二次函数
二次函数
一、基础知识
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.
2.二次函数的表示方法：数表法、图像法、表达式.
3.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①2ax y =（)0≠a ； ②k ax y +=2；()0≠a ③()2
h x a y -=()0≠a 顶点式)；
④()k h x a y +-=2
；（)0≠a
⑤c bx ax y ++=2.它们的图像都是对称轴平行于（或重合）y 轴的抛物线. 4.各种形式的二次函数的图像性质如下表：
函数解析式 开口方向 对称轴
顶点坐标 2ax y =
当0>a 时 开口向上 当0 k ax y +=2 0=x （y 轴） (0, k ) ()2 h x a y -= h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2 h x = (h ,k ) c bx ax y ++=2 a b x 2- = (a b a c a b 4422--，) 1.抛物线c bx ax y ++=2中的系数c b a ,, （1）a 决定开口方向： 几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么 抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 当0>a 时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当0 （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：当0=b 时，对称轴为y 轴；当a 、 b 同号时，对称轴在y 轴左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 决定抛物线与y 轴交点位置：当0=c 时，抛物线经过原点； 当0>c 时,相交于y 轴的正半轴；当0 （1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+??? ? ? +=++=，顶点是），（a b ac a b 4422--， 对称轴是直线a b x 2- =. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线c bx ax y ++=2的解析式化为 ()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. （3）运用抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.. 3．用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）两点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式： ()()21x x x x a y --=. 4.抛物线与x 轴的交点 设二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来判定： （1）240b ac ->?抛物线与x 轴有两个交点； （2）240b ac -=?抛物线与x 轴有一个交点（顶点在x 轴上）； （3）240b ac - 5.二次函数的应用 一、c bx ax y ++=2的性质 1．已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 。 解： 2．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限。 理由： 3.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，试判断a 、b 、c 和?的符号。 解： 4.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，下列结论（1）c ＜0；（2）b ＞0；（3）4a+2b+c ＞0；（4）（a+c ）2 ＜0，其中正确的是：（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 理由： 5． 二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个 代数式中，值为正数的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 理由： 6． 已知直线b ax y +=的图象经过第一、二、三象限，那么12 ++=bx ax y 的图象为（ ） A ． B ． C ． D ． 7．已知函数42 12 --= x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜1 B ．x ＞1 C ．x ＞－2 D ．－2＜x ＜4 8．二次函数y ＝a (x ＋k )2＋k ，当k 取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( ) A ．y ＝x B ．x 轴 C ．y ＝－x D ．y 轴 9．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示，则( ) A ．a ＞0，c ＞0，b 2－4ac ＜0 B ．a ＞0，c ＜0，b 2－4ac ＞0 C ．a ＜0，c ＞0，b 2－4ac ＜0 D ．a ＜0，c ＜0，b 2－4ac ＞0 10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如下图所示，则( ) A ．b ＞0，c ＞0，?＝0 B ．b ＜0，c ＞0，?＝0 C ．b ＜0，c ＜0，?＝0 D ．b ＞0，c ＞0，?＞0 11．二次函数y ＝mx 2＋2mx －(3－m )的图象如下图所示，那么m 的取值 范围是( ) A ．m ＞0 B ．m ＞3 C ．m ＜0 D ．0＜m ＜3 12．在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( ) 13．函数x ab y b ax y = +=22 1,(ab ＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是( ) 14．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( ) A ．h ＝m B ．k ＞n C ．k ＝n D ．h ＞0，k ＞0 15．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列 结论：①abc ＞0；②a ＋b ＋c ＝2；2 1 >a ③；④b ＜1．其中正确的结论是( ) A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④ 16．下列命题中，正确的是( ) ①若a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac ＜0； ②若b ＝2a ＋3c ，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根； ③若b 2－4ac ＞0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3； ④若b ＞a ＋c ，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，有两个不相等的实数根． A ．②④ B ．①③ C ．②③ D ．③④ 二、c bx ax y ++=2的最值 1． 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 和提出概念所用的时间x （单位：分）之间大 体满足函数关系式：436.21.02++-=x x y （0≤x ≤30）。y 的值越大，表示接受能力越强。试根据关系式回答： （1） 若提出概念用10分钟，学生的接受能力是多少？ （2） 概念提出多少时间时？学生的接受能力达到最强？ 2.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示。图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系是 4 5 22+ +-=x x y 。请回答下列问题： （1） 柱子OA 的高度是多少米？ （2） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？ （3） 若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的 水流不至于落在池外？ 2． 体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线 2 12 12 ++- =x x y 的一部分，根据关系式回答： （1） 该同学的出手最大高度是多少？ （2） 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多 少？ （3） 该同学的成绩是多少？ 3．如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上， 若AE=x，正方形EFGH的面积为y。 （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若 没有，说明理由。 三、函数解析式的求法（1） 1．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图： （1）根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式； （2）若菜农身高为1.60米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精确到0.01米） 2．根据下列条件求抛物线的解析式： （1）图象过点（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）； （2）图象的顶点坐标为（-1，-1），且与y轴交点的纵坐标为-3； （3）图象过点（1，-5），对称轴是直线x=1，且图象与x轴的两个交点之间的距离为4。 3．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离为6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高为2.44米，问能否射中球门？ 4．已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2。（1）求二次函数的图象的解析式； （2）设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积。 5．如图： （1）求该抛物线的解析式； （2）根据图象回答：当x为何范围时，该函数值大于0。 6． 已知抛物线经过A （-3，0）、B （0，3）、C （2，0）三点。 （1） 求这条抛物线的解析式； （2） 如果点D （1，m ）在这条抛物线上，求m 值和点D 关于这条抛物线对称轴的对称点E 的坐标，并求出tan ∠ADE 的值。 四、函数解析式的求法（2） 1． 已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜，从四月一日起开始上市的30天内，大蒜每10千 克的批发价y （元）是上市时间x (天)的二次函数，有近几年的行情可知如下信息： x （天） 5 15 25 y （元） 15 10 15 （1） 求y 与x 的函数关系式； （2） 大蒜每10千克的批发价为10.8元时，问此时是在上市的多少天？ 2． 如图，某建筑物从10m 高的窗口A 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线 的最高点M 离墙1m ，离地面3 40 m ，求水流落点B 离墙的距离OB 的长。 3． 一男生推铅球，成绩为10米，已知该男生的出手高度为 3 5 米，且当铅球运行的水平距离为4米时达到最大高度，试求铅球运行的抛物线的解析式。 4． 某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两 侧距地面3米高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，试求厂门的高度。 5． 抛物线经过A 、B 、C 三点，顶点为D ，且与x 轴的另一 个交点 为E 。 （1） 求该抛物线的解析式； （2） 求四边形ABDE 的面积； （3） 求证：△AOB ∽△BDE 。 6．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过一次函数32 3 +-=x y 的图象与x 轴、y 轴 的交点，并也经过(1，1)点．求这个二次函数解析式，并求x 为何值时，有最大(最小)值，这个值是什么? 7．已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别为A (m ，0)，B (n ，0)，且4=+n m ， ?=3 1n m (1)求此抛物线的解析式； (2)设此抛物线与y 轴的交点为C ，过C 作一条平行x 轴的直线交抛物线于另一点P ，求△ACP 的面积． 8．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－1，0)，且经过直线y ＝x －3与x 轴的交点B 及与y 轴的交点C ． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)若点M 在第四象限内的抛物线上，且OM ⊥BC ，垂足为D ，求点M 的坐标． 二次函数求最值参数分类讨论的方法 分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题． 一般地,对于二次函数y=a (x -m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。 ①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。 含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论 题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值 例１、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。 分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。 解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a ①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a ②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a ③、当2≤a ＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3 ④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =3 例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3 [,2]2 -上最大值为1,求实数a 的值 分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论. 一、二次函数解析式及定义型问题 （ 顶点式中考要点 ） . 把二次函数的图象向左平移 2 个单位， 再向上平移 1 个单位， 所得到的图象对应的二次函数关系式是 y （x 则 b 、 c 的值为 10. 抛物线 y x 2 ax 4的顶点在 X 轴上，则 a 值为 11. 已知二次函数 y 2（x 3）2 ，当 X 取 x 1和 x 2时函数 值相等，当 X 取 x 1+x 2时函数值为 12. 若二次函数 y ax 2 k ，当 X 取 X1 和 X2（ x 1 x 2）时函数值相 等 , 则当 X 取 X1+X2时，函数值为 13. 若函数 y a （x 3）2 过（２ . ９）点，则当 X ＝４时函数值 Y ＝ 14. 若函数 y （x h ）2 k 的顶点在第二象限则， h 0, k 0 15. 已知二次函数当 x=2 时 Y 有最大值是１ . 且过（３ . ０）点求解析式？ 17. 已知抛物线在 X 轴上截得的线段长为６ 二、一般式交点式中考要点 18. 如果抛物线 y=x 2-6x+c-2 的顶点到 x 轴的距离是 3, 那么 c 的值等于（ ） （A ） 8 （B ） 14 （C ） 8 或 14（ D ）-8 或 -14 19. 二次函数 y=x 2-（12-k ）x+12, 当 x>1 时， y 随着 x 的增大而增大， 当 x<1 时， y 随着 x 的增大而减小， 则 k 的值应取 （ （A ） 12 （ B ）11 （ C ）10（D ） 9 20. 若 b 0 ，则二次函数 y x 2 bx 1的图象的顶点在 （ A ） （ A ）第一象限（ B ）第二象限 （ C ）第三象限（ D ）第四象限 21. 不论 x 为何值 , 函数 y=ax 2+bx+c （a ≠ 0） 的值恒大于 0 的条件是 （ ） A.a>0, △ >0 B.a>0, △ <0 1)2 则原 . 如果函数 y （k 3）x k2 . （ 08 绍兴）已知点3k 2 y 1 ) ， 2， 1 ），形状开品与抛物线 y= - 2x 2相同，这个函数解析式为 kx 1 是二次函数 , 则 k 的值是 _ .( 兰州 A ．若 y 1 B ．若 C ．若 x 1 0 y 2，则 x 1 x 2，则 x 2 y 2 D ．若 x 1 10） 抛物线 x 1 x 2 x 2 ，则 y 1 y 2 y 1 b y 2 c 图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位， 所得图像的解析式为 y 2x 3， A . b=2 C . b= -2 . 抛物线 c=2 ， c=-1 (m 1)x 2 ax B. b=2 D. b= -3 c=0 ， (m 2 3m 4）x 5以 Y 轴为对称轴则。 M ＝ 8. 函数 y (a 5)x a 2 a 4a 5 的图象顶点在 Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则 m 的取值范围 5 2x 9. 抛物线 y （3x 1）2 当 x 时， 1 , 当 a ____ 时 , 它是一次函数 ; 当 a 时 , 它是二次函数 . 16. 将 y 2x 2 12x 12 变为 y a(x 2 m ） n 的形式，则 m . 且顶点坐标为（２，３）求解析式？（讲解对称性书写） 二次函数专题之参数范围问题 1.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y=2 1 x 2-x+2与y 轴交于点A,顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物 线的对称轴对称。 （1）求直线BC 的解析式； （2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4，将抛物线在点A,D 之间的部分（包含点A,D ）记为图像G,若图象G 向下平移t （t ＞0）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围。 2.已知关于x 的一元二次方程ax 2-2(a-1)x+a-2=0(a ＞0). （1）求证：方程有两个不等的实数根. （2）设方程的两个实数根分别为x 1,x 2（其中x 1＞x 2）.若y 是关于a 的函数，且y=a x 2+x 1,求这个函数的表达式. （3）在（2）的条件下，若使y ≤-3a 2+1，则自变量a 的取值范围为? 3.已知关于x的方程x2+(m-2)x+m-3=0. （1）求证：方程x2+(m-2)x+m-3=0总有两个实数根； （2）求证：抛物线y=x2+(m-2)x+m-3总过x轴上的一个定点； （3）在平面直角坐标系xoy中，若（2）中的定点记作A，抛物线y=x2+(m-2)x+m-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，且△OBC的面积小于或等于8，求m的取值范围. 4.在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像与x轴有交点，a为正整数. （1）求a的值. （2）将二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像先向右平移m个单位长度，再向下平移m2+1个单位长度，当-2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m的值. 二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。 判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 2017年二次函数难题30道（解析版） （选择题10道 填空题10道 解答题10道） 一、选择题:（共10题） 1．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴交于点A （-1，0），与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0；②4a+2b+c ＞0；③4ac-b 2＜16a ；④ 13＜a ＜23 ；⑤b ＞c ．其中正确结论个数（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】试题解析：①∵函数开口方向向上，∴a>0； ∵对称轴在y 轴右侧， ∴ab 异号， ∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴， ∴c<0， ∴abc>0， 故①正确； ②∵图象与x 轴交于点A(?1,0)，对称轴为直线x=1， ∴图象与x 轴的另一个交点为(3,0)， ∴当x=2时，y<0， ∴4a+2b+c<0， 故②错误； ③∵图象与x 轴交于点A(?1,0)， ∴当x=?1时,()()2 110y a b c =-+?-+=， ∴a ?b+c=0，即a=b ?c ，c=b ?a ， ∵对称轴为直线x=1 12b a ∴-=，即b=?2a ， ∴c=b ?a=(?2a)?a=?3a ， ()()2 224432160ac b a a a a ∴-=??---=-< 160a > 2416ac b a ∴-<故③正确. ④∵图象与y 轴的交点B 在(0,?2)和(0,?1)之间， ∴?2 中考数学二次函数存在性问题 及参 考答案 二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线 与双曲线 相交于点 A，B．已知点 B 的坐标为（－2，－2），点 A 在第一象限内，且 tan∠AOX＝4．过点 A 作直线 AC∥ 轴，交抛物线于另一点 C． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积； （3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点 D 的坐标；若不存在，请你说明理由． 二次函数选择题难点大全 1．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： 从上表可知，下列说法中，错误的是（） A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0） B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6） C．抛物线的对称轴是直线x=0 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的 2．已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且x3＜﹣1＜x1＜x2，则y1，y2，y3的大小关系是（） A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0． 其中所有正确结论的序号是（） A．③④B．②③C．①④D．①②③ 4．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b ＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，其对称轴为直线x=﹣1，给出下列结果： （1）b2＞4ac；（2）abc＞0；（3）2a+b=0；（4）a+b+c＞0；（5）a﹣b+c＜0． 则正确的结论是（） A．（1）（2）（3）（4）B．（2）（4）（5）C．（2）（3）（4）D．（1）（4）（5）6．如图：二次函数y=ax2+bx+c的图象所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b=0； ③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2，正确的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与X轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论： ①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a+c＜1；④b2+8a＞4ac， 中考数学复习 二次函数中矩形的存在性 所谓二次函数与矩形存在性问题，即在二次函数中确定动点位置，使其与其他点等构成矩形，本文将 对题型构造及解决方法作简单介绍．首先关于矩形本身，我们已经知道：矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角为直角的四边形． 第一步：先画草图。因为题目已经明确四边形顶点的顺序，所以可以得知A，M为矩形相对的两个顶点。第二步：求点坐标，可以直接通过对角线相等计算长度。 解题模型探究 1.铺垫知识 铺垫1：直角三角形存在类问题的几何作图方法 已知点C为直线上一动点，请问是否存在点C使得△ABC为直角三角形，如果存在，请画出示意图. 图1是指以点A为直角顶点时对应的C点；图2是指以点B为直角顶点时对应的C点；图3是指以AB 为直径和直线相交时对应的C点.上述作图方法我们简称为“一圆两垂直” 铺垫2：直角三角形存在类问题的解题策略详情请参考“二次函数与直角三角形存在类问题” 铺垫3：平行四边形顶点坐标公式 根据平行四边形的性质对角线互相平分，可以知道点O为线段AC和线段BD的中点。 在平面直角坐标系背景下的矩形存在类问题其本质就是“直角三角形存在类问题”和“平行四边形存在类问题”的结合. 矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式： （AC为对角线时） 因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个． 2.题型分类： （1）2个定点+1个半动点+1个全动点； （2）1个定点+3个半动点． 思路1：先直角，再矩形 在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“２定+1半动+1全动”尤其适用． 引例：已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标． 含字母参数的二次函数问题 引入 1.什么是函数？ 2.我们已经学过哪些函数？ 3.对于函数我们需要掌握哪些知识？ 二次函数知识点回顾 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 3.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ?? ? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2- =. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶 点为(h ,k )，对称轴是直线h x =. 4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2 ax y =；②k ax y +=2 ；③ ()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2. 它们的图像特征如下： 开口大小与｜a ｜成反比，｜a ｜越大，开口越小；｜a ｜越小，开口越大. 5.用待定系数法求二次函数的解析式: （1）一般式：c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 6.二次函数与一元二次方程的关系： （1）一元二次方程20ax bx c ++=就是二次函数c bx ax y ++=2 当函数y 的值为0时的情况． （2）二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、 没有交点；当二次函数 c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c=0的根． （3）当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有一个交点时，则一元 二次方程02 =++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数y ＝ax 2 + bx+c 的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程02 =++c bx ax 没有实数根． 练习1．请你利用配方法求下列函数的对称轴和顶点坐标。 （1）2 25y x x =++ （2）2 261y x x =+- （3）(2)(5)y x x =++ （4）(23)(1)y x x =+- 学科教师辅导讲义 教学内容 (一)元二次方程的解法 题型1二次函数的图像和性质 例题1 （2012?贵港一模）若直线y=b（b为实数）与函数y=|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是0＜b≤1 ． 考点：二次函数的性质． 分析： 先求x2﹣4x+3=0时x的值，再求x2﹣4x+3＞0和x2﹣4x+3＜0时，自变量的取值范围及对应的函数式，求函数式的取值范围，判断符合条件的b的值的范围． 解答： 解：∵当x2﹣4x+3=0时，x=1或x=3， ∴当x＜1或x＞3时，x2﹣4x+3＞0，即：y=|x2﹣4x+3|，函数值大于0， 当1＜x＜3时，﹣1≤x2﹣4x+3＜0，即：y=|﹣x2+4x﹣3|，函数最大值为1， 故符合条件的实数b的取值范围是0＜b≤1． 点评：本题是分段函数的问题，按照绝对值里的数的符号，分段求函数，再求符合条件的b值范围． （2014?）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c= 0 ． 考点：二次函数的性质． 专题：常规题型． 分析： 根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），由此求出a+b+c的值． 解答： 解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1， ∴y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0）， ∴a+b+c=0． 故答案为：0． 点评： 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0）是解题的关键． 例题2 我来试一试！ （2014?武汉模拟）直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c ＜0的解集是1＜x＜2 ． 考点：二次函数的图象；一次函数的图象． 分析：从图上可知，mx+n＜ax2+bx+c，则有x＞1或x＜﹣；根据ax2+bx+c＜0，可知﹣1＜x＜2；综上，不等式mx+n ＜ax2+bx+c＜0的解集是1＜x＜2． 解答： 解：因为mx+n＜ax2+bx+c＜0，由图可知，1＜x＜2． 点评：此题将图形与不等式相结合，考查了同学们对不等式组的解集的理解和读图能力，有一定的难度，读图时要仔细． 题型2二次函数与一元二次方程 根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的个数是（） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax2+bx+c 0.02 ﹣0.01 0.02 0.04 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 1或2 考点：图象法求一元二次方程的近似根． 专题：计算题． 分析：由表格中的对应值可得出，方程的一个根在6.17﹣6.18之间，另一个根在6.18﹣6.19之间． 解答：解：∵当x=6.17时，y=0.02； 当x=6.18时，y=﹣0.01； 例题1 二次函数中与角有关的存在性问题 与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角： ①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等。 然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通。 【类型一 相等角的存在性问题】 （一）.利用平行线、等腰三角形构造相等角 例1 如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线c bx x y ++-=2 与直线y =c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ，连接PB ，得BOA PCB ≌△△（O 为坐标原点）。若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ，设M 是点C ，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m . （1）直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式. （2）求满足POA MPO ∠=∠的点M 的坐标. （二）.利用相似三角形构造相等角 例2 如图，抛物线c bx x y ++=2 2 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交 抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6. （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标； （2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标； 解：（1）因为OB=OC=6，所以B （6，0），C ()6,0-， 将 B 、 C 点 坐 标 代 入 解 析 式 ， 得 ()822 162212 2--=--= x x x y ， 所以点D 的坐标为（2，—8） （2）如图1，过F 作FG ⊥x 轴于点G ，设?? ? ?? --6221, F 2x x x ，则FG=62212--x x ，AG=x +2，当EDB FAB ∠=∠时，且B ED GA ∠=∠F ， 所以BDE FAG ∽△△，所以 FG AG EB DE = ，即2622 12482=--+=x x x ， 当点F 在x 轴上方时，则有12422 --=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=7，此时F 点的坐标为?? ? ??297，； 当点F 在x 轴下方时，则有）（12422 ---=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=5，此时F 点的坐标为??? ? ?-275， ，,综上可知点F 的坐标为??? ?? 297，或?? ? ? ?-275， . 含参数的二次函数求值域问题专题 有时参数在区间上， 有时参数在解析式上， 构成了有时轴动区间定， 而有时轴定区间动 1 函数f(x)=x 2 -2x2的定义域为 Li, mJ 值域为41…由实数m 的取值范围是 H, 31 2 已知函数f(x)=x 2 -2x+3在区间d, rnJk 有最大值3,最小值2,则实数m 的取值范围是 匕2】 2 2 3 已知f (x) = -4x + 4ax 4a -a 在区间［0, 1］内有最大值一5,求a 的值? 3 a 解：??? f(x)的对称轴为X0二厂①当0 <- <1,即o 2时[f ( x)lmax= f ⑴=-4 殳2 = -5八 a = ±1 不合； 综上，a =—或a.= —5? 2 4已知定义在区间 ［0,3］上的函数f(x)= kx- 解析:V f(x)= k(x- %— k, (1) 当k>0时，二次函数图象开口向上，当 ?k= 1； (2) 当k<0时，二次函数图象开口向下，当 —3. (3) 当k= 0时，显然不成立. 故k 的取值集合为{1, — 3}? 答案：{1, - 3} o =—x -ax b 有最小值一1,最大值1 ?求使函数取 得最大值和最小值吋相应的 x 的值? a 解：a>0, /. f(X )对称轴 X = —— V 0 J. [ f ( X )] min = f ( X )= —1 二 3 = b ； a 2kx 的最大值为3,那么实数k 的取值范围为 ___________ ? 2 x= 3时，f(x)有最大值，f(3) = k - 3-2kx3= 3k= 3 x= 1 时，f(x)有最大值，f(1)= k- 2k=- k= 3?k= 5. 已知 a>0,当 x e 函数 f (x) \T2 /(\ XI - 二次函数难点100题 一、单选题 1．已知二次函数f （x ）=x 2+bx+c ，若对任意的x 1，x 2∈[-1，1]，有|f （x 1）-f （x 2）|≤6，则b 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知二次函数 ，定义 ， ，其中 表示 中的较大者， 表示 中的较小者， 下列命题正确的是 A ．若，则 B ．若，则 C ．若 ，则 D ．若 ，则 3．已知函数()y f x =的图象如图所示，则函数() ()()g x f f x =的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．若函数() 32 233f x x ax bx b =+-+在() 0,1上存在极小值点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(]1,0- B ．()1,-+? C ．[)0,+? D ．()1,+? 5．已知函数 ，其中 ，若对任意的非零实数，存在唯一的非零实数 （），使得成立，则的取值范围为（ ） A ． B ． C ． 或 D ． 6．已知函数，若对恒成立，则 实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．已知函数2 3ln ,1()46,1 x x f x x x x ì-??=í-+>??，若不等式()2f x x a ≥-对任意(0,)x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1 3,3e ??-??? ? B ．[3,3ln 5]+ C ．[3,4ln 2]+ D ．[2,5] 8．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件： 2222 12121122 |]x x y y x y x y +-+?+的最大值为0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①1 ()f x x x =+ (0)x >：②()ln (0)f x x x e =<<：③()cos f x x =:④2()4f x x =-. 其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为( ) A ．432 B ．3 C ．22 D ．4 10．已知函数()x x f x e me -=-，若()'23f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．[)0,+∞ B ．[)2,+∞ C ．[)3,+∞ D ．(] ,3-∞ 11．若函数 的最小值为 ，则实数的取值范围为（ ） A ．或； B ．或； C ．或 ； D ． 或 ； 12．在 中，角，，的对边分别为，，，若 ，且 恒成立，则的取值范围是（ ） 二次函数中的存在性问题姓名 1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式； （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由． 3．已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）． （1）求直线AC及抛物线的解析式； （2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积； （3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C． （1）求直线BC的解析式； （2）求抛物线的顶点及对称轴； （3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； （4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由． 1.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=x+1相交于A(?1,0),B(4,m)两点,且抛物线经过点 C(5,0). (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A. 点B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB 于点E. ①当PE=2ED时，求P点坐标； ②是否存在点P使△BEC为等腰三角形?若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由2.如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3)、B(?1,0)、D(2,3)，抛物线与x轴的另一交点为E. 经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F. 点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t (1)求抛物线的解析式； (2)当t何值时，△PFE的面积最大?并求最大值的立方根； (3)是否存在点P使△PAE为直角三角形?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。 3.如图1,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长 DC交抛物线于点E. (1)求抛物线的解析式； (2)如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作 PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围)，并求出l的最大值； (3)如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四 边形是平行四边形?若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。4.在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线（a、b、c 为常数，）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”。 已知抛物线与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C。 填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为____，点A的坐标为____，点B的坐标为____。 如图，点M为线段CB上一动点，将以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若 为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标。 当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由。 二次函数的存在性问题(面积问题) [08湖北荆州]已知：如图，R t △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负 半轴上，C 为OA 上一点且OC ＝OB ，抛物线y=(x －2)(x －m )－(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且m+2≥2p>0）经过A 、C 两点． （1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长； （2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB 12220.(1)0 2)()(2)()0 )(2)0,222020 2,1(2),2 11 (2) 2211 (2)22 1 (2) 1 2(2)1 2 2()2 AOB AOB AO y x x m p p m x p x m p x p x m p m p m p p OA m p OC P OC OB S OA OB S OA OB P m p P m P m p m S =-----=---+=∴==+-+>>∴+->>∴=+-===∴==+-=-+++∴=-=+?-令得：（整理得：（当时，. B 最大 [08湖北荆州]如图，等腰直角三角形纸片AB C 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90o，直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A （1，0），AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平移时间为t （s ），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. （1）求折痕EF 的长； （2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线243y x x =++的顶点？若存在， 求出t 值；若不存在，请说明理由； （3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 25.145101ABC BE EA FE EA Rt AC BC CAB EF EA A OA OE AE EF ∴⊥=∴∠=?∴=∴===∴=（）折叠后与所在直线重合又中（，） ，折痕 ∥BA 交Y 轴于P ， 2（）存在.设CP 413 POC C CP AC OA OC OP ==∴==则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动 ， 二次函数专题 1.抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．3x =- D ．3x = 2.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图1所示，则下列说法不正确的是 （ ） A ．240b ac -> B ．0a > C ．0c > D ．02b a -< 3.）下列哪一个函数，其图形与x 轴有两个交点？ (A)y =17(x +83)2+2274 (B)y =17(x -83)2+2274 (C) y = -17(x -83)2-2274 (D) y = -17(x +83)2+2274。 4.如图3二次函数()220y ax bx a b a =+++≠的图像为下列图像之一，则a 的值为 A.－1 B.1 C. －3 D. －4 5.已知二次函数21 5 (1)y x k =-+的图象上有三个点123(2,),(2,),(5,)A y B y C y -. 则123,,y y y 的大小关系为______. A. 123y y y >> B. 213y y y >> C. 312y y y >> D. 321y y y >> 6.二次函数2 y ax bx c =++与一次函数y ax c =+在同一坐标系中的图象可能是下图中的_____. 7.在同一坐标系中二次函数2y ax b =+和2y bx ax =+的图象只可能是下图中的_____. 8.已知: 0,930a b c a b c -+=++=, 则二次函数2y ax bx c =++图象的顶点可能在_____. A. 第一或第二象限 . B. 第三或第四象限. C. 第一或第四象限 D. 第二或第三象限 9.关于函数2565y x x =-+-的最值中说法正确的是_____. A. 该函数只有最大值5 B. 该函数只有最小值3 C. 该函数有最大值5、最小值3 D. 该函数有最大值5、最小值1 10.已知二次函数11)(2k 2 －－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2 时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ； 函数图象中点的存在性问题（强化训练） 切入点一：利用基本图形来作图(充分利用图形的特殊性质)，并描述作图方法 切入点二：做好数据准备，计算尽量利用相似、数形结合（交轨法） 切入点三：紧扣不变量，善于使用前题所采用的方法或结论 切入点四：在题目中寻找多解的信息(不重不漏) 1.1因动点产生的平行四边形问题 1. 如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax2+bx+c 与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2． （1）该抛物线G的解析式为； （2）将直线L沿y轴向下平移个单位长度，能使它与抛物线G只有一个公共点； （3）若点E在抛物线G的对称轴上，点F在该抛物线上，且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，求点E与点F坐标并直接写出平行四边形的周长． （4）连接AC，得△ABC．若点Q在x轴上，且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点Q 的坐标． 2. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2-2ax+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4，与y轴交于点C，且过点（2，3）． （1）求此二次函数的表达式； （2）若抛物线的顶点为D，连接CD、CB，问抛物线上是否存在点P，使得∠PBC+∠BDC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点K为抛物线上C关于对称轴的对称点，点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． ···二次函数专题之参数范围问题 基本思想方法： ①函数与方程； ②数形结合； ③化归与转化； ④逆向思维； ⑤分类 1x2-x+2 1.（2015海淀一模）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y= 2 与y轴交于点A,顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称。（1）求直线BC的解析式； （2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4，将抛物线在点A,D之间的部分（包含点A,D）记为图像G,若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围。 2.（2015朝阳二模）已知关于x的一元二次方程ax2-2(a-1)x+a-2=0(a ＞0). （1）求证：方程有两个不等的实数根. （2）设方程的两个实数根分别为x1,x2（其中x1＞x2）.若y是关于a的函数，且y=ax2+x1,求这个函数的表达式. （3）在（2）的条件下，若使y≤-3a2+1，则自变量a的取值范围为3.(2015顺义二模)已知关于x的方程x2+(m-2)x+m-3=0. （1）求证：方程x2+(m-2)x+m-3=0总有两个实数根； （2）求证：抛物线y=x2+(m-2)x+m-3总过x轴上的一个定点；（3）在平面直角坐标系xoy中，若（2）中的定点记作A，抛物线y=x2+(m-2)x+m-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，且△OBC 的面积小于或等于8，求m的取值范围. 4.（2015怀柔一模）在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像与x轴有交点，a为正整数. （1）求a的值. （2）将二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像先向右平移m个单位长度，再向下平移m2+1个单位长度，当-2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m的值. 5.（2015石景山一模）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=mx2-2mx-3（m≠0）与x轴交于A（3,0），B两点. （1）求抛物线的表达式及点B的坐标. （2）当-2＜x＜3时的函数图像记为G，求此时函数y的取值范围. （3）在（2）的条件下，将图像G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图像G的其余部分保持不变，得到一个新图像M.若经点C(4,2)的直线y=kx+b（k≠0）与图像M在第三象限内有两个公共过点，结合图像求b的取值范围.含参数二次函数分类讨论的方法
(完整版)初三数学二次函数较难题型
二次函数专题之参数范围问题
(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
2017年二次函数难题30道(解析版)
中考数学二次函数存在性问题 及参考答案
一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 . 所得抛物线与 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 轴交于点 C，顶点为 D. （1）写出 的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由； （3）在线段 AC 上是否存在点 M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在， 说明理由.
2.如图，已知抛物线经过 A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点 O，顶点为 C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行 四边形，求点 D 的坐标； （3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PM x 轴，垂足为 M，是否存在点 P， 使得以 P、M、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由．
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4.如图，抛物线 y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的底 AD 在 x 轴上， 其中 A（－2,0），B（－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3 分） （2）点 M 为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和为最小时，求此时点 M 的坐
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