专题7：立体几何

专题七：立体几何

一、选择题

错误！未指定书签。 1．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一

个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为

（ ）

A ．

35003

cm π

B ．

38663

cm π

C ．

313723

cm π

D ．

320483

cm π

【答案】A

2错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）设,m n 是两条不同的直线,

,αβ是两

个不同的平面,下列命题中正确的是

（ ）

A ．若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥

B ．若//αβ,m α?,n β?,则//m n

C ．若m n ⊥,m α?,n β?,则αβ⊥

D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥

【答案】D

3错误！未指定书签。 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为

（ ）

A ．1:2

B ．1:4

C ．1:8

D ．1:16

【答案】C

4错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案）已知正四棱柱

1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于

（ ）

A ．

2

3

B ．

33

C ．

23

D ．

13

【答案】A

5错误！未指定书签。 ．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

（ ）

A ．168π+

B ．88π+

C ．1616π+

D ．816π+

【答案】A

错误！未指定书签。 ．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体

组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有

（ ）

A ．1243V V V V <<<

B ．1324V V V V <<<

C ．2134V V V V <<<

D ．2314V V V V <<<

【答案】C

错误！未指定书签。 ．（2013年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方

体的正视图的面积不可能．．．等于 （ ）

A ．1

B ．2

C ．

2-1

2

D ．

2+1

2

【答案】C

错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱

台的体积是

（ ）

A ．4

B ．14

3 C ．163

D ．6

【答案】B

6错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥

n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥??,则

（ ）

1 2

2

1

1

正视图

俯视图

侧视图

第5题图

A ．βα//,且α//l

B ．βα⊥,且β⊥l

C ．α与β相交,且交线垂直于l

D ．α与β相交,且交线平行于l

【答案】D

7错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）已知三棱柱

111ABC A B C -的侧棱与底

面垂直,体积为9

4,底面是边长为3的正三角形.若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为

（ ）

A ．512π

B ．3π

C ．4π

D ．6π

【答案】B

8错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）某几何体的三视图如题

()5图所示,则该

几何体的体积为 （ ）

A ．

560

3 B ．

580

3

C ．200

D ．240

【答案】C

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都

在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为

（ ）

A ．

317

2

B ．210

C ．

132

D ．310

【答案】C

错误！未指定书签。．（2013年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ,

正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那么m n +=

（ ）

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

【答案】A

9错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））一个四面体的顶点在空间直角坐标系

O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正

视图可以为

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

10错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）在下列命题中,不是公理．．

的是 （ ）

A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B ．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

C ．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内

D ．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A

11错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂

足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有

21PQ PQ =,则

（ ）

A ．平面α与平面β垂直

B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为0

45 C ．平面α与平面β平行

D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为0

60

【答案】A

12错误！未指定书签。．（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是

【答案】D 二、填空题

13错误！未指定书签。．（2013年高考上海卷（理））在xOy 平面上,将两个半圆弧2

2(1)

1(1)x y x -+=≥和

22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D 绕y 轴旋转一周

而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为2

418y ππ-+,试利用祖暅原理、一个平

放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为

__________

【答案】2

216ππ+.

14错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为_______.

1

12

1

【答案】

3

π

15错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案）已知圆O 和圆K 是球O 的

大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,3

2

OK =,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60,则球O 的表面积等于______.

【答案】16π

16错误！未指定书签。．（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线

段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.

【答案】

25

5

17错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））如图,在三棱柱ABC

C B A -1

11中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为

1D

1B

P

D 1

C C

E

B

A

1A

2V ,则=21:V V ____________.

【答案】1:24

18错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）若某几何体的三视图(单位:cm)如图所

示,则此几何体的体积等于________2

cm .

【答案】24

19错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长

为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号

).

①当102

CQ <<

时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当3

4CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足

1113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S 的面积为6

2

.

【答案】①②③⑤

20错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,则该几何

体的体积是____________.

A B

C

A

D

E

F B

C

4

3 2

3

3

正视图

侧视图

俯视图

（第12题图）

【答案】1616π-

21错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）已知某一多面体内接于一个简单组合体,

如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是

_______________

【答案】12π

22错误！未指定书签。．（2013年上海市春季高考数学试卷(）在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A

B 与1B

C 所成角的大小为_______

【答案】3

π

三、解答题

23错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的

平面,C 是圆上的点.

(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；

(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值

D 1 C 1 B 1

A 1

D C A

B

【答案】

24错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）如图,四棱锥P ABCD

-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3

BC CD AC ACB ACD π

===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.

(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.

【答案】

25错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）如图,圆锥顶点为

p .底面圆心为o ,其

母线与底面所成的角为22.5°.AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦,轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.

(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠.

【答案】解: (Ⅰ) PAB P D ,

////C m AB CD CD PCD AB PCD ?=??设面面直线且面面

//AB m ?直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//?? .

所以,ABCD D P PAB

的公共交线平行底面与面面C . (Ⅱ) r

PO

OPF F CD r =

??=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ?

-?

=?∠==????=

?5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )

223(3)],1-2(3[2

1

cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=??-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.

法二:

26错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平

面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且

QC AQ 3=.

(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为0

60,求BDC ∠的大小.

【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取M D 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ?面

BDC ,所以//PQ 面BDC ;

A

B

C

D

P

Q

M

（第20题图）

方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1

//

2

PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11

//

//42

QH AD MD ,所以////PO QH PQ OH ∴,且OH BCD ?,所以//PQ 面BDC ; (Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以CG BMD ⊥,过G 作GH BM

⊥于H ,连接CH ,所以CHG ∠就是C BM D --的二面角;由已知得到813BM =+=,设BDC α∠=,所以

cos ,sin 22cos ,22cos sin ,22sin ,CD CG CB

CD CG BC BD CD BD

αααααα===?===, 在RT BCG ?中,2sin 22sin BG

BCG BG BC

ααα∠=∴=∴=,所以在RT BHG ?中,

22

122sin 3322sin HG

HG α

α=∴=,所以在RT CHG ?中

2

22cos sin tan tan 60322sin 3

CG CHG HG αα

α

∠===

= tan 3(0,90)6060BDC ααα∴=∴∈∴=∴∠=;

27错误！未指定书签。．（2013年上海市春季高考数学试卷(）如图,在正三棱锥111ABC A B C -中,1

6AA =,异面直线1

BC 与1AA 所成角的大小为

6

π

,求该三棱柱的体积.

【答案】[解]因为1CC 1AA .

所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角,即1BC C ∠=6

π. 在Rt 1BC C ?中,113

tan 6233

BC CC BC C =?∠=?

=, 从而23

334

ABC S BC ?=

=, 因此该三棱柱的体积为1336183ABC V S AA ?=?=?=.

28错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））本小题满分14分.

如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.

求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.

【答案】证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点

∵E.F 分别是SA.SB 的中点 ∴EF∥AB

又∵EF ?平面ABC, AB ?平面ABC ∴EF∥平面ABC 同理:FG∥平面ABC

又∵EF FG=F, EF.FG ?平面ABC∴平面//EFG 平面ABC (2)∵平面⊥SAB 平面SBC 平面SAB 平面SBC =BC AF ?平面SAB

AF⊥SB

∴AF⊥平面SBC 又∵BC ?平面SBC ∴AF⊥BC

又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ?平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA ?平面SAB∴BC⊥SA

29错误！未指定书签。．（2013年高考上海卷（理））如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线BC 1平行

于平面DA 1C,并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.

B 1

A 1

C 1

A

C

B

A

B

C

S G

F

E

D 1

C 1

B 1

A 1

D C B

A

【答案】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体,故1111//,AB C D AB C D =,

故ABC 1D 1为平行四边形,故11//BC AD ,显然B 不在平面D 1AC 上,于是直线BC 1平行于平面DA 1C; 直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h

考虑三棱锥ABCD 1的体积,以ABC 为底面,可得111(12)1323

V =

????= 而1AD C ?中,11

5,2AC DC AD ===,故13

2

AD C S ?= 所以,13123233V h h =??=?=,即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为2

3

.

30错误！未指定书签。．（2013年高考湖北卷（理））如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平

面ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.

(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;

(II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足1

2

DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ,

异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.

【答案】解:(I)

EF AC ,AC ABC ?平面,

EF ABC ∴平面

又EF BEF

?平面

EF l ∴ l PAC ∴平面

(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)

第19题图

31错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）如图1,在等腰直角三角形ABC

中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,2CD BE ==,O 为BC 的中点.将ADE ?沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中3A O '=.

(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,3

2,22OC AC AD ===

连结,OD OE ,在OCD ?中,由余弦定理可得

.

C

O B

D

E

A C

D

O

B

E

'A

图1

图2

C D O

B

E

'A

H

C D

O

x E

'A

向量法图

y

z B 222cos455OD OC CD OC CD =+-??=

由翻折不变性可知22A D '=,

所以2

2

2

A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,

理可证A O OE '⊥, 又OD

OE O =,所以A O '⊥平面BCDE .

(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.

结合图1可知,H 为AC 中点,故322OH =

,从而22

302

A H OH OA ''=+= 所以15

cos 5OH A HO A H '∠=

=

',所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为155. 向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,

则()

0,0,3A ',()0,3,0C -,()1,2,0D - 所以()

0,3,3CA '=,()

1,2,3DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则

00n CA n DA ?'?=??'?=??,即330230

y z x y z ?+=??

-++=??,解得3y x z x =-???=??,令1x =,得()

1,1,3n =- 由(Ⅰ) 知,()

0,0,3OA '=为平面CDB 的一个法向量, 所以315

cos ,535n OA n OA n OA '?'=

==?'

,即二面角A CD B '--的平面角的余弦值为155.

32错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱

A 1A ⊥底面ABCD , A

B //D

C , AB ⊥A

D , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2,

E 为棱AA 1的中点.

(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;

(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.

(Ⅲ) 设点M 在线段C

1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为

2

6

, 求线段AM 的长.

【答案】

33错误！未指定书签。．（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB,AB=A A 1,∠BA A 1=60°.

(Ⅰ)证明AB ⊥A 1C;

(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA 1B 1B,AB=CB=2,求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)取AB 中点E,连结CE,1A B ,1A E ,

∵AB=1AA ,1BAA ∠=0

60,∴1BAA ?是正三角形,

∴1A E ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵1CE A E ?=E,∴AB⊥面1CEA

,

∴AB⊥1AC ;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,1EA ⊥AB,

又∵面ABC⊥面11ABB A ,面ABC∩面11ABB A =AB,∴EC⊥面11ABB A ,∴EC⊥1EA ,

∴EA,EC,1EA 两两相互垂直,以E 为坐标原点,EA 的方向为x 轴正方向,|EA |为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -, 有

题

设

知

A(1,0,0),

1

A (0,

3

,0),C(0,0,

3

),B(-1,0,0),则

BC =(1,0,3),1BB =1AA =(-1,0,3),1A C =(0,-3,3),

设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量,

则100BC BB ??=???=??n n ,即30

30

x z x y ?+=??+=??,可取n =(3,1,-1), ∴1cos ,A C n =

11|A C A C ?n |n ||10

5

,

∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为

105

34错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心,

A 1O ⊥平面ABCD , 12A

B AA ==.

(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;

(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.

O

D 1

B 1

C 1

D A

C

B

A 1

专题 立体几何三视图、球

专题七立体几何专题 三视图和球 一、知识清单 1.空间几何体的结构特征 注意区别：1.正三棱柱 2.正四面体 3.直棱柱 4.正棱柱 2. 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用________画法来画，基本规则是： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直。 (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中______________________。平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中__________，平行于y轴的线段长度在直观图中_________________。 3.几何体的三视图 三视图包括_______________,____________,_________________. 三视图的长度特征，三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐” 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 S圆柱侧＝_____S圆锥侧＝_____S圆台侧＝__________ 5.空间几何体的表面积和体积公式

二、实例演练 1.【2017课标II ，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A.90π B.63π C.42π D.36π 【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为221 3634632 V πππ= ???+??=，故选B. 2.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） （A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10 试题分析：该几何体是三棱锥，如图： 图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是 ，故选D. 3.【2018届四川省成都市龙泉第二中学高三10月月考】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A. B. C. D. 【答案】D 故该几何体的表面积 4.【2017课标1，】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 5.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是( ) A ．314 B ．4 C ．3 10 D ．3 【解析】几何体如图，体积为：422 1 3=?，故选择B 11 5341032 V =????=3π4π24π＋34π＋1 222342 S πππ=? ?++?=+（） ，

2019届高考数学一轮复习第七章立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图课时作业20180

第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图 课时作业 A组——基础对点练 1.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体 是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的正视图、侧视图、俯 视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( ) A．①②⑥B．①②③ C．④⑤⑥D．③④⑤ 解析：正视图应为边长为3和4的长方形，且正视图中右上到左下的对角线应为实线，故正视图为①；侧视图应为边长为4和5的长方形，且侧视图中左上到右下的对角线应为实线，故侧视图为②；俯视图应为边长为3和5的长方形，且俯视图中左上到右下的对角线应为实线，故俯视图为③，故选B. 答案：B 2．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为( ) A．8 B．4 3 C．4 2 D．4 解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形．因此，侧视图是一个长为4，宽为3的矩形，其面积S＝3×4＝4 3. 答案：B 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为( )

A ．3 3 B ．2 6 C.21 D ．2 5 解析：由三视图得，该几何体是四棱锥P -ABCD ，如图所示，ABCD 为矩形，AB ＝2，BC ＝3，平面PAD ⊥平面ABCD ，过点P 作PE ⊥AD ，则PE ＝4，DE ＝2，所以CE ＝22，所以最长的棱 PC ＝PE 2＋CE 2＝26，故选B. 答案：B 4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．12＋4 2 B ．18＋8 2 C ．28 D ．20＋8 2 解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S ＝2×1 2 ×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选D. 答案：D 5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

空间立体几何练习题(含答案)

第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长 方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图

高中数学立体几何专题

高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体

的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线 为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥：有一个面是多边形，其余各面是 有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。

第7章 第40讲-立体几何

课时达标第40讲-立体几何 一、选择题 1．若α，β表示两个不同的平面，直线m?α，则“α⊥β”是“m⊥β”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 B解析由面面垂直判定定理得m⊥β，m?α?α⊥β，而α⊥β时，α内任意直线不可能都垂直于β，因此“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B. 2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β D解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β，只有D项不一定成立．故选D. 3．(2019·忻州二中月考)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．下列命题中正确的有() ①若m?β，α⊥β，则m⊥α；②若α∥β，m?α，则m∥β； ③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β. A．①③B．①② C．③④D．②③ D解析由面面垂直的性质定理知若m?β，α⊥β，且m垂直于α，β的交线时，m⊥α，故①错误；若α∥β，则α，β无交点，又m?α，所以m∥β，故②正确；若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故③正确；若α⊥γ，β⊥γ，不能得出α⊥β，故④错误．4．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()

A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 A解析因为AC⊥AB，AC⊥BC1，所以AC⊥平面ABC1.又因为AC?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以C1在底面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是() A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC D解析在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC. 6．(2019·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题： ①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB ⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD. 其中为真命题的是() A．①②B．②③ C．②④D．①④ D解析①如图，取BC的中点M，连接AM，DM.由AB＝AC?AM⊥BC，同理，DM ⊥BC?BC⊥平面AMD，而AD?平面AMD，故BC⊥AD；④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD?BO⊥CD，由AC⊥BD?CO⊥BD?O为△BCD的垂心?DO⊥BC?AD⊥BC.

高中立体几何证明平行的专题

D B A 1 A F 立体几何——平行的证明 【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC。 （Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证： （Ⅰ）C 1D⊥BC； （Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM. 分 析 ： 连 EA ， 易 证 C 1EAD 是 平 行 四 是 （第1题图）

P E D C B A MF -,,AD CD AD BA ⊥⊥//EB PAD 平面E F G M AD CD BD BC AM EFG 求证： AB 1 ABEF ⊥ABCD ABEF ABCD 090,BAD FAB BC ∠=∠=//= 1 2 AD BE //= 12 AF ,G H ,FA FD BCHG ,,,C D F E ） 利用平行 四边形的性质 【例9】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点， 求证： D 1O 2 1 中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ； 分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形 【例11】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ。若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （I ）证法一： 因为 EF 90ACB ∠=? 90,EGF ABC ∠=??. EFG ?BC FG 2 1= ABCD BC AM 2 1=FA ?GM ? A B C D E F G M

高考数学专题复习立体几何专题空间角

立体几何专题：空间角 第一节：异面直线所成的角 一、基础知识 1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ?//a ，b ?//b ，相交直线a ?b ?所成的锐角（或直 角）叫做 。 2.范围： ?? ? ??∈2,0πθ 3.方法： 平移法、问量法、三线角公式 （1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法： 可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式b a = ><=,cos cos θ 求出来 方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 b a ? 代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量 ),,(111z y x a = ),,(222z y x b =2 2 22222 1 2 12 12 12121cos z y x z y x z z y y x x ++++++= ∴θ （3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：θθθcos cos cos 2 1= 二、例题讲练 例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱 1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1= c ，求异面直线D 1B 和AC 所成 的角的余弦值。 方法一：过B 点作 AC 的平行线（补形平移法） A B 1 B 1 A 1D 1 C C D

2020高考数学大二轮复习专题7立体几何第2讲综合大题部分增分强化练文

第2讲 综合大题部分 1．(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点． (1)证明：PO ⊥平面ABC ； (2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 解析：(1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 如图，连接OB .因为AB ＝BC ＝ 22 AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝12 AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB . 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知，PO ⊥平面ABC . (2)如图，作CH ⊥OM ，垂足为H ， 又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423 ，∠ACB ＝45°， 所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin∠ACB OM ＝455 . 所以点C 到平面POM 的距离为455 . 2．(2018·高考全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧 所在平面垂直，M 是上异于C ，D 的点． (1)证明：平面AMD ⊥平面BMC . (2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由． 解析：(1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD . 因为BC ⊥CD ，BC ?平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ， 故BC ⊥DM . 因为M 为上异于C ，D 的点，且DC 为直径， 所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC . 而DM ?平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC .

高考数学专题七立体几何第练空间角与空间距离的求解练习创新

【步步高】（浙江专用）2017年高考数学专题七立体几何第55练 空间角与空间距离的求解练习 训练目标(1)会求线面角、二面角；(2)会解决简单的距离问题. 训练题型(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距离. 解题策略利用定义、性质去“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解. 1.(2015·上海闵行区三模)如图，在底面是边长为a的正方形的四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且PA＝a，则直线PB与平面PCD所成的角的余弦值为() A.1 2 B. 1 3 C. 2 2 D. 3 2 2．(2015·邯郸上学期教学质量检测)在正四棱锥P－ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD 所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成的角为() A．90° B．60° C．45° D．30° 3.如图所示，在三棱锥S—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，SA＝3a，且SA⊥平面ABC，则点A到平面SBC的距离为() A.3a 2 B. a 2 C.5a 2 D. 7a 2 二、填空题 4．(2015·丽水二模)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为平面ABB1A1的中心，则MC1与平面BB1C1C所成角的正切值为________． 5．如图所示，在三棱锥S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且 BC＝1，SA＝ 3 2 ，则二面角S－BC－A的大小为________． 6.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下命题： ①异面直线C1P与CB1所成的角为定值； ②二面角P－BC1－D的大小为定值；

第七章 第七节 立体几何中的向量方法(理)

第七章 第七节 立体几何中的向量方法（理） 1.在正方体111111 ( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．A 1A 解析：如图所示，易证BD ⊥平面AA 1C 1C ，又CE ?平面ACC 1A 1，∴BD ⊥CE . 答案：B 2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ， M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝ 2a 3 ， 则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是 ( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 解析：∵正方体棱长为a ，A 1M ＝AN ＝ 2a 3 ， ∴MB ＝231A B ，CN ＝23 CA ， ∴MN ＝MB ＋BC ＋CN ＝231A B ＋BC ＋23CA ＝23(11A B ＋1B B )＋BC ＋23 (CD ＋DA ) ＝231B B ＋13 11B C . 又∵CD 是平面B 1BCC 1的法向量， 且MN ·CD ＝(231B B ＋1311B C )·CD ＝0， ∴MN ⊥CD ， ∴MN ∥平面B 1BCC 1. 答案 B

3.(2010·陕西八校模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM ，1D N 〉的值为 ( ) A.19 B.49 5 C.29 5 D.23 解析：设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建 立空间直角坐标系，可知CM ＝(2，－2,1)，1D N ＝(2,2，－1)， cos 〈CM ，1D N 〉＝－19， sin 〈CM ，1D N 〉＝459 . 答案：B 4．(2009·上海高考)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝BC ＝AB ＝2，AB ⊥BC ，求二面角B 1－A 1C —C 1的大小． 解：如图，建立空间直角坐标系． 则A (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(0,0,2)，C 1(0,2,2)， 设AC 的中点为M ， ∵BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1. ∴BM ⊥平面A 1C 1C ， 即BM ＝(1,1,0)是平面A 1C 1C 的一个法向量． 设平面A 1B 1C 的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )． 1A C ＝(－2,2，－2)，1A B ＝(－2,0,0)， ∴111120,2220, n A B x n A C x y z ?=-=??=-+-=?? 令z ＝1，解得x ＝0，y ＝1. ∴n ＝(0,1,1)， 设法向量n 与BM 的夹角为φ，二面角B 1－A 1C －C 1 的大小为θ，显然θ为锐角．

立体几何平行垂直问题专题复习

立体几何平行、垂直问题【基础知识点】 一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系： 二、垂直问题

一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 3．直线与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言符号语言性质定理 垂直于同一个平面 的两条直线平行 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直

线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面与平面垂直 【典例探究】 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC -中， ,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB

F D E C1 A1 C A 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ； （Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 例 2. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =， 22AB =，M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点. （Ⅰ）求证：CN ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//CN 平面1AMB ； （Ⅲ）求三棱锥1B AMN -的体积． 【变式1】. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ?为等腰直角 三角形， 90=∠BAC ，且1AA AB =，F E D ,,分别是BC CC A B ,,11的中点。 （1）求证：//DE 平面ABC ； （2）求证：⊥F B 1平面AEF ； （3）设AB a =，求三棱锥D AEF -的体积。 二、线面平行与垂直的性质 例3、如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==，225AB DC == A B C A 1 B 1 C 1 M N

(完整版)空间向量与立体几何题型归纳

空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VADL底面ABC (1)证明AB丄平面VAD (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形，侧棱PA丄底面ABCD AB骑, BC=1 , PA=2, E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N使NE!平面PAC并求出N点到AB和AP的距 离.(易错点，建系后，关于N点的坐标的设法，也是自己的弱项)

3. 如图，在长方体 ABCD-ABCD 中，AD=AA=1, AB=2,点E 在棱 AB 上移动. 证明：DE 丄AD; 当E 为AB 的中点时，求点 A 到面ECD 的距离; 7T AE 等于何值时，二面角 D — EC- D 的大小为-(易错点：在找平面DEC 的法向量的时候，本 来法向量就己经存在了 ，就不必要再去找，但是我认为去找应该没有错吧 ，但法向量找出来了 ， 和 那个己经存在的法向量有很大的差别 ，而且，计算结果很得杂，到底问题出在哪里?) 4. 如图，直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中，底面ABCD 是等腰梯形，AB // CD , AB = 2DC =2, E 为BD i 的中点，F 为AB 的中点，/ DAB = 60° (1)求证：EF //平面 ADD 1A 1; ⑵若BB 1 ~2-，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值. N ： 5 题到 11 题都是运用基底思想解题 5. 空间四边形 ABCD 中, AB=BC=CD AB 丄BC, BC 丄CD , AB 与CD 成60度角，求AD 与BC 所 成角的大小。 (1) (2) (3) A B

2020高考数学大二轮复习专题7立体几何第2讲综合大题部分真题押题精练理

第2讲 综合大题部分 1.(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF . (1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值． 解析：(1)证明：由已知可得BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF . 又BF ?平面ABFD ， 所以平面PEF ⊥平面ABFD . (2)如图，作PH ⊥EF ，垂足为H . 由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF →的方向为y 轴正方向，|BF → |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H -xyz . 由(1)可得，DE ⊥PE . 又DP ＝2，DE ＝1，所以PE ＝ 3. 又PF ＝1，EF ＝2，所以PE ⊥PF . 所以PH ＝ 32，EH ＝32 . 则H (0,0,0)，P ? ? ???0，0，32，D ? ? ???－1，－32，0， DP → ＝? ? ???1，32 ， 32，HP →＝? ????0，0，32. 又HP → 为平面ABFD 的法向量，

设DP 与平面ABFD 所成角为θ， 则sin θ＝????????HP →·DP →|HP →||DP →|＝3 4 3＝34. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为 3 4 . 2．(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4， O 为AC 的中点． (1)证明：PO ⊥平面ABC ； (2)若点M 在棱BC 上，且二面角M -PA -C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 解析：(1)证明：因为PA ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 如图，连接OB . 因为AB ＝BC ＝ 2 2 AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝1 2AC ＝2. 由OP 2 ＋OB 2 ＝PB 2 知PO ⊥OB . 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ∩AC ＝O ，得PO ⊥平面ABC . (2)如图，以O 为坐标原点，OB → 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O -xyz . 由已知得O (0,0,0)，B (2,0,0)，A (0，－2,0)，C (0,2,0)，P (0,0，23)，AP → ＝(0,2,23)． 取平面PAC 的一个法向量OB → ＝(2,0,0)． 设M (a,2－a,0)(0≤a ≤2)，则AM → ＝(a,4－a,0)． 设平面PAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由AP →·n ＝0，AM → ·n ＝0得 ?? ? 2y ＋23z ＝0，ax ＋－a y ＝0， 可取y ＝3a ，得平面PAM 的一个法向量为n ＝(3(a －4)，3 a ，－a )， 所以cos 〈OB → ，n 〉＝ 23a － 2 a －2 ＋3a 2＋a 2 . 由已知可得|cos 〈OB → ，n 〉|＝cos 30°＝32 ，

第七章第七节立体几何中的向量方法(理)

_ 0, 第七章第七节立体几何中的向量方法（理） 题组一 利用空间向量证明平行、 垂直咨询题 1?在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，假设E 为A i C i 中点，那么直线 CE 垂直于 A. AC B. BD C. A i D 解析：如下图，易证BD 丄平面AA i C i C ，又CE?平面ACC i A i , ??? BD 丄CE. 解析：T 正方体棱长为a, A i M _ AN , 3 ? MN // 平面 B i BCC i . 答案：B D. A i A 答案：B 2.如图，在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，棱长为 a, M 、N 分不为A i B 和AC 上的点, A i M = AN _V2a =3 那么MN 与平面BB i C i C 的位置关系是 （ A ?相交 B .平行 C .垂直 DA ) D.不能确定 ? MB _ 2AB , C N _3CA , 2 _ 3( A i B i + _讯+3酣 又??? CD 是平面B i BCC i 的法向量,

< ) 1 9 > Lh 冲 Ct Ai 即 4,5 9 sin 〈 B.；,5 fl M B M = （1,1,0）是平面A i C i C 的一个法向 量. AB = (— 2,0,0), 设平面 A i B i C 的一个法向量是 n = (x, y, z). AC = (— 2,2,— 2), 答案：B 4. （2018上海高考）如图，在直三棱柱 求一面角 B 1一 A 1C — C 1的大小. ABC —A 1B 1C 1 中，AA 1= BC = AB = 2, AB 丄 BC, 设AC 的中点为M , ?/ BM 丄 AC, BM 丄 CC 1. ??? BM 丄平面 A 1C 1C, 解：如图，建立空间直角坐标系. 那么 A(2,0,0), C(0,2,0), A 1(2,0,2), B 1(0,0,2) , C 1(0,2,2), 3.（2018陕西八校模拟）在正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 1 A.9 M 、N 分不为棱 AA 1和BB 1的中点，那么 sin CM , D N >的值为 （ 解析：设正方体棱长为 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建 =(2,— 2,1), cos 〈 DA D 1N = (2,2 , — 1), 2，以D 为坐标原点, C M 立空间直角坐标系，可知 C M , D 1N > = 题组二 利用空间向量求空间角 中,

立体几何复习专题(空间角)(学生卷)

专题一：空间角 一、基础梳理 1.两条异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围：(0, ]2 π 。 （2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥。 （3）求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 2．直线和平面所成的角（简称“线面角”） （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角。 直线和平面所成角范围：[0， 2 π]。 （2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 （3）公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角， 且a 上的射影c 与b 相交成?2角， 则有θ??cos cos cos 21= 。 内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直 线所成角中最小的角。 3．二面角 （1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--。 （2）二面角的平面角： 过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内．．．．．． 作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角 l αβ--的平面角。 说明：①二面角的平面角范围是[]0,π，因此二面 角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。 ②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角， 组成直二面角的两个平面互相垂直。 （3）二面角的求法：（一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定义法；②棱的垂面法；③三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法） （二）间接法：面积射影定理的方法。 （4）面积射影定理： 面积射影定理：已知ABC ?的边BC 在平面α内，顶点A α?。设ABC ?的面积为S ，它在平 ?2?1c b a θP αO A B l B' O' A' B O A βα

高考数学一轮复习第七章立体几何7.1空间几何体的结构及其三视图和直观图课时提升作业理

空间几何体的结构及其三视图和直观图 (25分钟60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.下列结论正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 【解析】选 D.A错误,如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是三棱锥; B错误,如图,若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥; C错误,若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长. 2.已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示,给出下列5个图形: 其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【解析】选B.根据正视图与侧视图的画法知④不能作为俯视图,故选B. 【加固训练】(2016·忻州模拟)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( )

【解析】选C.依题意,此几何体为组合体,若上下两个几何体均为圆柱,则俯视图为A; 若上边的几何体为正四棱柱,下边几何体为圆柱,则俯视图为B; 若俯视图为C,则正视图中应有实线或虚线,故该几何体的俯视图不可能是C; 当上边的几何体为底面是等腰直角三角形的直三棱柱,下面的几何体为正四棱柱时,俯视图为D. 3.(2016·衡阳模拟)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( ) 【解析】选D.如图所示,点D1的投影为C1,点D的投影为C,点A的投影为B,故选D. 【加固训练】用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是图中的( ) 【解析】选B.截去的平面在俯视图中看不到,故用虚线,因此选B. 4.(2016·开封模拟)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )

空间向量与立体几何专题(含答案)

2011届高考专题复习空间向量与立体几何 一、近年考情分析与2011年广东命题走势 纵观07-10广东试题，我们可以发现，此部分内容涉及试题数及分值为： 立体几何的复习要牢固树立以下的思维脉络：证线面垂直(或平行)，转化为证线线垂直(或平行)；证面面垂直(或平行)，转化为证线面垂直(或平行)或证线线垂直(或平行)． 二、广东考题剖析及热点题型讲析 热点1 空间几何体的结构、三视图、直观图 1．（08年广东5）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ） E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图1 图2 B E A ． B E B ． B E C ． B E D ．

2．（10年广东6）如图1,△ABC为正三角形,AA＇//BB＇//CC＇,CC＇⊥平面ABC且3AA＇=3 2 BB＇ =CC＇=AB,则多面体ABC-A＇B＇C＇的正视图(也称主视图)是 ( D ) 3.【2010·陕西文数】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A.2 B.1 C. D. 【答案】B 本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱,所以其 体积为. 4.【2010·全国卷2理数】已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（） A.1 B. C.2 D.3 【答案】C

【解析】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.设底面边长为a ，则高 所以体积 ，设，则 ，当y 取最值时， ，解得a=0或a=4时，体积最大，此时 ，故选C. 5．如下图所示，四边形OABC 是上底为2下底为6，底角为45度的等腰梯形，由斜二侧画法，画出这个梯形的直观图O ’A ’B ’C ’，在直观图中梯形的高为（ C ） A 、 32 B 、1 C 、22 D 、12 6.（全国Ⅰ新卷理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a π (B) 2 73 a π (C) 2 113 a π (D) 25a π 【答案】B 解析：如图，P 为三棱柱底面中心，O 为球心，易知 2331,32AP a a OP a =?==，所以球的半径R 满足： 2222 317( )()3212 R a a a =+=，故2 2743 S R a ππ==球 ． 热点2 点线面的位置关系 空间点、线、面位置关系是立体几何中的重要关系，在高考中，选择题、填空题几乎年年考，且常以棱柱、棱锥、和正方体为背景，主要考查平面的基本性质、空间直线与直线、直线与

(完整版)非常好高考立体几何专题复习

立体几何综合习题 一、考点分析 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①? ? ??????→?? ?????→? ? ?? L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 ★ 底面为矩形 底面为正方形侧棱与底面边长相等 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3 ．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②r（其中，球心到截面的距离为 d、球的半径为R、截面的半径为r） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. B

1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈??： 解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??：关键找“两足”：垂足与斜足 解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。