高数极限习题

第二章 导数与微分

典型例题分析

客观题

例 1 设)(x f 在点0x 可导,b a ,为常数,则=??+-?+→?x

x b x f x a x f x )

()(lim

000

( )

)(0x f ab A ' )()(0x f b a B '+ )()(0x f b a C '- )(0x f b

a D

'

答案 C 解

=??+-?+→?x

x b x f x a x f x )()(lim 000=?-?+--?+=→?x x f x b x f x f x a x f x )]

()([)]()([lim 00000

-?-?+=→?x

a x f x a x f a x )

()(lim 000x b x f x b x f b x ?-?+→?)()(lim 000

)()(0x f b a '-=

例2（89303）设)(x f 在a x =的某个邻域内有定义,则)(x f 在a x =处可导的一个充分条件是( )

??

????-??? ??++∞→)(1lim )(a f h a f h A h 存在 h h a f h a f B h )

()2(lim )(0+-+→存在

h

h a f h a f C h 2)

()(lim

)(0

--+→存在 h

h a f a f D h )

()(lim

)(0

--→存在

答案 D

解题思路

(1) 对于答案)(A ，不妨设

x h

?=1，当+∞→h 时，+

→?0x ，则有

x a f x a f a f h a f h x h ?-?+=??

?

???-??? ??++

→?+∞→)()(lim )(1lim 0存在，这只表明)(x f 在a x =处右导数存在,它并不是可导的充分条件,故)(A 不对.

(2) 对于答案)(B 与),(C 因所给极限式子中不含点a 处的函数值)(a f ，因此与导数概念不相符和.例如，若取

?

??≠==a x a

x x f ,0,1)(

则)(B 与)(C 两个极限均存在，其值为零，但1)(0)(lim =≠=→a f x f a

x ，从而)(x f 在

a x =处不连续，因而不可导，这就说明)(B 与)(C 成立并不能保证)(a f '存在，从而)

(B 与)(C 也不对.

(3) 记h x -=?,则0→?x 与0→h 是等价的,于是

)

()

()(lim

)

()(lim

)

()(lim

)

()(lim

a f x

a f x a f h

a f h a f h

a f h a f h

h a f a f x h h h '=?-?+=---=---=--→?→→→

所以条件D 是)(a f '存在的一个充分必要条件.

例3(00103)设,0)0(=f 则)(x f 在点0=x 可导的充要条件为( )

cosh)1(1lim

)(2

-→f h A h 存在 )1(1lim

)(0

h

h e f h B -→存在

sinh)(1lim

)(2

-→h f h

C h 存在 [])()2(1lim

)(0

h f h f h

D h -→存在

答案 B 解题思路 (1) 当0→h 时,

2

1

cosh 12

→

-h

.所以如果)0(f '存在,则必有

2

2

2

cosh 1lim

cosh

1)

0(cosh)1(lim

)

0(cosh)1(lim

cosh)

1(lim

h

f f h

f f h

f h h h h -?---=--=-→→→→若记cosh 1-=u ,当0→h 时,+

→0u ,所以

)0()0()(lim cosh 1)0(cosh)1(lim 00f u f u f f f h h '=-=---→→ 于是

2

cosh)

1(lim

h

f h -→)0(2

1f '=

这就是说由)0(f '存在能推出cosh)1(1lim

2

-→f h

h 存在.

但是由于当0→h 时,恒有+

→

-=0c o s h 1u ,而不是0→u ,因此c o s h )1(1lim 20-→f h h 存在只能推出x f x f f x )

0()(lim )0(0-='+

→+存在,而不能推出)

0(f '存在.

(2) 当0→h 时, )(1h o h e h

+-=-,于是

h

e f h

h )

1(lim

-→h

f h o h f h )

0())((lim

-+-=→)

()

0())((lim

h o h f h o h f h +--+--=→

由于当0→h 时, )(h o h +-既能取正值,又能取负值,所以极限

)

()

0())((lim

h o h f h o h f h +--+-→存在与)0()

0()(lim

f h

f h f h '=-→存在是互相等价的.因而

极限)1(1lim

h

h e f h

-→存在与)0(f '存在互相等价.

(3) 当0→h 时, 用洛比塔法则可以证明61

sinh

lim

3

=

-→h

h h ,所以 2

sinh)

(lim

h

h f h -→h h

h h f h f h h ?-?---=→→300sinh

lim sinh )0(sinh)(lim

由于0→h ,于是由极限h h

h h f h f h h ?-?---→→3

sinh lim

sinh

)

0(sinh)(lim

存在未必推出

sinh

)

0(sinh)(lim

---→h f h f h 也存在,因而)0(f '未必存在.

(4))(x f 在点0=x 可导一定有)(D 存在,但)(D 存在不一定)(x f 在点0=x 可导.

例 4 (98203) 函数||)2()(3

2x x x x x f ---=有( )个不可导点 0)(A 1)(B 2)(C 3)(D

答案 C

解题思路 当函数中出现绝对值号时,不可导的点就有可能出现在函数的零点,因为函数零点是分段函数的分界点.因此需要分别考察函数在点1,1,0210-===x x x 考察导数的存在性.

解 将)(x f 写成分段函数:

=)(x f ???

????≤---<≤---<≤-----<---.

1),

1()2(,10),1()2(,01),1()2(,1),1()2(2

222

2

22

2x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x

(1) 在00=x 附近,)(x f 写成分段函数:

||)2()(3

2x x x x x f ---=????

?≥---<---=0

,)1)(2(0,)1)(2(2

22

2x x x x x x x x x x 容易得到

2)1)(2(lim )0()(lim )0(2

200=---=-='-

-→→-x x x x

f x f f x x

2)1)(2(lim )0()(lim )0(2

200-=---=-='+

+→→+x x x x

f x f f x x

由于)0()0(+-'≠'f f ,所以)0(f '不存在.

(2) 在11=x 附近,)(x f 写成分段函数:

||)2()(3

2x x x x x f ---=?????≥---+<---+=1

,)1)(2)(1(1,)1)(2)(1(2

2

x x x x x x x x x x x x

4)2)(1(lim 1

)1()(lim )1(2

11-=--+=--='-

-→→-x x x x x f x f f x x

4)2)(1(lim 1

)1()(lim )1(2

11-=--+=--='+

+→→+x x x x x f x f f x x

由于)1()1(+-'≠'f f ,所以)1(f '不存在.

(3) 在12-=x 附近,)(x f 写成分段函数:

||)2()(3

2x x x x x f ---=?????-≥---+-<+---=1

,)1)(2)(1(1,)1)(2)(1(2

2

x x x x x x x x x x x x

0)2)(1(lim

1

)

1()(lim

)1(2

1

1

=----=+--=-'-

-

-→-→-x x

x x x f x f f x x

0)2)(1(lim 1

)

1()(lim

)1(2

01

=---=+--=-'-

+

→-→+x x x x x f x f f x x

由于0)1()1(=-'=-'+-f f ,所以)1(-'f 存在.

综合上述分析,)(x f 有两个不可导的点.

例5 (95103) 设)(x f 具有一阶连续导数,|),sin |1()()(x x f x F +?=则0)0(=f 是

)(x F 在0=x 处可导的( )

)(A 必要但非充分条件 )(B 充分但非必要条件

)(C 充分且必要条件 )(D 既非充分也非必要条件 答案 C

分析 从)(x F 在0=x 的导数定义着手.将

|sin |)()(|)sin |1()()(x x f x f x x f x F ?+=+?= 解

='+)0(F 0

|

0s i n |)0(|s i n |)(lim 0)0()(lim 0)0()(lim 000--+--=--+

+

+

→→→x f x x f x f x f x F x F x x x

)0()0(f f +'=

='-)0(F 0)

0()(lim 0---

→x F x F x 0

|0s i n |)0(|s i n |)(lim 0)0()(lim 00--+--=--→→x f x x f x f x f x x

)0()0(f f -'=

于是推知='+)0(F )0(-'F 的充分必要条件是.0)0(=f

例6 (92103) 设函数||3)(23x x x x f +=,则使)0()

(n f

存在的最高阶数

)(=n .

0)(A 1)(B 2)(C 3)(D

答案 C

解题思路 应先去掉)(x f 中的绝对值,将)(x f 改写为分段函数

||3)(2

3

x x x x f +=???≥<=04023

3

x x

x x

解 由||3)(2

3

x x x x f +=???≥<=0

4023

3

x x

x x

得)(x f '???><=0

12062

2

x x

x x

且)(x f ''??

?><=024012x x

x x

)(x f '''???><=0

24

012

x x

又

=--='-

→-0

)

0()(lim

)0(0

x f x f f x 00

2lim

3

=---

→x x x ,

00

4lim

)

0()(lim

)0(3

=--=--='+

+

→→+x x x f x f f x x

所以)0(f '存在.

000

6lim

)

0()(lim

)0(2

=--=-'-'=''-

-

→→-x x x f x f f x x 00

12lim

)

0()(lim

)0(2

=--=-'-'=''+

+

→→+x x

x f x f f x x

所以)0(f ''存在.

120

12lim

)

0()(lim

)0(0

=--=-''-''='''-

-

→→-x x x f x f f x x

240

24lim

)

0()(lim

)0(0

=--=-''-''='''+

+

→→+x x x f x f f x x

即)0(-'''f )0(+'''≠f .因而使)0()

(n f

存在的最高阶数是2.

例7 ||||cos )(2x x x x f +=存在的最高阶导数的阶数等于( )

A 0

B 1

C 2

D 3 答案 C

解题思路 注意x x cos ||cos =,所以只需考察||2

x x 在点0=x 的情况.

例8(96203)设)(,0x f >δ在区间),(δδ-内有定义，若当),(δδ-∈x 时，恒有

2

)(x x f ≤，则0=x 必是)(x f 的( )

间断点，)(A 连续而不可导的点，)(B ， 0)0(')(=f C 可导的点，且

0)0(')(≠f D 可导的点，且

答案 C

解 由题目条件易知0)0(=f ,因为

||

|)(|

|)

0()(|

2

x

x

x x f x

f x f ≤=-

所以由夹逼定理

0||

lim |)(|

lim |)

0()(|

lim 2

=≤=-→→→x

x

x

x f x

f x f x x x

于是0)0(='f .

例9 (87103)设?????=≠-=-.0,0,0,1)(2

x x x e x f x 则)0(f '为( ) 0)(A 2

1

)(B 1)(C 1)(-D

答案 )(C

解题思路 因)(x f 为分段函数,故它在分段点处的导数应按导数的定义， 又由于是0

0型

未定式,可用洛必达法则求极限.

解

)

0()(lim

)0(0--='→x f x f f x 0

1lim

2

---=-→x x e

x

x 2

2

1lim

x

e x

x -→-=

当0→u 时,1-u

e 与u 是等价无穷小,所以当0→x 时,2

1x

e --与2

x 是等价无穷小.因而

11lim

2

2

=--→x

e x

x

例10 (88103) 设)(x f 可导且2

1)(0=

'x f ,则0→?x 时,)(x f 在0x 处的微分dy 与

x ?比较是( )的无穷小.

)(A 等价 )(B 同阶 )(C 低阶 )(D 高阶

答案 B

解题思路 根据)(x f y =在0x x =处的微分的定义:x x f dy ?'=)(0.

解 2

121

lim lim 00=??=?→?→?x x

x dy

x x ,可知dy 与x ?是同阶的无穷小.

例11 (87304) 函数?????

=≠=0,

00

,1sin )(x x x

x x f 在0=x 处( ) )(A 连续,且可导 )(B 连续,不可导

)(C 不连续 )(D 不仅可导,导数也连续

答案 B

解题思路 一般来说,研究分段函数在分段点处的连续性时,应当分别考察函数的左右极限;在具备连续性的条件下,为了研究分段函数在分界点处可导性,应当按照导数定义,或者分别考察左右导数来判定分段函数在分段点处的导数是否存在.因此,本题应分两步: (1) 讨论连续性; (2) 讨论可导性.

解 (1) 讨论函数在点0=x 处的连续性

由于)0(01

sin

lim )(lim 00f x

x x f x x ===→→,可知函数)(x f 在点0=x 处是连续的. (2) 讨论函数在点0=x 处的可导性

由于x

x x x x f x f x x x 1sin lim 0

1sin lim 0)0()(lim 000→→→=-=--不存在,所以,函数)(x f 在点 0=x 处不可导.

例12 设??

??

?=≠=0

,0

0,1sin )(x x x

x

x f p

在点0=x 可导,但是)(x f '导数在点0=x 不连续,则

p 必须满足( )

10<

(1) 当1≤p 时,下述极限不存在:

x

x x

x x x

f x f p x p

x x 1sin lim 1

sin lim

)

0()(lim

100

-→→→==-

因此)0(f '不存在. 当1>p 时,

x

x x

x x x

f x f p x p

x x 1sin lim 1

sin lim

)

0()(lim

100

-→→→==-0=

所以)0(f '0=.

这就是说,只有当1>p 时, )0(f '才存在,所以选项C A ,可以被排除.

(2) 当1>p 时

??

?

??

≠-=='--0,1cos 1sin 0,0)(2

1x x x x px

x x f p p 当且仅当02>-p ,即2>p 时,)0(0)(lim 0

f x f x '=='→,所以当且仅当21≤

)(x f 在点0=x 可导,但是)(x f '在点0=x 不连续.

例13 (95403)设)(x f 可导，且满足条件,12)

1()1(lim

-=--→x x f f x 则曲线)(x f y =在

))1(,1(f 处的切线斜率为( )

,2)(A ,2)(-B ,2

1)

(C 1)(-D

答案 B

解 记x u -=?,则有

)1(2

1)1()1(lim 212)1()1(lim 00f u f u f x x f f u x '=?-?+=--→?→

例14 设)21ln(x y -=,则=)

10(y ( )

)

(A 10

)

21(!9x - )

(B 10

)

21(!9x -- )

(C 10

9)

21(2

!10x -? )

(D 10

10)

21(2

!9x -?-

答案 D

解题思路 求高阶导数的一般方法是: 先求出一阶、二阶、三阶导数;找出规律,即可写出高阶导数.

x

y 212--=',

2)21(2)1)(2(x y ----=''2

)

21(1

)2)(1)(2(x ----= 3

)

21(2)

2)(2)(1)(2(x y ------='''

.)

21(2

!910

10)

10(x y

-?-=

例17 (90103) 设函数)(x f 有任意阶导数,且)()(2

x f x f =',则

)2(),(

)()

(>=n x f

n .

)(A )(!1

x f n n + )(B )(1

x nf n + )(C )(2x f

n

)(D )(!2x f

n n

答案 A

解题思路 这是一个求高阶导数的问题,涉及到求抽象函数的导数.

解 由)(x f 有任意阶导数且)()(2

x f x f =',可知

[])(2)()(2)()(2)

()(3

2

2

x f x f

x f x f x f x f x f =?='?='='', [])()(23)(2)(2

3

x f x f x f x f '??='

=''')(!34

x f

=

依此由归纳法可知 =)()

(x f n )(!1

x f n n +

注意 (1) 当2,1==n n 时虽然)(B 也正确,但当2>n 就不正确了,所以将)(B 排除之;

(2) 在求导数[]

')(2x f 时,可将函数)(2x f 看成是由2

t y =与)(x f t =复合而成的,

则根据复合函数的求导法则,故[])()(2)(2)()()

(2

2

x f x f x f t x f t x f '?='?='?'='. (初学者可能会这样做:[])(2)(2

x f x f ='

,后面丢掉一个因子)(x f '.

例18 (91303) 若曲线b ax x y ++=2

和3

12xy y +-=在点)1,1(-处相切，其中

b a ,是常数,则( )

2,0)(-==b a A 3,1)(-==b a B

1,3)(=-=b a C 1,1)(-=-=b a D

答案 D

解题思路 两曲线在某点相切就是指两曲线在此公共点处共一条切线,从而两曲线的斜率也应相等.

解 曲线b ax x y ++=2

在点)1,1(-处的斜率是

='

++==1

2

1)(x b ax x k a a x x +=+=2)

2(1

另一条曲线是由隐函数3

12xy y +-=确定,该曲线在点)1,1(-处的斜率可以由隐函数求导数得到:

对于方程3

12xy y +-=两边求导得到3

2

32y y xy y +'=',解出y '得到此曲线在点)1,1(-处的斜率为 1321

12

3

1

12=-=

'

=-==-==y x y x xy

y

y k

令21k k =,立即得到1-=a .再将1,1,1-==-=y x a 代入b ax x y ++=2

中得出

.1-=b

例

19

设)(),(x g x f 定义在)1,1(-，且都在0

=x 处连续，若

?????=≠=02

)()(x x x x g x f ，则( )

0)0('0)(lim )(0

==→g x g A x 且, 1)0('0)(lim )(0

==→g x g B x 且

0)0('1)(lim )(0

==→g x g C x 且 2)0('0)(lim )(0

==→g x g D x 且

答案 D

解题思路 分析函数)(x f 的表达式,并运用)(x f 在0=x 处连续这一关键条件.

解 既然)(x f 在0=x 处连续,于是必有2)(lim

)(lim 0

==→→x

x g x f x x ,于是必有

0)(lim 0

=→x g x .于是又有2)(lim

)

0()(lim

)0(0

==-='→→x

x g x

g x g g x x .

例 20 (99103) 设??

?

??≤>-=0

)(0cos 1)(2x x g x x x

x x f 其中)(x g '是有界函数,则)(x f 在0

=x 处( )

)(A 极限不存在 )(B 极限存在,但不连续 )(C 连续,但不可导 )(D 可导

答案 D

解题思路 若能首先判定)(x f 在0=x 处可导,则)(A 、)(B 、)(C 均可被排除. 解

0)

0()(lim

)0(0

--='+

→+x f x f f x 2

3

cos 1lim

x

x

x -=+

→2

3

2

2

lim

x

x

x +

→=02

lim

2

1

==+

→x x

(2

~cos 102

x

x x -→时)

)

0()(lim

)0(0

--='-

→-x f x f f x x x g x x )

(lim

2

-

→=0)(lim 0==-

→x xg x （)(x g 是有界函数）

由于)(x f 在0=x 点的左导数等于右导数,因而 )(x f 在0=x 处可导.

例21 设x x f sin )(=,则=')))(((x f f ( )

x x A cos )cos(sin . x x B cos )sin(sin . x x C sin )cos(cos . x x D sin )sin(cos .

答案 A

例 22 设)(x f 是可导函数,则( )

为偶函数则为奇函数若)(,)(.x f x f A '

为单调函数

则为单调函数

若)(,)(.x f x f B '

为奇函数则为奇函数若)(,)(.x f x f C '

为非负函数

则为非负函数

若)(,)(.x f x f D '

答案 A

解题思路 根据导数定义,利用函数的奇性. 解 由于)()(u f u f -=-,所以

x

x f x x f x

x f x x f x f x x ?-+?---=?-?+='→?→?)

()(lim

)

()(lim )(0

)()

()]([lim

x f x

x f x x f x -'=?---?-+-→?

因此)(x f '为偶函数.

例23 设x

e y 2

sin

=,则=dy ( )

x e A 2

sin

. x e B x sin 2.2

sin

x e

C x

cos 2.2

sin

x e

D x

2sin .2

sin

答案 D

解题思路 运用复合函数微分法 例 24 设)0(f '存在,e x

x f x x =-+

→1

)sin )

(cos 11(lim ,则)0(f '=( )

0.A 1.B 2.C e C .

答案 C 解 由

e x

x f x x =-+

→1

)sin )

(cos 11(lim

可以知道当0→x 时,有

1sin )(cos 11lim

=-?→x

x f x x (参阅第一章1.5的例2)

当0→x 时,x sin 与x 是等价无穷小,)(cos 1x f -与

2

)

(2

x f

是等价无穷小.于是

1)(lim 21

sin )(cos 11lim 22

00==-?→→x x f x x f x x x 又因为)0(f '存在,所以此式又推出 2)(lim

)0(0

=='→x

x f f x .

例 25 设?????

≤+>=0,0,1arctan

)(x b ax x x

x f 在点0=x 可导,则( ) 2

,1.π

=

=b a A 0,1.==b a B 2

,1.π

-

=-=b a C 2

,1.π

=

-=b a D

答案D

解题思路 先考察函数在点0=x 左右极限,确定连续性,再考察左右导数.由可微性最终确定b a ,. 解

(1) b b ax x f x x =+=-

-

→→)(lim )(lim 00,21arctan

lim )(lim 0

0π==+→+→x x f x x ,所以2π-=b . 于是2

)0(π

=

f .

(2) a f ='-)0(,x

x x f x f f x x 2

1arctan

lim

)

0()(lim

)0(0

π

-

=-='+

→+

→+

以下需要用洛比塔法则求极限x

x x 2

1arctan

lim

π

-

+

→:

11

1lim

)2

1(arctan

lim

21arctan lim

2

-=+-='

'-

=-

+

→+

→+

→x

x x x x

x x x π

π

于是由)0()0(+-'='f f 推出1-=a

例26.(93303) 若),()(x f x f --=且在),0(+∞内,0)(>'x f ,0)(>''x f 则)(x f 在

)0,(-∞内必有

0)(,0)()(<''<'x f x f A 0)(,0)()(>''<'x f x f B

0)(,0)()(<''>'x f x f C 0)(,0)()(>''>'x f x f D 答案 C

解体思路 所给函数显然是奇函数,因此)(x f '是偶函数,)(x f ''是奇函数. 解 由),0(,0)(+∞∈>'x x f 知)0,(,0)(-∞∈>'x x f ; 由),0(,0)(+∞∈>''x x f 知).0,(,0)(-∞∈<''x x f

高等数学函数极限与连续习题及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

高等数学函数极限与连续习题及答案

高等数学函数极限与连续习题及答案 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与 ()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点．

高数极限习题

第二章 导数与微分 典型例题分析 客观题 例 1 设)(x f 在点0x 可导,b a ,为常数,则=??+-?+→?x x b x f x a x f x ) ()(lim 000 ( ) )(0x f ab A ' )()(0x f b a B '+ )()(0x f b a C '- )(0x f b a D ' 答案 C 解 =??+-?+→?x x b x f x a x f x )()(lim 000=?-?+--?+=→?x x f x b x f x f x a x f x )] ()([)]()([lim 00000 -?-?+=→?x a x f x a x f a x ) ()(lim 000x b x f x b x f b x ?-?+→?)()(lim 000 )()(0x f b a '-= 例2（89303）设)(x f 在a x =的某个邻域内有定义,则)(x f 在a x =处可导的一个充分条件是( ) ?? ????-??? ??++∞→)(1lim )(a f h a f h A h 存在 h h a f h a f B h ) ()2(lim )(0+-+→存在 h h a f h a f C h 2) ()(lim )(0 --+→存在 h h a f a f D h ) ()(lim )(0 --→存在 答案 D 解题思路 (1) 对于答案)(A ，不妨设 x h ?=1，当+∞→h 时，+ →?0x ，则有 x a f x a f a f h a f h x h ?-?+=?? ? ???-??? ??++ →?+∞→)()(lim )(1lim 0存在，这只表明)(x f 在a x =处右导数存在,它并不是可导的充分条件,故)(A 不对. (2) 对于答案)(B 与),(C 因所给极限式子中不含点a 处的函数值)(a f ，因此与导数概念不相符和.例如，若取 ? ??≠==a x a x x f ,0,1)( 则)(B 与)(C 两个极限均存在，其值为零，但1)(0)(lim =≠=→a f x f a x ，从而)(x f 在 a x =处不连续，因而不可导，这就说明)(B 与)(C 成立并不能保证)(a f '存在，从而) (B 与)(C 也不对. (3) 记h x -=?,则0→?x 与0→h 是等价的,于是

期末高等数学(上)试题和答案解析

第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限　lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2021 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求? ππ2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ．求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数　的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分)

.d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) .823 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 一学期期末高数考试(答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分) 解原式:lim =--+→x x x x 22231261812 =-→lim x x x 261218 =2 2、(本小题3分) ?+x x x d )1(22 ?++=222)1()1d(21x x =-++12112x c . 3、(本小题3分) 因为arctan x <π2而limarcsin x x →∞ =10 故limarctan arcsin x x x →∞ ?=10 4、(本小题3分) ?-x x x d 1 x x x d 111?----= ??-+-=x x x 1d d =---+x x c ln .1 5、(本小题3分)

高等数学测试题一(极限、连续)答案

高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案） 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 当0x →+时，（A ）无穷小量。 A 1sin x x B 1 x e C ln x D 1 sin x x 2、点1x =是函数31 1()1131x x f x x x x -? 的（C ）。 A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 4、已知极限22 lim()0x x ax x →∞++=，则常数a 等于（A ）。 A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限2 01 lim cos 1 x x e x →--等于（D ）。 A ∞ B 2 C 0 D -2 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x →∞ -=2 e - 2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常 数A=3 3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2 1()2x f x -=， 则函数值(0)f =0 4、 111lim[ ]1223(1) n n n →∞+++??+ =1

5、 若lim ()x f x π →存在，且sin ()2lim ()x x f x f x x ππ →= +-，则lim ()x f x π→=1 二、解答题 1、（7分）计算极限 222111 lim(1)(1)(1)23n n →∞- -- 解：原式=132411111 lim()()( )lim 223322 n n n n n n n n →∞→∞-++???=?= 2、（7分）计算极限 3 0tan sin lim x x x x →- 解：原式=2 322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x x x x x x x x x →→→--=== 3、（7分）计算极限 1 23lim( )21 x x x x +→∞++ 解：原式= 11 122 11 22 21lim(1)lim(1)121211lim(1)lim(1)22 x x x x x x x x x e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++ =+?+=++ 4、（7分）计算极限 1 x x e →- 解：原式=201 sin 12lim 2 x x x x →= 5、（7分）设3214 lim 1 x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值 解：因为1 lim(1)0x x →-+=，所以 32 1 lim(4)0x x ax x →---+=， 因此 4a = 并将其代入原式 321144(1)(1)(4) lim lim 1011 x x x x x x x x l x x →-→---++--===++

高数竞赛练习题答案(函数、极限、连续

函数、极限、连续 1. ],[)(),(b a C x g x f ∈，在),(b a 内二阶可导且存在相等的最大值，又 ),()(),()(b g b f a g a f ==证明：(1))()(),,(ηηηg f b a =∈?使 (2))()(),,(ξξξg f b a ''=''∈?使 证明：设)(),(x g x f 分别在d x c x ==,处取得最大值M ，不妨设 )(b d c a d c <≤<≤此时，作辅助函数),()()(x g x f x F -=往证0)(),,(=''∈?ξξF b a 使 令),()()(x g x f x F -=则)(x F 在二阶可导上连续，在),(],[b a b a ，且 0)()(==b F a F ， ① 当d c <，由于 0)()()()(≥-=-=c g M c g c f c F 0)()()()(≤-=-=M d f d g d f d F 由“闭.连.”零点定理， )()(),,(],[ηηηg f b a d c =?∈?使 ② 当d c =，由于0)()()()()(=-=-=-=M M d g c f c g c f c F 即 )()(),,(ηηηg f b a =∈?使 对)(x F 分别在],[],,[b a ηη上用罗尔定理，),(),,(21b a ηξηξ∈∈?，使 0)()(21='='ξξF F ，在],[21ξξ上对)(x F 在用罗尔定理， ),(),(21b a ?∈?ξξξ，使0)(=''ξF ，)()(),,(ξξξg f b a ''=''∈?使. 2. 设数列}{n x 满足 ,2,1,sin ,011==<<+n x x x n n π (1) 证明存在n n x ∞ →lim ，并求该极限 (2) 计算2 1)(lim 1n x n n n x x +∞→ 分析：(1) 确定}{n x 为单调减少有下界即可

医用高数精选习题(含答案)1~3

高等数学第1-3章作业 一、求下列各极限 1. 求极限 1)1(3t a n lim 21--→x x x . 2. 求极限)ln 1 1(lim 1x x x x --→。 3. 求极限22 )2(sin ln lim x x x -→ ππ 4. 求极限) 1ln(1 02)(cos lim x x x +→ 5. 当0→x 时，)()1ln(2bx ax x +-+是2x 的高阶无穷小，求a ，b 的值 6. 求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 7. 求极限x x x x )1cos 2(sin lim ++∞→ 8. 求极限 x e e x x x 20sin 2lim -+-→ 二、求下列各函数的导数或微分 1、求函数x x y tan ln cos ?=的导数； 2、设.42arcsin 2x x x y -+= ，求1 =x dx dy 3、求)()(2 (2tan u f f y x =可导）的导数；4、设 x e x y x arccos )1(ln -= ， 求)0(y ' 5、 设 )ln(2 22222 2a x x a a x x y -+--= ，求y '。 6、设方程0=+-y x e e xy 确定了y 是x 的隐函数，求0 =''x y 。 7、 设x x e y x sin )1ln(+ +=,求dy 。 8、设)0(,2 2)()2(lim 20≠+=?-?+→?x x x x x f x x f x ，求)2(x df 。 三、应用题 1.讨论函数2 3 32x x y -=的（1）单调性与极值（2）凹凸区间与拐点 2. 求函数x x x f cos sin )(+=在]2,0[π上的极值。 3. 求函数 )0(ln 1)(2>-+=x x x x f 的极值 4. 在某化学反应中，反应速度)(x v 与反应物的浓度x 的关系为)()(0x x kx x v -=，其中0x 是反应开始时反应物的浓度，k 是反应速率常数，问反应物的浓度x 为何值时，反应速度 )(x v 达到最大值？

高数极限习题测验及答案

练习题 1. 极限 x x x x x x x x x x x x x x x 1lim )4(1 1lim )3(15 86 5lim )2(31lim )1(2 3 1 2 2 32 ---+-+-+++-∞ →→→∞→ (5) 已知011lim 2 =??? ? ??--++∞→b ax x x x , 求常数a , b . (6) x x x x sin 1sin lim 20→ (7) 211lim 22x x x x ???? ??+-∞ → (8) x x x 21lim 0 -→ (9) x x x sin ) 31ln(lim 0-→

(10) ???? ??-∞→1lim 1 x x e x 2. 函数的连续性 (1) 确定b 的值, 使函数 ? ??<≥+==-00 2)(1 x e x b x x f y x 在x =0点连续. (2) 确定a , b 的值, 使函数 1 lim )(22 1 2+-+==-∞ →n n n x bx ax x x f y 在整个实数轴上连续. (3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型. ① x x x f sin )(=

② ??????? =≠+-=00 01212)(1 1 x x x f x x 3. 连续函数的性质 (1) 设 1)(1 -+++=-x x x x f n n Λ, 证明： )(x f 有一个不大于1的正根. (2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞ →)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界. 提高 1o),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2o 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得 C f f ==)()(21ξξ. 2. 函数的连续性 (1) 确定b 的值, 使函数 ???<≥+==-00 2)(1 x e x b x x f y x

高等数学习题集[附答案及解析]

第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

§2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x

三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

大学高等数学上习题(附答案)2

《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()||x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7．2 11 f dx x x ?? ' ? ???的结果是（ ）. （A ）1f C x ??-+ ??? （B ）1f C x ??--+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()1 02f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102 f f -????（C ）()()1 202 f f -????（D ） ()()10f f - 二．填空题 1．设函数 ()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a =. 2．已知曲线 ()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为 5 6 π，则 ()2f '= . 3．() 2 1ln dx x x =+? . 三．计算 1．求极限

①21lim x x x x →∞+?? ? ?? ②( ) 2 sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 四．应用题（每题10分，共20分） 1．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积. 《高数》习题1参考答案 一． 选择题 1．B 4．C 7．D 10．C 二．填空题 1．2- 2．3- ３．arctan ln x c + 三．计算题 １①2e ②16 2.1 1 x y x y '= +- 3. ()1x e x C --++ 四．应用题

高等数学习题及解答(极限-连续与导数)

高等数学习题库 淮南联合大学基础部 2008年10月

第一章 映射，极限，连续 习题一 集合与实数集 基本能力层次： 1: 已知：A ＝{x|1≤x ≤2}∪{x|5≤x ≤6}∪{3},B={y|2≤y ≤3} 求：在直角坐标系内画出 A ×B 解：如图所示A ×B ＝{（x,y ）| ,x A y B ∈∈ }. 2： 证明：∵ P 为正整数，∴p ＝2n 或p ＝2n+1，当p ＝2n+1时，p 2 ＝4n 2 +4n+1，不能被2整除，故p ＝2n 。即结论成立。 基本理论层次： 习题二 函数、数列与函数极限 基本能力层次 1： 解： 2： 证明：由得cxy ay ax b -=+即 ay b x cy a += -，所以 ()x f y = 所以命题成立

3： （1）2 2x y -= （2）lg(sin )y x = （3 []y x = （4）0,01,0x y x ≥?? =??取N ＝[1 ω ]，则当n>N 时,就有 11|1|n n n ω--=<有定义变知1lim 1n n n →∞-=成立 5：求下列数列的极限 （1）lim 3n n n →∞ （2）222 3 12lim n n n →∞+++ （3） （4）lim n 解：（1） 233n n n n <,又 2lim 03n n x →∞=,所以 0lim 03n n n →∞≤≤ , 故：lim 3n n n →∞＝0 （2）由于 222 3 312(1)(21)111 (1)(2)6n n n n n n n n n ++ +++= =++ 又因为：1111 lim (1)(2)63 n n n n →∞++=,所以：2223121 lim 3 n n n →∞+++ （3）因为： 所以： （4） 因为：111n n ≤≤+，并且1 lim(1)1n n →∞+=, 故由夹逼原理得 1n =

高数极限60题及解题思路

高数极限60题 1.求数列极限)sin 1(sin lim n n n -+∞ →。 2.设∑==n k k n b k S 1，其中)!1(+=k b k ，求n n S ∞→lim 。 3.求数列极限)321(lim 12 -∞→+?+++n n nq q q ，其中1>a x ，且n n ax x =+1 ，证明：n n x ∞→lim 存在，并求出此极限值。 16.设21= x ，且n n x x +=+21，证明：n n x ∞→lim 存在，并求出此极限值。 17.设2221...31211n x n ++++=（n 为正整数），求证：n n x ∞→lim 存在。

高等数学测试题一(极限、连续)答案(可编辑修改word版)

? ? 高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案） 一、选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1、 当 x → +0 时，（A ）无穷小量。 A x sin 1 x 1 B e x C ln x D 1 sin x x ?3x -1 x < 1 2、点 x = 1 是函数 f (x ) = ? 1 x = 1 的（C ）。 ? 3 - x x > 1 A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3、函数 f (x ) 在点 x 0 处有定义是其在 x 0 处极限存在的（D ）。 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 x 2 + 2 4、已知极限lim( x →∞ x + ax ) = 0 ，则常数 a 等于（A ）。 A -1 B 0 C 1 D 2 e x 2 -1 5、极限lim x →0 cos x -1 等于（D ）。 A ∞ B 2 C 0 D -2 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1、lim(1- 1 )2x = e -2 x →∞ x 2、 当 x → +0 时，无穷小 = ln(1+ Ax ) 与无穷小 = sin 3x 等价，则常 数 A=3 - 1 3、 已知函数 f (x ) 在点 x = 0 处连续，且当 x ≠ 0 时，函数 f (x ) = 2 x 2 ， 则函数值 f (0) =0 4 、 lim[ 1 + 1 + + 1 ] =1 n →∞ 1? 2 2 ? 3 n (n +1)

= + 2 = 2 sin x 5、 若lim f (x ) 存在，且 f (x ) 2 lim f (x ) ，则lim f (x ) =1 x → 二、解答题 x - x → x → 1 1 1 1、（7 分）计算极限 lim(1- )(1- ) (1- ) 2 2 n →∞ 2 3 n 1 3 2 4 n -1 n +1 1 n +1 1 解：原式= lim( ? )( ? ) ( ? ) = lim ? = n →∞ 2 2 3 3 n n n →∞ 2 n 2 2、（7 分）计算极限 lim x →0 tan x - sin x x 3 sin x - sin x 解：原式= lim cos x = lim 1- cos x = lim 1 x 2 2 = 1 x →0 x 3 x →0 x 2 cos x x →0 x 2 cos x 2 3、（7 分）计算极限 lim( 2x + 3)x +1 x →∞ 2x +1 lim(1+ 2 )x +1 = lim(1+ 1 x + 1 + 1 ) 2 2 解：原式= x →∞ 2x +1 1 x + 1 x →∞ x + 1 2 1 1 = lim(1+ x →∞ ) x + 1 2 ? lim(1+ x →∞ x + 1 )2 = e 2 2 4、（7 分）计算极限 lim x →0 e x -1 1 x sin x 解：原式= lim 2 = 1 x →0 x 2 2 5、（7 分）设 lim x →-1 x 3 - ax 2 - x + 4 x +1 具有极限l ，求 a , l 的值 解：因为 lim(x +1) = 0 ，所以 x →-1 lim(x 3 - ax 2 - x + 4) = 0 ， x →-1 因此 a = 4 并将其代入原式 l = lim x 3 - 4x 2 - x + 4 (x +1)(x -1)(x - 4) lim = 10 x →-1 x +1 x →-1 x +1 1+ x s in x -1