Q：x2+y2-4x=0引的切线长最短。 解：（x-2）2+y2=4，如图，设切点为A，∴∠PAQ=90°；∵|PA|2=|PQ|2-4，∴当|PQ|最小时|PA|取最小值。 这时PQ⊥l。∵PQ的方程是y= （x-2）， 由， 可得P点坐标是 （- ，- ）。 四、对称法 解析几何中有许多题都涉及到对称，如光线反射、角平分线、中垂线等，巧妙运用对称可使思路清晰明了，问题化繁为简。例5.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B与∠C的平分线分别是x=0和y=x，求直线BC的方程。
几何图形及计算公式
一。几何图形及计算公式
平面几何图形和立体几何图形。包括面积体积表面积等等公式三角形 面积 1）S=1/2底*高 2）S=1/2*意两边的乘积*这两边夹角的正弦值（已知两边及其夹角的大小） 3）S=根号下p(p-a)(p-b)(p-c)---------------------(海伦公式：已知三边的长，p=周长/2） 分类：钝角直角锐角 特例:等边三角形：S=四分之一倍根号三*边长的平方
等腰直角三角形：S=1/2倍直角边的平方 注：顶角为36°的等腰三角形也很重要 性质：正弦定理： sinA/a=sinB/b=sinc/C 余弦定理： a^2=b^2+c^2-2bc cosA b^2=a^2+c^2-2ac cosB c^2=a^2+b^2-2ab cosA 三角形2条边向加大于第三边. 三角形内角和=180度 四边形 梯形：S=（上底+下底）*高/2 平行四边形：S=底*高 长方形：S=长*宽 正方形：S=边长*边长 内角和为360° 多边形：内角和为（n-2)*180° 面积：具体问题具体分析（可用切割法划为简单图形计算） 圆：s=πr^2 周长=2πr 性质：园内以直径为一边的圆周三角形为直角三角形，且直径所对的角为直角相同弧长所对的圆心角为其圆周角的两倍 弦切角=圆周角=1/2圆心角 过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直
立体 棱柱：V=底面积*高（四棱柱可切为6个三棱锥） 椎体：V=C底面积*高（C为一常数，三棱柱时为1/3;正三棱锥很重要） 球：S=4πr^2 V=4/3倍πr^3 提问人的追问 2010-01-03 16:18 很清晰。但好像还不是很完整，比如说扇形的，还有椎体，台体。还有像问一下，椎体哪里的c为一常数是怎么看的 回答人的补充 2010-01-03 16:36 嗯~2扇形：S=顶角/360°*（πr^2） 弓形：S=相应扇形的面积-相应三角形的面积 椎体体积的计算时始终记住底面积乘以高然后根据其特点确定C （因为底面积乘以高为四棱柱的体积所以只要确定几个这样的椎体构成一个四棱柱则 C=1/n)上面那个地方写错了应该是1/6 更为复杂的立体一定要用切割法或是互补法 几年没碰过了忘了好多还有什么遗漏的告诉我我再看一下能不能记起 提问人的追问 2010-01-03 16:43 弧长公式。用不同的公式表示 回答人的补充 2010-01-03 16:54 因弧度数=弧长/半径 所以1）弧长=弧度*半径 又 2）弧长=（圆心角/360°）*周长 3）在物理方面弧长=角速度*半径*时间 提问人的追问 2010-01-03 17:18 弦切角=圆周角=1/2圆心角可以帮我画个图吗 回答人的补充 2010-01-03 17:34
图像的代数运算和几何运算
. 《电子产品辅助设计与仿真》 课程考核报告 基于Matlab的通信系统设计与仿真 ——图像的代数运算和几何运算 系部：电子与信息工程系 专业班级： 姓名： 学号： 指导教师： 完成日期2013年12月
目录 1引言 (1) 2课程设计要求 (2) 2.1课程设计题目 (2) 2.2课程设计目的 (2) 2.3设计要求 (2) 2.4实验设备与器材 (2) 3图像的算法介绍 (3) 3.1代数运算 (3) 3.1.1图像加法 (3) 3.1.2图像减法 (3) 3.2 几何运算 (4) 3.2.1图像放大 (4) 3.2.2图像缩小 (4) 3.2.3图像旋转 (5) 4系统运行结果 (6) 4.1 图像加法运算结果 (6) 4.2 图像减法运算结果 (6) 4.3 图像放大运算结果 (7) 4.4 图像缩小运算结果 (7) 4.5 图像旋转运算结果 (8) 5体会与收获 (9) 参考文献 (10) 附录 (11)
2013.12 电子与信息工程系电子产品辅助设计与仿真 1引言 本设计主要是利用MATLAB集成环境下的M文件，编写程序来实现图像的代数运算和几何运算，对各算法所对应生成的图像进行比较。在课程设计中，系统开发平台为Windows XP，使用工具软件为MATLAB 7.1。在该平台运行程序完成了对图像的算术运算。图像处理(image processing)，用计算机对图像进行分析，以达到所需结果的技术。又称影像处理。基本内容图像处理一般指数字图像处理。数字图像是指用数字摄像机、扫描仪等设备经过采样和数字化得到的一个大的二维数组，该数组的元素称为像素，其值为一整数，称为灰度值。图像处理技术的主要内容包括图像压缩，增强和复原，匹配、描述和识别3个部分。常见的处理有图像数字化、图像编码、图像增强、图像复原、图像分割和图像分析等。图像处理一般指数字图像处理。在本次设计中实现了图像加法、图像减法、图像放大、图像缩小以及图像旋转。 1