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徐文平发现椭圆内接四边形的四极点调和分割定理与圆锥曲线切线的尺规作图法

徐文平发现椭圆内接四边形的四极点调和分割定理

徐文平

(东南大学南京210096)

椭圆内接四边形有许多优美的性质,与经典的几何定理有着千丝万缕的渊源,是研究二次曲线射影几何理论的试金石。作者在研究椭圆切线性质过程中,发现了椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理,深感奇妙,供大家鉴析。

徐文平定理1:椭圆内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。

椭圆内接四边形KLMN,对边线KN与LM交于A,对边线KL与NM交于B,对角线KM的极点为C,对角线LN的极点为D,KM与LN交于Q点,则A、B、C、D四点共线,且AB调和分割CD,即1/AC+1/AD=2/AB。

徐文平发现椭圆内接四边形的四极点调和分割定理与圆锥曲线切线的尺规作图法

徐文平定理2:若椭圆内接四边形的其中一条对角线通过椭圆圆心,则另一条对角线的极点必定平分对边延伸线两交点连线。

定理2是定理1的一种特殊情况,椭圆内接四边形KLMN的对角线LN通过椭圆心,则对角线LN的极点在无穷远处,对角线KM的极点C必定平分椭圆内接四边形KLMN的对边延伸线两交点AB连线,即AC=CB。

徐文平发现椭圆内接四边形的四极点调和分割定理与圆锥曲线切线的尺规作图法

近年来,一些学者提出了的借助焦点的圆锥曲线切线的几何作图法,但其实用性不强。本文依据圆锥曲线的极点与极线的性质,针对圆锥曲线上一点或圆锥曲线外一点作切线的两种情况,分别提出了圆锥曲线切线的尺规作图简明方法,完全解决了椭圆、双曲线和抛物线切线的尺规作图问题,供大家鉴析。

命题1:已知椭圆的斜向割线AB,点J、K是椭圆的顶点,JA、BK交于E点,JB、AK 交于F点,确定EF的中点N点,连线NA、NB就是椭圆的切线。

徐文平发现椭圆内接四边形的四极点调和分割定理与圆锥曲线切线的尺规作图法

命题2:已知双曲线的斜向割线AB,点J、K是双曲线的顶点,JA、BK交于E点,JB、AK交于F点,确定EF的中点N点,连线NA、NB就是双曲线的切线。

徐文平发现椭圆内接四边形的四极点调和分割定理与圆锥曲线切线的尺规作图法

命题3:已知抛物线的斜向割线AB,点J是抛物线的顶点,JA与B点竖垂线交于F点,JB与A点竖垂线交于E点,确定EF的中点N点,连线NA、NB就是抛物线的切线。

徐文平发现椭圆内接四边形的四极点调和分割定理与圆锥曲线切线的尺规作图法

命题4(高斯方法):已知椭圆外一点P,过P点作PAB与PCD二条任意椭圆割线,AD、CB交于Q点,AC、BD延长交于R,连线QR与椭圆交于S、T两点,PS、PT就是椭圆的切线。

徐文平发现椭圆内接四边形的四极点调和分割定理与圆锥曲线切线的尺规作图法

命题5:已知双曲线外一点P,过P点作PAB与PCD二条任意双曲线割线,AD、CB交于Q点,AC、BD延长交于R,连线QR与双曲线交于S、T两点,PS、PT就是双曲线的切线。

徐文平发现椭圆内接四边形的四极点调和分割定理与圆锥曲线切线的尺规作图法

命题6:已知抛物线外一点P,过P点作PAB与PCD二条任意抛物线割线,AD、CB交于Q点,在y轴上确定一点R,连线QR与抛物线交于S、T两点,PS、PT就是抛物线的切线

徐文平发现椭圆内接四边形的四极点调和分割定理与圆锥曲线切线的尺规作图法

命题7:已知抛物线外一点P,过P点作一条任意抛物线割线交于A、B两点,

过P点作竖向垂线与抛物线交于C,连接AC连线,过B点作竖向垂线与AC交于Q点。在y轴上确定一点R,连线QR就是P点的极线,QR与抛物线交于S、T两点

,PS、PT就是抛物线的切线。

徐文平发现椭圆内接四边形的四极点调和分割定理与圆锥曲线切线的尺规作图法

命题8:已知抛物线外一点P,过P点作一条任意抛物线割线交于A、B两点,

过P点作水平线与抛物线交于C,连接AC连线,过B点作水平线与AC交于Q点。

在x轴上确定一点R,连线QR就是P点的极线,QR与抛物线交于S、T两点,

PS、PT就是抛物线的切线。

徐文平发现椭圆内接四边形的四极点调和分割定理与圆锥曲线切线的尺规作图法