《初中同步测控全优设计》2013-2014学年华师大版七年级数学上册例题与讲解：第5章5.1 相交线

5.1 相交线

1．对顶角

(1)对顶角概念

如图，直线AC 与BD 相交于O 点，则图中形成了四个角，分别是：∠1，∠2，∠3与∠4.

∠1和∠3具有相同的顶点，且∠1的两边OA ，OC 分别与∠3的两边OB ，OD 互为反

向延长线，我们把这样的两个角叫做对顶角．∠2和∠4也是对顶角．

谈重点 对顶角概念的理解 ①对顶角必须具备两个条件：一是有公共顶点；二是两边互为反向延长线．

②对顶角是成对出现的，且具有特殊的位置关系，主要反映角的位置关系．

(2)对顶角性质

性质：对顶角相等，即：∠1＝∠3，∠2＝∠4.

【例1－1】 下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的为( )．

解析：根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角

的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，A ，B ，C 都不是由两条直线相交构成的图形，错误；D 是由两条直线相交构成的图形，正确．故选D.

答案：D

【例1－2】 如图，AB ，CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE ，若∠DOE ＝60°，求∠AOD 和∠AOC 的度数．

分析：观察图形可以发现，∠AOD 和∠BOD 互为补角，∠AOC 和∠BOD 互为对顶角，

所以只要求出∠BOD 的度数，然后利用互补和对顶角的性质即可解决问题． 解：因为OB 是∠DOE 的平分线，

所以∠BOD ＝12∠DOE ＝12

×60°＝30°. 所以∠AOC ＝∠BOD ＝30°，∠AOD ＝180°－∠BOD ＝180°－30°＝150°.

解技巧 利用对顶角、邻补角解决问题时要仔细观察图形 利用对顶角、邻补角解决问题，应注意图形中哪些是互补的角，哪些是对顶角，在解决问题时用到哪些对顶角和互补的角．

2.垂线

(1)垂线的定义：当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，其他三个角也都成为直角，此时，这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线AB，CD互相垂直，记作AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”．

注意：两条射线或线段的垂直，指的是它们所在的直线相互垂直．

(2)画垂线

①用量角器画垂线，相当于利用量角器作一个90度的角．

a．经过直线上一点画已知直线的垂线

先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器底边的中心点与直线上已知的点O重合，再在量角器90度所对的位置处标出一点C，拿走量角器，过O，C两点作直线OC即

可．

b．经过直线外一点画已知直线的垂线

先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器90度的垂直线经过直线外的点P，再在量角器90度所对的位置处标出一点C，拿走量角器，过P，C两点作直线PC即可．

②用三角板画垂线，利用三角板画垂线，主要是利用三角板中的直角．

a．落：使三角板的一条直角边落在已知直线上；

b．过：移动三角板，使三角板的另一直角边经过已知点；

c．画：沿过已知点的直角边画直线．

(3)垂线段：过一条直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足之间的线段叫做垂线段；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．

注意区分两组概念：①垂线与垂线段：它们都具有垂直于已知直线的共同特征，但垂线是一条直线，不能度量，而垂线段是一条线段，可以度量长度，它是垂线的一部分．②两点之间的距离与点到直线的距离：两种距离都是指线段的长度，是一种数量关系，都具有“最小”的特征，但前者是指连接两点的线段的长度，后者是指点到直线的垂线段的长度(可以化归为这点与垂足之间的线段长)．

(4)垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．

【例2】如图，∠1＝53°，∠2＝37°，CD与CE的位置关系是__________．

解析：先求出∠DCE的度数，再根据度数判定位置关系．

因为∠DCE＝180°－∠1－∠2＝180°－53°－37°＝90°，

所以CD⊥CE.

答案：垂直

解技巧证明两直线垂直的方法垂直的定义为我们提供了一种证明垂直的方法和途径，若要证明两直线垂直，只需要证明两直线相交所成的四个角中有一个是直角即可．3．相交线中的角

(1)同位角、内错角、同旁内角的定义：

①如图，∠1和∠5分别在直线AB，CD的上方，并且都在直线EF的右侧，像这样位置的一对角叫做同位角．

②如图，∠3和∠5这两个角都在直线AB，CD之间，并且∠3在直线EF的左侧，∠5在直线EF的右侧，像这样位置的一对角叫做内错角．

③如图，∠3和∠6这两个角都在直线AB，CD之间，并且在直线EF的一旁，像这样位置的一对角叫做同旁内角．

(2)同位角、内错角、同旁内角的识别：

①定义法：根据定义两个角共涉及三条直线，两角的一边分别在两条直线上，而另一边在同一直线上，两角有“共线边”是定义的实质，抓住“一边共线”便不难识别．如图甲中的∠1和∠2，涉及EF，MG，ND三条直线，且它们都有边在直线EF上，故∠1和∠2是同位角．又如图乙中的∠1和∠2是否为同位角？因涉及AD，AC，AB，BC四条直线，无公共边，故∠1和∠2不是同位角．

②简化法：“简化”就是排除次要的部分，把复杂图形中需要识别的图形无关的部分略去不考虑，使隐藏于其中的基本图形显现出来，如图中的∠1和∠2是否是同位角？将∠1和∠2的两边描粗，可知两角无共线边，故∠1和∠2不是同位角．

③分离图形法：把有一边共线的两角从复杂图形中分离出来，两角关系便一目了然，如要找出图中的用数字标注的角中的同位角、内错角、同旁内角时，我们可以把有共线边的两角从图中分离出来，形成如图所示的简单图形，这就容易识别出∠1和∠5是同位角，∠3和∠5，∠3和∠4，∠4和∠5是同旁内角，∠2和∠4是内错角．

④形象感受法

a．同位角的边构成形如字母“F”状．如图，∠M与∠N为同位角．

b．内错角的边构成形如字母“Z”状．如图，∠M与∠N为内错角．

c．同旁内角的边构成形如字母“U”状．如下图，∠M与∠N为同旁内角．

【例3】如图，∠1和∠2是哪类角？

分析：首先找到构成这对角的三条直线a，b，c，其中c为截线，然后去掉无关的直线d，则原图简化成为下图，这样便知∠1和∠2为同位角．

解：∠1和∠2为同位角．

解技巧 分离图形识别“三线八角” 对复杂图形中“三线八角”的识别，巧妙分离图形，简化图形是最有效的方法之一．同时，本题还可用其他方法解决．

4．两条直线垂直关系的判断

两条直线垂直是相交的特殊情况，两线段垂直、两射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都指它们所在的直线垂直．

垂直关系的判断就是通过角度的计算得到两条直线所成的四个角中有一个角是90°.下面简单回顾一下能得到90°角的几种情况：

(1)平角的一半是直角；

(2)利用等量代换得到的和为90°的角．如图，∠1＋∠2＝90°，如果∠2＝∠3，则∠1＋∠3＝90°，所以OA ⊥OB .

【例4】如图所示，已知AOB 是一条直线，OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，判断OD ，

OE 的位置关系，并说明你的理由．

分析：由AOB 是一条直线，可知∠AOC ＋∠BOC ＝180°，又因为OD 平分∠AOC ，OE

平分∠BOC ，所以利用角平分线的概念可以求解．

解：OD 与OE 的位置关系是互相垂直，垂足为O .

理由如下：因为AOB 是一条直线(已知)，所以∠AOC ＋∠BOC ＝180°(平角的定义)，所以12∠AOC ＋12

∠BOC ＝90°(等式的性质)．又因为OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC (已知)，所以∠DOC ＝12∠AOC ，∠COE ＝12

∠BOC (角平分线的定义)，所以∠DOC ＋∠COE ＝90°(等量代换)，所以∠DOE ＝90°，所以OD ⊥OE (垂直的定义)．

5．垂线段最短在实际生活中的应用

求最短路线问题，就是一类最优化问题，我们所学的“两点之间，线段最短”与“垂线段最短”是解决这类问题的两个重要依据．当然如何将实际问题转化为数学问题也是解题的关键之一．

“两点之间，线段最短”主要解决两点之间的距离最短问题；“垂线段最短”是解决点与直线距离最短的问题，通常过这个点作已知直线的垂线段，垂线段的长度就是最短距离．

【例5】 如图甲，要挖一条水渠，要求先把水送到B 地，然后再送到A 地．请你设计一条最短的路线，并在图上画出来．

图甲

图乙

分析：解本题的关键是在直线l上找一点C，使线段BC最短．要使点到直线的距离最小，考虑垂线段．

解：如图乙，连结AB，过点B作BC⊥l于点C，折线ABC就是水渠的线路．

华东师大版数学七年级上册5.1对顶角的特征与性质

精选教育 对顶角的特征与性质 对顶角是几何中常用的基本概念之一，两个角成为对顶角，必须满足：（1）有公共顶点，（2）两边互为反向延长线，二者缺一不可，它有一个应用极其广泛的性质：“对顶角相等”，应用它可以解决很多问题，但同学们在初学之时，对对顶角的概念不能很好地理解，容易犯错误，下面，给大家举例说明，希望能够对大家有所帮助。 一、 辨析正误 1、相等且有公共顶点的两个角是对顶角。 【辨析】不一定。如图1，∠1=∠2，且有公共顶点，但不是对顶角。 2、有公共顶点的两个角是对顶角。 【辨析】不一定。如图2，∠1与∠2有公共顶点，但它不是对顶角。 3、相等的两个角是对顶角。 【辨析】不一定。如图3，∠1=∠2，但∠1与∠2不是对顶角。 【友情提示】互为对顶角的两个角相等，但相等的两个角不一定是对顶角。 二、 性质运用 如图4，已知，直线AB 与CD 相交于O ，且∠AOD+∠BOC=220°，求∠AOC 的度数。 解法一：因为∠AOD 与∠BOC 是对顶角， 1 2 图1 1 2 图2 1 2 图3 A O B C D

所以，∠AOD=∠BOC 又因为，∠AOD+∠B OC=220° 所以，∠AOD=110° 而∠AOC与∠AOD是邻补角， 所以∠AOC=70° 解法二：设∠AOC=x，则∠BOD=x 又∠AOC+∠BOD+∠AOD+∠BOC=360° 所以220°+2 x=360° 所以，x=70° 即∠AOC=70° 【友情提示】： （1）两条直线相交，构成对顶角，其中有邻补角，有对顶角，用充分利用它们的性质和关系； （2）解法二是利用图中的两组对顶角组成一个周角，设出未知数，列方程求角的。 精选教育

华师大版七年级数学上册第四章角复习.doc

华师大版七年级数学上册《图形的初步认识》综合复习一一角 (-)知识点1 1、角的定义和表示方法 (1) 角的概念：角是由 ________ 具有公共端点的 _____ 组成, _____________ 是角的顶 点，两条_是角的两边。 (2) 角的第二定义：角也可以看做由一条射线绕端点旋转所形成的图形.如下图中的 角，可以看做射线0A 绕端点0按逆时针方向旋转到0B 所形成的，我们把0A 叫做角的始 边，0B 叫做角的终边. (3) 用角度表示方向。用“南、北”偏“东、西”加角度表示方向。 (4) 角的表示方法 方法_： ___________ 方法二： _____________ 方法三： ______________ 方法四： _________________ 例1、八点三十分，这一时刻，时针与分针夹角是( ) (A) 70° ? (B) 75° . (C) 80° . (D) 85° ? 例2、从8点10分到8点40分,吋钟的吋针转过 ______ 度,吋钟的分针转过 ______ 度. 例3、如图，ZA0C 与ZB0D 都是直角，且ZA0B:ZA0D=2:ll.求ZA0B 与ZB0C 的度数 . 例4、如图,A,B,C 分别代表学校、图书馆、小红家，学校和图书馆分别在小红家的北偏 西方向，学校又在图书馆的北偏东方向，那么图中点A 表示 _______ ，点B 表示 ______ ，点 C 表示 ______ (二) 、知识点2 1、角度之间的进率关系和计算 (1) 两种特殊的角：第一种情况是绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所 成的角叫做平角(straight angle)；第二种情况是绕着端点旋转到终边和始边重合，这时所成 的角叫做周角(perigon). (2) 把周角分成360等份，每一份就是一度，记作1。.当一个角并不正好是整数度数, 与氏度单位一样，考虑用更小一些的单位.把一度分成60等份，每一份就是1分，记作1’ ； 而把一分再分成60等份，每一份就是1秒，记作1”.这样，角的度量单位度、分、秒有如下 关系： 东 3

华东师大初中七年级上册数学角(基础)知识讲解[精选]

角（基础）知识讲解 【学习目标】 1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换； 2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法； 3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算； 4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算； 5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算； 6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题． 【要点梳理】 【高清课堂：角 397364 角的概念】 要点一、角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O ，边是射线OA 、OB ． （2 ）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位置OB 是角的终边． 要点诠释： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 图1 图2

要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 要点二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1° 的1 60 为1分，记作“1′”，1′的 1 60 为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角 的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点诠释： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．

【2013版新教材】七年级数学华师大版上册【能力培优】4.6 角(含答案)

4.6 角 专题一认识角 1.从一个钝角的顶点，在它的内部引5条互不相同的射线，则该图中共有角的个数是（） A．28 B．21 C．15 D．6 2. 2时32分时，时针与分针的夹角是度，这个角是一个角． 3.一艘轮船行驶在B处同时测得小岛A，C的方向分别为北偏西30°和西南方向，则∠ABC 的度数是度. 4.将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表： ∠α∠β∠C∠θ∠ABC∠BAD 专题二角的比较和运算 5.若∠A=30°18′，∠B=30°15′30″，∠C=30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（） A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C 6.如果∠AOB+∠BOC=180°，则∠AOB与∠BOC的平分线相交成（填“直 角”、“钝角”或“锐角”）． 7.如图1，∠AOC与∠BOD都是直角，∠BO C=50°． （1）指出图1中∠BOC的余角. （2）求∠AOB和∠DOC的度数，∠AOB和∠DOC有何大小关系？ （3）若∠BOC的具体度数不固定，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？说明理由．（4）试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等、互余，还是互补关系？ （5）当∠BOD绕点O旋转到图2的位置时，（4）中的猜想还成立吗？说明理由．

状元笔记 【知识要点】 1. 角的定义： （1）静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点， 这两条射线叫做角的边． （2）动态定义：也可以把角看作是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线的端点 叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．我们 把射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面其余部分称为角的外部． 2. 角的表示：角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有以下 四种表示方法： ①用数字表示单独的角，如图中的∠1，∠2，∠3等． ②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如图中的θγβα∠∠∠∠,,,等． ③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角，如图中的 C B ∠∠,等． ④用三个大写英文字母表示任一个角，这时要把顶点字母写在中间，如图中的 CAE BAE BAD ∠∠∠,,等． 3. 特殊的角： （1）平角：一条射线绕其端点旋转到角的终边和始边成一条直线时，所成的角叫平角. 1平角＝180°. （2）周角：一条射线绕其端点旋转到角的终边和始边再次重合时所成的角叫做周角． 1周角＝360°. （3）锐角、直角、钝角：大于0°且小于90°的角是锐角；等于90°的角是直角； 大于90°且小于180°的角是钝角. （4）方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．一般记 为“北（或南）偏东（或西）××°”．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向 线成45°的角，此时的方向可以说成是“西（或东）北（或南）方向”. 4. 角的度量： 把一个周角等分成360份，每一份就是1度的角，1度记作1°；把1度等分成60份， 每一份就是1分，记作1′；把1分再60等分等分成60份，每一份就是1秒，记作 1″ ．不是整数度数的角可以只用单位“度”表示，也可以同时用度、分、秒表示. 1°＝60′，1′＝60″. 5. 角的比较和运算：角的大小可以度量，可以比较大小．角可以参与运算． 6. 角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫 做这个角的平分线．

华东师大初中七年级上册数学角(基础)知识讲解

角（基础）知识讲解 【学习目标】 1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换； 2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法； 3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算； 4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算； 5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算； 6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题． 【要点梳理】 【高清课堂：角397364 角的概念】 要点一、角的概念 1．角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两 条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图1 图2 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角 的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起 始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点诠释： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：

要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 要点二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1° 的1 60 为1分，记作“1′”，1′的 1 60 为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的 角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点诠释： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除 的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位 得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．

华师大版-数学-七年级上册-说课稿：角

角的说课稿 课程标准分析 本节课要求学生掌握角的不同表示方法，会度量角，会用角表示方位，会比较两个角的大小，会计算两个角的和差，会计算有关余角、补角的简单问题.在理解角的有关概念的基础上，会进行图形语言和符号语言的转化.要用科学严谨的学习态度，数形结合，独立分析问题，增强解决问题的能力和论证说理能力. 教材分析 1.地位与作用:本节是在学生原有角的概念的基础上，通过丰富的实例，进一步认识角，认识和角有关的各种基本概念与关系.教材按照“角的表示和度量，角的比较和计算以及特殊角关系的角”的顺序呈现相关内容，在带领学生探索概念和性质的过程中，进一步发展学生的空间观念，所以，本节内容无论是在知识、数学方法还是对学生能力的培养方面都是非常重要的. 2.重点与难点:本节的重点是角的定义及表示，角平分线的定义;难点是有关方位角的表示. 教法分析 教学中应通过大量的实例来帮助学生理解角的概念，不要求学生记住角的两种定义，但教学中可通过角的两种定义尤其是旋转定义来使学生明确角的本质特征;角的表示方法是一个重要内容，教学中要注意角的呈现方式，让学生感受角的各种变式图形.锐角、直角和钝角在小学阶段已学过，可结合教材中的平角和周角复习这些内容.角的大小比较，教材中共介绍了两种方法.教学中可以让学生观察一些特殊的角，要使学生注意角经过移动以后，位置改变了，但角的形状，大小没有改变.可安排一些动手操作，让学生自己实验.在比较大小时，可让学生自己表示，教学中注意引导学生从“数量”到“形”的过渡.对于角的加减，要求学生可以结合图形来分析数量关系，让学生了解两个角相加或相减，得到的仍然是一个角.角平分线的概念主要结合图形能写出相应的数量关系，做好图形语言和符号语言的相互转化工作.要在教学中使学生对余角、补角和对顶角这几个概念的本质特征要有所认识，要突出重点，使学生对各个概念形成清晰的认识，注意各概念的区别和联系.注意互为余角和补角的角主要反映角的数量关系，注意概念的形成要结合具体图形的位置关系，对学生的要求也是结合图形能理解其意义和正确的辨认出图形中的对顶角.有关余角、补角的性质，可结合具体图形，经过两角关系的分析、说理，从而作出一般概括. 学法分析

华师大版七年级数学上册教案-4.6.1 角 教案

4.6.1角 教学目标： 1.使学生认识到角的美感及角的有关知识； 2.掌握有关角的单位的换算； 3.掌握有关方向角的初步知识. 教学重难点： 重点：角的单位的换算及角的表示法； 难点：角的定义的理解. 教学过程： 1.知识设疑： 首先启发学生对生活中所存在的“角”的形象的物体进行举例，然后提出我们对它的思考，并以此复习有关小学学过的有关角的定度及有关知识（角的分类，角的种类、角的度量等）.从而使学生对旧知识有一个新的印象，对本节课的学习将起到至关重要的作用. 2.知识形成： 从生活在“角”的形象，结合小学时的知识，我们有： 概括：（定义1）角是由两条有公共端点的射线组成的图形. （定义2）角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形. 射线端点叫做角的顶点，两条射线是角的两条边. （1）角的表示： AOB ∠O ∠ 1∠ α∠ 注：1.类似于AOB ∠的表示时，必须把表示角的顶点的字母写在中间； 2.类似于O ∠的表示时，必须满足，以O 为顶点的角只有一个. （2）角的简单分类： 从小学的学习中，我们已经知道，?180内的角，我们可以把它们分为：锐角、直角、 A B O O 1a

纯角，另外有平角、周角. （3）角的有关计算： 认识角的有关单位：''3600'601==?，''60'1= （4）方向角的认识： 如果位置在东、南、西、北方向上时，表示为：正东，正南、正西、正北； 如果位置在东、南、西、北的两个方向的夹角平分线时，表示为：东北，东南、西北、西南； 如果位置在其他情况时，表示为南（北）偏东（西）***度. 3.例题讲解： 例1、 （1）把1815'?化为用度表示的角. （2）把93.2°化成用度、分、秒表示的角. 解（1）先把15′化成度，即 15′=（ ）°=0.25°， 所以 18°15′=18.25° （2）因为1°=60′，所以 0.2°= 60×0.2= 12′ 因此93.2°=93°12′ 例2、 在下图中，OA 是表示北偏东?30方向的一条射线. 仿照这条射线，画出表示下列方向的射线： （1）南偏东?25； （2）北偏西?60. O 东 南西北 东南东北 西北西南1560

华东师大版七年级上册数学《4.6.1.角》

《1.角》 本节是在学生原有角的概念的基础上，通过丰富的实例，进一步认识角，认识和角有关的各种基本概念与关系。教材按照“角的表示和度量，角的比较和计算以及特殊角关系的角”的顺序呈现相关内容，在带领学生探索概念和性质的过程中，进一步发展学生的空间观念，所以，本节内容无论是在知识、数学方法还是对学生能力的培养方面都是非常重要的。【知识与能力目标】 以运动的观点理解角、平角、周角的定义，掌握角的表示方法；能进行度、分、秒之间的换算，正确地理解方位角。 【过程与方法目标】 通过在图片、实例中找角，培养学生的观察、探究、抽象、概括的能力以及把实际问题转化为数学问题的能力。 【情感态度价值观目标】 体会用数学知识解决实际问题的优点，培养学生积极参与数学学习活动的热情。 【教学重点】 角的定义及表示方法。 【教学难点】 方位角的理解。 教师准备：课件，多媒体； 学生准备：三角板，练习本，量角器。 设计意图：挖掘和利用现实生活中与角相关的背景资料，让学生在现实背景中认识角，

培养学生的动手能力，引导学生观察并归纳角的共同点。 师：展示实物，播放多媒体课件。 1.观察实物与图片，你发现其中有什么相同图形吗？ 2.你能把观察得到的图形画在本子上或黑板上吗？这是一些什么图形？ 3.从黑板上这些不同的图形中，你能归纳出它们的共同特点吗？ 二、探究新知 设计意图：在识别角的过程中加深对角的概念理解，培养学生主动参与合作交流的意识，提高观察、分析、概括和抽象的能力。 (一)角的定义 1.在学生充分发表自己对角的认识的基础上，师生共同归纳得出：由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角，这个端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。 2.认识角的顶点、边； 3.下面的三个图形是角吗？ 4.小组交流：说说生活中的角 分组活动，先独立思考，然后小组内互相交流并做纪录，最后选派各组代表发言。 (二)角的表示 在刚才的讨论中，我们发现了生活中有许多角的形象，那么，我们如何给这些角取名呢？ 1.角通常用三个大写字母及符号“∠”表示，三个大写字母应分别写在顶点和两边上的任意点，顶点的字母必须写在中间，如∠AOB，“O”表示顶点，“A、B”表示两边上的任意点。 2.角也可以用一个大写字母表示，这个字母应写在顶点上，但当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用一个大写字母表示。 3.角还可用一个数字或一个希腊字母表示，在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上

七年级数学上册_课课练4.6_角习题_华东师大版

4 3 21E D C B A 角的练习题 一、选择题 1．下列说法正确的是（ ） 角的两边可以度量; (B)角是由两条射线构成的图形． (C)一条直线可以看成是一个平角; (D)平角的两边可以看成直线． 2．下列说法不正确的是（ ） 两个锐角的和不一定大于直角; (B)两个钝角的和不一定大于平角． (C)只有锐角才有余角; (D)任何小于平角的角都有补角． 3．从∠AOB 的顶点O 引出两条射线OC 、OD 两条射线，图中共有角的个数为（ ） （A ）4个． （B ）5个． （C ）6个． （D ）7个． ４．下列各角中，是钝角的为（ ） （A ）周角32． （B ）周角41． （C ）平角32． （D ） 平角21 ． ５．如图，共有（ ）个小于平角的角． （A ）5． （B ）6． （C ）7． （D ）8． （第5题图） 6．用一副三角板的内角可以画出大于0o且小于180o的不同角度的角共有（ ） （A ）9种． （B ）10种． （C ）11种． （D ）12种． 7．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的个数为（ ） ①AD 平分∠BAF ． ②AF 平分∠DAC ． ③AE 平分∠DAF ． ④AE 平分∠BAC ． （A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4． 8．∠A 与∠B 互补，∠B 与∠C 互余，则∠A 一定是（ ） （A ）锐角． （B ）钝角． （C ）直角． （D ）不能确定． 9．八点三十分，这一时刻，时针与分针夹角是（ ） （A ）70°． （B ）75°． （C ）80°． （D ）85°． 二、填空题 （第7题图）

华东师大版数学七年级上册1.角

4.6角 1.角 【基本目标】 1.使学生通过实际生活中对角的认识，建立起几何中角的概念，并能掌握角的两个定义方法； 2.使学生掌握角的各种表示方法； 3.通过角的第二定义的教学，使学生进一步认识几何图形中的运动、变化的情况，初步会用运动、变化的观点看待几何图形，初步形成辩证唯物主义观点； 4.使学生掌握平角、周角和直角的概念； 5.掌握角的单位换算，会进行计算； 6.会用角准确的表示方向. 【教学重点】角的概念及两个定义和角的表示法. 【教学难点】角的单位换算和用角准确的表示方向. 一、情境导入，激发兴趣 观察下面的图形，你发现什么共同的特点吗? 这些图形都给了我们角的形象. 【教学说明】在讲解本部分时，应注意与小学中有关知识相联系，以达到平滑过渡. 二、合作探究，探索新知 1.根据你对上面角的观察，你能说说什么样的图形叫做角？ 小结：角的定义： （1）角是由两条有公共端点的射线组成的图形. （2）从运动变化的角度来看，角可以看成是有一条射线

绕着它的端点旋转而成的图形. 【教学说明】可以利用教学用的圆规，将一条边进行旋转形成角来引导学生从动态的角度给角下一个定义.对于角的两种不同定义，应从不同的角度进行理解，并区别在不同情况下所包含的意义.角的两种定义其实都隐含了组成角的一个重要因素：即两条射线间相对的位置关系. 2.如何表示一个角呢？ 小结：角的表示方法：有以下几种表示方法(如图所示)： 【教学说明】对于角的四种表示方法，各有其优点，在讲解中必须加以说明，并能在讲解中使学生认识到各种表示法的优缺点.要强调表示方法的规范性. 3.平角和周角 在上面的旋转过程中，有两种特殊的情况：第一种是绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角；第二种是绕着端点旋转到终边和始边重合，这时所成的角叫做周角. 【教学说明】在讲解时应该进行教具演示，使学生直观理解平角和周角的定义. 4.角的度量 如何使用量角器测量角的大小？ 从量角器中我们已经知道如果把周角分成360等份，每一份就是一度，记作1°.但是一个角并不正好是整数度数，与长度单位一样，考虑用更小一些的单位.把一度分成60等份，每一份就是1分，记作1′；而把一分再分成60等份，每一份就是1秒，记作1". 这样，角的度量单位度、分、秒有如下关系： 1周角=360°1平角=180°

华师大版-数学-七年级上册--基本方法-角

4.6角 4．与钟面有关的角度计算 时针、分针转动一周都经过12大格或60小格．因此，每小时时针转动360°12 ＝30°，每小时分针转动360°；每分钟时针转动30°60＝0.5°，每分钟分针转动360°60 ＝6°. 解这类问题的常用方法是求差法，有时也可直接结合钟表图形来求解． 【例4】 3时22分时，时针与分针的夹角是______度． 解析：3时22分时，分针从0刻度到22分时所转动的角度为6°×22＝132°，时针从0 刻度到3时22分时所转动的角度为30°×??? ?3＋2260＝101°，其度数差为132°－101°＝31°. ∴时针与分针的夹角是31°. 答案： 31 【例5】 如果∠α＝60°，那么∠α的余角的度数是( )． A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 解析：由互为余角的定义知，∠α的余角的度数是90°－60°＝30°. 答案：A 5.角的特殊关系的应用 (1)互为余角：两个角的和等于直角，即∠1＋∠2＝90°，∠1＝90°－∠2，∠2＝90°－∠1； (2)互为补角：两个角的和等于平角，即∠1＋∠2＝180°，∠1＝180°－∠2，∠2＝180°－∠1. (3)同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．例如： ①∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，则∠2＝∠3； ②∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，则∠2＝∠3. 【例6】 如图，甲从A 点出发向北偏东70°方向走50 m 至点B ，乙从A 点出发向南偏西15°方向走80 m 至点C ，则∠BAC 的度数是( )． A ．85° B ．160° C ．125° D ．105° 解析：点B 在点A 的北偏东70°方向上，所以它的余角即∠BAD ＝90°－70°＝20°，这样

华师大版七年级数学上册辅导教案(角)

华师大版七年级数学上册科目辅导教案（角） 一、回顾与复习 二、新课讲授 （一）知识点1 1、角的定义和表示方法 （1）角的概念：角是由具有公共端点的组成，是角的顶点，两条是角的两边。 （2）角的第二定义：角也可以看做由一条射线绕端点旋转所形成的图形．如下图中的角，可以看做射线OA绕端点O按逆时针方向旋转到OB所形成的，我们把OA叫做角的始边，OB叫做角的终边． （3）用角度表示方向。用“南、北”偏“东、西”加角度表示方向。 （4）角的表示方法 方法一：方法二：方法三：方法四： 例1、八点三十分，这一时刻，时针与分针夹角是（） （A）70°．（B）75°．（C）80°．（D）85°． 例2、从8点10分到8点40分,时钟的时针转过度,时钟的分针转过度． 例3、如图，∠AOC与∠BOD都是直角,且∠AOB:∠AOD=2:11.求∠AOB与∠BOC的度数. 例4、如图,A,B,C分别代表学校、图书馆、小红家，学校和图书馆分别在小红家的北偏西方向，学校又在图书馆的北偏东方向，那么图中点A表示，点B表示，点C表示 . （二）、知识点2 1、角度之间的进率关系和计算 （1）两种特殊的角：第一种情况是绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角(straight angle)；第二种情况是绕着端点旋转到终边和始边重合，这时所成的角叫做周角(perigon). （2）把周角分成360等份，每一份就是一度，记作1°.当一个角并不正好是整数度数，与长度单位一样，考虑用更小一些的单位.把一度分成60等份，每一份就是1分，记作1′；而把一分再分成60等份，每一份就是1秒，记作1".这样，角的度量单位度、分、秒有如下关系：1°=60′，1′=60" 。 （3）对角进行简单的加减运算，如：

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5.如图,在甲、乙两地之间修一条笔直的公路,从甲地测得公路的走向是北偏东48°.甲、乙两地间同时开工,若干天后,公路准确接通,则乙地所修公路的走向是南偏西________度. 6.如图,在OB边上取一点C,过C作直线MN交OA于D,图中所有角(平角除外)有________个,其中∠BCN和________构成平角. 三、解答题(共26分) 7.(8分)如图,分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数(小于平角的角). 8.(8分)计算: (1)48°39'+67°45'.