九年级数学《切线长定理》导学案

九年级数学《切线长定理》导学案

学习目标：

1. 理解切线长的定义；

2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。

学习重点：切线长定理的理解

学习难点：切线长定理的应用

学习过程：

一、知识准备：

1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？

2. 切线的判定和性质是什么？

3. 角的平分线的判定和性质是是什么？

二、引入新课：

过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？

三、课内探究：

（一）探究切线长的定义：

如下图，已知⊙o及⊙o外的一点P，PA与⊙o相切于A点，连接OA、OP，如果将⊙o沿直线OP翻折，与A点重合的点B在圆上吗？如果在，PB是⊙o的切线吗？为什么？

P

引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间

的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

跟踪训练：判断

1. 圆的切线长就圆的切线的长度。（ ）

2. 过任意一点总可以作圆的两条切线。（ ）

3.从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等 （ ） （三）探究切线长定理：

若从⊙O 外的一点引两条切线PA ，PB ，切点分别是A 、B ，连结OA 、OB 、OP ，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。

切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等。 该定理用数学符号语言叙述为：

∵ ∴

跟踪训练：

1. 如图，⊙O 与△ABC 的边BC 相切，切点为点D 与AB 、AC

的延长线相切，切点分别为店E 、F 图中相等的线段有_____________________________。

2. 从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，则从这点到圆的最短距离为________。

3. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB=70°。则∠P=________。

四、典例解析：

例：如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切

E

B

于A、B两点，PA=PB=4cm，∠P=40°，C是劣弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB与点D、E，试求：

（1）△PDE的周长；

（2）∠DOE的度数。

巩固训练：1.如图，PC是⊙O的切线，C是切点，PO交⊙O于点 A，过点A的切线交PC于点D，CD∶DP = 1∶2，AD=2cm，

求⊙O的半径。

例：如图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O

的两条切线，A、B是切点，BC是直径。

（1）求证：AC∥OP

︵

（2）如果∠APC=70°，求 AC的度数

如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O

切于A、B两点，PA=PB=4cm，∠P=40°，C是劣弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB与点D、E，试求：

（1）△PDE的周长；

（2）∠DOE的度数。

2.

五、当堂检测：

1. 如图， P是⊙O外一点，PA、PB 分别与⊙O

相切于点A 、B ，C 是AB 上任一点，过C 作⊙O 的切线分别交 PA 、PB 于点 D 、E 。若△PDE 的周长为12，求PA 的长。

2. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点， ∠OAB=30°。

（1）求∠APB 的度数；

（2）当OA=3时，求AP 的长。

六、课堂小结：畅所欲言，查漏补缺 七、课后提升：

1．如图所示，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，求证：∠ABO=2

1

∠APB 。

2．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点， A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°， ∠DCF=32°，求∠A 的度数。

3. 如图，以 Rt △ ABC 的直角边 AC 为直径作⊙O ，交斜边AB 于点D ， DE 切⊙O 于点 D ，交 BC 于点 E 。若BC=10，求DE 的长。

https://www.wendangku.net/doc/8f1112322.html,

4. 如图，直线1l 、2l 分别切圆O 于A 、B ，且1l ∥2l ，3l 切圆O 于E ，交1l 、2l 于点C 、D ，求证：∠COD=90°

变式：若OC=6，OD=8，则CD= 。

L3

L2

L1

《切线长定理及三角形的内切圆》导学案

https://www.wendangku.net/doc/8f1112322.html, 《切线长定理及三角形的内切圆》导学案 广元市虎跳中学数学组 学习目标 1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明（重点） 3、会作已知三角形的内切圆（重点） 教学流程 一、 知识准备： 1、 只限于演的有几种位置关系？分贝是那几种？ 2、 判断直线与圆相切有几种方法？如何判断直线与圆相切？ 3、 角平分线的判定和性质是什么？ 二、 引入课题 过圆上一点可以作圆的一条切线，那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？从而引入课题。 三、 自学新知： 1自学教材自学教材P 96---P 98，思考下列问题 （1）通过自学教材P98页的探究你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？ （2）通过自学教材P98页的探究可得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． （3））通过自学教材P98页的探究你知道如何证明切线长定理吗？ 如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ． 证明：__________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ （4）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形。 （5）__________________叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的__________三角形，内切圆的圆心是__________的交点，内切圆的圆心叫做三角形的__________。 四．当堂检测 1、过圆外一点作圆的切线，这点和 ，叫做这点到圆的切线长。 2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． 3、与三角形各边都 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的圆叫三角形的内切圆；

《切线长定理》教案新部编本

精品教学教案设计| Excellent teaching plan 教师学科教案 [20 -20学年度第—学期] 任教学科：_________________ 任教年级：_________________ 任教老师：_________________ xx市实验学校 r \?

《切线长定理》教案 教学目标 知识与技能 掌握切线长定理及其运用 过程与方法 通过对圆的切线长及切线长定理的学习，培养学生分析，归纳及解决问题的能力 情感态度 通过学生自己的实践发现定理，培养学生学习的积极性和主动性 教学重点 切线长定理及运用 教学难点 切线长定理的推导 教学过程 一、情境导入，初步认识 活动1：如图，过O O外一点P作O O的切线，回答问题： (1) 可作几条切线？ (2) 作切线的依据是什么？学生回答，教师归纳展示作法： (1)①连0P. ②以0P为直径作圆，交O 0于点A、B.③作直线PA, PB.即直线PA、 PB为所求作的圆的两条直线 (2)由0P为直径，可得0A丄PA, 0B丄PB，由切线判定定理知：PA、PB为O 0的两条切 【教学说明】该活动中作圆的切线实际上是个难点，教师展示后应放手让学生自己再动手作一次，让学生体会运用知识的成功感 二、思考探究，获取新知 1. 切线长定理 (1)切线长定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线 (2)如图，PA、PB分别与O 0相切于点A、B.求证:FA=PB，/ AP0 =/ BP0.

学生完成：由此得出切线的定理? 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角? 2. 切线长定理的运用 例1如图，AD 是O 0的直径，点C 为O O 外一点，CA 和CB 是O 0的切 线， A 和 B 是切点，连接BD. 求证:CO // BD. 【分析】连接AB ,因为AD 为直径，那么/ ABD=90°,即卩BD 丄AB.因此要证CO / BD. 只要证CO 丄AB 即可. 证明：连接AB. ?/ CA , CB 是O O 的切线，点A , B 为切点， ??? CA=CB ,Z ACO = Z BCO , ???CO 丄AB. v AD 是O O 的直径， ???/ ABD=90°,即卩 BD 丄 AB ,「. CO / BD. 例2如图，FA 、PB 、CD 分别切O O 于点A 、B 、E ,已知FA=6，求 △ PCD 的周长. 【教学说明】图中有三个分别从点 P 、C 、D 出发的切线基本图形， 因此可以用切线长定理实现线段的等量转化 . 解：v CA 、CE 与O O 分别相切于点A 、E , ??? CA=CE. v DE 、DB 与O O 分另肪目切于点 E 、B ,「. DE=DB. v PA 、PB 与O O 分别相切于点A 、B , ??? PA=PB. ? △ PCD 的周长 C A PCD =PC+CD+PD=PC+CE+DE + PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB =2PA=12. 四、运用新知，深化理解 1. ________________________________________________________________________ 如图，PA PB 是O O 的切线，AC 是O O 的直径，/ P=40°,则/ BAC 的度数是 _________________ 2. 如图，从O O 外一点P 引O O 的两条切线FA 、PB ,切点分别为A 、B ,如果/ APB=60°, 第1题 图 第2题图

四川省成都市青白江区九年级数学下册 3.7 切线长定理 圆幂定理(二)导学案(新版)北师大版

圆幂定理 圆幂定理（二） 第1课时导学提纲 班级：___________ 姓名：______________ 小组：_______________ 学习目标： 1. 理解切割线定理、割线定理的定义； 2. 掌握切割线定理、割线定理，并能灵活运用切割线定理、割线定理解题. 学习重点：切割线定理、割线定理的理解 学习难点：切割线定理、割线定理的应用 【导学流程】 一、 基础感知 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =? （2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。 即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ?=? C O A P B D C O P B E

二、探究未知 请写出你在第一部分“基础感知”中没弄明白的地方： 3.如图，BC 为⊙O 的直径，且BC=6，延长CB 与⊙O 在点D 处的切线交于点A ，若AD=4，求AB ． 检测： 1.如图，△ABC 的外接圆为⊙O ，延长CB 至Q ，再延长QA 至P ，且QA 为⊙O 的切线 （1）求证：QC 2-QA 2=BC?QC （2）若AC 恰好为∠BAP 的平分线，A B=10，AC=15，求 QA QC 的值．

2.如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E是圆O上的一点，弧AE与弧AC相等，ED与AB交于点F，AF＞BF． （Ⅰ）若AB=11，EF=6，FD=4，求BF； （Ⅱ）证明：PF?PO=PA?PB． 感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！

初中数学导学案

课题：一元一次方程导学案 实际问题与一元一次方程（三） 编写教师： 学生姓名： 导学目标： 1、 掌握应用方程解决实际问题的方法步骤，提高分析问题、解决问题的能力。 2、 通过探索球赛积分表中数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型， 并且明确用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的 解是否符合问题的实际意义。 3、 鼓励学生自主探究，合作交流，养成自觉反思的良好习惯。 重点：把实际问题转化为数学问题，不仅会列方程求出问题的解，还会进行推理判断。 难点：把实际问题转化为数学问题。 教学过程： 一、引入新课 请同学们看课本P106中“某次篮球联赛积分榜”。 学生观察积分榜，并思考下列问题： （1） 用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系； （2） 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 在学生充分思考、合作交流后，教师引导学生分析。 要解决问题（1）必须求出胜一场积几分，负一场积几分，你能从积分榜中得到负一场积 几分吗？你选择其中哪一行最能说明负一场积几分？ 通过观察积分榜，从最下面一行数据可以发现，负一场积1分，那么胜一场积几分呢？ 解：设胜一场积x 分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x 的值。 例如从第三行的方程：23159=?+x ，解得x=2. 用表中其他行可以验证，得出结论：负一场积1分，胜一场积2分. （1） 如果一个队胜m 场，则负(14-m)场，胜场积分为2m ，负场积分为14-m ， 总积分为2m+(14-m)=m+14。 （2） 如果设一个队胜了x 场，则负了（14-x ）场，若这个队的胜场总积分等于负场总积 分，那么列方程为：x x -=142，解得3 14=x . 想一想，x 表示什么量？它可以是分数吗？由此你能得出什么结论？ 这里x 表示一个队所胜得场数，它是一个整数，所以314= x 不符合实际意义。由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分。 拓展延伸： 如果删去积分榜的最后一行，你还能用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系 吗？ 设胜一场积x 分，则前进队胜场积分为10x ，负场积分为（24 -10x ）分，他负了4场，

最新人教版初中九年级数学上册《一元二次方程》导学案

第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 ——一元二次方程的相关概念 一、新课导入 1.导入课题： 情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高? 问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系） 问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题） 问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式 BC2=2AC） 问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？ 这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题） 2.学习目标： （1）会设未知数，列一元二次方程. (2)了解一元二次方程及其根的概念. （3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数. 3.学习重、难点： 重点：一元二次方程的一般形式及相关概念. 难点：寻找等量关系. 二、分层学习 1.自学指导： （1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.

（4）自学参考提纲： ①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到. 先去括号5000-100x-200x+4x2=3600 移项合并同类项4x2-300x+1400=0 系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0 ②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场. 设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场. 整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？ 本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28. 你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到. 去括号x2-12x=28 系数化为1(两边同乘以2) x2-x=56 2.自学：学生可参考自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生： ①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程. ②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求. （2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨. 4.强化： （1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据. （2）练习：根据下列问题列方程 ①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π ②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长. 1 x(x-3)=9 2

《24.2.2 第3课时 切线长定理》教案、导学案、同步练习

《第3课时 切线长定理》教案 【教学目标】 1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明． 2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念． 3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想． 【教学过程】 一、情境导入 新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案． 二、合作探究 探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵ 上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________． 解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．

解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证 △POA≌△POB，∴∠OPA＝1 2 ∠APB＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB. 【类型三】切线长定理的实际应用 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的． 解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm. 探究点二：三角形的内切圆 【类型一】求三角形的内切圆的半径 如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．

最新人教版2018年九年级数学上册全册导学案(含答案)

第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题． 2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念． 重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索． 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项． 一、自学指导．(10分钟) 问题1： 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为__(100－2x)cm __，宽为__(50－2x)cm __．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x 2－75x ＋350＝0__．① 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__． 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x （x －1）2__场．列方程__x （x －1） 2 ＝28__，化简整理，得__x 2－x －56＝0__．② 探究： (1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__． (2)它们最高次数分别是几次？__2次__．

2019-2020九年级数学上册全册导学案

第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题． 2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念． 重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索． 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项． 一、自学指导．(10分钟) 问题1： 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为__(100－2x)cm __，宽为__(50－2x)cm __．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x 2－75x ＋350＝0__．① 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__． 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x （x －1）2__场．列方程__x （x －1） 2＝28__，化简整理，得__x 2－x －56＝0__．② 探究： (1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__． (2)它们最高次数分别是几次？__2次__． 归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程． 1．一元二次方程的定义 等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)． 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax 2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项． 点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a ≠0是一个重要条件，不能漏掉． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)

2019初三数学切线长定理导学案语文

初三数学切线长定理导学案 【】初三数学切线长定理导学案通过学习对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想. 1、教材分析 (1)知识结构 (2)重点、难点分析 重点：切线长定理及其应用.因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点. 难点：与切线长定理有关的证明和计算问题.如120页练习题中第3题，它不仅应用切线长定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来. 2、教法建议 本节内容需要一个课时. (1)在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形;对重要的结论及时总结; (2)在教学中，以观察猜想证明剖析应用归纳为主线，开展在

教师组织下，以学生为主体，活动式教学. 教学目标 页 1 第 1.理解切线长的概念，掌握切线长定理; 2.通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想. 3.通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度. 教学重点: 切线长定理是教学重点 教学难点: 切线长定理的灵活运用是教学难点 教学过程设计: （一）观察、猜想、证明，形成定理 1、切线长的概念. P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长． 引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量;切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 2、观察 利用电脑变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关

数学学案：切线长定理和内切圆

切线长定理和内切圆 学习目标 1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明（重点） 3、会作已知三角形的内切圆（重点） 学习的重、难点： 重点：切线长定理及其运用．难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决问题。 一、复习巩固 1、 直线和圆有几种位置关系？分别是那几种？_______________________________________ 2、 如何判断直线与圆相切？_______________________________________________________ 3、 角平分线的判定和性质是什么？_________________________________________________ 二、问题探索 问题1：如图，纸上有一⊙O ，PA 为⊙O 的一条切线，沿着直线PO 将纸对折，设圆上与点A 重合的点为B ，这时，OB 是⊙O 的一条半径吗？PB 是⊙O 的切线吗？利用图形的轴对称性，说明图中的PA 与PB ，∠APO 与∠BPO 有说明关系？ 得出结论：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的 证明：∵PA 、PB 是⊙O 的两条切线， ∴OA ⊥AP, OB ⊥BP. 在Rt △AOP 和Rt △BOP 中 ∴Rt △AOP ≌Rt △BOP （ ） ∴PA=PB, ∠OPA=∠OPB.（ ） P A O P A O B B A

B C E D O O B C A O B C A P O B A P B O A 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条 ，它们的切线 ， 这一点和圆心的连线 两条切线的 . 思考2：如图，是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下 一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？ （提示：假设符合条件的圆已经做出，那么它应当与三角形的三条边都相切，这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径。如何找到这个圆心呢？）． 并得出结论：与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心是三角形三条 的交点，叫做三角形的内心。 三、例题评讲 例1 PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB=30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA=3时，求AP 的长． 例2 如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=2， CF=1，BF=3．求△ABC 的面积和内切圆的半径r ． 解： 四、当堂练习： 1如图1，从圆外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，如果∠APB=60°，PA=10，则弦AB 的长（ ）A ．5 B. 35 C.10 D. 310 2. 如图2,点O 是△ABC 的内切圆的圆心,若∠BAC=80°, 则∠BOC 等于( ) A. 130° B. 100° C 50° D 65° 3． 如图3, ⊙O 与∠ACB 两边都相切,切点分别为A,B,且∠ACB=90°, 那么四边形ABCD 是 4．.如图4，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB=30°，则∠APB ＝________。 图1 图2 图3 图4 作业：

初三数学导学案

宜宾县课改联盟学校九年级数学科导学案 一、学习目标 1.掌握利用图形的相似测量物体的高度，并画出实际问题的平面示意图。 二、学习重点 重点：用相似三角形的知识解决旗杆等物体的测量问题。 三、自主预习 1.旧知回顾 (1)什么是相似三角形？. (2)相似三角形的性质是什么？ (3)相似三角形判定方法有哪些？ 四、合作探究 1.请你想办法测量一下学校操场旗杆有多高？ (1)如何利用太阳光照射的影子来测？能画出具体示意图吗？ (2)需要哪些测量工具？ (3)应测量哪些数据？ (4).小组合作，看看还有哪些方法？ 2.拿一根高 3.5米的竹竿立在离旗杆底部B27米的C处（如图）然后沿BC的方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A与竹杆顶部E恰好在同一直线上，又测得C,D两点间的距离为3米，小芳的目高1.5米这样便可知道旗杆的高度。 你认为这种测量方法可行吗？请说明理由？ A E F B C D

3.如图，小明在地面上放置了一个平面镜E 来测量旗杆AB 的高度，镜子与旗杆的距离EB=20米，镜子于小明的距离ED=2米，小明刚好从镜中看到旗杆的顶端A 。已知小明眼睛的高度CD=1.5米，则旗杆AB 的高度是多少米? 五、巩固反馈 1.某建筑物在地面的影长为36米，同时高为1.2米的侧杆影长为2米，那么该建筑物的高为_________米。 2.垂直于地面的竹竿的影长为12米，其顶端到期影子顶端的距离为13米，如果此时测得某小树的影长为6米，则树高___________米。 3．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？ 4．在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度． 5.在河的两岸有对应的A 、B 两点，请你利用相似三角形的知识设计一个方案测量并求出AB 的距离。并说明理由。 C D E A B

【人教版】九年级数学上册全册导学案

第二十一章一元二次方程 21．1一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题． 2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念． 重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索． 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．

一、自学指导．(10分钟) 问题1： 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为__(100－2x)cm __，宽为__(50－2x)cm __．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x 2－75x ＋350＝0__．① 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__． 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x （x －1）2__场．列方程__x （x －1）2 ＝28__，化简整理，得__x 2－x －56＝0__．② 探究： (1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__． (2)它们最高次数分别是几次？__2次__．

第24章圆导学案[人教版初三九年级] 24.2.1切线长定理

马家砭中学导学稿 学法指导自主、合作、探究 三角形的外心： 角平分线的性质定理： 角平分线的判定定理： 切线的性质定理： 切线的判定定理： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的 ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（） OPB.（） 从圆外一点可以引圆的两条，它们的切线长，这一点和圆心的连线两条切线的 .

B A C E D O F （提示：假设符合条件的圆已经做出，那么它应当与三角形的三条边都相切，这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径。如何找到这个圆心呢？）． 并得出结论： 与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条 的交点，叫做三角形的内心。 三、课堂练习： 例1：如图△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D,E,F,且AB=9cm ，BC=14cm ，CA=13cm, 求AF,BD,CE 的长. 例2．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC 的面积为6．求内切圆的半径r ． 四、小结 1、你还需要老师为你解决那些问题？ ________________________________________________________ 2、你对同学还有那些温馨的提示？ _________________________________________________ 五、课后巩固 1、如图，△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O 是内心，求∠AOC 的度数。 2、△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的周长为l ，求△ABC 的面积。（提示：设内心为O ，连接OA,OB,OC ） 主备教师：韩伟 备课组长签字：________ 教研组长签字：_________ E D F O A C B O B C A

初中数学导学案设计.docx

骄子教育年级册学科导学案主备人授课时间___________审批人 课题平行线的性质及平移 课型学习小授课组评分教师 导学方法先经历自主探究总结的过程，并独立完成自主学习部分，然后小组交流讨论，形成结论，最后完成当堂训练题。 学习目标 重点难点1.经历探索直线平行的性质的过程, 掌握平行线的三条性质。 2.能运用三条性质进行简单的推理和计算。 3会利用平行线的性质解决一些实际问题。 掌握平行线的性质，并且会运用它们进行简单推理和计算。 精要知识点 平行线的性质 1: 两条直线被第三条直线所截，如果 角相等。 课独简记为 ________________。 前自 表示为 : ∵______ ∴_________ 尝平行线的性质 2: 两条直线被第三条直线所截，如试果相等， 那么内错角相等。 简记为， _______________表示为 :∵________ ∴a b 1. 提前两天发 ，那么同位给学生完成。 2. 上课前教师 认真批阅，查看 学生完成情况 3. 给予评分 （全对的 3 分） 4. 教师上课前 提问检测学生 掌握情况对于 大部分学生不1明白的地方予 2以讲评（ 5~8 分 钟）

平行线的性质 3: 两条直线被第三条直线所截， 如果 2a ，那么同旁内角1 互补。 b 简记为，__________________ 表示为 :∵ __________ ∴ 【点将题】 合 作 探 究课1. 如图所示， AB∥EF∥DC，EG∥DB， 则图中与∠ 1相等的角（∠ 1除外）共有（）1、5 分钟独立做 题， 5 分钟后小 组分工讨论不 会的题目，教师 参与其中指导 2、寻找帮助： A ． 6个 B ．5个 C ．4个 D ．2个对于小组讨论 无法完成的题 目可请求别的 小组同学解答，2．如图，已知 AB∥CD，则图中与∠ 1互补的角共有 （）帮助解答问题 的小组讲解正 确予以加 5 分奖 励，或者寻求老 师帮助，但加分 要减半 3、通过以上两A．5个 B ．4个 C ． 3个 D ． 2个步能够全部理 解正确的小组 每人加 2 分 中3．如图， l 1∥12，l 为11、 12的截线，∠ 1=70°，则下列结论中不正确的个数有：①∠ 5=70°；②∠ 3=∠6； ③∠ 2+∠6=220°；④∠ 4+∠7=180°（）

北师大版九年级数学上册导学案

北师大版九年级数学上册课程纲要 平陌镇初级中学 ?课程类型：国家课程，必修课 ?设计教师：九年级数学组 ?适用年级：九年级 ?授课时间：48—53课时 【课程目标】 第一章证明（二） 1.了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式； 2.结合实例体会反证法的含义； 3.能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论； 4.能够用综合法证明等腰三角形的判定定理； 5.会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题； 6.掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理； 7.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立； 8.能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理既解决实际问题； 9.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论； 10.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形； 11.能够证明角平分线的性质定理、判定定理及相关结论； 12.能够利用尺规作已知角的平分线； 13.根据中垂线判定定理证明三角形三边中垂线共一点；根据角平分线判定定理证明三角形三内角角平分线共一点； 第二章一元二次方程 14.会用开平方法解形如(x+m)2=n (n≥0)的方程； 15.理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程； 16.体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程； 17.利用配方法解数字系数的一般一元二次方程；

18.经历到方程解决实际，问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识和能力； 19.进一步掌握用配方法解题的技能； 20.通过推导求根公式，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力； 21.会用公式法解一元二次方程； 22.会用分解因式法解系数简单的一元二次方程； 23.掌握黄金分割中黄金比的来历； 24.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力； 第三章证明（三） 25.体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法； 26.能运用综合法证明平行四边形的性质定理，及其它相关结论； 27.能运用综合法证明平行四边形的判定定理； 28.能运用综合法证明矩形性质定理和判定定理； 29.能运用综合法证明菱形的性质定理和判定定理； 30.能运用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论； 第四章视图与投影 31.通过具体活动，积累数学活动经验，进一步增强学生的动手实践能力和数学思维能力，发展学生的空间观念； 32.通过学习和实践活动，激发学生对视图与投影学习的好奇心，体会数学与生活的联系； 33.通过实例能够判断简单物体的三视图，能根据三种视图描述基本几何体或实物原型，实现简单物体与其三种视图之间的相互转化； 34.会画圆柱、三棱柱、四棱柱、圆锥、球的三视图； 35.通过实例了解中心投影和平行投影的含义及其简单应用，初步进行物体与其投影之间的相互转化； 36.通过实例了解视点、视线、盲区的含义及其在生活中的应用； 第五章反比例函数 37.经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，抽象出反比例函数的概念，并结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型的意义； 38.能画出反比例函数的图象，根据图像和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质； 39.逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合的数学思想方法；

切线长定理导学案

切线长定理 赵晓娟 学生姓名组别评价等级 【学习目标】 1．理解切线长的概念，掌握切线长定理。 2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想。 3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度。 【学习重难点】 重点：切线长定理及应用是教学重点。 难点：切线长定理的灵活运用是教学难点。 【使用说明及学法指导】 （1）组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结；（2）以“观察——猜想——证明——剖析——应用 ——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动 式教学。 【课前预习案】 【温故知新】 1、已知△ABC，作△ABC的内心，说出它的性质 2、切线的定义是________________ ___________________。 3、切线的性质是 ____________ ___________________。 4、切线的判定是______________________________________________________。【提出疑惑】 【课内探究案】 环节一、观察、猜想、证明，形成定理 1、切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，切点为A、 B，我们把线段PA，PB的长叫做点P到⊙O的切线长． 引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不 能度量； 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。C B

2、观察 观察图形的特征和各量之间的关系． 3、猜想 猜想图中PA是否等于PB． 4、动手操作，验证猜想。 利用圆的对称性进行折叠，看PA、PB能否重合。 5、证明猜想，形成定理． 6、归纳：切线长定理： 7、切线长定理的基本图形研究（小组合作交流） 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP 交⊙O于点D，E，交AB于C. 图中相等的线段有 相等的角有 相等的弧有： 全等的三角形有 相似三角形有 适时训练 1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。PO交⊙O于E点 （1）若PB=12，PO=13，则AO=____ （2）若PO=10，AO=6，则PB=____ （3）若PA=4，AO=3，PO=____PE=_____. （4）若PA=4，PE=2，则AO=____. 环节二、切线长定理的应用 例1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线， A和B是切点，PA=10，∠P=500，F是优弧AB上一点。 求：（1）∠AFB的度数； （2）如图，若CD是⊙O的切线，切于点E，求⊿PCD的周

九年级数学导学案

5.1反比例函数

【学习目标】 1、进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象； 2、体会函数的三种表示方法的相互转化，对函数进行认识上的整合； 【使用说明与学法指导】 1、用l0分钟左右的时间，阅读探索课本的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力，完成“自主预习”。 2、将预习中不能解决的问题标识出来，并填写到后面“我的疑惑”处。 【自主预习】 一、知识梳理（5分钟） 1、反比例函数(0)k y k x =≠的图象是一条双曲线，当k>0时，图象位于第_______象限， 且在每一个象限内，y 随x 的增大而____________；当k<0时，图象位于第________象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而_____________。 2、反比例函数的图象既是中心对称图形，又是_____________图形，对称中心是_________，对称轴有两条：____________________和_____________________.由于0k ≠，则x ，y 都不可能为____________，所以双曲线与坐标轴_________交点，只能无限逼近坐标轴。 3、自学了本节内容，你还有什么疑问？记下来，以备上课时与同学老师探讨。 【课堂导学】 【导入示标】（5分钟） 1．引入 2.汇报预习检查情况。 【合作探究】（10分钟） 探究一： 已知反比例函数的图象经过某点，求反比例函数的表达式 例1、若反比例函数k y x = 的图象经过（-3，2），则k 的值为（ ） A 、-6 B 、6 C 、-5 D 、5 探究二：由待定系数法求解析式 例2、已知反比例函数的图象经过一次函数y=x-1的图象上的点A ，且点A 的横坐标为3， 求反比例函数的解析式。 探究三：双曲线位置的确定 例3、反比例函数，2 y x = ，图象的两支分别在第____________象限。 探究四：根据函数的图象求反比例函数的表达式 例4、如图所示，过双曲线上一点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，已知S △PQO =4。求双的表达式。 探究五：反比例函数关系式中k 的应用 例5、在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，与 坐标围成的矩形面积为S 1；过点Q 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2。 （1）S 1与S 2有什么关系？为什么？ （2）将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合吗？ 【展示交流】（15分钟）

最新人教版初中九年级数学上册《切线长定理》导学案

24.2.2直线和圆的位置关系 第3课时切线长定理 一、新课导入 1.导入课题： 情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B. 问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？ 问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？ 这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理(板书课题). 2.学习目标： （1）知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理. （2）会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质. （3）能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题. 3.学习重、难点： 重点：切线长定理及其运用. 难点：切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆. 二、分层学习 1.自学指导： (1)自学内容：教材第99页“思考”之前的内容. (2)自学时间：8分钟. (3)自学方法：完成探究提纲. (4)探究提纲： ①过⊙O外一点P画⊙O的切线.动手画图，看看这样的切线能作几条？能作两条. ②在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长， 如图的线段PA与线段PB的长就是点P到⊙O的切线长. ③PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？ PA＝PB,∠APO＝∠BPO.可利用HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP,进而得出结论.

④分别用文字语言和几何语言写出切线长定理. 文字语言：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 几何语言：∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B. ∴PA = PB,OP平分∠APB . 2.自学：学生结合自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生： ①明了学情：看学生能否顺利完成定理的证明. ②差异指导：根据学情确定指导方案. （2）生助生：小组内相互交流、研讨. 4.强化： （1）切线长定理及它的证明. （2）交流：在提纲④的几何图形中，若连接AB交OP于点C，则图中有哪些垂直关系？哪些全等三角形？若设线段OP与⊙O的交点为D，且PA＝4，PD＝2，你能求出⊙O的半径长吗？ 解：AB⊥OP,OA⊥AP,OB⊥BP;△OAC≌△OBC,△OAP≌△OBP,△ACP≌△BCP.设⊙O的半径为r,则OP=OD+PD=r+2,在Rt△OAP中，OA2+AP2=OP2,即r2+42=(r+2)2. 解得r=3. 即⊙O的半径长为3. 1.自学指导： (1)自学内容：教材第99页“思考”到第100页的内容. (2)自学时间：8分钟. (3)自学方法：阅读，画图，推理，猜想. (4)自学参考提纲： ①如图，作与△ABC的三边都相切的⊙I. 因为⊙I与BA,BC都相切，所以点I在∠ABC的平分线上； 因为⊙I与CA,CB都相切，所以点I在∠ACB的平分线上； 所以点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点. a.作∠ABC的平分线，∠ACB的平分线，交于点I； b.过I作ID⊥BC于D，以I 为圆心，ID为半径画圆，则⊙I即为所求.