第二节 微积分基本定理(2)
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1.认识微积分基本定理中积分与导数的关系,了解微积分基本定理的作用; 2.会用牛顿—莱布尼茨公式求定积分。
重难点:对正向求导公式熟悉掌握,并会逆向运用它们求一些简单函数的原函数。
【预习案】 1.定积分性质: 性质1:
1b a d x =?
;
性质2:()b
a
kf x dx =? ()k 为常数;
性质3:[()()]b
a
f x
g x dx ±=? ;
性质4:()b a
f x dx =?
()a c b <<其中.
2.微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)
.
3.定积分公式:
(1)=?b
a cdx (2)=?
b a
n dx x (3)=?b
a
xdx cos .
(4)
=?
b
a
xdx sin (5))0(_
__________
1>=?x dx x
b
a
(6)
=
?
b
a
x
dx e (7)
=?n
m x
dx a .
【探究案】
例1.求下列定积分:
(1)
?
--+2
2
2
12dx x x )(; (2)?-+3
1
2
21dx x
x x )
)((;
(3)
()2
0sin cos x x dx π
-?; (4)()0
cos 2x x e x dx π-+-?
例2.计算:
2
2
sin
2
x
dx π
?
例3.
2
2
1
x x dx
-
-
?= .(提示:结合图形)
【训练案】
1.计算
2
2
sin cos
22
x x
dx
π
??
+
?
??
?等于()
A.
2
π
B.1
2
π
+C.
2
π
-D.0
2.若
()
1
22
x k dx k
+=-
?,则定值k为()
A. 1
B.
1
2
C.
1
2
-D.0
3 .设
2(01)
()
2(12)
x x
f x
x x
?≤<
=?
-<≤
?
则
2
()
f x dx
?=()
A.3
4
B.
4
5
C.
5
6
D.不存在
4.设
()()
20
f x ax bx c a
=++≠,若已知()()()
1
1
14,11,3
6
f f f x d x
'
===
?,求
()
f x的表达式。
学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分. 知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式) 思考1 已知函数f (x )=2x +1,F (x )=x 2+x ,则?10(2x +1)d x 与F (1)-F (0)有什么关系? 答 由定积分的几何意义知,?10(2x +1)d x =12 ×(1+3)×1=2,F (1)-F (0)=2,故?10(2x +1)d x =F (1)-F (0). 思考2 对一个连续函数f (x )来说,是否存在唯一的F (x ),使得F ′(x )=f (x )? 答 不唯一,根据导数的性质,若F ′(x )=f (x ),则对任意实数c ,都有[F (x )+c ]′=F ′ (x )+c ′=f (x ). 1.微积分基本定理 (1)条件:f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数,并且F ′(x )=f (x ); (2)结论:?b a f (x )d x =F (b )-F (a ); (3)符号表示:?b a f (x )d x =F (x )|b a =F (b )-F (a ). 2.常见的原函数与被积函数关系 (1)?b a C d x =Cx |b a (C 为常数). (2)?b a x n d x = ???1n +1x n +1b a (n ≠-1). (3)?b a sin x d x =-cos x |b a . (4)?b a cos x d x =sin x |b a . (5)?b a 1x d x =ln x | b a (b >a >0). (6)?b a e x d x = e x |b a .
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
微积分基本定理 编稿:赵雷 审稿:李霞 【学习目标】1.理解微积分基本定理的含义。 2.能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。 【要点梳理】 要点一、微积分基本定理的引入 我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 (1)导数和定积分的直观关系: 如下图:一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),由导数的概念可知,它在任意时刻t 的速度v (t )=s '(t )。设这个物体在时间段[a ,b]内的位移为s ,你能分别用 s (t )、v (t )表示s 吗? 一方面,这段路程可以通过位置函数S (t )在[a ,b]上的增量s (b )-s (a )来表达, 即 s=s (b )-s (a )。 另一方面,这段路程还可以通过速度函数v (t )表示为 ()d b a v t t ? , 即 s = ()d b a v t t ? 。 所以有: ()d b a v t t =? s (b )-s (a ) (2)导数和定积分的直观关系的推证: 上述结论可以利用定积分的方法来推证,过程如下: 如右图:用分点a=t 0<t 1<…<t i -1<t i <…<t n =b , 将区间[a ,b]等分成n 个小区间: [t 0,t 1],[t 1,t 2],…,[t i ―1,t i ],…,[t n ―1,t n ], 每个小区间的长度均为
1i i b a t t t n --?=-= 。 当Δt 很小时,在[t i ―1,t i ]上,v (t )的变化很小,可以认为物体近似地以速度v (t i ―1)做匀速运动,物体所做的位移 111()'()'()i i i i i b a s h v t t s t t s t n ----?≈=?=?= 。 ② 从几何意义上看,设曲线s=s (t )上与t i ―1对应的点为P ,PD 是P 点处的切线,由导数的几何意义知,切线PD 的斜率等于s '(t i ―1),于是 1tan '()i i i s h DPC t s t t -?≈=∠??=??。 结合图,可得物体总位移 111 1 1 1 ()'()n n n n i i i i i i i i s s h v t t s t t --=====?≈=?=?∑∑∑∑。 显然,n 越大,即Δt 越小,区间[a ,b]的分划就越细,1 11 1 ()'()n n i i i i v t t s t t --==?=?∑∑与s 的近似程度就越好。由定积分的定义有 11lim ()n i n i b a s v t n -→∞=-=∑11 lim '()n i n i b a s t n -→∞=-=∑()d '()d b b a a v t t s t t ==??。 结合①有 ()d '()d ()()b b a a s v t t s t t s b s a ===-??。 上式表明,如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),那么v (t )=s '(t )在 区间[a ,b]上的定积分就是物体的位移s (b )―s (a )。 一般地,如果()f x 是区间[a ,b]上的连续函数,并且'()()F x f x =,那么 ()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理。 要点二、微积分基本定理的概念 微积分基本定理: 一般地,如果'()()F x f x =,且()f x 在[a ,b]上可积,则()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼兹公式。 其中,()F x 叫做()f x 的一个原函数。为了方便,我们常把()()F b F a -记作()b a F x ,即 ()d ()()()b b a a f x x F x F b F a ==-? 。
7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________. 12.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________. 13.求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =5 4π,y =0所围图形的面积为________. 14.若a =??02x 2 d x ,b =??02x 3 d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 大小关系是________. 三、解答题 15.求下列定积分: ①??0 2(3x 2+4x 3 )d x ; ② sin 2 x 2 d x . 17.求直线y =2x +3与抛物线y =x 2 所围成的图形的面积. 18.(1)已知f (a )=??0 1(2ax 2 -a 2 x )d x ,求f (a )的最大值; (2)已知f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2,求a ,b ,c 的值. DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132-1) 13.4-2 2 [解析] 所求面积为 =1+2+? ?? ?? 1-22=4-22. 14.[答案] c 1.6 微积分基本定理 周;使用时间17年 月 日 ;使用班级 ;姓名 一、选择题 1.若F ′(x )=x 2,则F (x )的解析式不正确的是( ) A .F (x )=13x 3 B .F (x )=x 3 C .F (x )=13x 3+1 D .F (x )=13x 3+c (c 为常数) 2.?0-4|x +2|d x 等于( ) A .?0-4(x +2)d x B .?0-4(-x -2)d x C .?- 2-4(x +2)d x +?0-2(-x -2)d x D .?- 2-4(-x -2)d x +?0-2(x +2)d x 3.若S 1=?21x 2d x ,S 2=?211x d x ,S 3=?21e x d x ,则S 1,S 2,S 3的大小关系为( ) A .S 1 1.(文)(2011·广州检测)若sinα<0且tanα>0,则α是() A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 [答案] C [解析]∵sinα<0,∴α为第三、四象限角或终边落在y轴负半轴上, ∵tanα>0,∴α为第一、三象限角, ∴α为第三象限角. (理)(2011·绵阳二诊)已知角A同时满足sin A>0且tan A<0,则角A的终边一定落在() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [答案] B [解析]由sin A>0且tan A<0可知,cos A<0,所以角A的终边一定落在第二象限.选B. 2.(2010·安徽省168中学联考)已知集合A={(x,y)|y=sin x},集合B={(x,y)|y=tan x},则A∩B=() A.{(0,0)} B.{(π,0),(0,0)} C.{(x,y)|x=kπ,y=0,k∈Z} D .? [答案] C [解析] 函数y =sin x 与y =tan x 图象的交点坐标为(k π,0),k ∈Z. 3.设a =sin π6,b =cos π4,c =π3,d =tan π 4,则下列各式正确的是 ( ) A .a >b >d >c B .b >a >c >d C .c >b >d >a D .c >d >b >a [答案] D [解析] 因为a =12,b =22,c =π 3>1,d =1,所以a 1.6 微积分基本定理 一、教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二、教学重难点 重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三、教学过程 1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 21()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明:因为()x Φ=()x a f t dt ?与()F x 都是()f x 的原函数,故 ()F x -()x Φ=C (a x b ≤≤) 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ,且()a Φ= ()a a f t dt ?=0 即有C=()F a ,故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =,有()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见,还常用()|b a F x 表示()()F b F a -,即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例1.计算下列定积分: (1)2 11dx x ?; (2)3211(2)x dx x -?。 解:(1)因为'1(ln )x x =, 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=?。 (2))因为2''211()2,()x x x x ==-, 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x x -=-??? 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。 练习:计算 120x dx ? 解:由于313 x 是2x 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 120x dx ?=3101|3x =33111033?-?=13 例2.计算下列定积分: 牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何,竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始,然后给出积分上限函数的定义,最后总揽全局,得出结论。证明过程会尽可能地保持严密,也许你会不太习惯,会觉得多佘,不过在一些条件上如函数f(x),我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的,都是从最低层最简单开始的,所以你绝对,注意,请注意,你是绝对能看懂的,对于寻求真理的人,你值得看懂! (Ps :如果你不太有耐心,我建议你别看了,因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义: 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1],其中x 0=a ,x n =b ,第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义,我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积,因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即: 性质1:证明?b a c dx = C(b-a),其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2:F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数,证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0 ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?人教新课标版数学高二-2-2限时练 1.6 微积分基本定理
2-4定积分与微积分基本定理(理)
高中数学选修2-2公开课教案16微积分基本定理
牛顿-莱布尼茨公式的详细证明
定积分及微积分基本定理练习题及答案