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圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳

圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳
圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳

【高考数学中最具震撼力的一个解答题!】注:【求解完第一问以后,】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型:(1)弦长问题(2)中点问题(3)垂直问题(4)斜率问

1.:(1

2.

3.

3

--------------------------------;(公式二)--------------------------------;抛物线:形式一:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;形式2:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;附:

“点差法”步骤:椭圆:“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”

一适用于:__________________________;

殊弦长以外,其余弦长求解都用【弦长公式】(保底方法);【弦长公式】

3类型:【类1】___________;___________;_______________;适用于:__________________________;【类2】___________;____________;_______________;适用于:

__________________________;【类3】___________;____________;_______________;适用于:__________________________;

5.【2

_______________________________

7.圆锥曲线题题型四:对称问题的固定套路:

对称问题:结论一:

称】_______________________________

_______________________________

_______________________________

8.【大纲内2题型】(1【3套路8结论】(1)“点线距等于半径”________________________;(2)斜率乘积等于-1;______________;(3)勾股定理:__________________;结论:(1)【切线长公式】

_______________________;(2)【圆心在原点时】_______________________;(3)【切点弦直线方程】_______________________;(4)_______________________;(5)_______________________;(6)_______________________;(7)________________________;

(2

9.

量数量积公式】_____________________;【向量模的公式】_____________________;【量模转化公式】_____________________;【向量平方差公式】_____________________;【向量完全平方公式】_____________________;

11.【2类】(1】 “成锐角时《=》向量数量积>0;”“成钝角时《=》向量数量积<0;”“成直角时《=》向

量数量积=0;”(2【2法】(1)向量数量积公式_____________________;(2)

的通径公式:_____________;

___________________;平行四边形面积:

_________________;梯形面积公式:____________;特别

的,当等腰梯形的对角线互相垂直时:________________________;

圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式:2121 tan 1k k k k α-= + (3)弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离:12AB x =- = 或12AB y y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程:cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程: 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?

22 222b b p a a 椭圆:;双曲线:;抛物线: (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是( ) A 、双曲线; B 、双曲线的一支; C 、两条射线; D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时,S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时,S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?) (6)、记住焦半径公式:(1)00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为 “左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ,1342 22 2=+y x ;两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什 么?如果有两个参数怎么办? 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,

圆锥曲线方法归纳

圆锥曲线方法归纳 1、点差法(中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有 1342121=+y x ,1342222=+y x ;两式相减得()()03422 2 12221 =-+-y y x x ?()() ()() 3421212121y y y y x x x x +--=+-?AB k =b a 43- (ⅰ)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦斜率问题时,常用“点差法”“设而不求”整体来求,借助于一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.但在求得直线方程后,一定要代入原方程进行检验. (ⅱ)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤: 设点——设出弦的两端点坐标 ↓ 代入——代入圆锥曲线方程 ↓ 作差——两式相减,再用平方差公式把上式展开 ↓ 整理——转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解 1. 已知椭圆x 2+2y 2=4,求椭圆上以(1, 1)为中点的弦所在的直线方程?

2. 如果椭圆x 236+y 29=1的弦被点A (4, 2)平分,求这条弦所在的直线方程 3. 已知直线y =-x +1与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)相交于A , B 两点,且线段AB 的中 点在直线l :x -2y =0上,则此椭圆的离心率为 . 4. 过点M (1, 1)作斜率为-12的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)相交于A , B 两点, 若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于 . 5. 已知抛物线y 2=2px (p >0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A , B 两点,若 线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 . 6. 已知双曲线E 的中心为原点,F (3, 0)是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A , B 两点,且AB 的中点为N (-12,-15),则E 的方程为

圆锥曲线常见题型与答案

圆锥曲线常见题型归纳 一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质,如求圆锥曲线的标准方程,求准线或渐近线方程,求顶点或焦点坐标,求与有关的值,求与焦半径或长(短)轴或实(虚)轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见,解此类题应注意: (1)熟练掌握圆锥曲线的图形结构,充分利用图形来解题;注意离心率与曲线形状的关系; (2)如未指明焦点位置,应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种(或四种)情况; (3)注意2,2,a a a ,2,2,b b b ,2,2,c c c ,2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同,椭圆中 222b a c -=,双曲线中222b a c +=,离心率a c e =,准线方程a x 2±=; 例题: (1)已知定点)0,3(),0,3(21F F -,在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 ( ) A .421=+PF PF B .6 21=+PF PF C .1021=+PF PF D .122 2 2 1 =+PF PF (答:C ); (2) 方程8=表示的曲线是_____ (答:双曲线的左支) (3)已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P (x ,y ),则y+|PQ|的最小值是_____ (答:2) (4)已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆,则k 的取值围为____ (答:11(3,)(,2)22---U ); (5)双曲线的离心率等于25 ,且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答:2 214x y -=); (6)设中心在坐标原点O ,焦点1F 、2F 在坐标轴上,离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ,则C 的方程为 _______(答:226x y -=) 二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查,与动点到定点的距离(焦半径)和动点到定直线(准线)的距离有关,有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决,需要对圆锥曲线的(两个)定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有:中垂线、角平分线的性质,勾股定理,圆的性质,解三角形(正弦余弦定理、三角形面积公式),当条件是用向量的形式给出时,应由向量的几何形式而用平面几何知识;涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理; 圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例): ①围:,a x a b y b -≤≤-≤≤; ②焦点:两个焦点(,0)c ±; ③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为 2a ,短轴长为2b ; ④准线:两条准线2 a x c =±; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<,e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。 p e c b a ,,,,

最新圆锥曲线题型总结

圆锥曲线题型总结

直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识: 1、中点坐标公式:1212,y 22 x x y y x ++= =,其中,x y 是点 1122(,)(,)A x y B x y ,的中点坐标。 2、弦长公式:若点 1122(,)(,)A x y B x y ,在直线(0)y kx b k =+≠上, 则 1122y kx b y kx b =+=+,,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一, AB === = 或者 AB === = 3、两条直线111222: ,:l y k x b l y k x b =+=+垂直:则121k k =- 两条直线垂直,则直线所在的向量120v v = 4、韦达定理:若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ,则1212,b c x x x x a a +=-=。 常见的一些题型: 题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点,求m 的取值范围 解:根据直线:1l y kx =+的方程可知,直线恒过定点(0,1),椭圆22 : 14x y C m +=过动点04m ≠(,且,如果直线 :1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =14m ≥≠,且,即14m m ≤≠且。 规律提示:通过直线的代数形式,可以看出直线的特点: :101l y kx =+?过定点(,) :(1)1l y k x =+?-过定点(,0) :2(1)1l y k x -=+?-过定点(,2)

高考圆锥曲线解题技巧和方法综合

圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型: (1)中点弦问题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为 , ,代入方程,然 后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论),消去四个参数。 如:(1))0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有02 020=+k b y a x 。 (2))0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x (3)y 2=2px (p>0)与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线。过A (2,1)的直线与双曲线交于两点 及 ,求线段 的中点 P 的轨迹方程。 (2 构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。 ,为焦点,,。 (1 (2)求 的最值。 (3)直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解。 典型例题 (1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为A 、B ,且OA ⊥OB ,求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 (4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题 圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。

圆锥曲线知识点全归纳完整精华版

圆锥曲线知识点全归纳 完整精华版 YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020

圆锥曲线知识点全归纳(精华版) 圆锥曲线包括椭圆,双曲线,抛物线。其统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。 一、圆锥曲线的方程和性质: 1)椭圆 文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点,定直线是椭圆的准线,常数e是椭圆的离心率。 标准方程: 1.中心在原点,焦点在x轴上的椭圆标准方程:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1? 其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 2.中心在原点,焦点在y轴上的椭圆标准方程:(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1 其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 参数方程: X=acosθY=bsinθ(θ为参数,设横坐标为acosθ,是由于圆锥曲线的考虑,椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0,圆的acosθ=r) 2)双曲线 文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。 标准方程: 1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1? 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程:(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1. 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 参数方程: x=asecθy=btanθ(θ为参数) 3)抛物线 标准方程: 1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程:y^2=2px其中p>0 2.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程:y^2=-2px其中p>0 3.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程:x^2=2py其中p>0 4.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程:x^2=-2py其中p>0 参数方程? x=2pt^2?y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地,t 可等于0 直角坐标? y=ax^2+bx+c(开口方向为y轴,a<>0)x=ay^2+by+c(开口方向为x轴,a<>0) 圆锥曲线(二次非圆曲线)的统一极坐标方程为?

高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)

专题08解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1.【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)证明:在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标. 【答案】(1)(2) 【解析】试题分析:(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点,可求得,再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程;(Ⅱ)设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标,计算得 。设x轴上的定点为,可得 ,由定值可得需满足,解得可得定点坐标。 解得。 ∴椭圆的标准方程为. (Ⅱ)证明: 由题意设直线的方程为, 由消去y整理得, 设,,

要使其为定值,需满足, 解得 . 故定点的坐标为 . 点睛:解析几何中定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意. 2.【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2 :2C y px =(0,p p >为常数)交于不同的两点,M N ,当1 2 k =时,弦MN 的长为15(1)求抛物线C 的标准方程; (2)过点M 的直线交抛物线于另一点Q ,且直线MQ 经过点()1,1B -,判断直线NQ 是否过定点?若过定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由. 【答案】(1)24y x =;(2)直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析:(1)根据弦长公式即可求出答案; (2)由(1)可设()()() 2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ,则1 2 MN k t t =+, 则()11:220MN x t t y tt -++=; 同理: ()22:220MQ x t t y tt -++= ()1212:220NQ x t t y t t -++=. 由()1,0-在直线MN 上1 1 t t ?= (1); 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ?+++=将(1)代入()121221t t t t ?=-+- (2) 将(2)代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ?-+-+-=,即可得出直线NQ 过定点.

(完整版)高考圆锥曲线题型归类总结(最新整理)

)直接法:直接利用条件建立之间的关系; 和直线的距离之和等于 ),端点向圆作两条切线

的距离比它到直线的距离小于 :和⊙:都外切,则动圆圆心 代入转移法:动点依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,则可先用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨 是抛物线上任一点,定点为,分所成的比为 参数法:当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。 过抛物线的焦点作直线交抛物线于

?OA OB ⊥?121K K ?=-?0OA OB ?= ?12120 x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”?? >0; ?1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系(或);?120K K +=12K K = ④“共线问题” (如: 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法); AQ QB λ= ?(如:A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等);? ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系;? ⑥“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式的合理选择);?六、化简与计算;七、细节问题不忽略; ①判别式是否已经考虑;②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想: 1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式; 2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解; 3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明 5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决; 6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验; 7、思路问题:大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来,即可自然而

圆锥曲线方法总结

圆锥曲线考点及方法总结(江苏)1 化斜为直:利用相似三角形将斜线段之比转化为直角边之比,然后再将直角边之比转化为坐标之比这就将几何量转化为代数值 2相关点法求曲线轨迹如求p的轨迹方程若知道A点所在的曲线方程L 只需找出P与A之间的坐标关系然后带入L即可 3设点、设线然后将问题向X1+X2、x1*x2、y1+y2、y1*y2 上转化,然后联立直线与曲线的方程,利用韦达定理,涉及最值或范围问题时注意带塔>0; 4圆锥曲线中的最值问题:通常构造函数转化为求函数最值(导数求解),也可以保留两个变量运用基本不等式求解,当然在设点时用圆锥曲线的参数方程,这样最值问题最终转化为三角函数最值问题 5几何性质:角平分线定理 6公式化法则 7焦半径公式 8极坐标方程(与焦半径有关的题目才能用) 9参数方程(涉及最值与定值问题时可尝试) 10直线的参数方程中的|t|的几何意义是直线上的点到定点的线段长度注意线段的方向性即t的正负(在涉及线段长度的题目中有效) 11注意利用点在曲线上这一基本条件许多

设而不求最终都会用到这一条件 12常见椭圆结论:k1*k2为定值(与椭圆对称点)点差法的到的结论椭圆切点出的切线方程椭圆是对称图形 13弦长公式 14 SOAB= 15代换技巧:如两直线过同一点只有K不一样,则算出k1的数据后用k2代换就能得到另一条线的数据(不只斜率K可以代换,点也可以代换)减少计算量 16当化简到非常复杂的式子时,考虑能否整体代换,将形式复杂的部分用一个变量代替 17利用三点共线列等式 18直线过定点问题 方法一;求出AB直线方程再求定点 方法二:取两个特殊位置的直线,解出交点C,验证交点C是否在直线AB上,只需算k1=k2即可 方法三,若能观察出定点在x轴上,解出AB方程令y=0,解出x为定值即可 19对设而不求方法的具体介绍:大胆设点,利用以下结论 一:点在曲线上 二:点满足一定条件(题目所给) 三:韦达定理 运用好这三点,就可以做到舍而不求

圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有!)

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1(0a b >>)。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B 异号)。 (3)抛物线:开口向右时2 2(0)y px p =>,开口向左时2 2(0)y px p =->,开口向上时 22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 (2)双曲线:由x 2,y 2 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中,a 最大,2 2 2 a b c =+,在双曲线中,c 最大,2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例):①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两 个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ;④准线:两条准线2a x c =±; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<, e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。 (2)双曲线(以22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)为例):①范围:x a ≤-或,x a y R ≥∈;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),两个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ,虚轴长为2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠;④准线:两条准线2a x c =±; ⑤离心率:c e a =,双曲线?1e >,等轴双曲线 ?e =e 越小,开口越小,e 越大,开口越大;⑥两条渐近线:b y x a =±。 (3)抛物线(以2 2(0)y px p =>为例):①范围:0,x y R ≥∈;②焦点:一个焦点(,0)2 p ,其中p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴0y =,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);

高考圆锥曲线解题技巧总结

第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学,用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题,如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等,在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分:基础知识 1.概念 特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F 1,F 2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,a b ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中,a 最大,222 a b c =+,在双曲线中,c 最大,222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例):①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0), 四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ;④准线:两条准线2 a x c =±; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<,e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。 (2)双曲线(以22221x y a b -=(0,0a b >>)为例):①范围:x a ≤-或,x a y R ≥∈;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),两个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ,虚轴长为2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时, 称为等轴双曲线,其方程可设为22,0x y k k -=≠;④准线:两条准线2a x c =±; ⑤离 心率:c e a =,双曲线?1e >,等轴双曲线?e =e 越小,开口越小,e 越大,开口越大;⑥两条渐近线:b y x a =±。 (3)抛物线(以22(0)y px p =>为例):①范围:0,x y R ≥∈;②焦点:一个焦 点(,0)2 p ,其中p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴0y =,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线2p x =-; ⑤离心率:c e a =,抛物线?1e =。

圆锥曲线解题技巧经典实用最新

圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如 (1)已知定点)0,3(),0,3(21F F -,在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A .4 21=+PF PF B .621=+PF PF C .10 21=+PF PF D .122 2 2 1 =+PF PF (答:C ) ; (2)方程8=表示的曲线是_____(答:双曲线的左 支) (2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P (x ,y ),则y+|PQ|的最小值是_____ (答:2) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>)? { cos sin x a y b ??==(参数方程, 其中?为参数),焦点在y 轴上时2222b x a y +=1(0a b >>)。方程22 Ax By C +=表示椭 圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 如(1)已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆,则k 的取值范围为____(答: 11 (3,)(,2)22 ---) ; (2)若R y x ∈,,且62322=+y x ,则y x +的最大值是____,2 2y x +的最小值是 ___2) (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1 (0,0a b >>)。方程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A , B 异号

圆锥曲线解题方法技巧归纳

圆锥曲线解题方法技巧归纳 例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆80542 2 =+y x 上,且点A 是椭圆短轴的一个端点(点A 在y 轴正半轴 上). (1)若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC 的方程; (2)若角A 为0 90,AD 垂直BC 于D ,试求点D 的轨迹方程. 分析:第一问抓住“重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率,从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为0 90可得出AB ⊥AC ,从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ,然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程; 解:(1)设B (1x ,1y ),C(2x ,2 y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有 116 20,116202 2 222121=+=+y x y x 两式作差有 16) )((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04 500=+k y x (1) F(2,0)为三角形重心,所以由 2321=+x x ,得30=x ,由03421=++y y 得20-=y ,代入(1)得5 6 =k 直线BC 的方程为02856=--y x 2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x (2) 设直线BC 方程为8054,2 2 =++=y x b kx y 代入,得080510)54(2 2 2 =-+++b bkx x k 2 215410k kb x x +-=+,222154805k b x x +-= 2 2 22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入(2)式得 054163292 2=+--k b b ,解得)(4舍=b 或94 -=b 直线过定点(0,)94-,设D (x,y ),则1494 -=-?+ x y x y ,即016329922=--+y x y 所以所求点D 的轨迹方程是)4()9 20()916(222 ≠=-+y y x 。 3、设而不求法 例2、如图,已知梯形ABCD 中CD AB 2=,点E 分有向线段AC 所成的比为λ,双曲线 过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点当 4 3 32≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围。

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于( C ) (A (B )2 (C (D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直 线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =,则椭圆的离心率是( ) A B .2 C .13 D .12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”,那么下列结论中正确的是 ( ) A .直线l 上的所有点都是“点” B .直线l 上仅有有限个点是“点” C .直线l 上的所有点都不是“ 点” D .直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)

高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝 对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|, 则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方 程8=表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时1 22 22=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1 (0a b >>)。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条 件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 若R y x ∈,,且62322=+y x ,则y x +的最大值是____,2 2 y x +的最小值是___ ) (2)双曲线:焦点在x 轴上: 2 2 22b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。方程 22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B 异号)。 如设中心在坐标原点O ,焦点1F 、2F 在坐标轴 上,离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ,则C 的方程为_______(答:226x y -=) (3)抛物线:开口向右时2 2(0)y px p =>,开 口向左时2 2(0)y px p =->,开口向上时 22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在 分母大的坐标轴上。 如已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴 上的椭圆,则m 的取值范围是__(答:)2 3 ,1()1,( --∞) (2)双曲线:由x 2,y 2 项系数的正负决定,焦 点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中,a 最大,2 2 2 a b c =+,在双曲线中,c 最大,2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例): ①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长 为2a ,短轴长为2b ;④准线:两条准线2 a x c =± ; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<,e 越小,椭圆 越圆;e 越大,椭圆越扁。 如(1)若椭圆152 2 =+m y x 的离心率510 = e ,则m 的值是__(答:3或 3 25); (2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角 形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答: 22) (2)双曲线(以22 22 1x y a b -=(0,0a b >>)为 例):①范围:x a ≤-或,x a y R ≥∈;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),两个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ,虚轴长为2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等 时,称为等轴双曲线,其方程可设为 2 2 ,0x y k k -=≠;④准线:两条准线2 a x c =±; ⑤ 离心率:c e a =,双曲线?1e >,等轴双曲线 ?e =e 越小,开口越小,e 越大,开口越大; ⑥两条渐近线:b y x a =±。 (3)抛物线(以2 2(0)y px p =>为例):①范围: 0,x y R ≥∈;②焦点:一个焦点(,0)2 p ,其中p 的几 何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴0y =,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线: 一条准线2 p x =-; ⑤离心率:c e a =,抛物线 ?1e =。 如设R a a ∈≠,0,则抛物线2 4ax y =的焦点坐标为 ________(答:)161 , 0(a ); 5、点00(,)P x y 和椭圆122 22=+b y a x (0a b >>)的 关系:(1)点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>;(2) 点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +=1;(3)点 00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交:0?>?直线与椭圆相交; 0?>?直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0?>,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0?>是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;0?>?直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0?>,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 (2)相切:0?=?直线与椭圆相切;0?=?直线与双曲线相切;0?=?直线与抛物线相切; (3)相离:0?中, 以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒:因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要 条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0?>! 11.了解下列结论 (1)双曲线1 2 222 =-b y a x 的渐近线方程为0=±b y a x ; (2)以x a b y ±=为渐近线(即与双曲线 12222=-b y a x 共渐近线)的双曲线方程为λ λ(22 22=-b y a x 为参数,λ≠0)。 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 2 1mx ny +=; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称 轴的弦)为2 2b a ,焦准距(焦点到相应准线的距离) 为2b c ,抛物线的通径为2p ,焦准距为p ; (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB , 1122(,),(,)A x y B x y ,则①12||AB x x p =++; ②2 21212,4 p x x y y p ==- (7)若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦,则直线AB 恒经过定点(2,0)p 12.圆锥曲线中线段的最值问题: 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)

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