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【专家解析】2012年高考数学(理)真题精校精析(上海卷)(纯word书稿)

2012·上海卷(数学理科)

1.[2012·上海卷] 计算:3-i

1+i

=________(i 为虚数单位).

1.1-2i [解析] 考查复数的除法运算,是基础题,复数的除法运算实质就是分母实数化运算.

原式=(3-i )(1-i )1-i 2=1-2i.

2.[2012·上海卷] 若集合A ={x |2x +1>0},B ={x ||x -1|<2},则A ∩B =________. 2.? ????

-12,3 [解析] 考查集合的交集运算和解绝对值不等式,解此题的关键是解绝对值不等式,再利用数轴求解.

解得集合A =???

x ????

??x >-12,集合B ={x |-1

??

-12,3.

3.[2012·上海卷] 函数f (x )=??

??

??

2 cos x sin x -1的值域是________. 3.??????-5

2,-32 [解析] 考查二阶矩阵和三角函数的值域,以矩阵为载体,实为考查三角函数的值域,易错点是三角函数的化简.

f (x )=-2-sin x cos x =-2-12sin2x ,又-1≤sin2x ≤1,所以f (x )=-2-1

2sin2x 的值域为????

??-5

2,-32.

4.[2012·上海卷] 若=(-2,1)是直线l 的一个法向量,则l 的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示).

4.arctan2 [解析] 考查直线的法向量和倾斜角,关键是求出直线的斜率. 由已知可得直线的斜率k ×1

-2

=-1,∴k =2,k =tan α,所以直线的倾斜角α=arctan2.

5.[2012·上海卷] 在? ????x -2x 6

的二项展开式中,常数项等于________.

5.-160 [解析] 考查二项式定理,主要是二项式的通项公式的运用.

由通项公式得T r +1=C r 6

x 6-r ? ????-2x r =(-2)r C r 6x 6-2r

,令6-2r =0,解得r =3,所以是第4项为常数项,T 4=(-2)3C 36=-160.

6.[2012·上海卷] 有一列正方体,棱长组成以1为首项1

2为公比的等比数列,体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…,则lim n →∞

(V 1+V 2+…+V n )=________.

6.8

7 [解析] 考查等比数列和无穷递缩等比数列的极限,此题只要掌握极限公式即可解决,是简单题型.

由已知可知V 1,V 2,V 3,…构成新的等比数列,首项V 1=1,公比q =1

8,由极限公式得lim n →∞

(V 1+V 2+…+V n )=11-18

=87.

7.[2012·上海卷] 已知函数f (x )=e |x -a |(a 为常数).若f (x )在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是________.

7.(-∞,1] [解析] 考查复合函数的单调性,实为求参数a 的取值范围. 令t =||x -a ,又e>1,函数f (x )在[1,+∞)上是增函数,只需函数t =||x -a 在[1,+∞)上是增函数,所以参数a ≤1.

8.[2012·上海卷] 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为________.

8.3

3π [解析] 考查扇形的弧长和面积公式,以及圆锥的体积公式,关键是求出圆锥的半径和高.

由已知可得圆锥的母线长l =2,底面圆的周长2πr =πl =2π,所以底面半径r =1,

由此得圆锥的高h =l 2-r 2=3,由圆锥的体积公式得V =13πr 2h =3

3π.

9.[2012·上海卷] 已知y =f (x )+x 2是奇函数,且f (1)=1.若g (x )=f (x )+2,则g (-1)=________.

9.-1 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想,此题的关键是利用y =f (x )+x 2为奇函数.

已知函数y =f (x )+x 2为奇函数,则f (-1)+(-1)2=-[f (1)+1]=-2,解得f (-1)=-3,所以g (-1)=f (-1)+2=-3+2=-1.

10.[2012·上海卷] 如图1-1所示,在极坐标系中,过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α=π

6,若将l 的极坐标方程写成ρ=f (θ)的形式,则f (θ)=________.

【专家解析】2012年高考数学(理)真题精校精析(上海卷)(纯word书稿)

图1-1

10.

1

sin ? ??

??π6-θ [解析] 考查极坐标方程,关键是写出直线的极坐标方程,再按要求化简.

由已知得直线方程为y =(x -2)tan π

6,化简得x -3y -2=0,转化为极坐标方程为: ρcos θ-3ρsin θ-2=0,解得ρ=

2

cos θ-3sin θ

1

sin ? ??

??π6-θ,所以 f (θ)=

1

sin ? ??

??π6-θ.

11.[2012·上海卷] 三位同学参加跳高跳远铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示).

11.2

3 [解析] 考查古典概率和排列问题,关键是把情况分析清楚,不要漏掉或者重

复情况.

所有的可能情况有C 23C 23C 2

3,满足条件有且仅有两人选择的项目完全相同的情况有 C 23C 23C 12,由古典概率公式得

P =C 23C 23C 1

2C 23C 23C 23

=23.

12.[2012·上海卷] 在平行四边形ABCD 中,∠A =π

3,边ABAD 的长分别为21.若MN 分别是边BCCD 上的点,且满足|BM →||BC

→|=|CN →|

|CD →|,则AM →·AN

→的取值范围是________.

12.[2,5] [解析] 令BM →=nBC →(0≤n ≤1),则DN →=(1-n )DC →,在平行四边形ABCD

中,AM

→=AB →+nAD →, AN →=AD →+(1-n )AB →,所以AM →·AN →=(AB →+nAD →)·[AD

→+(1-n )AB →] =-n 2-2n +5,而函数f (n )=-n 2-2n +5在[0,1]上是单调递减的,其值域为[2,5], 所以AM →·AN →的取值范围是[2,5].

13.[2012·上海卷] 已知函数y =f (x )的图像是折线段ABC ,其中A (0,0)B ? ???

?12,5C (1,0).函数y =xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________.

13.5

4 [解析] 考查分段函数和用定积分求曲边形的面积,考查学生分类讨论思想和转化思想.

由已知可得函数的解析式y =xf (x )=???

??

10x 2

,x ∈???

?

??0,12,10x -10x 2

,x ∈? ??

??12,1, 曲线与x 轴围成

区域的面积,可用定积分表示S =∫120(10x 2 )d x +?

?112(10x -10x 2)d x = 5

4.

【专家解析】2012年高考数学(理)真题精校精析(上海卷)(纯word书稿)

图1-2

14.[2012·上海卷] 如图1-2所示,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2,若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中ac为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是________.

14.2

3c a

2-c2-1[解析] 以空间四面体为载体,考查几何体的体积和代数式的最

值问题,以及转化思想,解此题的关键是求出侧面三角形ABD的高的最大值.作BE垂直AD于E,连接CE,则CE也垂直AD,且BE=CE,所以四面体ABCD 的体积

V=1

3S△BCE·AD=

2

3c BE

2-1,在三角形ABD中,AB+BD=2a,AD=2c,所以AD

边上的高BE等于以AD为焦点,长轴为2a的椭圆上的点到x轴的距离,其最大值刚好

在点在短轴端点的时候得到,即BE≤a2-c2,所以V=2

3c BE

2-1≤

2

3c a

2-c2-1.

15.[2012·上海卷] 若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则()

A.b=2,c=3 B.b=-2,c=3

C.b=-2,c=-1 D.b=2,c=-1

15.B[解析] 考查复数的概念和一元二次方程,可利用方程的两根是共轭复数解题.

由韦达定理可知:-b=(1+2i)+(1-2i)=2,∴b=-2,c=(1+2i)(1-2i)=1+2=3,∴c=3,所以选B.

此题还可以直接把复数根1+2i代入方程中,利用复数相等求解.

16.[2012·上海卷] 在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是() A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不能确定

16.C[解析] 考查正弦定理和判断三角形的形状,考查考生的转化思想,关键是利用正弦定理,把角转化边,再利用边之间的关系,判断三角形的形状.

由正弦定理可把不等式转化为a 2

+b 2

,cos C =a 2+b 2-c 2

2ab <0,所以三角形为钝角

三角形.故选C.

17.[2012·上海卷] 设10≤x 1

x 2+x 32x 3+x 42x 4+x 52x 5+x 12的概率也均为0.2.若记Dξ1Dξ2分别为ξ1ξ2的方差,则( )

A .Dξ1>Dξ2

B .Dξ1=Dξ2

C .Dξ1<Dξ2

D .Dξ1与Dξ2的大小关系与x 1x 2x 3x 4的取值有关

17.A [解析] 考查样本估计总体的平均数和方差,主要是对方差概念的理解,利用基本不等式求解.

由已知可知两个变量的平均数相等,

Dξ1=15[(x -x 1)2+…+(x -x 5)2]=15(x 21+x 22+x 23+x 24+x 25)-x 2

, Dξ2=15??????? ????x -x 1+x 222+…+? ?

???x -

x 5+x 122= 15????

??

? ????x 1+x 222+…+? ????x 5+x 122-x 2 <15(x 21+x 22+x 23+x 24+x 25)-x 2,所以Dξ1>Dξ2.

18.[2012·上海卷] 设a n =1n sin n π25,S n =a 1+a 2+…+a n ,在S 1,S 2,…,S 100中,正数的个数是( )

A .25

B .50

C .75

D .100

18.D [解析] 考查数列求和和转化思想,关键是发现数列为振幅越来越小的摆动数列.

令b n =sin n π

25,周期为50,前n 项和记作:T n =b 1+b 2+…+b n ,根据三角函数图象的对称性,可知T 1,T 2,…,T 49均大于0,只有两个T 50=0,T 100=0,数列a n =1n sin n π

25为振幅越来越小的摆动数列,||a n ≤||b n ,只有当n =1,50,100时相等,故S 1,S 2,…,S 100中正数个数为100.

【专家解析】2012年高考数学(理)真题精校精析(上海卷)(纯word书稿)

图1-3

19.[2012·上海卷] 如图1-3所示,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩形,P A ⊥底面ABCD .E 是PC 的中点,已知AB =2,AD =22,P A =2,求:

(1)三角形PCD 的面积;

(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小.

19.解:(1)因为P A ⊥底面ABCD ,所以P A ⊥CD . 又AD ⊥CD ,所以CD ⊥平面P AD . 从而CD ⊥PD .

因为PD =22+(22)2=23,CD =2. 所以三角形PCD 的面积为1

2×2×23=2 3.

(2)解法一:如图所示,建立空间直角坐标系,则B (2,0,0),C (2,22,0),E (1,2,1).

【专家解析】2012年高考数学(理)真题精校精析(上海卷)(纯word书稿)

AE

→=(1,2,1),BC →=(0,22,0), 设AE

→与BC →的夹角为θ,则

cos θ=AE →·BC →|AE →||BC →|=42×22=2

2,

∴θ=π4.

由此知,异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π

4.

解法二:取PB 中点F ,连接EF AF ,则EF ∥BC ,从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角.

【专家解析】2012年高考数学(理)真题精校精析(上海卷)(纯word书稿)

在△AEF 中,由EF =2AF =2AE =2知△AEF 是等腰直角三角形, 所以∠AEF =π

4.

因此,异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π

4.

20.[2012·上海卷] 已知函数f (x )=lg(x +1). (1)若0<f (1-2x )-f (x )<1,求x 的取值范围;

(2)若g (x )是以2为周期的偶函数,且当0≤x ≤1时,有g (x )=f (x ),求函数y =g (x )(x ∈[1,2])的反函数.

20.解:(1)由???

2-2x >0,x +1>0,

得-1<x <1.

由0<lg(2-2x )-lg(x +1)=lg 2-2x x +1<1得1<2-2x

x +1<10.

因为x +1>0,所以x +1<2-2x <10x +10, -23<x <1

3, 由?

????

-1<x <1,-23<x <13得-23<x <1

3.

(2)g (x )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[1,2]时,2-x ∈[0,1],因此

y =g (x )=g (x -2)=g (2-x )=f (2-x )=lg(3-x ). 由单调性可得y ∈[0,lg2].

因为x =3-10y ,所以所求反函数是y =3-10x ,x ∈[0,lg2].

【专家解析】2012年高考数学(理)真题精校精析(上海卷)(纯word书稿)

图1-4

21.[2012·上海卷] 海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图1-4.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线y =12

49x 2;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t .

(1)当t =0.5时,写出失事船所在位置P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;

(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?

21.解:(1)t =0.5时,P 的横坐标x P =7t =72,代入抛物线方程y =12

49x 2,得P 的纵坐标y P =3.

由|AP |=949

2,得救援船速度的大小为949海里/时.

由tan ∠OAP =730,得∠OAP =arctan 730,故救援船速度的方向为北偏东arctan 7

30弧度.

(2)设救援船的时速为v 海里,经过t 小时追上失事船,此时位置为(7t,12t 2). 由v t =(7t )2+(12t 2+12)2, 整理得v 2

=144? ??

??

t 2+1t 2+337.

因为t 2+1

t 2≥2,当且仅当t =1时等号成立.

所以v 2≥144×2+337=252,即v ≥25.

因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.

22.[2012·上海卷] 在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 1:2x 2-y 2=1. (1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积;

(2)设斜率为1的直线l 交C 1于PQ 两点.若l 与圆x 2+y 2=1相切,求证:OP ⊥OQ ; (3)设椭圆C 2:4x 2+y 2=1,若MN 分别是C 1C 2上的动点,且OM ⊥ON ,求证:O 到直线MN 的距离是定值.

22.解:(1)双曲线C 1:x 212-y 2=1,左顶点A ? ??

??-2

2,0,渐近线方程:y =±2x .

过点A 与渐近线y =2x 平行的直线方程为y =2? ????

x +22,即y =2x +1.

解方程组??

?

y =-2x ,

y =2x +1

得???

??

x =-2

4,y =12.

所以所求三角形的面积为S =12|OA ||y |=2

8.

(2)设直线PQ 的方程是y =x +b ,因直线PQ 与已知圆相切, 故

|b |

2

=1,即b 2=2. 由???

y =x +b ,2x 2-y 2=1,

得x 2-2bx -b 2-1=0. 设P (x 1,y 1)Q (x 2,y 2),则???

x 1+x 2=2b ,

x 1x 2=-1-b 2.

又y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b ),所以

OP →·OQ →=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2 =2(-1-b 2)+2b 2+b 2=b 2-2=0. 故OP ⊥OQ .

(3)当直线ON 垂直于x 轴时,

|ON |=1,|OM |=22,则O 到直线MN 的距离为3

3. 当直线ON 不垂直于x 轴时,

设直线ON 的方程为y =kx ? ????

显然|k |>22,

则直线OM 的方程为y =-1

k x . 由???

y =kx ,4x 2+y 2

=1

得?????

x 2=

1

4+k 2,y 2=k 24+k 2,

所以|ON |2

=1+k 2

4+k 2

.

同理|OM |2

=1+k 2

2k 2-1

设O 到直线MN 的距离为d , 因为(|OM |2+|ON |2)d 2=|OM |2|ON |2.

所以1d 2=1|OM |2+1|ON |2=3k 2+3k 2+1=3,即d =3

3.

综上,O 到直线MN 的距离是定值.

23.[2012·上海卷] 对于数集X ={-1,x 1,x 2,…,x n },其中0<x 1<x 2<…<x n ,n ≥2,定义向量集Y ={|=(s ,t ),s ∈X ,t ∈X },若对任意1∈Y ,存在2∈Y ,使得1·2=0,则称X 具有性质,例如{-1,1,2}具有性质.

(1)若x >2,且{-1,1,2,x }具有性质,求x 的值; (2)若X 具有性质,求证:1∈X ,且当x n >1时,x 1=1;

(3)若X 具有性质,且x 1=1x 2=q (q 为常数),求有穷数列x 1,x 2,…,x n 的通项公式.

23.解:(1)选取1=(x,2),Y 中与1垂直的元素必有形式(-1,b ), 所以x =2b ,从而x =4.

(2)证明:取1=(x 1,x 1)∈Y ,设2=(s ,t )∈Y ,满足1·2=0. 由(s +t )x 1=0得s +t =0,所以s ,t 异号.

因为-1是X 中唯一的负数,所以s ,t 之中一个为-1,另一个为1,故1∈X . 假设x k =1,其中1<k <n ,则0<x 1<1<x n .

选取1=(x 1,x n )∈Y ,并设2=(s ,t )∈Y 满足1·2=0,即sx 1+tx n =0, 则s ,t 异号,从而s ,t 之中恰有一个为-1. 若s =-1,则x 1=tx n >t >x 1,矛盾; 若t =-1,则x n =sx 1<s ≤x n ,矛盾. 所以x 1=1.

(3)设1=(s 1,t 1),2=(s 2,t 2),则1·2

=0等价于s 1t 1

=-t 2s 2

B =?

?? s

t

|}

s ∈X ,t ∈X ,|s |>|t |,

则数集X 具有性质当且仅当数集B 关于原点对称. 注意到-1是X 中的唯一负数,B ∩(-∞,0)={-x 2,-x 3,…,-x n }共有n -1个数,所以B ∩(0,+∞)也只有n -1个数.

由于x n x n -1<x n x n -2<…<x n x 2<x n

x 1,已有n -1个数,对以下三角数阵

x n x n -1<x n x n -2<…<x n x 2<x n x 1, x n -1x n -2<x n -1x n -3<…<x n -1

x 1, … x 2x 1.

注意到x n x 1>x n -1x 1>…>x 2x 1,所以x n x n -1=x n -1x n -2=…=x 2x 1,从而数列的通项为x k =x 1? ????x 2x 1k -1

=q k -1,k =1,2,…,n .