2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程章末总结

第2章圆锥曲线与方程章末总结

知识点一圆锥曲线的定义和性质

对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．

例1已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．

知识点二直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．

在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两

个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．

例2

如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．

(1)求x1x2与y1y2的值；

(2)求证：OM⊥ON.

知识点三轨迹问题

轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：

(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．

(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．

(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．

(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．例3设点A、B是抛物线y2＝4px (p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

知识点四 圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．

例4 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y

23

＝1相交于A 、B 两点(A 、B 不是左、右顶点)，

A 2为椭圆的右顶点且AA 2⊥BA 2，求证：直线l 过定点．

知识点五 圆锥曲线中的最值、范围问题

圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略： (1)平面几何法

平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解． (2)目标函数法

建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．

例5 已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x 225＋y

29

＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求MA

＋MB 的最值．

例6 已知F 1、F 2为椭圆x 2

＋y

2

2

＝1的上、下两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求

△ABF 2面积的最大值．

章末总结

重点解读 例1 解

如图所示，设双曲线方程为x 2

a

2－y 2

b

2＝1 (a >0，b >0)． ∵e ＝c a

＝2，∴c ＝2a .

由双曲线的定义，

得|PF 1－PF 2|＝2a ＝c ，

在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：

F 1F 22＝PF 21＋PF 2

2－2PF 12PF 2cos 60°

＝(PF 1－PF 2)2

＋2PF 12PF 2(1－cos 60°)，

即4c 2＝c 2

＋PF 12PF 2.① 又S △PF 1F 2＝123， ∴1

2

PF 12PF 2sin 60°＝123， 即PF 12PF 2＝48.②

由①②，得c 2＝16，c ＝4，则a ＝2，b 2＝c 2－a 2

＝12，

∴所求的双曲线方程为x 24－y 2

12

＝1.

例2 (1)解 过点P (2,0)且斜率为k 的直线方程为：y ＝k (x －2)．

把y ＝k (x －2)代入y 2

＝2x ，

消去y 得k 2x 2－(4k 2＋2)x ＋4k 2

＝0， 由于直线与抛物线交于不同两点，

故k 2≠0且Δ＝(4k 2＋2)2－16k 4＝16k 2

＋4>0，

x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4＋2

k

2，

∵M 、N 两点在抛物线上， ∴y 212y 2

2＝4x 12x 2＝16， 而y 12y 2<0，∴y 1y 2＝－4.

(2)证明∵ OM →＝(x 1，y 1)， ON →

＝(x 2，y 2)， ∴OM →2ON →

＝x 12x 2＋y 12y 2＝4－4＝0. ∴OM →⊥ON →

，即OM ⊥ON .

例3 解 设直线OA 的方程为y ＝kx (k ≠±1，因为当k ＝±1时，直线AB 的斜率不存

在)，则直线OB 的方程为y ＝－x k

，进而可求A ? ??

??4p k 2，4p k 、

B (4pk 2

，－4pk )．

于是直线AB 的斜率为k AB ＝

k

1－k

2

，

从而k OM ＝k 2－1

k

，

∴直线OM 的方程为y ＝k 2－1

k x ，①

直线AB 的方程为y ＋4pk ＝－k k －1

(x －4pk 2

)．②

将①②相乘，得y 2＋4pky ＝－x (x －4pk 2

)，

即x 2＋y 2＝－4pky ＋4pk 2x ＝4p (k 2

x －ky )，③

又k 2

x －ky ＝x ，代入③式并化简，

得(x －2p )2＋y 2＝4p 2

.

当k ＝±1时，易求得直线AB 的方程为x ＝4p .

故此时点M 的坐标为(4p,0)，也在(x －2p )2＋y 2＝4p 2

(x ≠0)上．

∴点M 的轨迹方程为(x －2p )2＋y 2＝4p 2

(x ≠0)，

∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p 的圆，去掉坐标原点．

例4

证明 设A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，

联立?????

y ＝kx ＋m ，x 24＋y

2

3

＝1，

得(3＋4k 2

)x 2＋8mkx ＋4(m 2

－3)＝0，

则???

??

Δ＝64m 2k 2

－16 3＋4k 2 m 2

－3 >0，

x 1

＋x 2

＝－8mk 3＋4k 2，

x 1x 2

＝4 m 2

－3 3＋4k

2

.

即???

??

3＋4k 2－m 2

>0，

x 1

＋x 2

＝－8mk 3＋4k 2

，

x 1x 2

＝4 m 2

－3 3＋4k

2

.

又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2

＝3 m 2－4k 2

3＋4k

2

. ∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2，

∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0. ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0.

∴3 m 2－4k 2 3＋4k 2＋4 m 2

－3 3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0.

∴7m 2＋16km ＋4k 2

＝0，

解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7

，且均满足3＋4k 2－m 2

>0.

当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)， 直线过定点(2,0)，与已知矛盾．

当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ? ????x －27，直线过定点? ??

??27，0，∴直线l 过定点． 例5 解 因为A (4,0)是椭圆的右焦点，设A ′为椭圆的左

焦点，则A ′(－4,0)，由椭圆定义知MA ＋MA ′＝10.

如图所示，则MA ＋MB ＝MA ＋MA ′＋MB －MA ′＝10＋MB －MA ′≤10＋A ′B . 当点M 在BA ′的延长线上时取等号． 所以当M 为射线BA ′与椭圆的交点时， (MA ＋MB )max ＝10＋A ′B ＝10＋2

10.

又如图所示，MA ＋MB ＝MA ＋MA ′－MA ′＋MB ＝10－(MA ′－MB ) ≥10－A ′B ，

当M 在A ′B 的延长线上时取等号． 所以当M 为射线A ′B 与椭圆的交点时， (MA ＋MB )min ＝10－A ′B ＝10－210. 例6 解 由题意，F 1F 2＝2. 设直线AB 方程为y ＝kx ＋1，

代入椭圆方程2x 2＋y 2

＝2，

得(k 2＋2)x 2

＋2kx －1＝0，

则x A ＋x B ＝－2k k 2＋2，x A 2x B ＝－1

k 2＋2，

∴|x A －x B |＝8 k 2

＋1

k 2＋2

.

S △ABF 2＝12F 1F 22|x A －x B |＝223k 2

＋1

k 2＋2

＝2231k 2＋1＋1k 2

＋1≤2231

2

＝ 2.

当k 2

＋1＝1k 2＋1

，即k ＝0时，

S △ABF 2有最大面积为 2.

(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：

注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：

（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。

4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；

二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。

第二章 圆锥曲线与方程(复习)

第二章 圆锥曲线与方程（复习） 校对人：聂格娇 审核人：徐立朝 1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程； 2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质； 3．能解决直线与圆锥曲线的一些问题． 7881，找出疑惑之处） 复习2： ① 若椭圆221x my +=，则它的长半轴长为__________； ②双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，则双曲线的方程为 ； ③以椭圆22 12516 x y +=的右焦点为焦点的抛物线方程为 ．

二、新课导学 ※ 典型例题 例1 当α从0到180变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？ 变式：若曲线22 11x y k k +=+表示椭圆，则k 的取值范围是 ． 小结：掌握好每类标准方程的形式． 例2设1F ，2F 分别为椭圆C ：22 22x y a b + =1(0)a b >>的左、右两个焦点． ⑴若椭圆C 上的点A （1，32 ）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； ⑵设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1F K 的中点的轨迹方程． 变式：双曲线与椭圆22 12736 x y +=有相同焦点，且经过点，求双曲线的方程．

※动手试试 练1．已知ABC ?的两个顶点A，B坐标分别是(5,0) -，(5,0)，且AC，BC 所在直线的斜率之积等于m(0) m≠，试探求顶点C的轨迹． 练2．斜率为2的直线l与双曲线 22 1 32 x y -=交于A，B两点，且4 AB=， 求直线l的方程． 三、总结提升 ※学习小结 1．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程； 2．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质； 3．直线与圆锥曲线． ※知识拓展 圆锥曲线具有统一性： ⑴它们都是平面截圆锥得到的截口曲线； ⑵它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值的取值范围不同形成了不同的曲线； ⑶它们的方程都是关于x，y的二次方程．

《圆锥曲线与方程》单元测试卷 答案

《圆锥曲线与方程》单元测试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.） 1.方程132-=y x 所表示的曲线是 （ ） （A ）双曲线 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一部分 （D ）椭圆的一部分 2.平面内两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么 （ ） （A ）甲是乙成立的充分不必要条件 （B ）甲是乙成立的必要不充分条件 （C ）甲是乙成立的充要条件 （D ）甲是乙成立的非充分非必要条件 3.椭圆14222=+a y x 与双曲线12 2 2=-y a x 有相同的焦点，则a 的值是 （ ） （A ）12 （B ）1或–2 （C ）1或12 （D ）1 4.若抛物线的准线方程为x =–7, 则抛物线的标准方程为 （ ） （A ）x 2=–28y （B ）y 2=28x （C ）y 2=–28x （D ）x 2＝28y 5．已知椭圆19 252 2=+y x 上的一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，O 为原点，则|ON|等于 （A ）2 （B ） 4 （C ） 8 （D ） 2 3 （ ） 6.顶点在原点，以x 轴为对称轴的抛物线上一点的横坐标为6，此点到焦点的距离等于10，则抛物线焦点到准线的距离等于 （ ） （A ） 4 （B ）8 （C ）16 （D ）32 7.21F F 为双曲线2 214 x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ∠=o ，则21PF F ?的面积是 （A ） 2 （B ）4 （C ）8 （D ）16 （ ） 8.过点P （4，4）与双曲线22 1169 x y -=只有一个公共点的直线有几条 （ ） （A ） 1 （B ） 2 （C ）3 （D ）4 9、已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其交于N M 、两点，MN 中点的横坐标为3 2-，则此双曲线的方程是 （ ）

(新)高中数学圆锥曲线方程知识点总结

§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程 1. 椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于定长（定长通常等于2a ，且2a >F 1F 2） 的点的轨迹叫椭圆。 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ （1）①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 22 2 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . 注：A.以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2 2 2 b a c =-； B.在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2 x 和 2y 的分母的大小。 ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：12 22 2=+ b y a x 的参数方程为???==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵椭圆的性质 ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e = .【∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为2 2 2 x y a +=。】 ⑦焦（点）半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a b y a x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 ?-=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF

高三数学圆锥曲线与方程章末复习题1

知识改变命运 第2章 圆锥曲线与方程 §2.1 圆锥曲线 课时目标 1.理解三种圆锥曲线的定义.2.能根据圆锥曲线的定义判断轨迹的形状． 1．圆锥面可看成一条直线绕着与它相交的另一条直线l(两条直线不互相垂直)旋转一周 所形成的曲面．其中直线l 叫做圆锥面的轴． 2．圆锥面的截线的形状 在两个对顶的圆锥面中，若圆锥面的母线与轴所成的角为θ，不过圆锥顶点的截面与轴 所成的角为α，则α＝π2时，截线的形状是圆；当θ<α<π2 时，截线的形状是椭圆；0≤α≤θ时，截线的形状是双曲线；当α＝θ时，截线的形状是抛物线． 3．椭圆的定义 平面内到______________________________等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F 1，F 2叫做椭圆的________．两焦点间的距离叫做椭圆的________． 4．双曲线的定义 平面内到____________________________________________等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F 1，F 2叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________． 5．抛物线的定义 平面内__________________________________________________________的轨迹叫做抛物线，________叫做抛物线的焦点，__________叫做抛物线的准线． 6．椭圆、双曲线、抛物线统称为____________． 一、填空题 1．已知A ????－12，0，B 是圆F ：??? ?x －122＋y 2＝4 (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹为________． 2．方程5(x ＋2)2＋(y －1)2＝|3x ＋4y －12|所表示的曲线是________． 3．F 1、F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，从焦点F 2向△F 1MF 2顶点M 的外角平分线引垂线，垂足为P ，延长F 2P 交F 1M 的延长线于G ，则P 点的轨迹为__________(写出所有正确的序号)． ①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线． 4．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹是____________． 5．一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD 与OA 交于P 点．当点A 运动时点P 的轨迹是________． 6．若点P 到F(4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹表示的曲线是________． 7．已知两点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，到它们的距离的差的绝对值是6的点M 的轨迹是__________． 8．一动圆与⊙C 1：x 2＋y 2＝1外切，与⊙C 2：x 2＋y 2－8x ＋12＝0内切，则动圆圆心的轨迹为______________． 二、解答题

高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝 对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|， 则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方 程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时1 22 22=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条 件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2 y x +的最小值是___ ） （2）双曲线：焦点在x 轴上： 2 2 22b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴 上，离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开 口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在 分母大的坐标轴上。 如已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴 上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)2 3 ,1()1,( --∞） （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦 点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长 为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =± ； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆 越圆；e 越大，椭圆越扁。 如（1）若椭圆152 2 =+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或 3 25）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角 形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： 22） （2）双曲线（以22 22 1x y a b -=（0,0a b >>）为 例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等 时，称为等轴双曲线，其方程可设为 2 2 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤ 离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大； ⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围： 0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几 何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线： 一条准线2 p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线 ?1e =。 如设R a a ∈≠,0，则抛物线2 4ax y =的焦点坐标为 ________（答：)161 , 0(a ）； 5、点00(,)P x y 和椭圆122 22=+b y a x （0a b >>）的 关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>；（2） 点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1；（3）点 00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 6．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 （2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切； （3）相离：0?中， 以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要 条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 11．了解下列结论 （1）双曲线1 2 222 =-b y a x 的渐近线方程为0=±b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线 12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λ λ(22 22=-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 2 1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称 轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离） 为2b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ， 1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 12.圆锥曲线中线段的最值问题： 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)

2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末测试A新人教B版选修(I)

2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末测试A 新人教B 版选修 (I) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2 ＝－28y B ．y 2 ＝28x C ．y 2 ＝－28x D ．x 2 ＝28y 2．设P 是椭圆x 225＋y 2 16＝1上的点．若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 3．以椭圆x 216＋y 2 9＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( ) A. x 216－y 248＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 216－y 248＝1或y 29－x 2 27 ＝1 D ．以上都不对 4．椭圆x 2 25＋y 2 9＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( ) A ．(5,0)或(－5,0) B.? ????52，332或? ????5 2，－332 C ．(0,3)或(0，－3) D.? ????532，32或? ?? ?? －532，32 5．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.32 6．在y ＝2x 2 上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(1,2) C ．(2,1) D ．(－1,2) 7．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，且它的一个焦点在抛物线y 2 ＝12x 的准线上，则此双曲线的方程为( ) A.x 25－y 26＝1 B.x 27－y 2 5 ＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 24－y 2 3 ＝1 8．动圆的圆心在抛物线y 2 ＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0，－2) 9．椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦点为2 c ，若 d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )

“圆锥曲线与方程”复习讲义

“圆锥曲线与方程”复习讲义 高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求： (1) 圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. ④了解圆锥曲线的简单应用. ⑤ 理解数形结合的思想. （2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 第一课时 椭 圆 一、基础知识填空： 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________. 2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1 b y a x 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上, 焦点的坐标分别是是F 1 ______，F 2 ______； 椭圆)0b a (1 b x a y 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标 分别是F 1 _______，F 2 ______. 3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。 椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。 椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 二、典型例题： 例1.（2006全国Ⅱ卷文、理）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦 点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 例2.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ ） (A) 3 1 (B) 3 3 (C) 2 1 (D) 2 3 例3．（2005全国卷III 文、理）设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A B C ．2 D 1 例4.（2007重庆文）已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线04y 3=++x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） （A ）23 （B ）62 （C ）72 （D ）24 三、基础训练： 1.(2007安徽文)椭圆142 2 =+y x 的离心率为（ ） （A ） 23 （B ）4 3 （C ） 22 （D ）3 2 2.（2005春招北京理）设0≠abc ，“0>ac ”是“曲线c by ax =+2 2为椭圆”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 3．（2004福建文、理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆

高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结7558

圆锥曲线 1、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆122 22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0 202y a x b ； 在双曲线22 221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 202y a x b ；在抛物线 22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 2．了解下列结论 （1）双曲线1222 2=-b y a x 的渐近线方程为02222 =-b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222 =-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为22 1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线 的距离）为2 b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1）在ABC ?中，给出() 12 AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线; （2）在ABC ?中，给出2 22OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （3）在ABC ?中，给出=++，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （4）在ABC ?中，给出?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=r r 使；③若存在实数 ,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+u u u r u u u r u u u r 且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已 知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角,

高中二年级数学 第二章 圆锥曲线与方程(A)

第二章 圆锥曲线与方程(A) (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12 ，则此椭圆的方程为( ) A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212 ＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227 ＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29 ＝1 4．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( ) A ．1 B ．a 2 C ．b 2 D ．c 2 5．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24 ＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24 ＝1 6．设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2 ＝1的离心率e 的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，5) C ．(2,5) D ．(2，5) 7. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．抛物线 8．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若 FA ＋FB ＋FC ＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC |等于( )

人教a版数学【选修1-1】作业：第二章《圆锥曲线与方程》章末检测(a)(含答案)

1 第二章 章末检测(A) (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.1 2 C ．2 D ．4 2．设椭圆 x 2 m 2 ＋ y 2n 2 ＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为 1 2 ，则此椭圆的方程为( ) A. x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 2 12 ＝1 C. x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 2 48 ＝1 3．已知双曲线x 2a 2－ y 2 b 2 ＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在 抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A. x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 2 27 ＝1 C. x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 2 9 ＝1 4．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋ y 2 b 2 ＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆 的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( ) A ．1 B ．a 2 C ．b 2 D ．c 2

1 5．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则 双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 2 4＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 2 4＝1 6．设a >1，则双曲线x 2a 2－ y 2a ＋1 2 ＝1的离心率e 的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．( 2，5) C ．(2,5) D ．(2， 5) 7．过点M (2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则这样的直线的条数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 8．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦距，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC → ＝0，则FB →|＋|FB →|＋|FC → |等于( ) A ．9 B ．6 C ．4 D ．3 9．已知双曲线x 2a 2－ y 2b 2 ＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．(1,2) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 10．若动圆圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0，－2) 11．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )

圆锥曲线与方程单元知识总结

圆锥曲线与方程单元知识总结、公式及规律 一、圆锥曲线 1．椭圆 (1)定义 定义1：平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)． 定义2：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常 数＝＜＜时，这个点的轨迹是椭圆． e (0e 1)c a (2)图形和标准方程 图－的标准方程为：＋＝＞＞图－的标准方程为：＋＝＞＞811(a b 0) 821(a b 0) x a y b x b y a 222 2222 2 (3)几何性质

2．双曲线 (1)定义 定义1：平面内与两个定点F F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点 1、

的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)． 定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)． (2)图形和标准方程 图8－3的标准方程为： x a y b 2 2 2 2 －＝＞，＞ 1(a0b0) 图8－4的标准方程为： y a x b 2 2 2 2 －＝＞，＞ 1(a0b0) (3)几何性质

3．抛物线 (1)定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． (2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表： ①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离． ②p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离． ③弦长公式：设直线为＝＋抛物线为＝，＝y kx b y 2px |AB|212+k |x x ||y y |2121－＝－11 2+ k 焦点弦长公式：|AB|＝p ＋x 1＋x 2 4．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当0＜e ＜1时，是椭圆，当e ＞1时，是双曲线，当e ＝1时，是抛物线． 二、利用平移化简二元二次方程 1．定义 缺xy 项的二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A 、C 不同时为0)※，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程． A ＝C 是方程※为圆的方程的必要条件． A 与C 同号是方程※为椭圆的方程的必要条件． A 与C 异号是方程※为双曲线的方程的必要条件． A 与C 中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件．

高中数学圆锥曲线小结论

椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.

第二章圆锥曲线与方程教案

第二章圆锥曲线与方程 一、课程目标 在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,在本模块中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想。 二、学习目标： （1）、圆锥曲线： ①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。 ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。 ④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。 ⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。 三、本章知识结构框图： 四、课时分配 本章教学时间约需9课时，具体分配如下： 2.1 曲线与方程约1课时 2.2 椭圆约2课时 2.3 双曲线约2课时 2.4 抛物线约2课时 直线与圆锥曲线的位置关系约1课时 小结约1课时 2.1 求曲线的轨迹方程（新授课） 一、教学目标 知识与技能：结合已经学过的曲线及方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法；能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，并初步学会通过方程来研究曲线的性质。 过程与方法：通过求曲线方程的学习，可培养我们的转化能力和全面分析问题的能力，帮助我们理解研究圆锥曲线的基本方法。 情感、态度与价值观：通过曲线与方程概念的学习，可培养我们数与形相互联系，对立统一的辩证唯物主义

观。 二、教学重点与难点 重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法． 难点：作相关点法求动点的轨迹方法． 三、教学过程 (一)复习引入 平面解析几何研究的主要问题是： 1、根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； 2、通过方程，研究平面曲线的性质． 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析． (二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1、(1)求和定圆x2+y2=R2的圆周的距离等于R的动点P的轨迹方程； (2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0． 解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析： 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM． ∵k OM·k AM=-1， 其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)． 2．定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．