应用数理统计期末复习

应用数理统计期末复习指导

一、复习重点

第一章 绪 论

数理统计学是一门对客观不确定现象进行数据搜集、整理、表列和分析的科学，其目的是了解客观情况，探索数据内在结构及现象之间的规律性。

对搜集的全部数据加以整理来研究这些数据的特征，这称为描述统计。建立在样本数据的基础上对总体的特征做出估计和推断，这称为推断统计。

数理统计学的发展大致经历了古典统计学、近代统计学和现代统计学三个阶段。

第二章第二章 数据的搜集、整理与描述

统计表最主要的内容是指标名称与指标数值。

数据集中趋势的计量：（１）均值（算术平均数）；（２）几何平均数；（３）中位数；（４）众数；（５）切尾均值。

离散趋势的计量：（１）极差，又称为全距。极差是数据中最大值和最小值之差；（２）四分位差；（３）平均差，它是数据值与其均值之差绝对值的平均数；（４）方差和标准差。方差是数据值与其均值离差平方和的平均数。方差不仅可以用来反映值代表性的高低，而且也是数据离散趋势的最主要的统计数量特征；（５）离散系数。

第三章 概率基础

凡是一个行动或过程会导致一毓可能的结果之一，但具体发生哪一个结果是不确定的，这种行动或过程统称为随机试验。随机试验所有可能结果的集合称作样本空间。随机试验的每一个可能的结果称为随机事件。

凡是必然发生的事件称为必然事件。必然不发生的事件称为不可能事件。如果事件Ａ的发生必然导致事件Ｂ的发生，则称事件Ａ包含于事件Ｂ，记作 。两个事件Ａ、Ｂ中至少有一个发生称为两个事件的并，记作 。两个事件Ａ、Ｂ中同时发生称为两个事件的交，记作 。事件Ａ发生而事件Ｂ不发生称为两个事件的差，记作Ａ－Ｂ或 。样本空间与事件Ａ的差称为事件Ａ的逆事件或对立事件，互补事件，记作 。事件Ａ与事件Ｂ不可能同时发生称两个事件互不相容或互斥，记 。事件的运算满足： B A ?B A B A B A A A -Ω=?

=B A

概率的古典定义：如果某一随时机试验的结果（基本事件）有限；而且各个结果出现的可能性相等，则某一事件Ａ的概率为该事件所包含的基本事件数m 与样本空间中所包含的基本事件个数n 的比值，记为

概率的公理化定义：

（１）对于任何一个事件Ａ，有 ；

（２）对于必然事件 ，有 ；对于不可能事件 ，有 ； （３）对于两两互斥事件 ，有

概率的加法规则： 概率的乘法规则：

事件的独立性与互斥的区别：

（１）互斥事件一定是相互依赖（不独立）的，但相互依赖的事件则不一定是互斥的。

（２）不互斥事件可能是独立的，也可能是不独立的，然而独立的事件不可能是互斥的。

全概率公式：设 为一样本空间，事件 ， 为互斥事件，且有 和 ，若样本空间 的另一个事件Ａ与上述几个事件同时出现，则有

贝叶斯公式：条件同全概率公式，有

i

n

i i n i A A 11=== i

n

i i n

i A A 1

1

=== n

m

A P =

)(1)(0≤≤A P Ω1)(=ΩP ?0)(=Ω

P

,,2

1

A A

++=++)()()(2121A P A P A A P )()()()(AB P B P A P B A P -+=+)/()()/()()(B A P B P A B P A P AB P ==Ω ,,21B B n

B n

B B B ++=Ω210)(>i B P Ω)

/()( )/()()/()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P ++?+?= n

i B A P B

P B A P B P A B P n

j j j

i i I ,,2,1 )

/()()

/()()/(1

=?=

∑=

第四章 随机变量及其分布

随时机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。离散型随机变量的可能取值为有限可数个或无限可数个。连续型随机变量的可能取值是某一区间的全部数值。

离散型随机变量的概率分布特点。

（１）（１）随机变量的值是可以一一列举的；

（２）（２）

，即随机变量取某一特定值 的概率

为非负。

（３） ，即随机变量Ｚ取各个可能数值 的概率之和为１。

贝努里试验的特点：

（１）（１）每次试验都有两种可能的结果：“成功”或“失败”； （２）（２）第次试验其“成功”的概率（记为 ）是一样的，相应地“失

败”

的概率（记为 ）也是不变的，显然 ； （３）（３）第一次试验相互独立。

若随机变量Ｘ服从二项分布 ，则二项分布的均值为 ，方 差为 。

设总体的单位数为Ｎ，其中具有某种特征的单位数为Ｋ，不具有某种特征的单位数为Ｎ－Ｋ，用不重复抽样的方式从中抽取 n 个单位，其中具有某种特征的单位数为Ｘ。则Ｘ服从超几何分布，即

泊松分布的密度函数为：

其它

∑=≥=n

i i x X P 10)(i x ∑===n i i

x X P

1

1)(i

x ρq 1=

+q ρ),(p n b np npq n

N

x n k N x k C C C x X P /)(--==0

,2,1,00!

)(>=?

??????=-λλλ

x e x x P x

泊松分布的参数是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于单位时间内随机事件发生的次数，如某一服务设施在一定时间内到达人数；电话交换台接到呼唤的次数；公共汽车站的候客人数；机器出现的故障数；自然灾害发生的次数等。

泊松分布具有性质： 。若Ｘ服从参数为 和 的正态分布，则其密度函数为：

记为Ｘ－Ｎ 若Ｘ服从标准正态分布，则其密度函数为：

记为Ｘ－Ｎ（０，１）

第五章 统计推断导论

随机抽样的组织方式有：简单随机抽样、系统抽样、分类抽样和整群抽样。 简单随机抽样的原则是：在抽取样本时，必须保证每一个可能样本被抽到的概率是相等的，在实际抽选过程中是使总体中每个单位被包括在样本中的可能性相等。简单随机抽样有两种抽取单位的方法：重复抽样和不重复抽样。

系统抽样，也称等距抽样或机械抽样，它是从总体中抽取样本时，按照时间或空间的等距间隔抽取。

分类抽样是先把总体按一定标志划分成许多性质相近的类型或组别，然后在每种类型中抽取单位。

整群抽样是把总体分为许多群，然后在这些群中随机抽选若干个群做为样本，把它作为总体的一个代表。

当被抽样总体服从正态分布时，样本均值的抽样分布具有下列性质： （１）样本均值 的分布也是正态分布； （２）样本均值的平均数等于总体平均数；

（３）样本均值的方差等于被抽样总体的方差除以样本容量。

λλ===)()(X D X E μσ∞

<<∞-=--x e x f x 2

22

)

(21)(σμσ

π)

,(2σμ2

2

21)(x

e x

f -=

π

x

中心极限定理的内容：给出一个具有任意分布形式的总体，其平均值为 ，方差 有限，如从这一总体中抽出容量为n 的样本，则当样本容量很大时，由这些样本算出的 的抽样分布近似服从均值为 、方差为 的正态分布。

在研究样本均值的抽样分布中，一般认为样本容量不小于30，就可以把正态分布作为抽样分布的近似值。

计算抽样平均数的平均误差的公式 ，只适用于无限总体。当计算有限总体的抽样平均误差时，必须对公式进行修正：

。当有限总体的容量Ｎ相对于样本容量n 很大

时，有限总体修正系数

接近于１，此时有限总体的抽样平均误差接近于无限总体的抽样平均误差。

对两个平均值分别为 和 ，方差分别为 和 的正态分

布总体，从这些总体抽取的容量分别为 的两个独立的样本的均值之差也服从正态分布，且其均值为 ，方差为

。 在两个总体方差已知时，统计量

第六章 参数估计

对总体估计可以有两种类型：点估计和区间估计。 评价估计量的标准：

（１）无偏性，若 ，则称 为 的无偏估计量； （２）有效性； （３）一致性； （４）充分性。

μ2σ

x μn /2σn

x σσ=1

--?=

N n N n x σσ1

--N n N 2

μ1

μ21

σ22

σ21,n n 2

1

μμ-)]

/()/[(222121n n σσ+2

22

1

2

1

2121)

()(n n X X Z σσμμ+

---=

θθ=)?(E θ?θ

总体均值区间估计的步骤如下：

（１）（１）计算出样本值和确定该统计量的抽样分布；

（２）（２）根据研究的目的确定置信水平，即可靠性或把握程度； （３）（３）按照要求的置信水平查出概率度；

（４）（４）计算抽样误差。重复抽样时样本平均数的标

准误差 ，

不重复抽样时 ；

（５）（５）作出总体平均数的区间估计。

当用区间估计的方法估计未知参数时，区间越大，估计的误差越大，置信 水平越高；区间越小，估计的误差越小，置信水平越低。

当从方差已知的正态分布中抽样时， 的置信区间为：

对于总体方差 未知的正态分布总体，其均值 在 置信水平下的置信区间为：

当两个总体的方差 已知时，两个总体均值之差 在 置信水平下的置信区间为

从总体随机抽取一个容量为n 。当 和 皆大于0.5时， 的抽样分布服从 ， 此时在 置信水平下，总体比例的置信区间为：

为了估计两个总体比例之差 ，从两个总体中各抽取容量为

和 的样本，当 和 两者都很大，且总体比例不太接近0或1，两个独立样本的 的抽样分布近似服从

n

x

σσ=1

--?

=

N n N n x σσμn

Z x a σ

?

±2/2σμα-1n

S

t

x ?

±-

2

1α

22

21

,σσ2

1μμ-α-12

2

2

1

2

1

2/21)(n n Z x x a σσ+

?

±-p np

)1(p n -p ))1( , (n

p p p N -α-1n

p p Z p )

1(2

/-±α21p p -1n 2n 1n 2n 21p p -)

)

1( )1( , (2

2211121n p p n p p p p N -+--

，

些时在 置信水平下，两个总体比例之差的区间估计为：

必要样容量 与总体方差为 、允许误差 、可靠性系数有以下关系：

（１）总体方差越大，必要的样本容量越大，即必要样本容量 与总体方差成正比。

（２）必要样本容量 反比例于允许误差 ，即在给定的置信水平下，允许误差越大，样本容量就可以越小。

（３）必要样本容量 与可靠性系数成正比，即要求的可靠程度越高，样本容量就应越大。

第七章 参数假设检验

参数假设检验的步骤：

（１）提出零假设和备择假设。零假设是我们要检验的假设，是在统计分析过程中始终被假定为真实的假设。备择假设是当零假设被否定时就生效的假设。

（２）确定适当的检验统计量。

（３）规定显著水平 ，称在 为真时拒绝 为“弃真”错误，习惯上称为 错误；称在 为非真时接受 为“取伪”错误，习惯上

称为 错误。

（４）（４）计算检验统计量的值。 （５）（５）作出统计决策并加以解释。

正态总体、总体方差已知或未知时，总体均值的假设检验。

两个正态分布总体，在

已知或未知时均值之差的假设检验。 对正态总体方差的假设检验，适当的检验统计量为：

第八章 方差分析

α-12

2211121)

1()1()(n p p n p p Z p p -+

-?

±-αn 2σ?n n ?n α0

H 0H α0H 0H β22

21

,σσ2

22/)1(σS n x -=

方差分析是用以检验两个以上总体平均数之间的差异是否显著的一种方法。

方差分析的模型为：

其中： ：表示第i 种处理条件下第j 个样本的观察值；

：总平均数； ：第i 种处理的效应；

：第i 个处理中第j 个单位试验结果的随机误差方差分析模型的基本假定。

方差分析的实质是提出一项假设，假设所有的 来自同一总体，即所有

的 ，然后计算类内方差和类间方差，通过这两个方差的比较，来推断这个假设是否可信。

根据数理统计证明，在 来自同一正态总体的情况下，类间均方与类内

均方之比服从Ｆ分布。

方差分析的步骤：

（１）（１）检验总体是否符合方差分析模型的基本假设。 （２）（２）规定 （３）根据收集数据计算：

总离差平方和

类间离差平方和

类内离差平方和

n j p i a Y ij ij ,,2,1;,,2,11 ==++=εμij Y μi

a ij

ε,,2,1;,,2,1()1(n

j p i a Y ij i ij ==++=εμ∑==p

i i i a n 1

)2(且相互独立

),0(~)3(2σεN ij ij

Y 0=i a ij

Y 其中至少有一对不等

:,1:

120

H H p μμμ==∑∑

==-=p

i n j ij

i

y y SST 11

2)()(∑=-=

p

i i

i

y y

n SSA 1

2)

()(∑∑==-=

p i n

j i ij

i y y

SSE 1

1

2)

()(

（４）构造统计量进行检验：

在置信水平 下查表求出 ； 若 ，接受 ，否则拒绝 ； 样本大小相等的单因素方差分析。 双因素方差分析的模型： 其中：

表示研究的总体中第一个因素第i 种处理，第二个因素第j 种处理的一个具体观察值；

为一未知常数，代表该总体的均值； 表示Ａ因子中第i 种处理的效应；

为Ｂ因子中第j 种处理的效应；

是除了两种处理的效应以外的剩余因素，代表随机差异。有交互作用的双因素方差分析模型为： 其中：

表示Ａ因子第i 处理，Ｂ因子第j 种处理第k 个样本的观察值；

为一常数；

表示Ａ因素的效应；

表示Ｂ因素的效应；

为交互作用； 为随机误差。

第九章 回归相关分析

简单线性回归模型为：

其中： 和 是未知的回归参数， 是截距， 是斜率， 是随机变量。 ),1(~)

()1/(1

1∑∑==--=--=p

i i p

i i p n p F MSE MSA p n SSE p SSA F α-1α

F α

F F <0

H

H ij

i i ij b a Y εμ+++=ij

Y μi

a j

b ij εijk

ij j i ijk ab b a Y εμ++++=)(ijk Y μi a j b ij

ab

)(ijk εi

i i i X a Y εβ++=αβαβi

ε

简单线性回归模型的几点假设： （１） ；

（２） ； （３） 拟合回归方程 的原则,通常采用最小平方法，也称最小二乘法，且

对线性回归进行显著性检验，当 已知时，用统计量

当 未知时，用统计量

相关分析主要是研究两个或两个以上变量之间关系的密切程度，并对其密切程度作出计量。测定两个变量之间关系密切程度的计量工作主要是相关系数。

第十章 非参数统计方法

如果未知总体分布或已知它不服从正态分布而要对其进行检验的方法，统称为非参数统计方法。

根据计量可比较的程度，计量水平分为：

（１）（１）列名水平：是一种最弱的计量水平，是一种属性的分类，每一

个单

位根据其质量特性划入其中一类。

（２）顺序水平：水平有高低之分，其分类有一定顺序。

（３）区间水平：不仅可以比较高低，而且能计量高多少或低多少。 （４）比率水平：在区间水平的基础上又有共同的起点。

数理统计证明了标准正态分布随机变量的平方或几个独立的标准正态分布

平方之和，这一新的随机变量服从

分布。 利用

分布进行拟合优度检验的方法是： （１）先将观察到的数据进行分类，假设分成Ｃ类，每类中的观察值频数

i i i X Y εβα++=),0(~2σεN i

)

(,0),(j i co j i ≠=εενbx a Y +=x

b y a nx

x

y nx y x b i

i i

?-=-?-=

∑∑2

22σ)

1,0(~)

(/2

2

N x x b t i ∑--=

σβ

2σ)

2(~)

(/2

---=

∑n t x x MSE b Z i β2x 2x C

O O O ,,,21

为 ；

（２）根据理论分布，各类观察值的频数应为 ； （３）计算统计量

（４）若观察值与相比较的分布来自相同的分布，则

服从自由度为 的 分布。因此若令置信水平为 ，当 时，就拒绝原假设，说明并非来自同一分布。

第十一章 不确定情况下的统计决策

决策可归结为：在一定的条件下，为达到某一目标从若干个备选行动方案中，选择一个最优或满意的方案。

根据决策的环境（条件），决策可以分为确定型、不确定型和对抗型。 风险型决策可采用不同的标准： （１）期望值标准； （２）最大可能性准则； （３）渴望水准准则。

完全不确定型决策是考虑到各种方案的经济后果，而不考虑各种状态出现的概率，这种情况下的决策可以从不同的角度提出不同的准则：最大最小准则；最大最大准则；乐观系数准则；等可能性准则；最小后悔值准则。

二、考试说明

本次应用数理统计课程的期末考试采取闭卷形式，时间为两小时，试题的题型有：填空题、选择题（含单选和多选）、判断题和计算题。考试时，同学们可以携带计算器等计算工具。

应用数理统计综合练习题

综合练习题

一、填空题

１．对搜集的全部数据加以整理来研究这些数据的特征，这称为________；

e

E

E E ,,,2

1

∑

=-=e

i i i i E E O x 1

2

2

)(2x 1-c 2x α-122α

x x >

建立在样本数据的基础上对总体的特征做出估计和推断这称为________。

２．设有一组数据如下：５，３，８，７，３，１，４，２，８，３则该组数据的极差为________，中位数为________，众数为________。

３．已知 。如果Ａ与Ｂ事件相互独立，则 ________；如果事件Ａ与事件Ｂ互不相容，则 ________。

４．一个办公室里，有甲、乙、丙三个工作人员被指定复制某种表格，甲复制了40%，乙为35%，丙为25%。甲的错误率为4%，乙为6%，丙为3%，从一天的产品中随机抽一个表格发现有一个错误，则这一错误由甲造成的概率为________，由乙造成的概率为________，由丙造成的概率为________。

５．简单随机抽样有两种抽取单位的方法，即________和________。 ６．计量水平从低到高可划分为列名水平、顺序水平、________和________。 二、单项选择题

１．若事件Ａ发生，事件Ｂ不发生，可记为（ ）。 Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、 ２．下列现象服从泊松分布的是（ ）。

Ａ、投篮 Ｂ、电话交换台呼叫交次数 Ｃ、产品质量检验 Ｄ、产品使用寿命

３．要计算某大城市中每百户居民的平均电视机拥有量。找一张该城市的地图，把市区分成许多区域，随机地抽取若干个区域作为样本，对于这些区域内的家庭无遗漏地进行调查，这种抽样的方式属于（ ）。

Ａ、纯随机抽样 Ｂ、整群抽样 Ｃ、系统抽样 Ｄ、分层随机抽样

４．威尔科克森配对符号等级检验要求的数据资料至少应该是（ ）。

Ａ、列名水平 Ｂ、顺序水平 Ｃ、间隔水平 Ｄ、比例水平

５．在所有的方案中将其最小的报偿相比，再找出最大的报偿的决策方法称为（ ）。

Ａ、最大最小的准则 Ｂ、最大最大准则 Ｃ、最小后悔值准则 Ｄ、比例水平

4.0)(,2.0)(==B P A P =)(AB P =)(AB P B A -Φ

=AB B A +A B -

三、判断正误题

１．１．当被抽样总体服从正态分布时样本均值的方差等于被抽样总体的方差。 （ ） ２．在研究样本均值的抽样分布中，一般认为样本容量不小于30，就可以把正态分布作为抽样分布的近似值。 （ ） ３．在参数假设检验中，我们称 为真时拒绝 为“取伪”错误。（ ）

４．两个变量的相关系数为0时表示这两个变量线性相关。 （ ） ５．非参数统计也可以涉及总体参数的假设检验。 四、计算题

１．一个大制造厂质量管理部门的负责人想估计移交给接收部门的5000包材料的平均重量。一个由250包原材料组成的随机样本所给出的平均值为50公斤，总体方差为25公斤。试构造总体未知平均值的 值信区间。（ ） ２．有一个组织在其成员中提倡通过自修提高水平，目前正考虑帮助其成员中未曾高中毕业者通过自修达到高中毕业的水平。该组织的会长认为成员中未读完高中的人少于25%，并且想通过适当的假设检验来支持这一看法。他从该组织成员中抽选200人组成一个随机样本，发现其中42人没有高中毕业。试问：这些数据是否支持这个会长的看法？（ ）

３．随机抽取35个城市，其人口数与商品的零售额之间的关系数据如下：

要求：

（１）以人口数为自变量 ，商品零售额为因变量 ，估计回归方程； （２）一个80万人口的城市的平均销售额的置信区间是多少？ （ ） ４．某单位对工人的出勤情况进行一项抽样调查，以确定每周各天的缺勤人数是否有很大差别，调查结果如下：

0H 0H μ96.1,05.02

1==-a

Z α05

.0=α)(万人人口)(亿元零售额693

.33

.21684

.9221.1389.251

x y 1824.3,05.03

,==ααt 期星 缺勤人数

一

五二三四9

11

12

9

10

能否根据结果判定每周各天缺勤人数没有显著差异？用 。

（ ）

综合练习题四

一、一、填空题

１．收集资料的方法有两种，即_________和_________。

２．反映一组数据分布集中趋势的代表值除切尾均值外_________、_________、_________。

３．事件Ａ表示被检验的仪器中至少有一件为废品，事件Ｂ表示所有仪器为优质

的，则事件 _________， _________。

４．如果要检验两个总体的均值是否相等可用_________，如果要检验两个以上

的总体均值是否相等可用_________。

５．一条街有300户人家，其中100户家中无人，而在其余的家庭中又有50户

的居民将不参加电话调查。假如在这个特定的晚上，一个从事调查人员随机地给这些家庭中的某一家打电话。这个调查人员把电话打到家中无人的人家的概率为_________；电话打到家中有人的人家的概率为_________；电话打到家中有人的人家，介这家人却不参加电话调查的概率为_________。

二、单项选择题

１．若在试验中，事件Ａ与事件Ｂ同时发生，则称为（ ）。

Ａ、Ａ与Ｂ的并 Ｂ、Ａ与Ｂ的交 Ｃ、Ａ与Ｂ互补 Ｄ、Ａ与Ｂ互斥 ２．下列试验属于贝努里试验的是（ ）。 Ａ、产品是否合格检验 Ｂ、考试成绩 Ｃ、自然灾害的次数 Ｄ、产品使用寿命

３．从总体中抽取样本时，按照时间或空间的等距间隔抽取，这种抽取方式

488

.9)4(,05.02==x α2x =)(B A P =)(B A P

称为（ ）。

Ａ、简单随机抽样 Ｂ、分类抽样 Ｃ、系统抽样 Ｄ、整群抽样

４．在方差分析中，假设所有的 来自同一正态总体，则类间均方与类内均方比服从（ ）。

Ａ、正态分布 Ｂ、Ｔ分布 Ｃ、 分布 Ｄ、Ｆ分布 ５．拟合直线回归方程的前提条件是（ ）。 Ａ、两个变量之间必须是随机关系 Ｂ、两个变量之间必须有明显的依存关系 Ｃ、两个变量之间必须具备函数关系 Ｄ、两个变量之间必须具备显著的线性关系 三、判断正误题

１．设随机变量 服从标准正态分布，则 。

（ ） ２．计算抽样平均数的平均误差公式 ，既适用于无限总体，也适用于有限总体。 （ ）

３．总体均值的假设检验，若已知总体服从正态分布，总体方差未知，则应选择Ｚ作为检验统计量。 （ ）

４．相关系数的取值范围为 。 （ ） ５．在对两个以上的总体均值是否相等进行检验时，一般用参数假设检验。 （ ） 四、计算题

１．为了制定高中学生体育锻炼成绩标准，其区教育局在该地区高中学生中随机抽选了36名男生测验100米短跑的成绩，测验结果表明这36名男生的平均成绩为13.5秒，样本标准差为1.1秒，试估计在95%置信水平下，该区高中男生100米跑的平均成绩。（

） ２．某纺织厂生产人造纤维，已知其平均拉力强度为1.56公斤，标准差为0.22公斤。现在进行某种工艺改革试验，改革后可能提高生产效率，若改革后质量没有明显下降，则可进行全改革，否则就准备改革。现抽取50个样，测得样本的平均拉力强度为1.46公斤，人造纤维的拉力强度服从正态分布。试利用样

i y 2x )1()2(===X P X P X n

x σσ=10≤≤r 0307.235,975.0=t 64

.1,05.0-==a Z a

本的观察结果，对是否进行这项工艺改革做出决策。（ ）

３．假设有三种电池，欲比较其使用寿命是否有显著差别（ ），甲种电池抽取了21个电池作样本，乙种电池抽选了19个作样本，丙种电池抽选了20 个作样本，试验结果的数据如下表：

４．某投资者有10 万元，有两种投资方案：一是购买股票；二是存入银行

获取利息。买股票的收益取决于经济形势，假设可分三种状态：形势好，形势中等，形势不好（即经济衰退），若形势好可获利4万元，经济形势中等可获利1万元，经济衰退要损失2万元。如果存入银行，假设年利率为8%，即可得利息8 千元。又设有经济形势好、中等、不好的概率分别是30%、50%和20%。试问：若采用期望值标准，应选择哪一方案？

第二部分 综合练习题参考答案

综合练习题一

一、填空题

１．古典统计学 近代统计学 现代统计学 ２．指标名称 指标数值 ３．0.72 0.02 ４．0.37 0.33 ５．

６．确定型 不确定型 对抗型 二、单项选择题

１、Ｂ ２、Ｄ ３、Ｃ ４、Ｃ ５、Ｄ 三、判断正误题 １、× ２、∨

01.0=a 甲种电池乙种电池丙种电池

)

(小时使用寿命5248435043444643493842

423533383934333435

2835333839343334352835

34323427312729254334

1514232114202116201423

251826182620192217

λλ

应用数理统计复习题

《应用数理统计》复习题 第一章 概率知识 一、一袋中有5个球，编号1、2、3、4、5. 现从中任取3个，以X 表示所取球的号码的最大值， 求X 的概率分布律. 解：X 的可能取值为3、4、5， 1.010 1 }3{35 33== ==C C X P ， 3.0103 }4{352311====C C C X P ， 6.010 6 }5{35 2411== = =C C C X P ， 故X 的概率分布律为 6 .03.01.05 43k p X . 二、设连续型随机变量X 的密度函数为?? ?<≤=., 0, 10,)(其它x Ax x f （1）求常数A ；（2）求X 的分布函数)(x F . 解：（1）由完备性：? ∞+∞ -=1)(dx x f ， 有 11 =?Ax , 解得2=A . （2）t d t f x F x ?∞ -=)()( 当0≤x 时， 0)(}{)(?∞ -==≤=x dt t f x X P x F ， 当10≤x 时，1)(=x F . 所以 .1,10,0,1,,0)(2 >≤<≤?? ???=x x x x x F 三、设X 的概率密度为 ????? ≤ ≤-=其它, 022,cos )(ππx x C x f ， 1、求常数C ； 2、均值EX 和方差DX . 解：1、由完备性，C xdx C dx x f 2cos )(122 ?? -∞ ∞ -=== π π， 2 1 = ∴C ；

2、0cos 21 )(22 ??∞ ∞--===π πxdx x dx x xf EX ； ???∞ ∞---====22202 2 22 2 14cos cos 21)(πππ πxdx x xdx x dx x f x EX ; 14 )(2 2 2-= -=∴πEX EX DX . 四、若随机(X ,Y )在以原点为中心的单位圆上服从均匀分布，证明X ,Y 不相互独立. 解：依题意有(X ,Y )的概率密度为221/, 1; (,)0, x y f x y π?+≤=??其它. . 故 11, 11()(,)0, 0, X x x f x f x y dy +∞ -∞ ?-≤≤-≤≤?===????? ? 其它其它; 同理 11()0, Y y f y -≤≤=??其它 . 于是(,)()()X Y f x y f x f y ≠, X 与Y 不相互独立. 五、设X 的概率密度为? ? ?≤≤+=.,0,10,)(其它x bx a x f ，且已知EX =127求DX . 解：由概率密度的完备性有： 1= ?? += ∞+∞ -1 d )(d )(x bx a x x f =b a 5.0+, 且有12 7 =EX = ? ? += ∞+∞ -10 d )(d )(x bx a x x x xf = 3 2b a +, 联立上述两式解得: 1,5.0== b a 又= )(2X E 12 5 d )5.0(1 02= +? x x x , 于是 =DX =-22)()(EX X E 2)12 7(125-14411=. 六、1．设随机变量)3,2(~2 N X ，)()(C X P C X P >=<，则=C （ A ）. A . 2 B . 3 C . 9 D . 0 2. 设随机变量),(~2 σμN X ，则随σ增大，}|{|σμ<-X P ( C ). (A) 单调增大； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减不定

应用数理统计试题库

一 填空题 1 设 6 21,,,X X X 是总体 ) 1,0(~N X 的一个样本， 26542321)()(X X X X X X Y +++++=。当常数C = 1/3 时，CY 服从2χ分布。 2 设统计量)(~n t X ，则~2X F(1,n) ， ~1 2 X F(n,1) 。 3 设n X X X ,,,21 是总体),(~2 σu N X 的一个样本，当常数C = 1/2（n-1） 时， ∑-=+-=1 1 212 )(n i i i X X C S 为2σ的无偏估计。 4 设)),0(~(2σεε βαN x y ++=，),,2,1)(,(n i y x i i =为观测数据。对于固定的0x ， 则0x βα+~ () 2 0201,x x N x n Lxx αβσ?? ? ?- ???++ ??? ?????? ? 。 5．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，，2，2，， 为样本，则λ的矩估计值为?λ ＝ 。 6．设总体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的 置信区间为 ()()()()22 2212211,11n S n S n n ααχχ-??--????--???? 。 7．设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中??? ? ??=∑??? ? ??=8221, 10μ 令Y ＝X Y Y ???? ??=???? ??202121，则Y 的分布为 ()12,02T N A A A A μ??= ??? ∑ 。 8．某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）： 表2 极差分析数据表

《应用数理统计》期末考试-2011

《应用数理统计》期末考试试题 （2011-11-26上午8：30—10：30） 学院： 学号： 姓名： 注意：所有题目答案均做在答题纸上，该试卷最后随答题纸一同上交，否则成绩无效。 1、（20分）设总体X 服从正态分布(0,1)N ，12,X X 为来自总体X 的简单样本，设112212; Y X X Y X X =+=-。 （1）求二维随机变量12(,)Y Y 的联合密度()21,y y f ； （2）分别求12,Y Y 的边缘密度函数()()2121,y f y f Y Y ； （3）12,Y Y 是否独立？说明根据。 （4）叙述2χ分布的构造性定义。能否通过取适当的常数c ，使得2212()c Y Y +服从2χ分布？若可以，求出c ，并写出所服从的2χ分布的自由度。 2、（20分）设12,,,n X X X 是来自正态总体() 2~0,X N σ的简单样本，记 22221 21111??();1n n i i i i X X X n n σσ===-=-∑∑，其中11n i i X X n ==∑， （1）证明：21?σ是2 σ的渐近有效估计量； （2）证明：22?σ是2 σ的有效估计量； （3）试分别以21?σ，22?σ为基础构造2 σ的两种1α-置信区间。你认为你得到的哪个估计区间会更好一些？为什么？ 3、（20分）（1）简述假设检验的一般步骤； （2）某厂生产一批产品，质量检查规定：若次品率0.05p ≤，则这批产品可以出厂，否则不能出厂。现从这批产品中抽查400件产品，发现有30件是次品，问：在显著性水平0.05α=下，这批产品能否出厂？若取显著性水平0.02α=，会得出什么结论？α是越小越好吗？对你的答案说明理由。 要求：将此问题转化成统计问题，利用所学知识给出合理的、令人信服的推断，推断过程的每一步要给出理由或公式。分位点定义如下： 若随机变量W ，对任意的()1,0∈α，有()α=≤x W P ，称x 为W 的α分位点，记作αx 。

应用数理统计试题

应用数理统计复习题 1.设总体~(20,3)X N ，有容量分别为10，15的两个独立样本，求它们的样本均值之差的绝对值小于0.3的概率. 解：设两样本均值分别为,X Y ，则1~(0,)2 X Y N - (||0.3)(0.424)(0.424)0.328P X Y -<=Φ-Φ-= 其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计. 解：（1）矩估计：2 2 22(1)3(1)23EX θθθθθ=+?-+-=-+ 14 (121)33 X =++= 令EX X =，得5?6 θ=. （2）最大似然估计： 2 2 5 6 ()2(1)22L θθθθθθθ=??-=- 45ln() 10120d d θθθθ=-= 得5?6 θ= 3. 设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望μ和方差2 σ均未知，抽查10件，测得重量为i X 斤10,,2,1Λ=i 。算出 10 11 5.410i i X X ===∑ 10 21 () 3.6i i X X =-=∑ 给定检验水平0.05 α=，能否认为该厂产品的平均重量为5.0斤？ 附：t 1-0.025(9)=2.2622 t 1-0.025(10)=2.2281 t 1-0.05(9)=1.8331 t 1-0.05(10)=1.8125 解: 检验统计量为0 | |/X T S n m -=

将已知数据代入，得2t = = 1/2 0.975(1)(9) 2.26222t n t a - -==> 所以接受0H 。 4. 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平0.05α=下对因素A 是否显著做检验。 解： 0.95(2,9) 4.26F =，7.5 4.26F =>，认为因素A 是显著的. 5. 现收集了16组合金钢中的碳含量x 及强度y 的数据，求得 0.125,45.7886,0.3024,25.5218xx xy x y L L ====，2432.4566yy L =. （1）建立y 关于x 的一元线性回归方程01 ???y x ββ=+； （2）对回归系数1β做显著性检验（0.05α=）. 解：（1）1 25.5218 ?84.39750.3024 xy xx l l β== = 01 ??35.2389y x ββ=-= 所以，?35.238984.3975y x =+ （2）1?2432.456684.397525.5218278.4805e yy xy Q l l β=-=-?= 2 278.4805 ?19.8915214 e Q n σ ===- ? 4.46σ ==

应用数理统计(武汉大学研究生)2009-2010试题

武汉大学2009－2010年度上学期研究生公共课 《应用数理统计》期末考试试题 （每题25分，共计100分） （请将答案写在答题纸上） 1设X 服从),0(θ上的均匀分布，其密度函数为 ?????<<=其它0 01)(θθx x f n X X X ,,,21" 为样本， （1）求θ的矩估计量1?θ和最大似然估计量2 ?θ； （2）讨论1?θ、2?θ的无偏性，1?θ、2?θ是否为θ的无偏估计量？若不是，求使得i c ?i i c θ为θ的无偏估计量，； 1,2i =（3）讨论1?θ、2 ?θ的相合性； （4）比较11?c θ和22?c θ的有效性. 2. 假设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考查产品性能的差异，现从甲乙两厂产品中分别抽取了8件和9件产品，测其性能指标X 得到两组数据，经对其作相应运算得 2110.190,0.006,x s == 2220.238,0.008x s == 假设测定结果服从正态分布()()2~,1,2i i X i μσ=， （1）．在显著性水平0.10α=下，能否认为2212σσ=？ （2）．求12μμ?的置信度为90%的置信区间，并从置信区间和假设检验的关系角度分析甲乙两厂生产产品的性能指标有无显著差异。 3.设是来自正态总体的样本, 总体均值n X X X ,,,21"),(2 σμN μ和方差未知，样本均值和方差分别记为2σ2211 11,(1n n i i i i )X X S X X n n ====?∑∑?

（1） 求2211 (n i i X )μσ=?∑的分布； （2）若0μ=，求212212()() X X X X +?的分布； （3）方差的置信度为12σα?的置信区间的长度记为L ，求()E L ； （4）1n X + 的分布。 4.为进行病虫害预报, 考察一只红铃虫一代产卵量Y (单位：粒)与温度x （单位：）的关系, 得到资料如下： C 0x 18 20 24 26 30 32 35 Y 7 11 21 24 66 115 325 假设Y 与x 之间有关系 bx Y ae ε+=, . ),0(~2σεN 经计算：26.43x =，ln 3.612y =，，， 7215125i i x ==∑721(ln )102.43i i y ==∑7 1ln 718.64i i i x y ==∑（1）求Y 对x 的曲线回归方程； x b e a y ???=（2）求的无偏估计； 2σ2?σ （3）对回归方程的显著性进行检验（05.0=α）； （4）求当温度0x =33时,产卵量的点估计。 0Y 可能用到的数据： 0.02282z =，()()0.050.057,8 3.50,8,7 3.73F F ==，()0.0515 1.7531t =，，，，0.025(5) 2.5706t =0.05(5) 2.015t =0.025(7) 2.3646t =0.05(7) 1.8946t =，0.05(1,5) 6.61F =， 0.05(1,7) 5.59F =

北航2010应用数理统计考试题及参考解答

北航2010《应用数理统计》考试题及参考解答 09B 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而12 15(,,)X X X 是来自X 的样本，则22 110 22 11152() X X U X X ++=++服从的分布是_______ . 解：(10,5)F ． 2，?n θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：??lim (), lim Var()0n n n n E θθθ→∞ →∞ ==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2 χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ . 解：推断各因素对试验结果影响是否显著． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计?β的协方差矩阵?βCov()=_______ . 解：1?σ-'2Cov(β) =()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设总体~(1,9)X N ，129(,, ,)X X X 是X 的样本，则___B___ . （A ） 1~(0,1)3X N -； （B ）1 ~(0,1)1X N -； （C ） 1 ~(0,1) 9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的 置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的； （B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .

应用数理统计复习题Word版

应用数理统计复习题 一、填空题 1.设总体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，样本均值及样本方差分别为， 2 211 11,()n n i i i i X X S X X n n ====-∑∑，设112,,...n n X X X X +与独立同分布，则统计量 ~Y = 。 2.设2 1 ~(),~T t n T 则 。 3.设总体X 的均值为μ，12,,...,n X X X 为样本，当a = 时，E 21 ()n i i X a =-∑达到最 小值。 4. 设总体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，1 ||,()n i i D X E D μ== -=∑则 5.设总体X 的均值和方差分别为a , b , 样本均值及样本方差分别为 2 211 11,()n n i i i i X X S X X n n ====-∑∑，则 E (S 2 )= 。 6.在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值 X 落在4与6 之间的概率 = 6. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，1.9，2，2，2.1， 2.5为样本，则λ的矩估计值 为?λ ＝ 。 7. 设总体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，1 2 21 1 ?()n i i i c X X σ -+==-∑，若2?σ 为2σ的无偏估计，则 c = 。 8. 设总体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，则θ的矩估计量为 ，极大似然估计量为 。

9. 设总体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ未知，σ2 已知，为使μ的置信度为1 －α的置信区间长度不超过L ，则需抽取的样本的容量n 至少为 。 10. 设总体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2 的置信度为1－α的 置信区间为 。 11设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中??? ? ??=∑???? ??=8221,10μ 令Y ＝X Y Y ??? ? ??=? ??? ??202121，则Y 的分布为 (要求写出分布的参数) 12. 设总体X 在区间]1,[+θθ上服从均匀分布，则θ的矩估计 =θ? ；=)?(θD 。 13. 设n X X ,,1 是来自正态总体),(2σμN 的样本，2 ,σμ均未知，05.0=α. 则μ的置信度为α-1的置信区间为 ；若μ为已知常数，则检验假设 ,::2 0212020σσσσ

北航数理统计期末考试题

材料学院研究生会 学术部 2011 年12 月 2007-2008学年第一学期期末试卷 一、(6 分，A 班不做)设x1，x2，?，x n是来自正态总体N( , 2) 的样本，令 2(x1 x2) T (x3 x4)2 (x5 x6)2 ， 试证明T 服从t-分布t(2) 二、( 6 分， B 班不做 ) 统计量F-F(n,m) 分布，证明 1的 (0< <1)的分位点x 是1。 F F1 (n,m) 。 三、(8分)设总体X 的密度函数为 其中1，是位置参数。x1，x2，?，x n是来自总体X 的简单样本， 试求参数的矩估计和极大似然估计。 四、(12分)设总体X 的密度函数为 1x exp ，x p(x; ) 0 , 其它 其中, 已知，0, 是未知参数。x1，x2，?，x n 是来自总体X 的简单样本。

1)试求参数的一致最小方差无偏估计； 2) 是否为的有效估计？证明你的结论。 五、(6分，A 班不做)设x1，x2，?，x n是来自正态总体N( 1, 12) 的 简单样本，y1，y2，?，y n 是来自正态总体N( 2, 22) 的简单样本，且两样本相互独立，其中1, 12, 2, 22是未知参数，1222。为检验假设H0 : 可令z i x i y i, i 1,2,..., n ,1 2 , 1 2, H1 : 1 2, 则上述假设检验问题等价于H0 : 1 0, H1: 1 0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。基于变换后样本z1，z2，?，z n，在显著性水平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。 六、(6 分，B 班不做)设x1，x2，?，x n是来自正态总体N( 0, 2) 的简单样本，0 已知，2未知，试求假设检验问题 H0: 202, H1: 202的水平为的UMPT。 七、(6 分)根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？ 八、(6 分)设方差分析模型为 总离差平方和 试求E(S A ) ，并根据直观分析给出检验假设H0 : 1 2 ... P 0的拒绝域形式。 九、(8分)某个四因素二水平试验，除考察因子A、B、C、D 外，还需考察 A B ，B C 。今选用表L8(27 ) ，表头设计及试验数据如表所示。试用极差分析指出因子的主次顺序和较优工艺条件。

应用数理统计试题

应用数理统计复习题 1.设总体，有容量分别为10，15的两个独立样本，求它们的样本均值之差的绝对值小于0.3的概率. 解：设两样本均值分别为，则 2. 设总体具有分布律 1 2 3 其中为未知参数，已知取得了样本值，求的矩估计和最大似然估计. 解：（1）矩估计： 令，得. （2）最大似然估计： 得 3. 设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望和方差均未知，抽查10件，测得重量为斤。算出 给定检验水平，能否认为该厂产品的平均重量为5.0斤？ 附：t1-0.025(9)=2.2622 t1-0.025(10)=2.2281 t1- 0.05(9)=1.8331 t1-0.05(10)=1.8125 解: 检验统计量为

将已知数据代入，得 所以接受。 4. 在单因素方差分析中，因素有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平下对因素是否显著做检验。 来源平方和自由度均方和F比 因素 4.2 误差 2.5 总和 6.7 解： 来源平方和自由度均方和F比 因素 4.2 2 2.1 7.5 误差 2.5 9 0.28 总和 6.7 11 ，，认为因素是显著的. 5. 现收集了16组合金钢中的碳含量及强度的数据，求得 ，. （1）建立关于的一元线性回归方程； （2）对回归系数做显著性检验（）. 解：（1） 所以， （2）

拒绝原假设，故回归效果显著. 6.某正交试验结果如下 列号 试验号A B C 1 2 3 结果 1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 13.25 16.54 12.11 18.75 （1）找出对结果影响最大的因素； （2）找出“算一算”的较优生产条件；（指标越大越好） （3）写出第4号实验的数据结构模型。 解： 列号 试验号A B C 1 2 3 结果 1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 13.25 16.54 12.11 18.75 ⅠⅡR 29.79 25.36 32.0 30.86 35.29 28.65 1.07 9.9 3.35 （1）对结果影响最大的因素是B； （2）“算一算”的较优生产条件为 （3） 4号实验的数据结构模型为 ，

应用数理统计复习题(2014)

应用数理统计复习题（2014） 一 填空题 1 设 6 21,,,X X X 是总体 ) 1,0(~N X 的一个样本， 26542321)()(X X X X X X Y +++++=。当常数C = 时，CY 服从2χ分布。 2 设统计量)(~n t X ，则~2 X ， ~1 2X 。 3 设n X X X ,,,21 是总体),(~2σu N X 的一个样本，当常数C = 时， ∑-=+-=1 1 212 )(n i i i X X C S 为2σ的无偏估计。 4 设)),0(~(2σεε βαN x y ++=，),,2,1)(,(n i y x i i =为观测数据。 对于固定的0x ，则0x βα+~ 。 5．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，1.9，2，2，2.1， 2.5为样本，则λ的矩估计值为?λ ＝ 。 6．设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为 。 7．设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中??? ? ??=∑???? ??=8221,10μ 令Y ＝X Y Y ???? ? ?=???? ??202121，则Y 的分布为 (要求写出分布的参数) 8．某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）： 表1 因素水平表 表2 极差分析数据表

则（1）较好工艺条件应为 。 （2）方差分析中总离差平方和的自由度为 。 （3）上表中的第三列表示 。 9．为了估计山上积雪溶化后对河流下游灌溉的影响，在山上建立观测站，测得连续10年的观测数据如下表（见表3）。 表3 最大积雪深度与灌溉面积的10年观测数据 则y 关于x 的线性回归模型为 x y 813.1356.2?+= 10设总体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，则θ的矩估计量为 ，极大似然估计量为 。 11设总体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为 。

概率数理统计试题及答案

应用数理统计试题 1．设15,,X X 是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个()1,2,,5i X i = 都服从()0,1.N (1)试给出常数c ,使得()22 12c X X +服从2χ公布,并指出它的自由度; (2)试给出常数,d 使得 服从t 分布,并指出它的自由度. 2．设总体X 的密度函数为 ???<<+=其他, 01 0,)1();(x x x f ααα 其中1->α是未知参数, ),,(1n X X 是一样本, 试求: (1) 参数α的矩估计量; (2) 参数α的最大似然估计量. 3．有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间(单位：小时): 26.7， 22.0， 24.1， 21.0， 27.2， 25.0， 23.4. 根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？()0.05.α= 4．若总体X 服从正态分布() 22.1,1N ，样本n X X X ,,,21 来自总体X ，要使样本均值X 满足不等式{}95.01.19.0≥≤≤X P ，求样本容量n 最少应取多少？ 5．在某种产品表明进行腐蚀刻线实验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 对应的一

（1）预测腐蚀时间75s 时，腐蚀深度的范围（α-1＝95%）； （2）若要求腐蚀深度在10～20um 之间，问腐蚀时间应如何控制？ 6．简述方差分析,主成分分析的基本思想 附：统计查表数据 0.025(6) 2.447t =，0.025(7) 2.365t =，(1.96)0.975Φ= 参考答案： 1.设15,,X X 是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个()1,2,,5i X i = 都服从()0,1.N (1)试给出常数c ,使得() 22 12c X X +服从2χ公布,并指出它的自由度; (2)试给出常数,d 使得服从t 分布,并指出它的自由度. 解 (1)由于()()()22 21212~0,1,~0,1, ~2X N X N X X +χ故 因此1c =,1222 X X +服从自由度为2的2χ分布. (2)由于()()~0,11,2,5i X N i = 且独立,则()12~0,2X X N + ()~0,1N 而 ()22223453X X X ++=χ ()~3,t ()~3t 所以d =自由度为3. 2. 设总体X 的密度函数为 ???<<+=其他, 01 0,)1();(x x x f ααα 其中1->α是未知参数, ),,(1n X X 是一样本, 试求:

北航数理统计期末考试题

北航数理统计期末考试题 2011年2007-2008学年第一学期期末试卷一、（6分，A班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体的样本，令，试证明T服从t-分布t（2） 二、（6分，B班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明。 三、（8分）设总体X的密度函数为其中，是位置参数。x1，x2，…，xn是来自总体X的简单 样本，试求参数的矩估计和极大似然估计。 四、（12分）设总体X的密度函数为，其中是未知参数。x1，x2，…，xn是来自总体X的简 单样本。 （1）试求参数的一致最小方差无偏估计； （2）是否为的有效估计证明你的结论。 五、（6分，A班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体的简单样本，y1，y2，…，yn是 来自正态总体的简单样本，且两样本相互独立，其中是未知参数，。为检验假设可令则上述假设检验问题等价于这样双样本检验问题就变为单检验问题。基于变换后样本z1，z2，…，zn，在显著性水平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。 六、（6分，B班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体的简单样本，已知，未知，试求假 设检验问题的水平为的UMPT。 七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方 面八、（6分）设方差分析模型为总离差平方和试求，并根据直观分析给出检验假设的拒绝域形式。 九、（8分）某个四因素二水平试验，除考察因子A、B、C、D外，还需考察，。今选用表，表 头设计及试验数据如表所示。试用极差分析指出因子的主次顺序和较优工艺条件。 列号试验号ABCD实验数据 12345671111111112.82111222228.23122112226.14122221135.35212121230.5621221214 .37221122133.3822121124.0十、（8分）对某中学初中12岁的女生进行体检，测量四个变量，身高x1，体重x2，胸围x3，坐高x4。现测得58个女生，得样本数据（略），经计算指标的协方差阵V的极大似然估计为且其特征根为。 （1）试根据主成分85%的选择标准，应选取几个主要成分（2）试求第一主成分。 2006级硕士研究生《应用数理统计》试题一、选择题（每小题3分，共12分） 1.统计量T~t（n）分布，则统计量T2的α（0α1）分位点xα（P{T2≤xα}=α）是（）

2009(上)《数理统计》考试题(A卷)及参考解答

2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，则U = 服从的分布是_______ . 解：(9)t ． 2，设1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计，且1?θ比2?θ有效，则1?θ与2 ?θ的期望与方差满足_______ . 解：1212 ????()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___. 解：秩和检验、游程总数检验． 4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是?β=_______ . 解：1?-''X Y β= ()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设12(,,,)(2)n X X X n ≥ 为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2 S 为样本方差，则 ____D___ . （A ）(0,1)nX N ； （B ）2 2()nS n χ ； （C ） (1)()n X t n S - ； （D ）2 12 2 (1)(1,1)n i i n X F n X =--∑ . 2，若总体2(,)X N μσ ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量n 增大，则μ的 置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ . （A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方

清华大学杨虎应用数理统计课后习题参考答案

习题三 1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2 (4.55,0.108)X N .现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？ 解 由题意知 2 ~(4.55,0.108),5,0.05X N n α==，1/20.975 1.96u u α-==，设立 统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠ 拒 绝 域 为 {} 00K x c μ=->，临界值 1/2 1.960.108/0.0947c u α-==?=， 由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体的均值有显著性 变化. 设立统计原假设 2 2 2 2 0010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时 2 222 0.0250.9751 1()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n i i S X n μχχ==-===∑ 22 10.02520.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ==== 拒绝域为 {} 2222 00201//K s c s c σσ=><或 由于22 0/ 3.167 2.567S σ=>，所以拒绝0H ，总体的方差有显著性变化. 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为 x =950h .已知该种元件寿命2(100,)X N σ，问这批元件是否合格（0.05α=）？ 解 由题意知 2 (100,)X N σ，设立统计原假设 0010:,:,100.0.05.H H μμμμσα≥<== 拒绝域为 {} 00K x c μ=-> 临界值为 0.050.0532.9c u u =?=?=- 由于 050x c μ-=-<，所以拒绝0H ，元件不合格.

应用数理统计试题

山东科技大学2016—2017学年第一学期硕士研究生 《应用统计》考试试卷 2017.06 班级 姓名 学号 一、填空题（每空3分，共36分） 1．当样本观测值12345(,,,,)(1,4,6,4,3)x x x x x =--时，对应次序统计量的观测值为 ；秩统计量的观测值为 . 2．设128,,,(0,4)X X X iid N L ，8118i i X X ==∑，则4814i i i i E X X ==?? ????=?? ????????? ∑∑ ； 821()i i E X X =??-=????∑ ；421()i i E X X =??-=???? ∑ . 3．设129,,,(1,1)X X X iid N L ，则() 9 2 11 1i i Y X == -∑服从 分布； () ()4 8 2 2 21 5 11i i i i Y X X ===--∑∑服从 分布；( 311Y X =-服从 分布. 4．设总体2(,)X N μσ:，样本1,n X X L ，2 σ已知， X 样本均值，2 S 为样本方差, 若 )~(0,1)X N μσ-，则μ的一个双侧1α-置信区间为 ；μ的一个单侧 1α-置信上限为 。 5．在样本量41n =、水平数5a =的单因子方差分析模型中，若总离差平方和200SS =，误 差平方和120e SS =，则因素平方和A SS = ；F 检验统计量的值= . 二、计算与证明（1、4小题每题20分，2、3小题每题12分，共64分） 1．设总体的分布密度函数为1 ,02()20,x f x θθ?≤≤? =???其他 ，1,n X X L 是从中抽取的样本，

应用数理统计课后习题参考答案

习题五 1 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？（α=0.05） 解 根据问题，因素A 表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为5. 假设样本观测值(1,2,3,4)ij y j =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= . 检验的问题：01251:,:i H H μμμμ===L 不全相等 . 计算结果： 表5.1 单因素方差分析表 注释: 当 =0.001表示非常显著，标记为 ‘***’，类似地，= 0.01，0.05，分别标记为 ‘**’ ，‘*’ . 查表0.95(4,15) 3.06F =，因为0.953.9496(4,15)F F =>，或p = 0.02199<0.05， 所 以拒绝0H ，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异. 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 试检验在四种不同催化剂下平均得率有无显著差异？（α=0.05） 解 根据问题，设因素A 表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为4 . 假设样本观测值(1,2,...,)ij i y j n =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= .其中 样本容量不等，i n 分别取值为6，5，3，4 .

检验的问题：012341:,:i H H μμμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.2 单因素方差分析表 查表0.95(3,14) 3.34F =，因为0.952.4264(3,14)F F =<，或p = 0.1089 > 0.05， 所以接受0H ，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 . 3 试验某种钢的冲击值（kg ×m/cm2），影响该指标的因素有两个，一是含铜量A ，另 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？（α=0.05） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用. 设因素,A B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为12. 假设样本观测值(1,2,3,1,2,3,4)ij y i j ==来源于正态总体2 ~(,),1,2,3,ij ij Y N i μσ= 1,2,3,4j = .记i α?为对应于i A 的主效应；记j β?为对应于j B 的主效应； 检验的问题：（1）10:i H α?全部等于零，11:i H α?不全等于零； （2）20:j H β?全部等于零，21:j H β?不全等于零； 计算结果： 表5.3 双因素无重复试验的方差分析表 查表0.95(2,6) 5.143F =，0.95(3,6) 4.757F =，显然计算值,A B F F 分别大于查表值， 或p = 0.0005，0.0009 均显著小于0.05，所以拒绝1020,H H ，认为含铜量和试验温度都会对钢的冲击值产生显著影响作用.

《应用数理统计》期末考试真题_2009年

《应用数理统计》期末考试试题 （2009-12-12上午9：00—11：00） 学院： 学号： 姓名： 注意：所有题目答案均做在答题纸上，该试卷最后随答题纸一同上交，否则成绩无效。 一、判断题 （30分） 判断下列说法是否正确，正确的划√，错误的划×。 1、若函数()f x 是某一随机变量X 的概率密度，则一定有()0f x ≥。 （ ） 2、设随机变量X 和Y 相互独立，则期望()()()E XY E X E Y =。 （ ） 3、二维随机变量(,)X Y 的相关系数0ρ=是X 与Y 相互独立的必要条件。 （ ） 4、在数理统计中，总体可视为一个概率分布。（ ） 5、样本的函数即为统计量。（ ） 6、当x 取定一已知常数时，经验分布函数()n F x 为一统计量。 （ ） 7、设随机变量2~(0,1),~()X N Y n χ 服从自由度为n 的t 分布。 （ ） 8、点估计问题中，一致最小方差无偏估计一定是有效估计。 （ ） 9、假设检验中，在样本容量固定的情形下，第一类错误和第二类错误不可能同时减小。 （ ） 10、假设检验中，第一类错误α的设定越小越好。 （ ） 二、（10分）（1）叙述F 分布的构造性定义。 （2）对连续型随机变量X ，若有()αα=≤x X P ，称αx 为随机变量X （或其分布）的α分位点，记为αX 。其中10<<α。记服从自由度分别为,m n 的F 分布的α分位点为(,)F m n α，试证明：11(,)(,) F m n F n m αα?= 。 三、（15分）设总体X 服从区间],0[θ（0θ>，未知）上的均匀分布，123,,X X X 为来自总体X 的简单样本， （1）试求其顺序统计量(1)(3)(,)X X 的联合概率密度；

应用数理统计试题

应用数理统计试题 一、填空（3分×10＝30分） 1.设X为一个连续型随机变量，分布函数为F，若有1 P， X (m ) 则m是F的（）点。 2.参数估计中的矩估计法是用（）矩近似（）矩的方法。 3.歌唱比赛中选手的最后成绩是在去掉最高分和最低分后的平均成 绩，这是根据估计量的（）准则而设定的。 4.在极大似然估计中，我们是把被估计量视为（）变量，而在Bayes估计中，我们是把被估计量视为（）变量。 5.假设检验中可能存在的两类错误是（）和（）。其中，（）的概率因不同问题而不确定，（）的概率等于显著性水平。 二、选择（4分×5＝20分） 1. 正确描述假设检验中原假设与备选假设的地位的是（） A相等的B原假设受到保护 C备选假设受到保护D具有不确定性 2.设X为一个连续型随机变量，其密度为) (x f，则X的k阶中心矩为（）。 A) f k)) ( ( (k x )( x E B dx X X E C) ( x k) ) ( E ( ) (k X EX E D dx x f X

3.两个事件A 与B ，若有P （A ）＞0，P （B ）＞0，且两个事件是互不相容的，则这两个事件是（）的。 A 一定互相独立 B 不一定相互独立C 不相关的 D 一定不相互独立 4.一元线性回归模型相互独立 为有限，　，i i i i i E n i x y 2 1 ) (0,, 2,1，其中参数的最 小二乘估计是根据（）最小的原则计算得到的。 A 回归平方和 B 总的离差平方和C 残差平方和 D 观测点到回归直线的距离 5.设),(~n t T 则~)1( 2 T （ ）。 A ) ,1(n F B ) 1,(n F C )(2 n D ) 1(2 n 三、（15分） 设总体X 服从正态分布，数学期望为 12，方差为4，若,12X Y 现 抽取容量为5的Y 的样本54321,,,,Y Y Y Y Y ，计算 （1）概率)08.6( 5 1 2 i i Y P ； （2）) ( 5 1 i i Y E ； 四、（10分） 以往一台机器生产的垫圈的一组平均厚度为0.05cm ，为了检查这台 机器是否处于正常工作状态，现抽取 10个垫圈的样本，测得平均厚 度为0.053，样本方差为0.00322 ，在显著性水平 为（1）0.05，（2） 0.01下，检验机器是否处于正常工作状态，即均值是否与以往相同。