北京市海淀区2012年高考二模数学文科试题及答案

海淀区高三年级第二学期期末练习

数 学（文科）

2012.05

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

（1）函数21,12y x x

=-+-?的值域是

（A ）(3,0]- （B ） (3,1]- （C ）[0,1] （D ）[1,5) （2）已知命题p ：1

,sin 2

x x x $?R . 则p ?为 （A ）1

,sin 2x x x $?R （B ）1,sin 2x x x "?R （C ）1

,sin 2

x x

x $纬R （D ）1,sin 2

x x x "纬R （3）2

2

cos 15sin 15

-的值为

（A ）

12 （B ）22 （C ）32 （D ）62

（4）执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为10，则输出的x 值为

（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0

（5）已知平面,αβ和直线m ，且m ì

α，则“α∥β”是“m ∥β”的

（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

（6）为了得到函数21

log (1)2

y x =

-的图象，可将函数2log y x =的图象上所有的点的 开始

2x x =-

2x >

2x x =

输出x 结束 是

否

输入x

（A ）纵坐标缩短到原来的

1

2倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B ）纵坐标缩短到原来的1

2

倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度

（C ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度

（D ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度

（7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是

（A ）

20

3

（B ）

43

（C ）6 （D ）4

（8）点(,)P x y 是曲线1

:(0)C y x x

=

>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②OAB ?的面积为定值；③曲线C 上存在

两点,M N ，使得O M N ?为等腰直角三角形．其中真命题的个数是

（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数3

1i

i z +=

，则z = . （10）已知双曲线22

221x y a b

-=的渐近线方程是2y x = ，那么此双曲线的离心率为 .

（11）在ABC ?中，若120A

? ，6c =，ABC ?的面积为93a = .

（12）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ?的面积大于等于

1

4

的概率是_________． （13）某同学为研究函数22()11(1)(01)f x x x x

=

++-＃的性质，构造了如图所示的两个边长

为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，

则()AP PF f x +=. 请你参考这些信息，推知函数()f x 的极值点是 ；函数()f x 的值域是 .

E

F

A

B C D

P

左

俯视图

主视图

（14）已知定点(0,2),(2,0)M N -，直线:220l kx y k --+=（k 为常数）. 若点,M N 到直线l 的距离相等，则实数k 的值是 ；对于l 上任意一点P ，MPN D恒为锐角，则实数k 的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）

已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d 1，5346S a =+，且139,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列1

{

}n

S 的前n 项和公式.

（16）（本小题满分13分）

在一次“知识竞赛”活动中，有12,,,A A B C 四道题，其中12,A A 为难度相同的容易题，B 为中档题，

C 为较难题. 现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.

（Ⅰ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率； （Ⅱ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.

(17)（本小题满分14分）

在正方体''''ABCD A B C D 中, 棱,','',''AB BB B C C D 的中点分别是,,,E F G H , 如图所示． （Ⅰ）求证：'AD ∥平面EFG ；

（Ⅱ）求证：'A C ^平面EFG ；

（Ⅲ）判断点,',,A D H F 是否共面? 并说明理由.

(18)（本小题满分13分）

N M H

G F

D'

C'

B'D C

已知函数22

()3x a

f x x a +=

+（0a ≠，a ∈R ）.

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当1a =时，若对任意12,[3,)x x ∈-+∞，有12()()f x f x m -≤成立，求实数m 的最小值.

（19）（本小题满分13分）

已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，且点2

(1,2

-在椭圆C 上.

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）已知点5

(,0)4

Q ，动直线l 过点F ，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，证明：QA QB ? 为定值.

（20）（本小题满分14分）

将一个正整数n 表示为12(*)p a a a p +++ N 的形式，其中*i a ?N ，1,2,,i p = ，且

p a a a ≤≤≤ 21，记所有这样的表示法的种数为)(n f （如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，

故5)4(=f ）.

（Ⅰ）写出)5(),3(f f 的值，并说明理由； （Ⅱ）证明：(1)()1f n f n +- （1,2,n = ）；

（Ⅲ）对任意正整数n ，比较)1(+n f 与)]2()([2

1

++n f n f 的大小，并给出证明．

海淀区高三年级第二学期期末练习

数 学（文科）

参考答案及评分标准 2012．05

一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（925 （11）63 （12）

1

2

（13）12；

[5,2+1]

（14）1或13；1

(,)(1,)7

-?+ 注：（13）、（14）题第一空3分；第二空2分.

三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为5346S a =+，

所以115454(2)62

d

a a d 创+

=++. ①……………………………………3分 因为139,,a a a 成等比数列，

所以2111(8)(2)a a d a d +=+. ② ……………………………………5分 由①，②及0d 1可得：12,2a d ==.

……………………………………6分 所以2n a n =. ……………………………………7分 （Ⅱ）由2n a n =可知：2(22)2

n n n

S n n + =

=+.

……………………………………9分

所以

1111

(1)1n S n n n n ==-++. ……………………………………11分 所以

1211111n n

S S S S -++++

11111111122311

n n n n =-+-++-+--+

1111

n n n =-

=++. ……………………………………13分 所以 数列1

{

}n

S 的前n 项和为

1n n +. (16)（本小题满分13分）

解：由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个，它们是：11(,)A A ，

12(,)A A ，1(,)A B ，1(,)A C ，21(,)A A ，22(,)A A ，2(,)A B ，2(,)A C ，1(,)B A ，2(,)B A ，(,)B B ，(,)B C ，1(,)

C A ，

2(,)

C A ，(,)C B ，

(,)C C . ……………………………………3分

（Ⅰ）用M 表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M 包含的基本事件有：11(,)A A ，12(,)A A ，

21(,)A A ，22(,)A A ，(,)B B ，(,)C C . 所以63

()=168

P M =

. ……………………………………8分

（Ⅱ）用N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N 包含的基本事件有：1(,)B A ，

2(,)B A ，1(,)C A ，2(,)C A ，(,)C B . 所以5

()16

P N =

. ……………………………………13分 (17)（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：连接'BC .

在正方体''''ABCD A B C D -中，''AB C D =，AB ∥''C D . 所以 四边形''ABC D 是平行四边形. 所以 'AD ∥'BC .

因为 ,F G 分别是',''BB B C 的中点，

所以 FG ∥'BC .

所以 FG ∥

'AD . ……………………………………2分

因为 ,'EF AD 是异面直线， 所以 'AD ?平面EFG .

因为 FG ì平面EFG ，

H

G F

D'

B'A'

D B

所以 'AD ∥平面EFG .

………………………………………4分

（Ⅱ）证明：连接'B C .

在正方体''''ABCD A B C D -中，''A B ^平面''BCC B ，'BC ì平面''BCC B ， 所以 '''A B BC ⊥.

在正方形''BCC B 中，''B C BC ⊥， 因为 ''A B ì

平面''A B C ，'B C ì

平面''A B C ，

''''A B B C B = ，

所以 'BC ⊥平面''A B C . ……………………………………6分

因为 'A C ì平面''A B C ，

所以 ''BC A C ⊥. ……………………………………7分 因为 FG ∥'BC ， 所以 'A C FG ⊥.

同理可证：'A C EF ⊥.

因为 EF ì平面EFG ，FG ì平面EFG ，EF FG F = ，

所以 'A C ^平面EFG . ……………………………………9分 （Ⅲ）点,',,A D H F 不共面. 理由如下： ……………………………………10分 假设,',,A D H F 共面. 连接',,C F AF HF . 由（Ⅰ）知，'AD ∥'BC ， 因为 'BC ì平面''BCC B ，'AD ?平面''BCC B . 所以 'AD ∥平面''BCC B .

……………………………………12分 因为 ''C D H ?，

所以 平面'AD HF 平面'''BCC B C F =. 因为 'AD ì平面'AD HF ， 所以 'AD ∥'C F .

所以 'C F ∥'BC ，而'C F 与'BC 相交，矛盾.

所以 点,',,A D H F 不共面. ……………………………………14分 (18)（本小题满分13分） 解：222

()(3)

'()(3)x a x a f x x a --+=

+.

令'()0f x =，解得x a =或3x a =-. ……………………………………2分 （Ⅰ）当0a >时，'()f x ，()f x 随着x 的变化如下表

H

G F

E

D'

C'

B'

A'

D

C

B

A

H

G F

E

D'

C'

B'

A'

D C

B

A

函数()f x 的单调递增区间是(3,)a a -，函数()f x 的单调递减区间是(,3)a -∞-，(,)a +∞. ……………………………………4分

当0a <时，'()f x ，()f x 随着x 的变化如下表

函数()f x 的单调递增区间是(,3)a a -，函数()f x 的单调递减区间是(,)a -∞，

(3,)a -+∞. ……………………………………6分

（Ⅱ）当1a =时，由（Ⅰ）得()f x 是(3,1)-上的增函数，是(1,)+∞上的减函数.

又当1x >时，2

1

()03

x f x x +=

>+. ……………………………………8分 所以 ()f x 在[3,)-+∞上的最小值为1(3)6f -=-，最大值为1

(1)2

f =.

……………………………………10分 所以 对任意12,[3,)x x ∈-+∞，122

()()(1)(3)3

f x f x f f -≤--=

. 所以 对任意12,[3,)x x ∈-+∞，使12()()f x f x m -≤恒成立的实数m 的最小值为

23

. ……………………………………13分

（19）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由题意知：1c =. 根据椭圆的定义得：2222

2(11)(

)22

a =

--+，即2a =.

……………………………………3分

所以 2211b =-=.

所以 椭圆C 的标准方程为2

212

x y +=. ……………………………………4分 （Ⅱ）证明：当直线l 的斜率为0时，(2,0),(2,0)A B -.

则 557

(2,0)(2,0)4416

QA QB ?=?-=- .

……………………………………6分

当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y .

由221,21

x y x ty ì??+=?í??=+??可得：22(2)210t y ty ++-=.

显然0?>.

1221222,2

1.2t y y t y y t ì??+=-??+?í

??=-??+??

……………………………………9分 因为 111x ty =+，221x ty =+，

所以 112212125

511

(,)(,)()()4

444

x y x y ty ty y y -?=--+ 2

121211(1)()416

t y y t y y =+-++

2

221121

(1)

24216

t t t t t =-+++++ 222

2217

2(2)1616

t t t --+=+=-+. 即 7

16

QA QB ?=- . ……………………………………13分

（20）（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以3)3(=f ．

因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1， 所以7)5(=f ． ……………………………………3分

（Ⅱ）证明：因为21≥+n ，把1+n 的一个表示法中11a =的1a 去掉，就可得到一个n 的表示法；

反之，在n 的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个1n +的表示法，即1+n 的表示法中11a =的表示法种数等于n 的表示法种数，

所以 )()1(n f n f -+表示的是1+n 的表示法中11a 1的表示法数.

即 (1)()1f n f n +- ． ……………………………………8分 （Ⅲ）结论是)1(+n f )]2()([2

1

++≤

n f n f . 证明如下：由结论知，只需证 ).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f

由（Ⅱ）知：)()1(n f n f -+表示的是1+n 的表示法中11a 1的表示法数，)1()2(+-+n f n f 是

2+n 的表示法中11a 1的表示法数．

考虑到21≥+n ，把一个11a 1的1+n 的表示法中的p a 加上1，就可变为一个11a 1的2+n 的表示法，这样就构造了从11a 1的1+n 的表示法到11a 1的2+n 的表示法的一个对应，所以有

).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f ……………………………………14分