2020-2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程优化练习新
2.2.1 双曲线及其标准方程
[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．与椭圆x 2
4＋y 2＝1共焦点且过点Q (2,1)的双曲线方程是( )
A.x 2
2－y 2＝1 B.x 2
4－y 2＝1 C.x 23－y 23
＝1 D ．x 2－y 2
2
＝1
解析：椭圆的焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)．与椭圆x 2
4＋y 2＝1共焦
点的只有A 、D 两项， 又因为Q 点在x 2
2－y 2＝1上．
故应选A. 答案：A
2．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )
A.x 2
4－y 2
＝1 B ．x 2
－y 2
4＝1
C.x 22－y 23
＝1 D.x 23－y 2
2
＝1 解析：由题意可设双曲线方程为
x 2a 2－y 2
5－a 2
＝1， 又由中点坐标公式可得P (5，4)，
∴5
a 2－165－a 2＝1，解得a 2
＝1. 答案：B
3．(2015·高考福建卷)若双曲线E ：x 29－y 2
16
＝1的左、右焦点分别为
F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3
解析：由题意知a ＝3，b ＝4，c ＝5，由双曲线定义知，
|||PF 1|－|PF 2|＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9 答案：B
4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( ) A.14 B.35 C.34 D.4
5
解析：双曲线的方程为x 22－y 2
2＝1，
所以a ＝b ＝2，c ＝2， 因为|PF 1|＝2|PF 2|，
所以点P 在双曲线的右支上， 则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 所以解得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42， 所以根据余弦定理得
cos ∠F 1PF 2＝222＋422－162×22×42＝3
4.
答案：C
5．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则P 到x 轴的距离为( )
A.32
B.6
2 C.
3 D.6
解析：∵||PF 1|－|PF 2||＝2， ∴|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4＋2|PF 1||PF 2|， 由余弦定理知
|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2＝2|PF 1||PF 2|cos 60°， 又∵a ＝1，b ＝1， ∴c ＝a 2＋b 2＝2， ∴|F 1F 2|＝2c ＝22，
∴4＋2|PF 1||PF 2|－8＝|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝4，
设P 到x 轴的距离为|y 0|，
S △PF 1F 2＝12
|PF 1||PF 2|sin 60°
＝1
2
|F 1F 2||y 0|， ∴12×4×32＝1
2×22|y 0|， ∴y 0＝32＝62.
故选B. 答案：B
6．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k 的值为________．
解析：方程化为标准形式是y 2－8k －x 2
－
1k
＝1，
所以－8k －1
k
＝9，
即k ＝－1. 答案：－1
7．若方程x 2
5－m ＋y 2
m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数
m 的取值范围是________．
解析：根据焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a ＞0，b
＞0)，得满足题意的m
需满足不等式组?
????
5－m ＜0，
m 2
－2m －3＞0，即
?????
m ＞5，m ＞3或m ＜－1，
∴m ＞5，∴m 的取值范围为(5，＋∞)．
答案：(5，＋∞)
8．已知双曲线C ：x 29－y 2
16＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲
线C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于________． 解析：由x 29－y 2
16＝1知c ＝5，
∴|F 1F 2|＝2c ＝10， 由双曲线定义知， |PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 1|＝6＋|PF 2|＝16，
cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2
2|PF 1||PF 2|
＝256＋100－1002×16×10＝45.
∴sin ∠F 1PF 2＝35
.
∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×16×10×3
5＝48.
答案：48
9．动圆M 与两定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，F 2：x 2＋y 2－10x －24＝0都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程． 解析：将圆的方程化成标准式：
F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1， F 2：(x －5)2＋y 2＝72，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝7.
由于动圆M 与定圆F 1，F 2都外切， 所以|MF 1|＝r ＋1，|MF 2|＝r ＋7， ∴|MF 2|－|MF 1|＝6，
∴点M 的轨迹是双曲线的左支，且焦点F 1(－5,0)，F 2(5，0)， ∴c ＝5，且a ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝52－32＝16. ∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 29－y 2
16
＝1(x <0)．
10．设双曲线x 24－y 2
9＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．
(1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积； (2)若∠F 1MF 2＝60°时，△F 1MF 2的面积是多少？ 解析：(1)由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13. 设|MF 1|＝r 1， |MF 2|＝r 2(r 1>r 2)． 由双曲线定义，
有r1－r2＝2a＝4，
两边平方得r21＋r22－2r1·r2＝16，
即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，
也即52－16＝4S△F1MF2，
求得S△F1MF2＝9.
(2)若∠F1MF2＝60°.在△MF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝r21＋r22－2r1r2cos 60°，
|F1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2，
解得r1r2＝36.
求得S△F1MF2＝1
2
r1r2sin 60°＝9 3.
[B组能力提升]
1．“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的双曲线”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由mn<0?m<0，n>0或m>0，n<0，
所以mx2＋ny2＝1表示焦点可能在x轴上也可能在y轴上的双曲线；而mx2＋ny2＝1表示焦点在x轴的双曲线则有m>0，n<0，
故mn<0.
故应选B.
答案：B
2．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是( )
A．16 B．18