对勾函数的图像与性质探究
第十二讲 对勾函数的图像与性质探究
厦门二中 唐文龙
一、实验内容
探究对勾函数b
y ax x
=+（00a b ≠≠且，下同）的图像与性质，由三部分组成： 1）当a,b 同号时，探究b
y ax x =+的图像与性质
2）当a,b 异号时，探究b
y ax x =+的图像与性质
3）探究对勾函数b y ax x =+，与y=ax 和y=x
b
的图像的关系
二、设计理念
通过用超级画板绘制b
y ax x
=+
的图像，观察对勾函数的图象变化规律，进而探究对勾函数在a,b 符号变化时的图像的性质，并通过探究逐步学会数形结合的数学思想方法，培养学生的探究能力 三、实验过程 1..探究问题
当a,b 同号时研究对勾函数b
y ax x
=+的图像与性质（定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等） 探究过程
1） 当a>0,b>0时，请利用超级画板做出函数b
y ax x
=+
的图像，借助函数的图像，研究它的性质：定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等
2） 打开文件“对勾函数.zjz ”，拉动参数a,b 对应的滑动块，让a,b,分别从0慢慢增长到10，
仔细观察函数的图象整体形状（对称性等），增减的变化情况，找出单调区间。 3） 观察函数图像，注意函数分别在哪些位置取到最小值和最大值，
4） 当a<0,b<0时, 拉动参数a,b 对应的滑动块，让a,b,分别从-10慢慢增长到0类似上述问
题研究此函数的图像与性质 探究结果
当a,b 同号时，从对勾函数b y ax x =+
的图像上看可得到b
y ax x
=+有如下性质：
1. .定义域：{}|,0x x R x ∈≠；值域{|y y y ≥≤-
2. 整体图像呈“对勾”的形状，图像关于原点呈中心对称，是奇函数；
3. 当a>0,b>0时 图像在一，三象限
当0x >时，由b
y ax x
=+
≥ab 2（当且仅当x = 当0x <时，其性质可仿照0x >进行研究。故而得函数b
y ax x
=+
的递增区间是（
∞+,a b ），（a b -∞-,），递减区间是（0，a
b ），（a b -,0） 当x>0时，在x=
a
b
时，取最小值ab 2， 当x<0时,在x=a
b
-
时，取最大值ab 2- 4. 当a<0,b<0时 图像在二，四象限
递增区间是（0，
a
b ），（a b -,0），递减区间是（∞+,a b ），（a b
-∞-,）
当x>0时,在x=
a
b
时，取最大值ab 2， 当x<0时在x=a
b
-时，取最小值ab 2- 互动交流
当a,b 同号时，很容易从函数的表达式判断该函数的定义域，奇偶性，但是从图像上更直观的观察出这些，尤其是最值与单调区间,但是同时要借助均值不等式来求得端点的数值。 2．探究问题
当a,b 异号时研究对勾函数b
y ax x
=+的图像与性质（定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等） 探究过程
1） 当a>0,b<0时，请利用超级画板做出函数b
y ax x
=+
的图像，借助函数的图像，研究它的性质：定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等
2） 打开文件“对勾函数.zjz ”，拉动参数a,b 对应的滑动块，让a 从0慢慢增长到10，b 从
-10慢慢增长到0仔细观察函数的图象整体形状（对称性等），增减的变化情况，找出单调区间,观察函数是否有最值
3） 当a<0,b>0时, 拉动参数a,b 对应的滑动块，让a 从-10慢慢增长到0, b 从0慢慢增长到
10类似上述问题研究此函数的图像与性质 探究结果
当a,b 异号时，从对勾函数b y ax x =+
的图像上看可得到b
y ax x
=+有如下性质： 1. 定义域：{}|,0x x R x ∈≠；值域{}|y y R ∈
2. 整体图像是两条曲线，图像分布于各个象限，图像关于原点呈中心对称，是奇函数；
3. 当a>0,b<0时,递增区间是(0，∞-),(∞+，0),没递减区间，没有最值；
4. 当a<0,b>0时,递减区间是(0，∞-),(∞+，0),没递增区间，没有最值； 互动交流
a,b 同号与异号两类情况的图像，比较b
y ax x
=+性质的异同点，可以了解当a,b 同号时求最值与单调区间是主要研究对象。 3. 探究问题
探究对勾函数b y ax x =+，与y=ax 和y=x
b
的图像的关系 探究过程
1）在同一坐标系内，通过用超级画板绘制b y ax x =+， y=ax 和y=x
b
的图像； 2）打开文件“对勾函数.zjz ”，拉动参数a,b 对应的滑动块，观察b
y ax x
=+，与y=ax
和y=x b 的图像的变化情况，找出它们之间的关系，找出b
y ax x
=+图像的渐近线。
探究结果
从函数的表达式看b
y ax x =+是一个正比例函数与一个反比例函数的和，它的图像反映这一点，可以观察到b y ax x =+的图像可以看做是y=ax 和y=x b
的图像“叠加”而成，
并且由图像可以看出b
y ax x
=+有两条渐近线分别是x=0和y=ax 。
互动交流
在拉动a,b 滑块时候，也是分两种情况，就是a,b 同号与异号，观察在这两种情况下，
b y ax x =+的图像是不是都与y=ax 和y=x
b
的图像有关系，是不是都能找到渐进线。
拓展探究
当2≥x 时候，探究k x
x ≥+1
恒成立时，求k 的取值范围 探究过程
1）问题归结为求x
x 1
+
在x 2≥时最小值，如果用基本不等式，发现x=1才能取到最小值2，但是与题目的x 2≥矛盾，故最小值不是2 2）利用超级画板画x
x y 1
+=的图像，可以看出在1≥x 时函数是递增的。 探究结果
x x y 1+
=在1≥x 时函数是递增的，所以在x 2≥时，也是递增，当x=2时，y 有最小值25 所以k 25
≤
四．实验反思
“函数及其性质”是高考的热点、重点，难点。而“对勾函数”是其中一个常见
又特殊的函数，了解它的图像性质无疑对学生解题是大有好处的。但是传统的教学方法直接告诉学生对勾函数的图像是什么样子性质是什么不利于学生掌握数学思想方法，而只是单纯记结论而已。真正应该让学生自己通过画函数图像去探究对勾函数的性质，超级画板就提供了这样一个利器，使得这个探究变得方便直观，探究的过程中让学生体会数形结合的数学思想方法，尤其在找单调区间，最值的情况是一目了然。但是超级画板也有局限性，就是在找单调区间端点和最值点还是需要代数上定理来辅助去计算出来。最后在探究3中让学生从另外一个角度去认识对勾函数，同样借助超级画板绘制函数图像以及在a,b 参数变化的过程中让学生探究对勾函数与正比例反比例函数图像的关系，使学生对函数的图像性质有更进一步的了解。此外之貌似的函数22
x b ax y +
=、3
3
x b ax y +=分别有什么性质与函数b y ax x =+的关系如何对于函数)(1
*N n x
x y n n ∈+=性质又怎样因此就由特殊引出了一
般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。 这些都可以借助超级画板让学生进行探究。
附件：课件制作（供参考，建议有能力的老师、同学可以独立制作课件。）
1）单击工具点击y轴的负半轴，画两条与x 轴平行的线段AB,CD
2）按住键盘的“ctrl”选中点B,D，点击菜单的【测量】下的【点】下的【x坐标】就出现B,D的横坐标
3）双击第一个框，选中“测量x坐标[点B: 平行直线上的点]:”改成”a=”
类似第二个框改为“b=”,如图
4）依次选中B与“a=2.25”，点击菜单的【对象】的【点与OLE对象和文本和图像文本关联】，点击B,D a,b的文本框就跑到B，D上
5）分别双击点B,D改标签为a,b,分别点击A,C，按右键选中菜单中的【隐藏】
分别选中点a,b，点击若干次，使点变大，
再分别选中a=，b=的文本框选择，使得文本边界消失，效果如图所示
6）点击【作图】下的【函数或参数方程曲线】打开对话框，如图设置
就出现对勾函数的图像，选中图像，点击若干次，加粗图像
7）点击，在出现的对话框中如图设置，然后点击若干次，加大文本
点击文本和把文本边界去除，效果如图
8）类似6的步骤画y=ax的图像
9）类似7的步骤操作出现y=ax 与y=b/x的图像
10）同时选中y=ax表达式与图像点击【课件】下的【隐藏和显示按钮】
出现如图的按钮，点击“隐藏对象”的按钮，隐藏y=ax的图像。
双击隐藏对象这个按钮的绿色区域，在出现的对话框选择文本的选项，如图设置
这样按钮变成隐藏y=ax,类似的处理其他三个按钮
11）拖动a,b 滑块就可以改变a,b的值来观察对勾函数的图像变化。
对勾函数(图像及概念)
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如f(x)=ax+b/x 的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。当x>0时，f(x)=ax+b/x 有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=a b 的时候。同时它是奇函数，就可以推导出x<0时的性质。令k=a b ，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}∪{x|0
对勾函数图象性质
对勾函数图象性质 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
对勾函数图象性质 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数f(x)=ax+ b x 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+b x （接下来 写作f(x)=ax+b/x）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：
当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0时，f(x)=ax+b x ≥2√ab(当且尽当ax=b x 时取等号)，此时x= √b a 。 当x<0时，f(x)=ax+b x ≤?2√ab(当且尽当ax=b x 时取等号)，此时x= ?√b a 。 即对勾函数的定点坐标：A:(√b a ,2√ab)、B:(?√b a ,?2√ab) a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同 对勾函数的图像（ab异号）
对勾函数图象性质
对勾函数图象性质 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数f(x)=ax+ b x 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+ b x （接下来写作 f(x)=ax+b/x）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同号） 对勾函数的图像（ab异号）
一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0时，f (x )=ax +b x ≥2√ab (当且尽当ax =b x 时取等号)，此时x =√b a 。 当x<0时，f (x )=ax +b x ≤?2√ab (当且尽当ax =b x 时取等号)，此时x =?√b a 。 ( 三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线 (六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、类对勾函数性质探讨 函数x b ax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。 X
对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用 一.对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质： 1. 定义域：（-∞，0）∪（0，+∞） 2. 值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，b y ax x =+ ≥2√ab （当 且仅当b x a = 取等号），即 )(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0） 1、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(<时，)(x f 在x=a b -时，取最大 值ab 2- 5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,a b ），（a b -∞-,）, 类型二：斜勾函数b y ax x =+)0(
最新对勾函数详细分析【精选】整理版
对勾函数的性质及应用 一.对勾函数的图像与性质： 1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞） 2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即 4.图像在一、三象限, 当时，2√ab（当且仅当取等号），即在x= 时，取最小值 由奇函数性质知：当x<0时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（），（）,减区间是（0，），（,0） 1、对勾函数的变形形式 类型一：函数的图像与性质 1.定义域： 2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4.图像在二、四象限, 当x<0时，在x=时，取 最小值；当时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（0，），（,0）减区间是（），（）, 类型二：斜勾函数 ①作图如下 1.定义域： 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.
5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）. ②作图如下： 1.定义域： 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）. 类型三：函数。 此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到 练习1.函数的对称中心为 类型四：函数 此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习 1.作函数与的草图 2.求函数在上的最低点坐标 3. 求函数的单调区间及对称中心 类型五：函数。此类函数定义域为，且可变形为 a.若，图像如下： 1．定义域： 2. 值域： 3.奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最大值，当x<0时，在x=时，取最小值 5. 单调性：减区间为（），（）；增区间是
对勾函数
对勾函数 f(x)=ax+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。 a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）
当x<0时，。 即对勾函数的定点坐标： (三)对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四)对勾函数的单调性 (五)对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数， X
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对勾函数 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0时， 。 当x<0时，。 即对勾函数的定点坐标： (三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab ，两边同时加上2ab ，整理得到（a+b)^2≥4ab ，同时开根号，就得到了均值定理的公式：a+b ≥2sqrt(ab ）。把ax+b/x 套用这个公式，得到ax+b/x ≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab ），这里有个规定：当且仅当ax=b/x 时取到最小值，解出x=sqrt(b/a ），对应的f(x)=2sqrt(ab ）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab ），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。 三、关于求函数()01>+=x x x y 最小值的解法 1. 均值不等式 Θ0>x ，∴21≥+ =x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。∴当1=x 的时候，2min =y 2. ?法 0112=+-?+=yx x x x y y X O y=ax
专题：基本不等式与对勾函数
基本不等式与对勾函数 一、基本不等式 前提条件是：0,0>>b a 取“=”的条件是：0>=b a ，必须验证. 练习1已知0
例5函数9 )(2+=x x x f 的最大值为 例6函数1 11)(-+ -=x x x f 的最小值为 例7若正数b a ,满足3++=b a ab ，求：①ab 的取值范围②b a +的取值范围 例8已知0,0>>y x ，且12=+y x ，求y x 1 1+的最小值 练习5.已知0,0>>b a ，且32=+b a ，则b a 1 21+的最小值为 练习6.已知正数y x ,满足4=+y x ，则使不等式mxy y x ≥+4恒成立，求m 的取值范围 练习7已知不等式（x y +） 1a x y +（）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 例9若10< 练习8.若320< 对勾函数f(x)=ax+的图象与性质 繁华分享 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同号） 当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 对勾函数的图像（ab异号） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。 当x<0时， 。 即对勾函数的定点坐标： (三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数， 利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明： 1、求函数324 222++++=x x x x y 的最小值。 解：令322++=x x t ，则22)1(2≥++=x t t t t t y 112+=+= y X O y=ax 第37课时 对勾函数)0()(≠+=x x a x x f 的图像与性质 【学习目标】 1． 理解并掌握对勾函数)0()(≠+ =x x a x x f 的图像与性质； 2． 通过对勾函数)0()(≠+ =x x a x x f 的图像与性质的研究，体会与感悟函数的研究方法． 【课前导学】 【问题情境】已知函数x x x f 1)(+=（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）证明函数在]1,0(上是减函数，在),1[+∞上是增函数． 【课堂活动】 一．建构数学： 问题（1）你能用我们学过的函数知识证明该函数x x x f 1)(+=在),0(+∞的最小值为)1(f 吗？ 答略． 问题（2）你能画出该函数在定义域上的大致图象吗，怎样画？ 提示：描点作图：先画出在),0(+∞上的图象，再由奇偶性画出在)0,(-∞上的图象（有条件的情况下可用Excel 软件作图） 问题（3）你能知道该函数在)0,(-∞上的最值情况吗？能说明理由吗？ 答略． 问题（4）你能知道该函数在)0,(-∞上的单调性吗？能说明理由吗？ 说明：设计这个问题串目的是为了全面复习函数的主干知识，全面检测学生对函数的基础知识和基本方法的掌握情况． 二．应用数学： 1．教师引导，学生合作探求 我们已经知道x x x f 1)(+ =的图象和在定义域上的奇偶性、单调性及其最值情况，那么你能解决下列问题吗？ （1）求函数x x x f 4)(+ =的单调区间． （2）求函数x x x f 9)(+=的单调区间． （3）求函数)0()(>+=a x a x x f 的单调区间？并给出证明． （1）和（2）可以让学生分组讨论．探求，交流发言，形成共识后解决（3）． 设计这个问题串是为了给学生提供一个合作探究的平台，训练观察、分析、解决问题的能力，让学生尝试数学发现之路即：观察、分析、归纳、猜想、证明． 基本不 等式与对勾函数 一、 对勾函数b y ax x =+ )0,0(>>b a 的图像与性质 性质： 1. 定义 域： ),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2()2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称， 即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限 当0x >时，由基本不等式知 b y ax x =+ ≥ab 2（当且仅当b x a = 即)(x f 在x= a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=a b - 时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（ ∞+,a b ），（a b -∞-,） 减区间是（0， a b ），（a b -,0） 一、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(< 此函数与对勾函数x b x a y ) ()(-+ -=关于原点对称，故函数图像为 性质： 类型二：斜勾函数b y ax x =+ )0( 对勾函数的图象及其性质 对勾函数，是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如f x x a（a x 函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名对勾函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数” 1 问题1：已知函数f x x ， x （1）求该函数的定义域； （2）判断该函数的单调性和奇偶性； （3）求该函数的值域； （4）画出该函数的图像。 1a 问题2：由函数f x x 的图像性质类比出函数f x x （a 0）的性质。0）的 xx 1、定义域： xx 0 2、值域： , 2 a 2 a, ， 在正数部分仅当 x= a 取最小值 2 a ，在负数部 分仅当 x= a 取最大值 -2 a 3、奇偶性：奇函数，关于原点对称 4、单调区间： ? , a 单调递增 ??[ a ,0)]? 单调递减 ??(0, a ]? 单调递减 ??[ a ，+∞)? 单调递增 x x 2b 在 0,4 上单调递减，在 4, x a 问题 4： 当 f x x 中的条件变为 a 0时，单调性怎样？ x 3 例 1 、求函数 f x x 在下列条件下的值域。 x 3 3、 求函数 f(x) 在[2,5] 上的最大值和最小值。 x1 2x 5 4、 函数 f (x) 的值域是 ,0 4, ，求此函数的定义域。 x3 问题 3： 如果函数 上单调递增，求实数 b 的值。 1) ,0 0, 2) 0,2 ； 3) 3, 2 ； 4) 1,2 例 2 、函数 f x x a (a 0) 在区间 x m,n (m 0) 取得最大值 6，取得最小值 2，那么此函数在区间 n, m 上是否存在最值？请说明理由。 例 3 、求下列函数的值域。 1) f (x) 2) f (x) x 2 3x 2 3) f(x) x 5 x1 练习： 1、 已知函数 f (x) x ，求该函数的定义域、值域，判断单调性和奇偶性，并画出图 像； x1 2、 求函数 f (x) x 2 3 的值域； x3 对勾函数的性质及应用 一 . 对勾函数的图像与性质： 1.定义域：（ - ∞， 0）∪（0，+∞） 2.值域： (- ∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即 2√ab （当且仅当取等号），即在x=时，取最小值4. 图像在一、三象限 , 当时， 由奇函数性质知：当x<0 时，在 x=时，取最大值 5. 单调性：增区间为（），（）, 减区间是（ 0，），（ ,0 ） 1、对勾函数的变形形式 类型一：函数的图像与性质 1.定义域： 2.值域： (- ∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4. 图像在二、四象限 , 当 x<0 时，在 x= 时，取最小值；当时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（ 0，），（ ,0 ）减区间是（），（） , 类型二：斜勾函数 ①作图如下 1.定义域： 2. 值域： R 3. 奇偶性：奇函数 4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：增区间为（ - ，0），（ 0， +） . ②作图如下： 1. 定义域： 2. 值域： R 3. 奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：减区间为（ - ，0），（ 0， +） . 类型三：函数。 此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到 练习 1. 函数的对称中心为 类型四：函数 此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到 练习 1. 作函数与的草图 2.求函数在上的最低点坐标 3.求函数的单调区间及对称中心 类型五：函数。此类函数定义域为，且可变形为 a. 若，图像如下： 1．定义域： 2.值域： 3.奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限. 当时，在时，取最大值，当x<0 时，在x=时，取最小值 5.单调性：减区间为（），（）；增区间是 练习 1. 函数的在区间上的值域为 b.若，作出函数图像： 1．定义域： 2.值域： 3.奇偶性：奇函数. 4.图像在一、三象限. 当时，在时，取最小值， 当 x<0 时，在 x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（），（）；减区间是 练习 1. 如，则的取值范围是 类型六：函数 . 可变形为， 对勾函数 对勾函数：图像，性质，单调性 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示： https://www.wendangku.net/doc/815417615.html,/maths352/3814527.html 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如 f(x)=ax+b/x的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）。同时它是奇函数，就可以推导出x<0时的性质。令k=sqrt(b/a)，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0 对勾函数的性质及应用 一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质： 1. 定义域：),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2[]2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状， 且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，b y ax x =+≥ab 2（当且仅当b x a =取等号），即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0） 二、对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+)0,0(<时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,a b ），（a b -∞-,）, 类型二：斜勾函数b y ax x =+ )0( 第十二讲 对勾函数的图像与性质探究 厦门二中 唐文龙 一、实验内容 探究对勾函数b y ax x =+（00a b ≠≠且，下同）的图像与性质，由三部分组成： 1）当a,b 同号时，探究b y ax x =+的图像与性质 2）当a,b 异号时，探究b y ax x =+的图像与性质 3）探究对勾函数b y ax x =+，与y=ax 和y=x b 的图像的关系 二、设计理念 通过用超级画板绘制b y ax x =+ 的图像，观察对勾函数的图象变化规律，进而探究对勾函数在a,b 符号变化时的图像的性质，并通过探究逐步学会数形结合的数学思想方法，培养学生的探究能力 三、实验过程 1..探究问题 当a,b 同号时研究对勾函数b y ax x =+的图像与性质（定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等） 探究过程 1） 当a>0,b>0时，请利用超级画板做出函数b y ax x =+ 的图像，借助函数的图像，研究它的性质：定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等 2） 打开文件“对勾函数.zjz ”，拉动参数a,b 对应的滑动块，让a,b,分别从0慢慢增长到10， 仔细观察函数的图象整体形状（对称性等），增减的变化情况，找出单调区间。 3） 观察函数图像，注意函数分别在哪些位置取到最小值和最大值， 4） 当a<0,b<0时, 拉动参数a,b 对应的滑动块，让a,b,分别从-10慢慢增长到0类似上述问 题研究此函数的图像与性质 探究结果 当a,b 同号时，从对勾函数b y ax x =+ 的图像上看可得到b y ax x =+有如下性质： 1. .定义域：{}|,0x x R x ∈≠；值域{|y y y ≥≤- \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质 性质： 1. 定义域：),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2()2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对 称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限 当0x >时，由基本不等式知b y ax x =+ ≥ab 2（当且仅当x =， 即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=a b - 时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（ ∞+,a b ） ，（a b -∞-,） 减区间是（0， a b ），（a b -,0） 二、对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(< ①0,0<>b a 作图如下 性质： ②0,0>++= ac x c bx ax x f 此类函数可变形为b x c ax x f ++ =)(，则)(x f 可由对勾函数x c ax y +=上下平移得到 例1作函数x x x x f 1 )(2++=的草图 解：11 )(1)(2++=?++= x x x f x x x x f 作图如下： 类型四：函数)0,0()(≠>++=k a k x a x x f 此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(，则)(x f 可由对勾函数x a x y +=左右平移，上下平移得到 对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。的图象与性质 繁华分享 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。（接下来写作f(x)=ax+b/x）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同号） 当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 对勾函数的图像（ab异号） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到： 当x>0时，错误！未找到引用源。。 当x<0时，错误！未找到引用源。。 即对勾函数的定点坐标： (三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数， 利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明： 1、求函数324 222++++=x x x x y 的最小值。 解：令322++=x x t ，则22)1(2≥++=x t t t t t y 112+=+= 根据对号函数t t y 1+=在（1，+∞）上是增函数及t 的取值范围，当2=t 时y 有最小值2 23。此时x=-1. 2、求函数),(sin 2sin Z k k x x x y ∈≠+=π的单调区间，并求当),0(π∈x 时函数的最小值。 X 对勾函数的性质及应用 一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质： 1. 定义域：),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2[]2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状， 且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，b y ax x =+ ≥ab 2（当且仅当b x a ，即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0） 二、对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(<时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,a b ），（a b -∞-,）, 类型二：斜勾函数b y ax x =+)0( 基本不等式与对勾函数 一、 对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质 性质： 1. 定义域：),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2()2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对 称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限 当0x >时，由基本不等式知b y ax x =+ ≥ab 2（当且仅当b x a =， 即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=a b - 时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（ ∞+,a b ），（a b -∞-,） 减区间是（0，a b ），（a b -,0） 一、对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(<b a 作图如下 性质： ②0,0> 类型三：函数)0()(2>++= ac x c bx ax x f 此类函数可变形为b x c ax x f ++ =)(，则)(x f 可由对勾函数x c ax y +=上下平移得到 例1作函数x x x x f 1 )(2++=的草图 解：11 )(1)(2++=?++= x x x f x x x x f 作图如下： 类型四：函数)0,0()(≠>++=k a k x a x x f 此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(， 则)(x f 可由对勾函数x a x y +=左右平移，上下平移得到 例2作函数2 1 )(-+=x x x f 的草图 解：22 1 2)(21)(+-+-=?-+=x x x f x x x f 作图如下： 例3作函数x x x x f +++=23 )(的作图： 解：12 1 2211212)(23)(-+++=+++=++++=?+++=x x x x x x x x f x x x x f 练习：1.求函数4 21 )(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标 对号函数)0()(≠+=x x a x x f 的图像与性质 【学习目标】 1． 理解并掌握对勾函数)0()(≠+ =x x a x x f 的图像与性质； 2． 通过对勾函数)0()(≠+ =x x a x x f 的图像与性质的研究，体会与感悟函数的研究方法． 【课前导学】 【问题情境】已知函数x x x f 1)(+=（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）证明函数在]1,0(上是减函数，在),1[+∞上是增函数． 【课堂活动】 一．建构数学： 问题（1）你能用我们学过的函数知识证明该函数x x x f 1)(+=在),0(+∞的最小值为)1(f 吗？ 答略． 问题（2）你能画出该函数在定义域上的大致图象吗，怎样画？ 提示：描点作图：先画出在),0(+∞上的图象，再由奇偶性画出在)0,(-∞上的图象 问题（3）你能知道该函数在)0,(-∞上的最值情况吗？能说明理由吗？ 答略． 问题（4）你能知道该函数在)0,(-∞上的单调性吗？能说明理由吗？ 说明：设计这个问题串目的是为了全面复习函数的主干知识，全面检测学生对函数的基础知识和基本方法的掌握情况． 二．应用数学： 1．教师引导，学生合作探求 我们已经知道x x x f 1)(+ =的图象和在定义域上的奇偶性、单调性及其最值情况，那么你能解决下列问题吗？ （1）求函数x x x f 4)(+ =的单调区间． （2）求函数x x x f 9)(+=的单调区间． （3）求函数)0()(>+=a x a x x f 的单调区间？并给出证明． （1）和（2）可以让学生分组讨论．探求，交流发言，形成共识后解决（3）． 设计这个问题串是为了给学生提供一个合作探究的平台，训练观察、分析、解决问题的能力，让学生尝试数学发现之路即：观察、分析、归纳、猜想、证明． 2．变式探究 提升能力 若函数)0()(>+=a x a x x f 在]2,0(上是减函数．在),2[+∞上是增函数，求a 的值． 注：这是利用逆向思维设计问题，目的是为了让学生先猜想后证明，再次体验数学发现，激发学生的兴对勾函数绝对经典
高中数学 37《对勾函数的图像与性质》学案 苏教版必修1
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专题：基本不等式与对勾函数
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专题：对勾函数
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