冲刺(必考试题)年中考数学复习 第三单元 函数 第11讲 反比例函数练习

第11讲 反比例函数

重难点1 反比例函数的图象和性质

已知反比例函数y ＝k

x ，完成下列问题：

(1)若k<0，则函数分布在第二、四象限；

(2)若直线y ＝ax(a ＞0)与反比例函数y ＝k

x 交于点A(2，m)和点B(n ，－1)，则m ＋n ＝－1，且反比例函数的解

析式为y ＝2

x

；

(3)当k<0时，有点A(x 1，y 1)与点B(x 2，y 2)在反比例函数y ＝k

x 的图象上，若y 1>0>y 2，则x 1与x 2的大小关系是

x 1<0

(4)如图，在同一直角坐标系中，函数y ＝k x

与y ＝kx ＋k 2

的大致图象是(C )

A B C D

方法指导①反比例函数图象除一般常规的性质外，还有一条重要性质——对称性，反比例函数图象既是轴对称对称图形又是中心对称图形．

②判断同一坐标系中反比例函数与一次函数图象共存的方法：假设其中反比例函数解析式与图象吻合，确定k 的取值范围，然后确定一次函数的图象，看是否相符．Ｋ

易错提示注意反比例函数的增减性需要强调“在每个象限内”.

【变式训练1】 (2018·滨州)若点A(－2，y 1)，B(－1，y 2)，C(1，y 3)都在反比例函数y ＝k 2

－2k ＋3

x (k 为常数)的

图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为y 2＜y 1＜y 3．

【变式训练2】 (2017·菏泽)直线y ＝kx(k>0)与双曲线y ＝6

x 交于A(x 1，y 1)和B(x 2，y 2)两点，则3x 1y 2－9x 2y 1的值

为36．

重难点2 反比例函数中k 的几何意义

(1)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝k

x (x>0)的图象交矩形OABC 的边AB 于点D ，交边BC 于点E ，

且BE ＝2EC.

①若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为3．

方法一：坐标法(通法) 第一步：设点

设点C 的坐标为(a ，0)． 第二步：标其他点

∵点E 在反比例函数图象上，∴代入得y E ＝k a ，则点E 坐标为(a ，k

a )．

∵BE＝2EC ，∴点B 的坐标为(a ，3k

a

)．

又∵点D 与点B 的纵坐标一样，且点D 在反比例函数图象上， ∴点D 的坐标为(a 3，3k

a

)．

第三步：列方程

∵S 四边形ODBE ＝S 四边形ODBC －S △OCE ＝6，∴代入各点坐标后解得，k ＝3． 方法二：面积法

连接OB ，∵四边形OABC 是矩形，点D ，E 在反比例函数图象上， ∴S △OAD ＝S △OCE ＝k

2

.

又∵BE＝2EC ，∴S △OBE ＝2S △OCE ＝k. ∵OB 是矩形的对角线， ∴S △AOB ＝S △BOC ＝3k

2

.

∴S △OBD ＝S △OBE ＝k.

∴S 四边形ODBE ＝S △ODB ＋S △OBE ＝2k ＝6，即k ＝3.

②【拓展提问】 连接DE ，若△BDE 的面积为6，则k ＝9．

(2)如图，A ，B 是双曲线y ＝k

x 上的两点，过点A 作AC⊥x 轴，交OB 于点D ，垂足为C.若△ADO 的面积为1，D 为OB

的中点，则k 的值为－8

3

．

(3)(2018·玉林)如图，点A ，B 在双曲线y ＝3x (x ＞0)上，点C 在双曲线y ＝1

x (x ＞0)上．若AC∥y 轴，BC∥x 轴，且

AC ＝BC ，则AB 等于(B )

A . 2

B ．2 2

C ．4

D ．3 2

(4)如图，O 为坐标原点，四边形OACB 是菱形，OB 在x 轴的正半轴上，sin ∠AOB ＝45，反比例函数y ＝48

x 在第一象

限的图象经过点A ，与BC 交于点F ，则△AOF 的面积等于(D )

A ．60

B ．80

C ．30

D ．40

方法指导坐标法求k 的几何意义的步骤：第一步→设点．用未知数表示点的坐标，通常从较小的点开始；第二步→标其他点．将图中所用到的点都用假设的未知数表示；第三步→列方程．根据已知条件，一般是利用面积或将点的坐标代入解析式．(请务必将此方法学会，以应对题型的变化)

模型构建如图，则S △OAB ＝S 梯形ABCD .

如图，结论：矩形ABCO 与反比例函数图象交于点E ，F ，则CE CB ＝AF

AB

.

易错提示在运用k 的几何意义确定k 值时，一定要结合函数图象确定k 取值的范围，否则易出现符号错误． 变式点几何图形与“两条”双曲线相交 思考(4)题如果用面积法怎么做？ 提示：连接AB ，则S △AOB ＝S △AOF

重难点3 反比例函数与一次函数综合

(2018·淄博改编)如图，直线y 1＝－x ＋4，y 2＝34x ＋b 都与双曲线y ＝k

x 交于点A(1，m)，这两条直线分别与

x 轴交于B ，C 两点．

(1)求y 与x 之间的函数关系式；

(2)直接写出当x ＞0时，不等式34x ＋b ＞k

x

的解集；

(3)若点P 在x 轴上，连接AP 把△ABC 的面积分成1∶3两部分，求此时点P 的坐标．

【思路点拨】 (1)求出点A 的坐标，将点A 坐标代入y ＝k

x ，即可求出y 与x 之间的函数关系式；(2)观察图象

即可得出解集；(3)分两种情况讨论，CP ＝3PB 或CP ＝1

3

BP.

【自主解答】 解：(1)将A(1，m)代入y 1＝－x ＋4，可得 m ＝－1＋4＝3.∴A(1，3)．

将A(1，3)代入双曲线y ＝k

x ，可得k ＝1×3＝3.

∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝3

x

.

(2)∵A(1，3)，∴当x ＞0时，不等式34x ＋b ＞k

x 的解集为x ＞1.

(3)y 1＝－x ＋4，令y ＝0，则x ＝4.∴点B 的坐标为(4，0)． 把A(1，3)代入y 2＝34x ＋b.可得3＝34＋b.∴b＝9

4.

∴y 2＝34x ＋9

4

.

令y ＝0，则x ＝－3，即C(－3，0)．∴BC＝7. ∵AP 把△ABC 的面积分成1∶3两部分， ∴CP＝14BC ＝74，或BP ＝14BC ＝74

.

∴OP ＝3－74＝54，或OP ＝4－74＝94.∴P(－54，0)或(9

4

，0)．

方法指导对于一次函数与反比例函数综合题，常涉及以下几个方面： 1．求交点坐标：联立方程组求解即可．

2．确定函数解析式：将交点坐标代入y ＝k

x 可求k ，由两交点A ，B 坐标利用待定系数法可求y ＝ax ＋b.

3．利用函数图象确定不等式ax ＋b ＞k x 或ax ＋b ＜k

x

的解集时，数形结合进行分析判断：

(1)先找交点，以交点为界；

(2)观察交点左右两边区域的两个函数图象的上、下位置关系；

(3)根据：图象在上方，函数值较大，图象在下方，函数值较小，即可求出自变量的取值范围．

4．涉及与面积有关的问题时，要善于把点的横、纵坐标转化为图形边长的长度，对于所求图形的边均不在x 轴、y 轴或不与坐标轴平行的时候，不便直接求，可分割为易求的规则图形面积进行相关转化．Ｋ

【拓展提问】 (4)设y 1＝－x ＋4与双曲线的另一交点为点D ，在x 轴上找一点Q 使得QA ＋QD 的值最小，并写出Q 点坐标：(5

2

，0)．

【变式训练3】 (2018·潍坊改编)如图，直线y ＝3x －5与反比例函数y ＝k －1

x 的图象相交于A(2，m)，B(n ，－6)

两点，连接OA ，OB.

(1)则k ＝3，n ＝－1

3

；

(2)求△AOB 的面积．

解：设直线y ＝3x －5分别与x 轴，y 轴相交于点C ，点D ， 当y ＝0时，即3x －5＝0，x ＝53，∴OC＝5

3.

当x ＝0时，y ＝3×0－5＝－5，∴OD＝5.

∵点A(2，m)在直线y ＝3x －5上， ∴m＝3×2－5＝1，即A(2，1)．

∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △COD ＋S △BOD ＝12×(53×1＋53×5＋13×5)＝35

6

.

方法指导求两个交点与坐标原点构成的三角形的面积的关键点与例题相同——一次函数图象与坐标轴的交点；求三角形面积时可采用割补法．

考点1 反比例函数的图象与性质

1．(2018·柳州)已知反比例函数的解析式为y ＝|a|－2

x

，则a 的取值范围是(C )

A ．a ≠2

B ．a≠－2

C ．a≠±2

D ．a ＝±2

2．(2018·海南)已知反比例函数y ＝k

x

的图象过点P(－1，2)，则这个函数的图象位于(D )

A ．二、三象限

B ．一、三象限

C ．三、四象限

D ．二、四象限

3．(2017·广东)如图，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x(k 1≠0)与双曲线y ＝k 2

x (k 2≠0)相交于A ，B 两点，已

知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为(A )

A ．(－1，－2)

B ．(－2，－1)

C ．(－1，－1)

D ．(－2，－2)

4．(2018·衡阳)对于反比例函数y ＝－2

x

，下列说法不正确的是(D )

A ．图象分布在第二、四象限

B ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大

C ．图象经过点(1，－2)

D ．若点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)都在图象上，且x 1＜x 2，则y 1＜y 2

5．反比例函数y ＝k

x

与一次函数y ＝－kx －k 在同一直角坐标系中的图象可能是(C )

6．(2017·兰州)如图，反比例函数y ＝k

x (x<0)与一次函数y ＝x ＋4的图象交于A ，B 两点，A ，B 两点的横坐标分别

为－3，－1，则关于x 的不等式k

x

A ．x<－3

B ．－3

C ．－1

D ．x<－3或－1

7. (2018·威海改编)若点(－2，y 1)，(－1，y 2)，(3，y 3)在双曲线y ＝k

x (k ＜0)上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是y 3

＜y 1＜y 2．

考点2 反比例函数的应用 8．码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y(min )与装载速度x(t /min )之间的函数关系如图(双曲线y ＝k

x

的一支)．如果以5 t /min 的速度卸货，那么卸完货物需要时间是120min .

考点3 反比例函数中k 的几何意义

9．(2018·郴州)如图，A ，B 是反比例函数y ＝4

x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，

则△OAB 的面积是(B )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

10．(2018·贵阳)如图，过x 轴上任意一点P 作y 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝3x (x ＞0)，y ＝－6

x (x ＞0)的图

象交于点A 和点B.若C 为y 轴任意一点，连接AB ，BC ，则△ABC 的面积为9

2

．

11．(2018·烟台)如图，反比例函数y ＝k

x 的图象经过?ABCD 对角线的交点P ，已知点A ，C ，D 在坐标轴上，BD⊥DC，

?ABCD 的面积为6，则k ＝－3．

考点4 反比例函数与一次函数综合

12．(2018·成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点A(－2，0)，与反比例函数y ＝k

x

(x ＞0)的图象交于B(a ，4)． (1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)设M 是直线AB 上一点，过M 作MN∥x 轴，交反比例函数y ＝k

x (x ＞0)的图象于点N.若A ，O ，M ，N 为顶点的

四边形为平行四边形，求点M 的坐标．

解：(1)∵一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点A(－2，0)， ∴－2＋b ＝0.∴b＝2. ∴y＝x ＋2.

∵一次函数与反比例函数 y ＝k

x (x ＞0)交于B(a ，4)， ∴a＋2＝4.∴a＝2.∴B(2，4)． ∴y＝8

x

(x ＞0)．

(2)设M(m －2，m)，N(8

m

，m)．

当MN∥AO 且MN ＝AO 时，四边形AOMN 是平行四边形．

即|8

m

－(m －2)|＝2且m ＞0， 解得m ＝22或m ＝23＋2.

∴M 的坐标为(22－2，22)或(23，23＋2)．

13．(2018·济南)如图，点A 是反比例函数y ＝4

x (x ＞0)图象上一点，直线y ＝kx ＋b 过点A 并且与两坐标轴分别交

于点B ，C ，过点A 作AD⊥x 轴，垂足为D ，连接DC.若△BOC 的面积是4，则△DOC 的面积是

14．(2018·孝感)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(－1，1)，点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线y ＝6

x

上，过点C 作CE∥x 轴交双曲线于点E ，连接BE ，则△BCE 的面积为7．

15．(2018·北京)在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝k

x

(x ＞0)的图象与直线y ＝x －2交于点A(3，m)．

(1)求k ，m 的值；

(2)已知点P(n ，n)(n ＞0)，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线y ＝x －2于点M ，过点P 作平行于y 轴的直线，交函数y ＝k

x

(x ＞0)的图象于点N.

①当n ＝1时，判断线段PM 与PN 的数量关系，并说明理由； ②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．

解：(1)将A(3，m)代入y ＝x －2， ∴m＝3－2＝1.

∴A(3，1)．

将A(3，1)代入y ＝k

x ，∴k＝3×1＝3.

(2)①当n ＝1时，P(1，1)． 令y ＝1代入y ＝x －2，∴x＝3. ∴M(3，1)． ∴PM＝2.

令x ＝1代入y ＝3

x

，∴y＝3.

∴N(1，3)． ∴PN＝2. ∴PM＝PN.

②P(n，n)，n ＞0，P 在直线y ＝x 上，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线y ＝x －2于点M ，M(n ＋2，n)， ∴PM＝2.

∵PN≥PM，即PN≥2， ∵PN＝|3n －n|，|3

n －n|≥2.

∴0＜n ≤1或n ≥3.