将军饮马专题练习
最短距离专题练习
姓名：
例1：如图，要在河边修建一个水泵站，向张庄A 、李庄B 送水。修在河边什么地方，可使使用的水管最短？
例:2：如图，OA 、OB 是两条相交的公路，点P 是一个邮电所，现想在OA 、OB 上各设立一个投递点，要想使邮电员每次投递路程最近，问投递点应设立在何处？
例3：如图1，在一条河的同一岸边有A 和B 两个村庄，要在河边修建码头M ，使M 到A 和B 的距离之和最短，试确定M 的位置；若A 与B 在河的两侧，其他条件不变，又该如何确定M 的位置？
·
· A
B a · P B
O A ·B ·A 1
A · ·
B 2
例4：如图所示，P和Q为△ABC边AB与AC上两点，在BC上求作一点M，使△PQM的周长最小。
中考最值专题--将军饮马
【例1】【两点间距离】 如图，一个底面圆周长为24cm ，高为5cm 的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A 到点B 的最短路线长为_______ 【练习1】 如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺， 有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则葛藤的最短长度是＿＿＿尺． 【例2】【两定一动】 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝1 3S 矩形ABCD ，则PA ＋PB 的最小值为_______ 模型总结： 【练习2】 （1）如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为_________ 方法提炼
（2）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4， 点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为. 【例3】【两定两动】 已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=230．M、N分别是直线a,b上的动点，且MN⊥a，当满足AM+MN+NB的长度和最短时，AM+NB= 模型总结：
已知直线 3 : 3 l y x =，CD是该直线上的一条动线段，且CD=2，点A() 23,1 +，连接AC、AD， 则△ACD周长的最小值为___________ 【例4】【一定两动】 如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是 模型总结：
将军饮马问题讲定稿版
将军饮马问题讲 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
将军饮马问题 类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB 上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P 和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短． 【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短． 3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短? 4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小 5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（） A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24 6. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等.
7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数. 8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为______. 练习 1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P 在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由． 2、如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓 库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？ 3、已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得|| -最小． AM BM 4、如图，正方形ABCD中，8 AB=，M是DC上的一点，且2 DM=，N是AC上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值． 5、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。 6、如图，直角坐标系中有两点A、B,在坐标轴上找两点C、D,使得四边形ABCD的周长最小。
将军饮马
将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小 4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。 5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小 6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小
D B C A A N 二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值 2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____． 3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值
M B D A D A Part2、正方形 1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________。 即在直线AC 上求一点N ，使DN+MN 最小 2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．2 6 C ．3 D ． 6 3．在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 4．如图，四边形ABCD 是正方形， AB = 10cm ，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值；
将军饮马问题讲义
将军饮马问题 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:"白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河." 诗中隐含着一个有趣的数学问题? 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营. 请问怎样走才能使总的路程最短？ 这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走 才能使路程最短？从此，这个被称为”将军饮马”的问题广泛流传? 将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓 轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段a+b这样的条件或者问题。一旦出现可以 快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。 5?如图，点A是/ MON 外的一点，在射线ON上作点P, 使PA与 点P到射线0M的距离之和最小
6..如图，点A是/ MON 内的一点，在射线 常见问题 首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。 1. 怎么对称，作谁的对称？。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或 者说只有定点才可以去作对称的。(不确定的点作对称式没有意义的)那么作谁的对称点 首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是 动点所在直线。 2. 对称完以后和谁连接？ 一句话：和另外一个定点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。例如模型二和模型三。 3. 所求点怎么确定？ 首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线 的交点。 下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题： 1.如图，抛物线y=ax+bx+c 经过A( 1，0)、B(4，0)、C(0，3)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC勺周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由. 11 C V L 【分析】(1)设交点式为y=a (x- 1) (x- 4),然后把C点坐标代入求出a亠，于是得到抛 4 物线解析式为y=—x2-——x+3; 4 4 (2)先确定抛物线的对称轴为直线x&，连结BC交直线x一于点P,如图，利用对称性 得到PA=PB所以PA+PC=PC+PB=BC艮据两点之间线段最短得到PC+PA最短，于是可判断此时四边形PAOC勺周长最小，然后计算出BC=5,再计算OC+OA+B即可.
轴对称与将军饮马问题(基础篇)专题练习(解析版)
轴对称与将军饮马问题（基础篇）专题练习 一、两定点一动点 1、答案：D 分析： 解答：∵点B和B’关于直线l对称，且点C在l上， ∴CB=CB’， 又∵AB’交l于C，且两条直线相交只有一个交点， ∴CB’+CA最短，即CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边． 2、答案：B 分析： 解答：MN是正方形ABCD的一条对称轴， ∴PD=AP， 当PC+PD最小时，即点P位于AC与MN的交线上， 此时∠PCD=45°． 3、答案：C 分析： 解答：当PC+PE最小时，P在BE与AD的交点位置， 如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵D、E分别是边BC，AC的中点， ∴P为等边△ABC的重心， ∴BE⊥AC， ∴∠PCE=1 2 ∠ACB= 1 2 ×60°=30°， ∴∠CPE=90°-∠PCE=90°-30°=60°，
选C． 4、答案：作图见解答． 分析： 解答：如图所示： 5、答案：作图见解答． 分析： 解答：所作图形如图所示： 6、答案：（1）画图见解答．（2）画图见解答． （3）P（0，4）． 分析： 解答：（1）
（2） （3）过点A作AM⊥x轴于M， ∵A（2，6）， ∴M（2，0），AM=6， 又∵B（4，0）， ∴点B关于y轴的对称点B’（-4，0）， ∴B’M=6=AM， ∴△AB’M为等腰直角三角形， ∴∠P’BO=45°， ∴△P’BO也为等腰直角三角形， ∴B’O=PO=4， ∴P（0，4）． 7、答案：（1）画图见解答． （2）画图见解答． 分析： 解答：（1）关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标相反． （2）作C关于y轴的对称点C1，连接C1B，交y轴于点P．连接PB，PC，此时△PBC周
初中数学将军饮马问题的六种常见题型汇总
第 6 页 共 10 页 初中数学将军饮马问题的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1. 如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 3.如图，点P 是∠ MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使△P AB 的周长最小 4.如图，点P ， Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形P AQB 的 周长最小。 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小
第 6 页 共 10 页 6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小 二、常见题目 【1】、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，AE =2，求EM +EC 的最小值 解： ∵点C 关于直线AD 的对称点是点B ， ∴连接BE ，交AD 于点M ，则ME +MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ， 则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1， BH =22BC CH -=2263-=33 在直角△BHE 中，BE =22BH EH - =22(33)1+=27 2．如图，在锐角△ABC 中，AB =42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点， 则BM +MN 的最小值是____． 解：作点B 关于AD 的对称点B '，过点B '作B 'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B 'E 长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt △AEB '中，根据勾股定理得到，B 'E = 4
将军饮马问题(讲)
类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚 上的某一位置 Q ,然后立即返回校场 Q ）,使得总路程 MP +PQ + QN 最短. OB 上的某一位置 Q .请为将军设计一条路线 （即选择点P 和Q ）,使得总路程 MP +PQ 最短. 3、将军要检阅一队士兵，要求 （如图所示）：队伍长为a ,沿河0B 排开（从点P 到点Q ）;将 军从马棚M 出发到达队头P,从P 至Q 检阅队伍后再赶到校场 N .请问：在什么位置列队（即 将军饮马问题 fl M 出发，先赶到河 0A 上的某一位置 P ,再马上赶到河 0B N .请为将军重新设计一条路线 （即选择点P 和 【变式】如图所示，将军希望从马棚 M 出发, 先赶到河OA 上的某一位置P ,再马上赶到河 A OA 边的距离之和最小 P 到
练习 1、已知点A 在直线 直线I 上运动时，点 请说明理由. I 外，点P 为直线I 上的一个动点，探究是否存在一个定点 B ，当点P 在 P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在， 5已知/ MON 内有一点P , P 关于OM , ON 的对称点分别是 百和均,分别交OM, ON 于点A 、B,已知耳时=15,则^ PAB 的周长为（ 6. 已知/ AOB ,试在/ AOB 内确定一点 P ,如图，使 P 到OA 、OB 的距离相等，并且到 N 两点的距离也相等. 7、已知/ MON = 40°, P 为/ MON 内一定点，OM 上有一点 A , ON 上有一点B ,当△ PAB 的周长取最 小值时， A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24 求/ APB 的度数 . 8.如图，在四边形 ABCD 中，/ A = 90°, AD = 4,连接 BD , BD 丄 CD,/ ADB =/ C 若 P 是 BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为
八上专题复习将军饮马
八（上）数学专题复习______将军饮马问题 傅苏球 2013年12 月25日 一、任务一-------------阅读理解 1、问题提出 1111、一 一， 早在古罗 马时代， 传说亚历 山大城有 一位精通 数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马 将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解 的问题:将军每天从军营B出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的A地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它． 2、解决办法
如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上， 取A关于河岸的对称点A'，连结A'B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B， 所走的路程就是最短的．如果将军在河边的另外任一点 C'饮马，所走的路程就是AC'+C'B，但是， AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB．可见，在C点外任何 一点C'饮马，所走的路程都要远一些． 这有几点需要说明的：（1）由作法可知，河流l相当于线段 AA'的中垂线，所以AD=A'D,AC=A'C。（2）由上一条知：将军 走的路程就是AC+BC，就等于A'C+BC，而两点确定一线，所 以C点为最优。 思考:解题思路是 _______________________________________________ 3、将军饮马问题的应用 如图，有A、B两个村庄，他们想在河流l的边上建立一个水泵站， 已知每米的管道费用是100元，A到河流的距离AD是1km，B到河流 的距离BE是3km，DE长3km。请问这个水泵站应该建立在哪里使得 费用最少，为多少？ 解：如图所作，C点为水泵站的位置。 依题意，得：所铺设的水管长度就是AC+BC，即：A'C+BC=A'B的长度。 因为EF=A'D=AD=1km, 所以BF=BE+EF=4km 又A'F=DE=3km 在Rt△A'BF中，A'B2=A'F2+BF2 所以：解得：A'B=5km 所以总费用为：5×1000×100=500000（元） 二、任务二-----------将军饮马问题在几何中的应用 1、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．
将军饮马(最完整讲义)
第1讲将军饮马模型 ?知识点睛 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 一、定直线与两定点 模型作法结论 A、在直线l异侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA+最小. PB A、在直线l同侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA+最小. PB A、在直线l同侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA-最大. PB A、在直线l异侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA-最大. PB A、在直线l同侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA-最小. PB
二、角到定点 模型 作法 结论 点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得 PCD ?周长最小. 点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得 MN PN +最小. 点Q P 、在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得四边形PMNQ 周长最小. 点M 在AOB ∠的外部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小. 点M 在AOB ∠的内部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.
点Q P 、分别在AOB ∠的边 OB OA 、是，在OA 上找一点 M ，在OB 上找一点N ,使得 MQ MN PN ++最小. 二、两定点一定长 模型 作法 结论 如图在直线l 上找上两点N M 、（M 在左），使NB MN AM ++最小,且d MN =. 如图，21//l l ，21l l 、之间的距离为 d ，在21l l 、上分别找N M 、两 点 ， 使 1 l MN ⊥，且 NB MN AM ++最小.
将军饮马问题
将军饮马问题 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.
3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′， 连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱ 将军饮马模型 一、背景知识： 【传说】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 【问题原型】将军饮马造桥选址 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系；轴对称；平移； 【解题思路】找对称点，实现折转直 二、将军饮马问题常见模型 1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小 例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 最小. 作法：连接AB，与直线l的交点Q， Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处， PA+PB最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。 证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦) 例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小. 关键：找对称点 作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC. 原理：两点之间，线段最短 证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦) 2.两动一定型 例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短． 作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求． 原理：两点之间，线段最短 4. 如图，点 边的距离之和最小 类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚 M 出发，先赶到河 OA 上的某一位置 P ，再马上赶到河 OB 上 的某一位置 Q ，然后立即返回校场 N ．请为将军重新设计一条路线 （即选择点 P 和 Q ）， 使得总路程 MP ＋ PQ ＋QN 最短． 3、将军要检阅一队士兵，要求 （如图所示 ） ：队伍长为 a ，沿河 OB 排开（从点 P 到点 Q ）；将 军从马棚 M 出发到达队头 P ，从 P 至 Q 检阅队伍后再赶到校场 N ．请问：在什么位置列队 （即 选择点 P 和 Q ），可以使得将军走的总路程 MP ＋PQ ＋ QN 最短? 将军饮马问题 变式】如图所示，将军希望从马棚 OB 上的某一位置 Q ．请为将军设计一条路线 MP ＋PQ 最短． ，再马上赶到河 P 到 5 已知∠ MON内有一点 P，P 关于 OM，ON的对称点分别是和，分别交 OM, ON于点 A、B，已知＝ 15，则△ PAB 的周长为( ) A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24 6. 已知∠ AOB，试在∠ AOB内确定一点 P，如图，使 P 到 OA、OB的距离相等，并且到 M、N 两点的距离也相等 . 7、已知∠ MON＝ 40 ， P为∠ MON内一定点， OM上有一点 A，ON上有一点 B，当△ PAB的周 边上一动点，则 DP长的最小值为 练习 1、已知点A在直线l 外，点P为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，长取最小值时，求∠APB的度数 . 8. 如图，在四边形ABCD中，∠ A＝ 90°， ADB＝∠ C.若 P 是 射频神经疼痛治疗仪 页脚内容1 将军饮马问题例题及应用 一， 简介 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一 个有 趣的数学问题． 诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后，再到B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：“将军每天从军营A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B 地开会，应该怎样走才能使路程最短？” 从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传． 二，例题 1， 基本类型问题 问题：有一位将军骑着马要从A 地走到B 地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？ 解答：作B 点与河面的对称点B ′，连接AB ′，可得到马喝水的地方C ，如图所示，由对称的性质可知AB ′=AC+BC ，根据两点之间线段最短的性质可知，C 点即为所求． 2， 与其他类型问题相结合 问题：某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得P A +PB 的值最小．解法：作 点A 关于直线l 的对称点A ′，连接A ′B ，则A ′B 与直线l 的交点即为P ，且PA +PB 的最小值为A ′B ．请利用上述模型解决问题 如图1，等腰直角三角形A B C 的直角边长为2，E 是斜边A B 的中点，P 是A C 边上的一动点， 则P B+P E 的最小值为（ ）； 解答：作点B 关于A C 的对称点B ′，连接B ′E 交A C 于P ， 此时PB+P E 的值最小．连接A B ′． A B ′=A B=√A C 2+BC 2=√22+22=2√2 A B=√2∵∠ B ′A C=∠BA C=45°∴∠B ′A B=90°∴PB+PE 的最小值 =B ′E=√B ′A 2+A E 2=√(2√2)2+(√2)2=√10 八年级数学将军饮马问题专题练习汇总 1.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为_________。 2.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为________。 3.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8。点P是AB上一个动点,则PC+PD的最小值为_________。 4.如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值_____。 5.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______。 6.如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1。如果B为反比例函 数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上存在一点P，使PA+PB最小，则P点坐标为_______。 7.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm 的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜 相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm． 拓展①：一定点、一动点到直线上一动点组成的线段距离和最短问题 如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，∠BAC=60°。∠BAC的角平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 _________。 拓展②：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题 如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点 Q，R（均不同于O点），则△PQR的周长的最小值为 _________。 拓展③：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题 在BC,CD上 如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°， ∠B=∠D=90°， 分别找一点M,N,使△AMN的周长最小,则此时∠AMN+∠ ANM=_______° 将军饮马问题 问题概述 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 方法原理 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 基本模型 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1. 3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′， 连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱ 将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练知识链接 几何中最值问题的解题思路 轴对称最值图形 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动点， 求AP+BP的最小值 A，B为定点，l为定直线，MN为直线l 上的一条动线段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线，P 为直线l上的一个动点，求 |AP-BP|的最大值 转化 作其中一个定点关于定直 线l的对称点 先平移AM或BN使M，N重合，然后 作其中一个定点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定直线 l的对称点 折叠最值图形 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 例题精讲 例、如图，直线y=kx+b交x轴于点A（-1，0），交y轴于点B（0，4），过A、B两点的抛物线交x 轴于另一点C． （1）直线的解析式为_______； （2）在该抛物线的对称轴上有一点动P，连接PA、PB，若测得PA+PB的最小值为5，求此抛物线的解析式及点P的坐标； （3）在（2）条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 题型强化 1、在平面直角坐标系中，已知 2 12 y x bx c （b 、c 为常数）的顶点为 P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的 坐标为（0，﹣1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若抛物线经过 A 、 B 两点，求抛物线的解析式． （2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上并沿AC 方向滑动距离为 2时，试证明：平移后的抛物线与 直线AC 交于x 轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿 AC 方向任意滑动时，设抛物线与直线AC 的另一交点为 Q ，取BC 的中点N ，试探究 NP+BQ 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由． 初中涉及将军饮马问题题型总结 题型一：将军饮马之单动点 1. 三角形中的将军饮马 【真题链接1.】（2017?天津） 如图，在ABC ?中，AB AC =，AD 、CE 是ABC ?的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP EP +最小值的是( ) A ．BC B ．CE C ．AD D ．AC 【解析】 解：如图连接PC ， AB AC =，BD CD =， AD BC ∴⊥， PB PC ∴=， PB PE PC PE ∴+=+， PE PC CE +， P ∴、C 、E 共线时，PB PE +的值最小，最小值为CE 的长度，故选：B ． B B 【真题链接2.】（2020?天津一模） 如图，ABC ?是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，则PE PC +的最小值为( ) A ．1 B ．2 C D ． 【解析】 解：如图， 连接BE 交AD 于点P '， ABC ?是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点， AD ∴、BE 分别是等边三角形ABC 边BC 、AC 的垂直平分线， P B P C ∴'='， P E P C P E P B BE '+'='+'=， 根据两点之间线段最短， 点P 在点P '时，PE PC +有最小值，最小值即为BE 的长． BE == 所以P E P C '+' 故选：C ． B B 【真题链接3.】（2019秋?东至县期末） 如图，在ABC ?中，AB AC =，4BC =，面积是16，AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ?周长的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 【解析】解：连接AD ，AM ． ABC ?是等腰三角形，点D 是BC 边的中点， AD BC ∴⊥， 11 41622 ABC S BC AD AD ?∴= =??=，解得8AD =， EF 是线段AC 的垂直平分线， ∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ， MA MC ∴=， AD AM MD +， AD ∴的长为CM MD +的最小值， CDM ∴?的周长最短11 ()84821022 CM MD CD AD BC =++=+ =+?=+=． 故选：C ． A A 《将军饮马问题》教案 一、问题背景： 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走使总的路程最短？ B·营地 A·山峰 河流 这个问题在古罗马时代就有了，传说在亚历山大城有位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，以为罗马将军专程拜访他，向他请教一个百思不其解的问题。 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河边同侧的B 营地开会，应怎样走使路程最短？这个问题很简单，海伦略加思索就解决了 二、引用“饮马问题”： 将军饮马问题，应用拓展到人教版八年级上册轴对称性质当中一实际应用问题： 如图所示，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ B·镇 A·镇 L 三、教学方法的探究： 当教师在组织教学活动中，平铺直叙得讲，学生不易理解。“将军饮马”问题，在学生理解方面，存在两大难点，一是如何利用轴对称的性质作出使得线路最短的点。二是说明最短的理由，如何设计探究活动组织有意义的方法和策略，成为了突出重点、突破难点，化难为易的关键，可采用镜面反射的原理创设探究活动，使问题简单化，学生易于理解和掌握。 设想把河流看作诗一面平面镜，村庄A、B看作诗甲、乙两人，这样设计： 甲、乙两人分别位于镜面的同侧A、B两点，甲、乙通过镜面分别看到自己的影子A′、B′。如图，连接AB′，AB′与L交于C，甲、乙通过镜面都能看到对方的影子。连接A′C与BC，探究： B A L C C′ A′ B′ （1）、AC与A′C，B′C与BC上存在什么关系，说明理由。 （2）、AC+B′C与AC+BC存在大小关系如何，说明理由。 （3）、平面镜L有异于C点的另外一点C′，连接AC′、BC′、B′C′，AC′+BC′与AC′+B′C′是否相等？AC′+BC′与AC+BC是否相等？不相等大小关系如何？说明理由。 这样设计探究活动，能充分体现轴对称性质，使复杂问题简单化，难点分解，由浅入深，通过实际生活中的镜面反射原理使得问题通俗化、趣味化，能调动学生学习的兴趣，易于学生掌握和理解。 四、妙用饮马问题： 利用轴对称思想，将该问题转化为“两点间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题。饮马问题可归结为“求定直线上一动点与直线外两点的距离之和的最小值”问 将军饮马问题一一线段和最短 1.如图，直线I和I的异侧两点A、B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。 2.如图，直线I和I的同侧两点A、B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。 3.如图，点P 是ZMON内的一点，分别在0M , ON上作点A, B。使△PAB的周长最小。 离之和最小 4.如图，点P, Q为/MON内的两点，分别在OM, ON上作点A, B。使四边形PAQB 的周长最小。 5.如图，点A是/MON外的一点，在射线 离之和最小。 OM上作点P , 使PA与点P到射线ON的距 6.如图，点A是/MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距 、常见题目 Parti、三角形 1.如图，在等边厶ABC中，AB=6 , AD丄BC, E是AC上的一点，M是AD上的一点, 且AE=2，求EM+EC的最小值 2 .如图，在锐角厶ABC中，AB=42 , Z BAC= 45。，启AC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，贝V BM+MN的最小值是_____ 。 3 .如图，△ ABC 中，AB=2 , Z BAC=30。，若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN 的值最小，则这个最小值 Part2、正方形1.如图，正方形ABCD的边长为8 , M在DC上，丐DM = 2 , N是AC上的一动点, DN + MN的最小值为_________ 。即在直线AC上求一点N,使DN+MN最小。 2 .如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P,使PD+ PE的和最小，则这个最小值为（） A. 23 B . 26 C . 3 D . 6 4.如图，点边的距离之和最小 将军饮马问题 类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河0A上的某一位置P,再马上赶到河0B上 的某一位置Q,然后立即返回校场N.请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q）, 使 得总路程M卉PQ+ QN最短. 0B上的某一位置Q.请为将军设计一条路线（即选择点P和Q）,使得总路程M卉PQ最短. 3、将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）：队伍长为a,沿河0B排开（从点P到点Q）;将军从马棚M出发到达队头P,从P至Q检阅队伍后再赶到校场N.请问：在什么位置列队（即选择点P和Q）,可以使得将军走的总路程皿卉PQ^ QN最短？ 【变式】如图所示，将军希望从马棚 P 至U 0A A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24 6. 已知/ AOB 试在/ AOB 内确定一点 P,如图，使 P 到OA OB 的距离相等，并且到 M N 两点的距离也相等? 7 、已知 / MON= 40 ° , P 为/ MON 内一定点，OM 上有一点 A , ON 上有一点 B ,当△ PAB 的周 长取最小值时，求/ APB 的度数. 练习 1、已知点A 在直线I 夕卜，点P 为直线I 上的一个动点，探究是否存在一个定点 B ，当点P 在 直线I 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在， 请说明理由. A ■ 5已知/ MON 内有一点P , P 关于OM ON 的对称点分别是 丄1和二，分别交OM, ON 于点 8.如图，在四边形 ABCD 中，/ A = 90°, AD= 4,连接 BD, BD 丄CD / ADB=Z C.若 P 是 BC 边上一动点，贝U DP 长的最小值为 _____ A B ,已知 =15,则厶PAB 的周长为（ C将军饮马强方法
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