2020国考行测技巧：排列组合之隔板模型

在公务员考试中行测数量关系对于大部分考生而言都是谈虎色变，因为太难并且没有时间做，而这些难题尤以排列组合为典型。排列组合的常考题型有很多，常见的解题方法包括上回已经给大家介绍到的捆绑法、优限法、插空法、间接法等，都是我们解决排列组合题目的利器。今天中公教育专家将给大家介绍另一种常用的方法——隔板法，用于解决大家比较头疼的隔板模型问题。希望通过对本文的学习，能对大家解决此类问题有所帮助。

一、隔板模型的题型特征

隔板模型本质上是同素分堆的问题。比如把N个相同的元素分给m 个不同的对象，每个对象至少分到1个元素，问共有多少种不同分法的问题。符合该特征的题目便可称为隔板模型问题。

例：把6个相同的礼物分给3个小朋友，问有多少种不同的分法?

二、隔板模型的基本公式

把n个相同元素分给m个不同的对象，每个对象至少分到1个元素，

则有种分法。

注意：该公式必须同时满足以下2个条件：①所要分的元素必须完全相同。②每个对象至少分到1个元素。

三、隔板模型的实际运用

例题1.有10个相同的篮球，分给4个班级，每班至少一个，有多少种分配方案?

行测排列组合例题

排列组合基础知识讲座 首先看一道简单的例题 例1：用1、2、3、4四个数字组成数字不重复的二位数，可以有多少种组法？ 解答： 题目的意思是从4个数字中随意选出2个数字，然后组成一个2位数，问一共可以组成多少个这样的2位数。假设我们随意选取1,2,可以组成12和21，虽然都是由1，2组成，但由于位置不同，仍然是两个不同的数字。由于和位置有关，所以这是排列问题。 （注意：虽然题目问的是有多少种组法，但仍然属于排列问题） 排列公式的定义如下 r n P 也可写成P （n,r ）其中n 表示总共的元素个数，r 表示进行排列的元素个数，！表示阶乘，例如6！=654321?????，5!= 54321????，但要特别注意1！=0！=1。假设n=5，r=3，则 P （5,3）=5!5432160(53)!21 ????==-? 在这个题目里，总共的元素个数是4 ，所以n=4，从所有元素中取出2个进行排列，所以r=2。根据公式 P （4,2）=4!432112(42)!21 ???==-? 因此共有12种组法。 下面我们一起来看考试当中出现的一个题目： 例2. 黄、白、蓝三个球，从左到右顺次排序，有几种排法? 解答： 假设我们已经找出了两种排列方法（黄、白 、蓝） 和 （蓝、白、黄），可以发现虽然都是用的一样的球，但因为和位置有关，所以还是两种不同的排法。很明显这属于排列问题。在这里，总共的元素个数是3 ，所以n=3，从所有元素中取出3个进行排列，所以r=3。根据公式 P （3,3）=3!3216(33)!1 ??==- （ 计算的时候注意0！=1） 因此共有6种排法。 如果我们把这个题目改一改，变成 例3 黄、白、蓝三个球，任意取出两个，对这两个球从左到右顺次排序，有几种排法? 解答 这仍然属于排列问题，只不过r 变成了2。在这里，总共的元素个数是3 ，所以n=3，从所有元素中取出2个进行排列，所以r=2。根据公式 P （3,2）=3!3216(32)!1 ??==- （ 计算的时候注意1！=1） 因此还是有6种排法。 下面我们这个题目再变一下 例4 黄、白、蓝三个球，任意取出两个，有几种取法?

隔板法在解排列组合问题中的应用

隔板法在解排列组合问题中的应用 河南省三门峡市卢氏一高（472200）赵建文 隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法，本文将将通过例题将这种方法作以介绍，供同学们学习时参考. 一、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题 例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？ 分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法. 解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，将20个小球及两块隔板排成一排，两块隔板将小球分成三块，从左到右看成三个盒子应放的球数，每一种隔板与球的排法对应一种分法.将20个小球和2块隔板排成一排有22个位置，先从这22个位置中取出两个位置放隔 板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有222C 种不同的放法，再将小球 放入其他位置，由于小球与隔板都无差别，故小球之间无序，只有1种放法，根据分步计数 原理，共有222C ×1=231种不同的方法. 点评：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，允许若干组为空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品和1m -块隔板排成一排，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有11m n m C -+-种不同的方法， 再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有11m n m C -+-×1=11m n m C -+-种排法,因 1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的 排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法. 二、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每人（或位置）必须有物品问题 例2将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方法？ 分析：本题是名额分配问题，用隔板法. 解析：将20个名额分配给18个班，每班至少1个名额，相当于将20个相同的小球分成18组，每组至少1个，将20个相同的小球分成18组，需要17块隔板，先将20个小球排成一排，因小球相同，故小球之间无顺序，是组合，只有1种排法，再在20个小球之间的19个空档中，选取17个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故 隔板有1719C 种不同的放法，根据分步计数原理，共有1719C 种不同的方法，因17块隔板将20个小球分成18组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于 一种分法，故有11m n m C -+-种分法. 点评：：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每个人（或位置）必须有

排列组合问题之捆绑法插空法和插板法

行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法 “相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。 例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？ 【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有 种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。根据分步 乘法原理，总的排法有种。 例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？ 【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。 【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。 “不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。 例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？

【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。由乘法原理，共有排队方法： 。 例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？ 【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。 例4．一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ 【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有种方法（请您想想为什么不是），因此所有不同的关灯方法有种。 【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。 练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法？（国考2008-57） A．20 B．12 C．6 D．4

隔板法解决排列组合问题高高三

“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三） 排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。 例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？ （2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种？ （3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？ 解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图001000010000100隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中 选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有3 11 C=165种。 （2）法1：（分类）①装入一个盒子有1 44 C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小 球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有21 41166 C C=种;③装入三个盒子，即12个相同 的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32 411 C C=220种;④装入四个盒子，即12个 相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有3 11165 C=种;由加法原理得共有 4+66+220+165=455种。 法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4 个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有3 15455 C=种。 （3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可 以装在1个盒子或两个盒子，共有12 4410 C C +=种。 法2：先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6个相同的小 球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有3 510 C= 由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。

利用隔板法巧解排列组合题

利用隔板法巧解排列、组合题 河南省卢氏县第一高级中学，孙仕卿 472200 隔板法是将相同的球放入不同的盒子，每盒放入球的个数不限，求不同方法种数的一种解题方法。利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题。 一、 放球问题。 例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？ 解：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 311种排法。 311C =1 2391011????=165(种) 所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法。 点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。隔板的块数要比盒子数少1。 一、 指标分配问题。 例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？ 解：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，这样，把10相同的名额分配到6个不同的班级中，适合隔板法。将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，可分以下两步完成。第一步：每班先给1个名额，仅有1种给法；第二步：将剩余的4个名额分到这6个班里，由隔板法知，此时，有C 59种不同分法。由分步计数原理知，共有C 59种不同分法。 C 59=C 49=1 2346789??????=126（种）。 答：某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有126种不同分法. 点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，故适合隔板法。 二、 求n 项展开式的项数。 例3、求10521)(x x x +???++展开式中共有多少项？ 解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、…、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈），记作i x 的i k 次方。这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一 项。由隔板法知，这样的放法共有414C 种，故10521)(x x x +???++的展开式中共有414C 项。

行测排列组合例题

行测排列组合例题Last revision on 21 December 2020

排列组合基础知识讲座 首先看一道简单的例题 例1：用1、2、3、4四个数字组成数字不重复的二位数，可以有多少种组法 解答： 题目的意思是从4个数字中随意选出2个数字，然后组成一个2位数，问一共可以组成多少个这样的2位数。假设我们随意选取1,2,可以组成12和21，虽然都是由1，2组成，但由于位置不同，仍然是两个不同的数字。由于和位置有关，所以这是排列问题。 （注意：虽然题目问的是有多少种组法，但仍然属于排列问题） 排列公式的定义如下 r n P 也可写成P （n,r ）其中n 表示总共的元素个数，r 表示进行排列的元素个数，！表示阶乘，例如6！=654321?????，5!= 54321????，但要特别注意1！=0！=1。假设n=5，r=3，则 P （5,3）=5!5432160(53)!21 ????==-? 在这个题目里，总共的元素个数是4 ，所以n=4，从所有元素中取出2个进行排列，所以r=2。根据公式 P （4,2）= 4!432112(42)!21 ???==-? 因此共有12种组法。 下面我们一起来看考试当中出现的一个题目： 例2. 黄、白、蓝三个球，从左到右顺次排序，有几种排法 解答：

假设我们已经找出了两种排列方法（黄、白、蓝）和（蓝、白、黄），可以发现虽然都是用的一样的球，但因为和位置有关，所以还是两种不同的排法。很明显这属于排列问题。在这里，总共的元素个数是3 ，所以n=3，从所有元素中取出3个进行排列，所以r=3。根据公式 P（3,3）= 3!321 6 (33)!1 ?? == - （计算的时候注意0！=1） 因此共有6种排法。 如果我们把这个题目改一改，变成 例3 黄、白、蓝三个球，任意取出两个，对这两个球从左到右顺次排序，有几种排法解答 这仍然属于排列问题，只不过r变成了2。在这里，总共的元素个数是3 ，所以n=3，从所有元素中取出2个进行排列，所以r=2。根据公式 P（3,2）= 3!321 6 (32)!1 ?? == - （计算的时候注意1！=1） 因此还是有6种排法。 下面我们这个题目再变一下 例4黄、白、蓝三个球，任意取出两个，有几种取法 解答： 假设我们第一次取出黄球，第二次取出白球，或者第一次取出白球，第二次取出黄球，可以发现虽然顺序不同，但都是同一种取法，即（黄，白）和（白，黄）是同一种取法。由于和取出的球的排列位置无关，因此这属于组合问题。 组合公式的定义如下

排列组合--插板法、插空法、捆绑法32415

排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻） 插板法（m为空的数量） 【基本题型】 有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？ ”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的， 【总结】 需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。 注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。 插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 举个很普通的例子来说明 把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况? 问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 e 二次插板法 例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况? -o - o - o - o - o - o - 三个节目abc 可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位 所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种 【基本解题思路】 将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。

行测排列组合例题整理

排列组合基础知识讲座 首先看一道简单的例题 例1：用1、2、3、4四个数字组成数字不重复的二位数，可以有多少种组法？ 解答： 题目的意思是从4个数字中随意选出2个数字，然后组成一个2位数，问一共可以组成多少个这样的2位数。假设我们随意选取1,2,可以组成12和21，虽然都是由1，2组成，但由于位置不同，仍然是两个不同的数字。由于和位置有关，所以这是排列问题。 （注意：虽然题目问的是有多少种组法，但仍然属于排列问题） 排列公式的定义如下 !()!r n n P n r =- r n P 也可写成P （n,r ）其中n 表示总共的元素个数，r 表示进行排列的元素个数，！表示阶乘，例如6！=654321?????，5!= 54321????，但要特别注意1！=0！=1。假设n=5，r=3，则 P （5,3）=5!5432160(53)!21 ????==-? 在这个题目里，总共的元素个数是4 ，所以n=4，从所有元素中取出2个进行排列，所以r=2。根据公式 P （4,2）=4!432112(42)!21 ???==-? 因此共有12种组法。 下面我们一起来看考试当中出现的一个题目： 例2. 黄、白、蓝三个球，从左到右顺次排序，有几种排法? 解答： 假设我们已经找出了两种排列方法（黄、白 、蓝） 和 （蓝、白、黄），可以发现虽然都是用的一样的球，但因为和位置有关，所以还是两种不同的排法。很明显这属于排列问题。在这里，总共的元素个数是3 ，所以n=3，从所有元素中

取出3个进行排列，所以r=3。根据公式 P （3,3）=3!3216(33)!1 ??==- （ 计算的时候注意0！=1） 因此共有6种排法。 如果我们把这个题目改一改，变成 例3 黄、白、蓝三个球，任意取出两个，对这两个球从左到右顺次排序，有几种排法? 解答 这仍然属于排列问题，只不过r 变成了2。在这里，总共的元素个数是3 ，所以n=3，从所有元素中取出2个进行排列，所以r=2。根据公式 P （3,2）=3!3216(32)!1 ??==- （ 计算的时候注意1！=1） 因此还是有6种排法。 下面我们这个题目再变一下 例4 黄、白、蓝三个球，任意取出两个，有几种取法? 解答： 假设我们第一次取出黄球，第二次取出白球，或者第一次取出白球，第二次取出黄球，可以发现虽然顺序不同，但都是同一种取法，即（黄，白）和（白，黄）是同一种取法。由于和取出的球的排列位置无关，因此这属于组合问题。 组合公式的定义如下 ()!!!r n n C r n r =- r n C 也可写成C （n,r ）其中n 表示总共的元素个数，r 表示进行组合的元素个数，！表示阶乘，例如6！=654321?????，5!= 54321????，但要特别注意1！=0！=1。假设n=5，r=3，则 C （5,3）=5!54321302!(53)!(21)(21) ????==-??? 另外，为便于计算，还有个公式请记住 r n r n n C C -=

行测排列组合习题

错位重排问题又称伯努利-欧拉错装信封问题，是组合数学史上的一个著名问题。此问题的模型为： 编号是1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法? 对这类问题有个固定的递推公式，记n封信的错位重排数为Dn,则D1=0，D2=1， Dn=(n-1)( Dn-1+ Dn-2)。这样，就能根据这个递推公式推出所有数的错位重排，解题时又快又准 1.张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个节目，有多少种安排方法？ A,20 B.12 C,6 D,4 2. 某单位今年新近3个工作人员，可以分配到3个部门，但是每个部门之多只能接收2个人，问有几种不同分配方案 A.18 B.20 C.24 D28 3.班委改选，由8人竞选班长、学习委员、生活委员、文娱委员和体育委员五种职务。最后每种职务都有一个人担当，则共有多少种结果?( ) A．120 B．40320 C．840 D．6720 4. 乒乓球比赛共有14名选手参加，先分成两组参加单循环比赛，每组7人，然后根据积分由两组的前三名再进行单循环比赛，决出冠亚军，请问共需要多少场？ A.54 B.56 C.57 D.60 5. 林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少不同选择方法? ( ) A. 4 B. 24 C. 72 D. 144 6.从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的选法 A.240 B.310 C.720 D.1080 7.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有( ) A280种B240种C180种 D96种 8.五人排队甲在乙前面的排法有几种? A.60 B.120 C.150 D.180 9.若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，要求甲和乙两个人必须不站在一起，且甲和乙不能站在两端，则有多少排队方法?

专题十一：隔板法在解排列组合问题中的应用(同元分组问题)

隔板法在解排列组合问题中的应用 隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法，本文将将通过例题将这种方法作以介绍，供同学们学习时参考. 一、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题 例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？ 分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法. 解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，将20个小球及两块隔板排成一排，两块隔板将小球分成三块，从左到右看成三个盒子应放的球数，每一种隔板与球的排法对应一种分法.将20个小球和2块隔板排成一排有22个位置，先从这22个位置中取出两个位置放隔 板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有222C 种不同的放法，再将小球 放入其他位置，由于小球与隔板都无差别，故小球之间无序，只有1种放法，根据分步计数 原理，共有222C ×1=231种不同的方法. 点评：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，允许若干组为空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品和1m -块隔板排成一排，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有11m n m C -+-种不同的方法， 再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有11m n m C -+-×1=11m n m C -+-种排法,因 1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的 排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法. 二、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每人（或位置）必须有物品问题 例2将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方法？ 分析：本题是名额分配问题，用隔板法. 解析：将20个名额分配给18个班，每班至少1个名额，相当于将20个相同的小球分成18组，每组至少1个，将20个相同的小球分成18组，需要17块隔板，先将20个小球排成一排，因小球相同，故小球之间无顺序，是组合，只有1种排法，再在20个小球之间的19个空档中，选取17个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有1719C 种不同的放法，根据分步计数原理，共有17 19C 种不同的方法，因17块隔板将20个小球分成18组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法. 点评：：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每个人（或位置）必须有

插板法、插空法解排列组合问题

插板法、插空法解排列组合问题 华图教育 邹维丽 排列组合问题是行测数学运算中的经常碰到的一类问题，试题具有一定的灵活性、机敏性和综合性，也是考生比较头疼的问题。掌握排列组合问题的关键是明确基本概念，熟练基本题型。解决排列组合问题的方法很多，有插板法，捆绑法，优先法等等，本文主要介绍插板法、插空法在行测数学运算中的应用，以供大家参考。 所谓插板法，就是在n 个元素间的n-1个空中插入若干个（b ）个板，可以把n 个元素 分成b+1组的方法，共有b n C 1-种方法。 应用插板法必须满足三个条件： (1) 这n 个元素必须互不相异； (2) 所分成的每一组至少分得一个元素； (3) 分成的组别彼此相异 举个普通的例子来说明。 把8个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题 干满足条件（1），（2），（3），所以适用插板法。在8个小球间的7个空插入3个板，共有35 37=C 种情况。 上面介绍的插板法主要是用解决相同元素的名额分配问题，而对于排列组合中常出现的几个元素的不相邻问题，我们可以用插空法来解决，对这种问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。 下面我们通过几道题来熟悉这两种方法的应用。 例1 某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（ ）（国2010 -46） A.7 B.9 C.10 D.12 【解析】C 。本题乍一看不满足应用插板法的条件，插板法的条件（2）要求所分成的每一组至少分得一个元素，可本题要求每个部门至少发放9份材料。事实上，我们可以分两步来解这道题： 1. 先给每个部门发放8份材料，则还剩下30-8*3=6份材料。 2. 本题即可转化为：将6份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放1份材料。问一共有多少种不同的发放方法？应用插板法可得共有103 5=C

隔板法解决排列组合问题

隔板法解决排列组合问题 Prepared on 22 November 2020

“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有 序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。 例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种 （2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种 （3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种 解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以 不同的放法有3 11 C=165种。 （2）法1：（分类）①装入一个盒子有1 44 C=种；②装入两个盒子，即12 个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有21 41166 C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32 411 C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每 盒至少装一个有3 11165 C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。

最新排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所 有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类， 又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法； （6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题： 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。 混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题： 定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。 随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。 5．隔板法： 不可分辨的球即相同元素分组问题

行测排列组合秒杀方法(免费分享).

排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合． (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法． (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法． 这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来． (二)排列和排列数 (1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法． (2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！ (三)组合和组合数 (1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个 这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的． 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理

“隔板法”解决排列组合问题

隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解, 下面通过典型例子加以解决。 例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种 （2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种 （3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种 解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11 个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“ 1”看成隔板，则如图00 隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4 四个盒子相应放入2个，4个，4个，2 个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11 个间隔中选出 3 个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有C131 =165 种。 1 （2）法1 （分类）①装入一个盒子有C4 4种；②装入两个盒子，即12个相同的小 21 球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有C42C111 66种; ③装入三个盒子，即12个相同 的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有C：Gi=220种;④装入四个盒子，即12个 相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有C131 165种;由加法原理得共有 4+66+220+165=455 种。 法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12 个小球任意装，即16 个小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有C135 455 种。 （3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，则这两个小球可以装在 1 个盒子或两个盒子，共有C41C4210 种。 法2：先给每个盒子装上比编号小 1 的小球，还剩 6 个小球，则转化为将 6 个相同的小球装入4 个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有C5310 由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。

排列组合中的三种方法三

排列组合中的三种方法三 在事业单位行测考试中，排列组合题型也是常考知识点之一，但是大多数考生对这种题型可谓望而却步。中公教育团队，针对此类问题，总结归纳出这类题型的解题方法，希望对广大考生有所帮助! 三、插板法 所谓插板法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少1的板插入元素之间形成分组的解题策略。 提醒：其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。 【例题】将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法? 解题思路：解决这道问题只需要将8个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。因此问题只需要把8个球分成三组即可，于是可以讲8个球排成一排，然后用两个板查到8个球所形成的空里，即可顺利的把8个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。因为每个盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是。(板也是无区别的) 【例题】有9颗相同的糖，每天至少吃1颗，要4天吃完，有多少种吃法? 解题思路：原理同上，只需要用3个板插入到9颗糖形成的8个内部空隙，将9颗糖分成4组且每组数目不少于1即可。因而3个板互不相邻，其方法数为。 【例题】将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，一共有多少种方法?

解题思路：此题中没有要求每个盒子中至少放一个球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍旧是插入2个板，分成三组。但在分组的过程中，允许两块板之间没有球。其考虑思维为插入两块板后，与原来的8个球一共10个元素。所有方法数实际是这10个元素的一个队列，但因为球之间无差别，板之间无差别，所以方法数实际为从10个元素所占的10个位置中挑2个位置放上2个板，其余位置全部放球即可。因此方法数为。 最新招考公告、备考资料就在辽宁事业单位考试网 https://www.wendangku.net/doc/8118678752.html,/liaoning/

公务员行测排列组合的六种方法

搞定排列组合的六种方法 公务员考试行测中的排列组合题我们在高中时候就学过，但具体面对这类题目时依然存在很大的疑惑，感觉无从下手，或者有时候做出来了错误率也极高。那么究竟该如何复习排列组合这类考题呢?在此传授给大家六个“高招”，让你看到此题不再愁。 一、何为排列组合 在传授“招数”之前，先回顾一下排列与组合的基本概念以及在具体题目中如何快速识别。比如，4 个人中挑选 2 个人相互握手，先选甲、再选乙或者先选乙、再选甲;这两种不同的选择顺序，最终都是甲乙2 人互相握手，所以，顺序对结果不造成影响，则叫组合，记为C42 ;反之，若4 个人中挑选2 个人，一个当班长，一个当学委，那么先选甲、再选乙或者先选乙、再选甲;这两种不同的选择顺序会带来两种不同的结果：甲当班长、乙当学委或者乙当班长、甲当学委。所以，顺序对结果造成影响，则叫排列，记为A42。 二、解答排列组合六招数 招数一：优先法 优先法，即对有特殊要求的元素优先进行考虑。 例题1：a、b、c、d、e、f 6 个人排队，问a、b 既不在排头也不在排尾的方式有几种? 解析：a、b 是具有特殊要求的元素，优先进行考虑，一头一尾不能选，只有中间4 个位置，于是有A42 。剩下的c、d、e、f 4 个人，4 个位置全排列， A44 。所以，总的排列方式是A42·A44 。 招数二：捆绑法 捆绑法，即将相邻元素捆绑在一起作为一个整体和其它元素进行排列与组合。例题2：计划展出10 幅不同的画，其中1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画，排成一行陈列，要求同品种的必须连在一起，那么共有多少陈列方式的种数? 解析：把 4 幅油画必须相邻看成一个整体、5 幅国画必须相邻看成一个整体，则加上水彩画一共有3 个整体，所以排列方式是A33 。