高等代数上5

5

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学 院

专业班级

学 号

姓 名

………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 中南大学考试试卷 时间100分钟题 号 一 二 三 四 合 计 得 分 评卷人 复查人 201 ~ 201 学年 1 学期 高等代数 课程期末考试试题 64 学时， 3 学分，闭卷，总分100分，占总评成绩 70 % 1、若6级矩阵A 的秩为4，则A 的伴随矩阵的秩为（ ） *A A. 0 B. 1 C.2 D.4 2、 设5级矩阵A 的行列式 21||=A ，则 （ ） =?|2|*A A. 14 B. 12 C. 2 D. 2?3、设21,αα是非齐次线性方程组β=AX 的两个特解，又β是对应的齐次线性方程组的一个解, 则下列选择中哪一个是0=AX β=AX 的解？ （ ）A. 21αα+ B. 21αα? C. 1αβ+ D. 1αβ? 4、下列多项式中，为本原多项式的是 （ ） A 、 B 、 8439334++x x )462)(863(2323++++x x x x x C 、都不是 D 、 )362)(863(2323++++x x x x x 5 设x x x x x x f 111133111212)(?=， 则的系数为 （ ）4x A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 (本题15分，每小题3分) 1、若,)(23x x x x f ??=1)(?=x x g ，则除的余式)(x g )(x f 为=)(x r . 2、设1),(+=xy y x f , 则结式 1),(2++=y xy y x g =),(g f R y

得 分 评卷人 得 分 评卷人

3、设，则次解集向量组W 的秩等于____________. ?

????????=+++=???==0...0...|),,,(212121n n n x x x x x x x x x X W L 4、设A 为n 级可逆矩阵,如果交换A 的第i 列和第j 列得到矩阵B ， 则 =?1BA __________________. 5设四级矩阵),,,(4321αααα=A ，),,,(432αααβ=B 其中，βαααα,,,,4321均为四维列向量，若

，则__________________.

6||,5||==B A =+||B A

得 分

评卷人 三、计算题(本题40分，每小题10分)（要求写出主要的计算过程）

1、 设 , 求 ?????????

???=01101

2111A 1?A

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学 院

专业班级

学 号

姓 名

………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 2、计算n 级行列式 n L M M M M M M L L L L 222224222223222222222221 3、求下面的齐次线性方程组的一个基础解系，并用它表出全部解 ???????=+?+?=?+?+=?+?+=+?+?022520220220254321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

4、若，. 143)(234???+=x x x x x f 1)(2

3??+=x x x x g 试求:与的最大公因式.

)(x f )(x g

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学 号

姓 名

………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 四、综合证明题 (本题30分，每小题10分) 1、设多项式与互素，求证：

)(x f )(x g 1))()(),()((=+x g x f x g x f 2、设 为n 级方阵，若B A ,B A +，B A ?均可逆，求证：为可逆矩阵，并求其逆矩阵. ???

?????A B B A 得 分 评卷人

3、下列两题中，只要求选做一题。（若两题都做，每题记5分）

(1) 多项式有重根的充要条件是 q px x ++302742

3=+q p r r A βαβαβα′++′+′= (2)

21(2) 求证：矩阵n m ×A A r 的秩为的充要条件是：矩阵有分解式， 其中r ααα,...,21为线性无关的维列向量，m r βββ,...,,21为线性无关的维列向量. n

高等代数05期中试题(含答案)

《高等代数》05-06年度第一学期期中试题 一、单项选择题 1．对任意n 阶方阵A 、B 总有[ ] A. AB = BA B. | AB | = | BA | C. (AB)T =A T B T D. (AB)2=A 2B 2 2. 在下列矩阵中，可逆的是[ ] A. 000010001?? ? ? ??? B. 110220001?? ? ? ??? C. 110011121?? ? ? ??? D. 100111101?? ? ? ??? 3. 设A 是3阶方阵，且|A| = 2-，则| A -1 |等于[ ]. A. 2- B. 1 2 - C. 12 D. 2 4. 设A 是m n ?矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是[ ]. A. A 的行向量线性无关 B. A 的行向量线性相关 C. A 的列向量线性无关 D. A 的列向量线性相关 5．设有m 维向量组12():,,...,n I ααα，则[ ]. A. 当m < n 时，()I 一定线性相关 B. 当m > n 时，()I 一定线性相关 C. 当m < n 时，()I 一定线性无关 D. 当m > n 时，()I 一定线性无关 6．已知1β、2β是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，1α、2α是其导出组0Ax =的一个基础解系，1k 、2k 为任意常数，则方程组Ax b =的通解可表成[ ]. A. 12 11212()2 k k ββαββ-+++ B. 12 11212()2 k k ββαββ++++ C. 12 11222 k k ββαα-++ D. 12 11222 k k ββαα+++ 7. 向量组12():,,...,n I ααα,（n>1） 线性无关等价于[ ]. A. 存在一组不全为0的数n k k k ,,,21 ，使其线性组合∑=n k i i k 1 α 不等于0 B. 其中任意两个向量线性无关 C. 任何一个向量均不能用其它向量线性表出 D. 存在一个向量不能用其它向量线性表出 8. 设矩阵11 112 1231A λ?? ? = ? ?+?? 的秩为2，则λ=[ ].

高等代数II期末考试试卷及答案A卷

高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交() ()11L x L x -+= 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：

（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1 20V V = 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。

2016《高等代数(一)》期中考试试题

湖南师范大学XXXX学院 2016-2017学年第一学期数学信统专业2016年级《高等代数(一)》课程期中考试试题课程代码：07031004考核方式：闭卷考试时量：120 分钟试卷类型：D 一、理解题（每小题20分，共20分） 1.陈述一般数域P上的多项式因式分解及唯一性定理，并重点解释你对唯一性 的理解。而后在实数域上再次叙述该定理，并解释此时的不可约多项式有哪些？

二、简答题（下面两题：要求先回答‘对’或‘错’；如果回答‘错’，请给出反举例，如果回答‘对’ 则简单给出理由。每小题10分，共20分） 1. 有人说：对于有理数域上的两个多项式()f x 和()g x ，它们在有理数域上的最大公因式与它们在实数域上的最大公因式是相等的。这种说法对吗？为什么？ 解： 2. 有人说：3级行列式 3 3 3 111a b c a b c 为零的充分必要条件是,,a b c 这3个数中至少有两个相等。这种说法对吗？为什么？ 解：

1. 在有理数域上将多项式 ()(5)(4)(3)(2)1f x x x x x =+++++ 分解为不可约多项式的乘积。 解： 2. 设b c ≠，计算下面n 级行列式 a b b b c a b b c c a b c c c a 解：

1. 设整数,,a b c 两两不同，以及整系数多项式()f x ，证明： ()1() (()())a b f a f b --；()2如果()f a b =，()f b c =，一定有()f c a ≠。 证： 2. 设两个n 级行列式 432323 523 5 235n a = ，423 061 561 5615n b -= 证明：当4n ≥时，有n n a b =。 证：

厦门大学《高等代数》期末试题及答案(数学系)

10-11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 厦门大学《高等代数》课程试卷 数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业 主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷） 2011.1.13 一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。C A)对任意的b ，V 均是线性空间；B)对任意的b ，V 均不是线性空间；C)只有当 0 b = 时，V 是线性空间；D)只有当 0 b 1 时，V 是线性空间。 2)已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I 线性无关，则s t ￡ ；B)若向量组 I 线性相关，则s t > ； C)若向量组 II 线性无关，则s t ￡ ；D)若向量组 II 线性相关，则s t > 。 3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。 D A)当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解；C)当r m < 时，方程组AX b = 有解；D)当r m = 时，方程组AX b = 有解。 4) 设 A 是m n ′ 阶矩阵，B 是n m ′ 阶矩阵，且AB I = ，则____。A A)(),() r A m r B m == ；B)(),() r A m r B n == ；C)(),() r A n r B m == ； D)(),() r A n r B n == 。 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ，则j 在基 123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； C)11 22 121 0 121 ?? ?÷ ? ÷ ?÷ è? ；D) 1 2 1 2 11 202 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? 。 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射，dim V ,dim U n m == 。若m n < ，则j ____。B A)必是单射； B)必非单射； C)必是满射；D)必非满射。

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 　求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

北京大学高等代数_I+2016+期中考试题+-+答案

北京大学数学学院期中试题 一．（16分） （1）叙述向量组线性相关, 线性无关, 向量组极大无关组的定义 ; （2）已知向量组α1 , ... , α s 能线性表出β1 , ... , β r , 且α1 , ... , α s 的秩 等于β1 , ... , β r 的秩 . 证明: β1 , ... , β r 也能线性表出α1 , ... , αs . 二．（16分）计算n 级行列式 D = n n 2n 1n n 2221 2n 1211 1b a n b a n b a n b a b a b a b a b a b a +++++++++ 222111. 解：n = 1时，D = 1+ a 1b 1 ；n = 2时，D =（2a 1–a 2 ）（b 1–b 2 ）； n>2时，D = n 1n 21n 11n n 122121 12n 1211 1b a n a b a n a b a n a b a a b a a b a a b a b a b a )()()()2()2()2(111------+++ = 0 . 三．（24分）设矩阵 A 的列向量依次为α1 , ... , α5 . 已知齐次方程组 A X = 0解空间的一组基为 [ 3 1 1 0 0 ] T , [ 5 6 1 2 -1 ] T . 1) 求A 的简化阶梯型矩阵J ; 2) 求A 列向量组的一个极大无关组, 并用此极大无关组表出A 的 每个列向量; 3) 求 A 行空间的一组基, 并判断当a 取何值时， β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 写出此时β在 基底下的坐标； 4) 将A 写成BC 的形式，B 是列满秩的矩阵，C 是行满秩的矩阵.

最新高数期末考试题.

往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim 1 x x e x ++ →. 2.设?? ? ??++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d . 3.设?????-=-=3 232t t y t t x ，求22d d x y . 4.判定级数()()0!1 2≥-∑∞ =λλλn n n n n e 的敛散性. 5.求反常积分() ?-10 d 1arcsin x x x x . 6.求?x x x d arctan . 7.?-π 03d sin sin x x x . 8.将?????≤≤<=ππ πx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间. 9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解. 10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域. 三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点() ()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线 ()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值. 四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞ =-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛. （2）求幂级数()∑ ∞ =-----1 221 21212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数. 六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()?''-+ ??? ??+-=b a f a b b a f a b dx x f ξ324 1 2

(完整版)高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)

高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷） 一．填空题（每小题3分，共21分） 1. 22 3[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为 2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλL ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 . 3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A ()-n P[x]= ,的核(0)= 1A A A 4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ?? ? ? ?+?? ，则A （λ）的不变 因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________. 5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形 J= 6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηηL 下的坐标是 12(,,,)n x x x L ，那么(,)i ξη＝ 7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 ． 二. 选择题( 每小题2分，共10 分) 1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为 (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4 2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A

高等代数期中模拟题三

一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1．若23,x b x ax ++则a ,b 满足条件 . 2.当 t 满足 时, ????? ??=0111α, ????? ??-=1312α, ???? ? ??=t 353α 线性相关。 3．设3阶方阵A 满足21,3)A A E O A E -+-=+=则（ 。 4．设123212374D -?? ?=- ? ??? 163154131-=D , A 2j (j = 1, 2, 3)为元素a 2j 的代数余子式,则 3A 21 + 7A 22 + 4A 23 = . 115. 11, ()211a A a R A a a ?? ?== ? ??? 设3阶矩阵若，则= . 二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案番号填入题干的括号。每小题2分，共20分) 1. =-0 0000000 000 01 21 n n a a a a ( ) (A) n n n n a a a a 1212) 1()1(--- (B) n n a a a a 121-- (C) n n a a a a 121- (D) 0 123122********* 1223123 123123123 2,,(),()2,23 (C) ,2 (D) ,2322,355A B ααααααααααααααααααααααααααααααα---+++++++++-++-.已知为齐次线性方程组的基础解系,则下列( )仍是该方程组的基础解系. , ,3,3. 设A 为三阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，1,2 A =则 12A A -*+=( ). (A) 6 (B) 16 (C) 2 (D) 12

大一上学期高数期末考试题

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示： 设） 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导 ， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。 ，在处连续。 13.解： ， 四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程：解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明： 故有： 证毕。

高等代数期末卷1及答案

沈阳农业大学理学院第一学期期末考试 《高等代数》试卷（1） 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 一、填空（共35分，每题5分） 1．设4 2 ()49f x x x x =++-, 则(3)f -= 69_ .. 2．当t = _2,-2 .时, 3()3f x x x t =-+有重因式。 3. 令()f x ,()g x 是两个多项式, 且33()()f x xg x +被21x x ++整除, 则 (1)f = 0_ , (1)g = _0 . 4. 行列式 31021 62 10113201 -=-- 23 。 5. 矩阵的积41010311 1321022 01134?? ? --?? ?= ? ??? ??? 9219911--?? ???。 6. 1 500031021-?? ?= ? ??? 1 05011023?? ? ?- ? ? - ??? 7. 1234123412 342202220430 x x x x x x x x x x x x +++=?? +--=??---=?的一般解为 134234523423x x x x x x ? =+??? ?=--?? , 34,x x 任意取值。 得分 班级： 学号： 姓名： 装 订 线

二、（10分）令()f x ,()g x 是两个多项式。求证((),())1f x g x =当且仅当(()(),()())1f x g x f x g x +=。 证：必要性. 设(()(),()())1f x g x f x g x +≠。（1%） 令()p x 为()(),()()f x g x f x g x +的不可约公因式，（1%）则由()|()()p x f x g x 知 ()|()p x f x 或()|()p x g x 。(1%) 不妨设()|()p x f x ，再由()|(()())p x f x g x +得()|()p x g x 。故()|1p x 矛盾。(2%) 充分性. 由(()(),()())1f x g x f x g x +=知存在多项式(),()u x v x 使 ()(()())()()()1u x f x g x v x f x g x ++=,(2%) 从而()()()(()()())1u x f x g x u x v x f x ++=,(2%) 故((),())1f x g x =。(1%) 三、(16分),a b 取何值时，线性方程组 1231231 2321(21)31(3)21 ax bx x ax b x x ax bx b x b ++=?? +-+=??+++=-? 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解： 21212131011032100122201011000122a b a b a b b a b b b b b a b b b b ???? ? ?-→- ? ? ? ?+-+-???? -?? ?→- ? ?+-?? (5%) 当2 (1)0a b -≠时，有唯一解：1235222 , (1)+11 b b x x x a b b b ---= ==++，； (4%) 当1b =时，有无穷解：3210,1,x x ax ==-1x 任意取值； 当a 0,5b ==时，有无穷解：14 12333,,,x k x x k ==-=任意取值；(3%) 当1b =-或0 1 5a b b =≠±≠且且时，无解。(4%) 得分 得分

高等代数(II)期末考试试卷及答案(A卷)

高等代数（II ）期末考试试卷及答案(Ａ卷) 一、 填空题(每小题3分，共15分) 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交() ()11L x L x -+= 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是Ｖ 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵, 则A 与Ｂ的关系是 4、设3阶方阵Ａ的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分) 1、 ( ）复数域Ｃ作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： (A)数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间; （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间; （C ）数域Ｐ上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； (D ）复数域Ｃ作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：

（Ａ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B) 的核是Ｖ的充要条件是 是满射 （C) 的值域是零子空间的充要条件是 是满射 (D) 的值域是Ｖ的充要条件是 是满射。 3、( )λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的;()()D A λ是方阵。 4、( ）设实二次型 f X AX '=(A 为对称阵)经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数;()C 是A 的所有特征值;()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”,则A 的若当 标准形是: ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分) (请在你认为对的小题对应的括号内打“√”,否则打“?”） １、（ )设V 1,V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且 {}120V V = 则12V V V =⊕。 ２、( )n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下

《高等代数》期末考试卷

[ ? 1 2 3 | | 2 2 高等代数期末考试卷 一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设 b 为 3 维行向量， V = {(x 1 , x 2 , x 3 ) | ( x 1 , x 2 , x 3 ) = b }，则 。C A) 对任意的 b ，V 均是线性空间； B) 对任意的 b ，V 均不是线性空间； C) 只有当 b = 0 时，V 是线性空间； D) 只有当 b σ 0 时，V 是线性空间。 2) 已知向量组 I ：α1 ,α2 ,...,α s 可以由向量组 II ： ?1 , ?2 ,..., ?t 线性表示，则下列叙述正确的是 。 A A) 若向量组 I 线性无关，则 s t ； B) 若向量组 I 线性相关，则 s > t ； C) 若向量组 II 线性无关，则 s t ； D) 若向量组 II 线性相关，则 s > t 。 3) 设非齐次线性方程组 AX = ? 中未定元个数为 n ，方程个数为 m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则 。 D A) 当 r < n 时，方程组 AX = ? 有无穷多解； B) 当 r = n 时，方程组 AX = ? 有唯一解； C) 当 r < m 时，方程组 AX = ? 有解； D) 当 r = m 时，方程组 AX = ? 有解。 4) 设 A 是 m n 阶矩阵， B 是 n m 阶矩阵，且 AB = I ，则 。A A) r ( A ) = m , r (B ) = m ； B) r ( A ) = m , r (B ) = n ； C) r ( A ) = n , r (B ) = m ； D) r ( A ) = n , r (B ) = n 。 {1 1 1[ 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换? 在基 ? ,? ,? 下的表示矩阵是|1 0 1| ，则 ? 在基 |1 1 1| ?1 , 2?2 ,?3 下的表示矩阵是 。C { 1 2 1 [ { 1 1 1 [ { 1 2 1 [ { 1 1 1 [ A) | 2 0 2 | ； B) | 1 0 1 | ； C) | 1 0 1 | ； D) | 2 2 | 。 [ ? [ 2 ? [ ? [ | | | 2 2 | | 2 2 | | 0 | | 1 2 1 | | 1 1 1 | | 1 2 1 | | 1 1 2 1 | ?

高等代数期中考试试题

高等代数期中考试试题 一．填空题（每小题4分，共40分）。 1. 设是上的线性变换，, 则下的矩阵为 2. 设的线性变换，其中R是实数域， ，． 3．已知中线性变换在基 矩阵为则在基下的矩阵为 4. 已知矩阵，则A的特征值为 -1 , 5 对应的特征向量分别为，，；，，. 5. 已知矩阵可对角化，则k= . 6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式= .

7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为 ， . 8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为 ————————— 9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。 10．设矩阵A的特征多项式为，则A可逆，的特征多项式为。 二．（10分）设V是数域P上的4维线性空间，是V上的线性变换，在基 下的矩阵，试求含的最小不变子空间.三．（10分）设是n维线性空间V上的线性变换，证明： 维维n 即, 的秩+的零度=n

四.（15分）求矩阵的Jordan标准形及A的最小多项式。五．（15分）设3维线性空间V上线性变换在基下的矩阵 ，记L（V）为V上线性变换全体，. 1）证明：是L(V)的子空间； 2）求的一组基和维数. 六．(10分) 设A，B为n级实矩阵，证明：若A，B在复数域上相似，则A，B 在实数域上也相似。 参考答案 一．填空题（每小题4分，共40分）。 1. 设是上的线性变换，, 则下的矩阵为 2. 设的线性变换，其中R是实数域， ，． 3．已知中线性变换在基

矩阵为则在基下的矩阵为 4. 已知矩阵，则A的特征值为 -1 , 5 对应的特征向量分别为，，不同时为零且；，，. 5. 已知矩阵可对角化，则k= 1 . 6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式= 100 . 7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为 ， .

高等代数期末试卷

数学与应用数学专业本科期末考试试卷（A ） 课程名称： 高等代数 任课教师： 考试时间： 120 分钟 考试性质（学生填写“√”）：正常考试（ ）缓考补考（ ）重修（ ）提前修读（ ） 一、填空题（每小题2分） 1. 设n x f =?))((, 且)()(x f x g , )()(x g x f , 则))((x g ?=_________． 2. 在数域P 上有根, 但是在P 上不可约的多项式是__________多项式． 3. )(x f 是首项系数为1的实系数三次多项式. 若0)()3(==i f f , 则 )(x f =_________________． 4. 在行列式55 5115 11a a a a 中, 含有32a 且带有负号的项共有_________项． 5. 在行列式131402 1 b a -中, b 的代数余子式为-24, 则a =________． 6. 当矩阵A=______时, 秩A=0. 7. 已知A 为三阶矩阵, 且A =1, 则A 2-=_________． 8. 向量组{k ααα,,,21 }和{m βββ,,,21 }的秩分别是s 和t , 则{k αα,,1 , m ββ,,1 }的秩r 与s ,t 适合关系式____________． 9. 设A 为n 阶方阵, X 1, X 2均为方程组AX=B 的解, 且21X X ≠, 则A =____． 10. 设A, B 都是三阶方阵, 秩A=3, 秩B=2, 则秩(AB)=____________． 二、单选题（每小题2分） ）. (A) S 1={Z n m m n ∈,2 }; (B) S 2={Z b a bi a ∈+,}; (C) S 3={Z z nz ∈}; (D) S 4={Q b a b a ∈+,2}． 2. 设0)(≠x f , 且)())(),((x d x g x f =, )()()()()(x d x v x g x u x f =+, 则错误的结．．．．论．是( ). (A) 1)) () (,)()(( =x d x g x d x f ; (B) )())(),((x d x v x u =; (C) )())(),()((x d x g x g x f =+; (D) )())(),((m m m x d x g x f =． 3. 设行列式D 1=3332 31232221 13 1211 a a a a a a a a a , D 2=31 32 33 21222311 1213 a a a a a a a a a ,则下面结论正确的有( ). (A)D 2=－D 1； (B)D 2=0； (C)D 2与D 1无关； (D)D 2=D 1． 4. )(x f = x x x x x 1 11 1231 11212-中 4x 的系数为（ ） (A) 1, (B) 2, (C) 0, (D) 3． 5. 22)13)()(1()(--+=x i x x x f 在复数域上的标准分解式是（ ） (A)22)13)()(1(--+x i x x ; (B) 22)13())((--+x i x i x ; (C)22)31())((--+x i x i x ; (D) 22)3 1 ())((9--+x i x i x ． 6．若r ααα,,,21 是线性无关的向量组, 则r r k k k ααα,,,2211 也线性无关的条件

高等代数II期中试卷

北 京 交 通 大 学 2013 -2014学年第二学期《高等代数II 》期中考试试卷 答 案 一． 填空题（本题满分30分，共10道小题，每道小题3分） 1. 已知 2312341,,,x x x αααα====和 2312341,1,(1),(1)x x x ββββ==+=+=+ 是线性空间4[]P x 的两组基, 则由基1234,,,ββββ到基1234,,,αααα的过渡矩阵 是 1111123131--?? ? - ? ?- ? ? ?。 2．已知10010A ??= ???，21010A ??= ???，3 1110A ??= ??? ，41111A ??= ???是2 2?P 的基，那么，3241A ??= ??? 在该基下的坐标为 (1,1,1,1)T 。 3. 设1W 是方程组12340x x x x +++=解空间，2W 是方程组12341234 0x x x x x x x x ++-=??+-+=?的解 空间，那么dim(1W ∩2W )= 1 。 4. 设12((1,0,1),(0,1,1)),((1,1,1),(1,2,3))W L W L ==，则12W W +的一组基是 (1,0,1),(0,1,1)),(1,1,1) 。 5．3R 中的向量β在基1210,1,1111?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-??????下的坐标是110?? ? - ? ??? , 则β在基0111,0,1111?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????

下的坐标是 110-?? ? - ? ??? . 6. 设线性变换A 在基12,αα的矩阵为??? ? ??1011，线性变换B 在基12,αα下的矩阵为 ???? ??-1101，那么A+B 在基212,αα下的矩阵为 12222? ?- ? ? ??? . 7．设A 是3阶方阵，1,1,2-是A 的3个特征值。则1* A A -+= 1/2 . 8．设矩阵10010100A a ?? ? = ? ??? 相似于对角阵，则a = 0 . 9．设A 是线性空间4[]P x 中如下定义的线性变换： A ( ())()()f x f x f x '=-， 则A 的值域为 4[]P x ．A 的核的维数为 0 10．复数域C 上n 阶对称矩阵的全体关于矩阵的加法和数乘构成实数域R 上的线 性空间,其维数是 n(n+1) 。 二．判断题（本题满分20分，共10道小题，每道小题2分） 11. 一个线性方程组的全体解向量必做成一个线性空间。（ ╳ ） 12．平面上的向量关于下面定义的加法、数乘运算： 是实数域上的线性空间。（ ╳ ） 13. n n R ?的两个子空间12,V V ，其中1V 是全体迹为0的n 阶实方阵，2V 是全体n 阶实上三角阵，则和12V V +是直和。（ ╳ ） 1212112(,)(,)(,), (,)(,) x x y y x y x k x y kx y +=+=

高等代数期终考试题及答案C卷

高等代数(下）期末考试试卷（C 卷） 一. 选择题（每空2分，共12分） 1．( D )下列集合哪一个是R n 的子空间 11 1 1 2 1 2 11 2 1 (A) {(,0,....,0,)| , ,}(B){( ,,...,)| , 1,...,}(C){( ,,...,)| 1 , } (D){( ,,...,)|0, } n n n n i n n i i i n n i i i a a a a R a a a a a a Z i n a a a a a R a a a a a R ==∈≠∈==∈=∈∑∑ 2．( B ) 令ξ=（x 1，x 2，x 3）是R 3的任意向量．下列哪一个映射σ是R 3的线性变换 31 2 3233231 2 3 12(A) ( ) = , 0(B) ( ) = (2-+ , , -)(C) ( ) =(,, )(D) ( ) =( 1 ,,0) R x x x x x x x x x x x σξξαασξσξσξ+≠++其中是 的固定向量 3. (C) 如果1V , 2V 是线性空间V 的两个子空间, 且1dim 3V , 2 dim 2V , 12dim 1V V , 那么12dim V V 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4. （C ）若4阶方阵A 的初等因子为2 3, +3, 2. 则 A 的不变因子是 (Ａ) 1，（ +3），（ +2），2 3； (B) 1，1， ( +3) ( + 2) ，2 23； (C ）1，1，（ +3），2 2 3； (D) 1，1，( +2)， 2 23； 5．（ B ）设矩阵A 的全部不同特征值为12,,...,s λλλ，则下列哪一说法与A 可对角化不等价 （A ） A 有n 个线性无关的特征向量； （B ） ()(1,2,...) ()i i i i R E A n i s n λλ-==其中为的重数; （C ） V dim (V )(1,2,...,)i i i i i s λλλλ==的特征子空间的维数的重数 ; ( D) A 的最小多项式均是数域P 上互素的一次因式的乘积; 6.（D ） 在实数域R 中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W 的维数为

高等代数期末复习试题

数学系《高等代数》期末考试试卷 年级 专业 学号 姓名 注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。 ；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分） 1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( ) 2．若向量空间 V 的维数2dim ≤V ,则V 没有真子空间. ( ) 3. n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( ) 4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( ) 5．每一个线性变换都有本征值. ( ) 6．若向量ξ是线性变换σ的属于本征值λ的本征向量，则由ξ生成的子空间 为σ的不变子空间. ( ) 7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( ) 8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( ) 9. 若两个n 阶实对称矩阵B A ,均正定,则它们的和B A +也正定. ( ) 号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分） 1. 下列命题不正确的是 ( ). A. 若向量组},,,{21r αααΛ线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量 组也线性无关； B. 若向量组},,,{21r αααΛ线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的 线性组合； C.若向量组},,,{21r αααΛ线性无关，且每一i α可由向量},,,{21s βββΛ 线 装 订 线

性表示，则s r ≤； D. )0(>n n 维向量空间的任意两个基彼此等价. 2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ). A ．向量空间V 的可逆线性变换是V 到V 的同构映射； B ．数域F 上的n 维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n 阶矩阵所成向量空间同构； C ．若σ是数域F 上向量空间V 到W 的同构映射，则1-σ是W 到V 的同构映射； D ．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构. 3．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ). A ．充分而非必要条件； B ．必要而非充分条件； C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件． 4．二次型??? ? ?????? ??-=21213211312),(),,(x x x x x x x q 的矩阵是( ). A ．???? ??-1312； B ．??? ? ??1112； C ．????? ??-000013013； D ．???? ? ??000011012 5.实二次型Ax x x x x q '=),,(321正定的充分且必要条件是 ( ). A ．0>A ； B ．秩为3； C ．A 合同于三阶单位矩阵； D ．对某一,0),,(321≠'=x x x x 有0>'Ax x . 1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，它的一个基是________. 2. 设},,2,1,),,,{(21n i F x x x x F i n n ΛΛ=∈=是数域F 上n 元行空间，对任意n n F x x x ∈),,,(21Λ，定义),,,,0,0()),,,((22121-=n n x x x x x x ΛΛσ，则σ是一个线性变换，且σ的核)(σKer 的维数等于______. 3. 若A 是一个正交矩阵，则2A 的行列式2A =________.