圆的基础知识与方法,基本经验与技巧

四基梳理

圆的基础知识与方法

基本经验与技巧

四川崇州余首成

一、点与圆之间的位置关系

1、性质：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP = d，则：

①、?

d点P在⊙O上；

=r

②、d ＞?

r点P在⊙O外部；

③、d ＜?

r点P在⊙O内部；

2、判断：怎样判断一个点与圆之间的位置关系？

答：先分别计算出d和r，然后再作大小比较，通过以上关系来判断二者的位置关系。如何去计算d和r呢？一般来说要考虑：一勾股，二相似，三角函数要重视。

二、圆心角、弧、弦三者的“结伴推导”关系

1、定理：在同圆或等圆中，如果两个“圆心角”相等，那么它们“所对的弧”相等，“所对的弦”也相等；

2、推论：在同圆或等圆中，两个“圆心角”、及其它们“所对的弧”、

“所对的弦”，这“三个量”中，只要有“其中一组量”相等，那么剩下来的“其余两组量”也分别对应相等。

3、基本经验：在同圆或等圆中，两个“圆心角”、及其它们“所对的弧”、“所对的弦”，“所对弦的弦心矩”（即：圆心到弦的距离）这“四个量”中，只要有“其中一组量”相等，那么剩下来的“其余三组量”也分别对应相等。

三、垂径定理，垂径定理的推论，以及隐藏其中的“结伴推导”关系

1、垂径定理：垂直于弦的直径，（一定恰好）平分该弦，并且还平分该弦所对的两段弧。

解读1：垂径定理的“已知条件”是“径垂直弦”，且此弦既可以是“直径弦”，又可以是“一般弦”。其中的“径”不必一定指直径，其实质是指“过圆心的直线或线段”。

解读2：“垂直于弦的径”干了“两件大事”，一是“平分弦”，二是“平分两段弧”。简言之，垂径定理的结论会得到：一个弦中点，两个弧中点。

2、垂径定理的推论：平分非直径弦的直径，（一定恰好）垂直该弦，

并且还平分该弦所对的两段弧。

解读1：该推论的“已知条件”是“径平分弦”，且此弦必须是“非直径弦”，不然就要闹笑话。其中的“径”不必一定指直径，其实质是指“过圆心的直线或线段”。

解读2：“平分非直径弦的径”干了“两件大事”，一是“垂直弦”，二是“平分两段弧”。简言之，垂径定理的推论会得到：一个垂直弦，两个平分弧。

解读3：垂径定理、及其推论，会涉及到“四个点”：圆心点、弦中点、两个弧中点，这四个点具有“已知其二，可推另二”的“结伴推导”关系。表述如下：

①、经过“圆心”和“弦中点”的直线，必然垂直该弦，并且还经过该弦所对的“两段弧的中点”；

②、经过“圆心”和“弧中点”的直线，必然垂直“该弧所对的弦”，并且还既经过“该弦中点”，又经过“该弦所对的另一段弧中点”；③、经过“弦中点”和该弦所对其中一段“弧中点”的直线，必然垂直该弦，并且还既经过“圆心”，又经过“该弦所对的另一段弧中点”；

④、经过某弦所对的“两段弧中点”的直线，必然垂直该弦，并且还既经过“圆心”，又经过“该弦中点”；

3、有关经验：垂径定理、及其推论有关的“计算题”，往往会涉及到“四个量”之间的“两个关系”。

解读1：这“四个量”是指：半径、半弦、弓形高、弦心距，“两个

关系”是指：勾股关系和“合成”半径关系。具体而言，“劣弧弓形”的“弓形高”加“弦心距”等于“半径”；而“优弧弓形”的“弓形高”减“弦心距”等于“半径”；

解读2：值得强调的是，计算中不要只关注“勾股定理”，还要考虑“相似形”与“三角函数”，具体问题要学会灵活处理，择易处理。

四、圆心角、圆周角，的相关定理与推论

1、四种常见角的定义：

①、圆心角：顶点在圆心，两边和圆都相交的角，叫做圆心角；

②、圆周角：顶点在圆周，两边和圆都相交的角，叫做圆周角；

③、圆内角：顶点在圆内，两边和圆都相交，或延伸后会与圆相交的角，叫做圆内角；

④、圆外角：顶点在圆外，两边和圆都相交，或延伸后会与圆相交的角，叫做圆外角；

2、某些规定：为了让某些知识之间能丰富联系、融会贯通，特作出以下“数学政策”规定：

①、弧不仅有“长度”，还有“度数”。弧的度数等于，它所对的圆心角的度数；

②、圆周角定理：某弧所对的“圆心角”度数，等于该弧所对的“圆周角”度数的“2倍”；

③、圆周角他说：“圆周角”度数，等于它“所夹”的弧的度数的一

半；右脑法：三个“的”字，味道像“配方”中的三个“的”字。

申述：凡理解了“①和③”的规定，自然能感受“②”的正确性；

或者说，凡理解了“①和②”的正确性，自然能产生“③”的表述；

3、圆周角定理的证明过程，体现了“分类讨论思想”、“转化思想”、“类比构造法”、“类比迁移法”、“对比观察策略”，请同学务必认真体验其间过程，回味反思，以修筑思维之术。

4、圆周角定理的推论：

①、推论1：同弧或等弧，所对的圆周角相等；

②、推论2：直径所对的圆周角是直角，反之，90°的圆周角所对的弦（一定恰好）是直径；

③、推论3：“圆内接四边形”的两组对角都“互补”，并且它的“外角”等于“内对角”；

5、圆的“四种角”的“观察与推导”技巧，右脑口诀：

圆心角与圆周角，观察思路角弧角；

圆内角与圆外角，推导善于看外角；

五、直线与圆之间的位置关系

1、位置关系分类

①、若直线与圆“有两个”公共点，则二者是“相交”关系，此时的直线叫“圆的割线”，公共点叫“交点”；

②、若直线与圆“只有一个”公共点，则二者是“相切”关系，此时的直线叫“圆的切线”，公共点叫“切点”；

③、若直线与圆“没有”公共点，则二者是“相离”关系，此时的直线叫“圆的离线”；

2、从“d与r”的数量关系，来研究直线与圆的位置关系的“判定与性质”

设⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离OH = d，则：

①、?

d直线L与⊙O相切；

=r

②、d ＞?

r直线L与⊙O相离；

③、d ＜?

r直线L与⊙O相交；

3、怎样判断一条直线与圆之间的位置关系？

答：先“过圆心作相关直线的垂线段”，分别计算出d和r，然后再作大小比较，通过以上关系来判断二者的位置关系。如何去计算d和r呢？一般来说要考虑：一勾股，二相似，三角函数要重视。

六、圆的切线的性质定理，与判定定理

1、切线的性质定理：圆的切线（天生下来就专门）垂直于“过切点的”半径。

2、切线的判定定理：经过半径的“外端点”，且垂直于“该半径”的直线是圆的切线。

3、关于以上两个定理的证明，教材上都使用了“反证法”。如果直接证明一个命题不好证，可以考虑用反证法。反证法的三个步骤是“反设、归谬、结论”，编个口诀就是：一作假设，二推矛盾，三行反悔。

4、切线的性质定理，和判定定理中，隐藏着一个“某三者”的“结伴推导”关系

即：在“过圆心”、“过切点”、“垂直于切线”，这三个关系中，已知其中两个，可推出第三个。具体表述为：

①、经过圆心和切点的直线，必然垂直于切线。

②、经过圆心且垂直于切线的直线，必过切点。

③、经过切点且垂直于切线的直线，必过圆心。

七、怎样证明一条直线是圆切线？可分两类：

1、如果“不清楚”直线是否经过圆上的“某一点”，则可以先过圆心O作“该直线”的“垂线段OH”，然后只要能证明出“OH = r”，即

可判断该直线与圆相切。这种思路的口诀是：作垂直，证半径。

2、如果“已明确”直线经过了圆上的“某一点”，则可以先连接圆心与该点，然后只要能证明出“该直线垂直于该半径”，即可判断该直线与圆相切。

这种思路的口诀是：连半径，证垂直。

八、切线长定理，及其相关的“基本经验”

1、切线长定理：从“圆外”一点可作“两条”圆的切线，它们的“切线长”相等。

其中“切线长”是指圆外该点到切点的“点点距离”。

2、相关的基本经验

①、切线长定理的“赠送结论”：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆外该点与圆心的连线，不仅平分“两切线”的“夹角”，还垂直平分“两切点”的“连线”。

右脑记忆：圆外该点与圆心的连线，干了“三件大事”：首先把“两切线的夹角”平分了，接着又把“两切点的连线”平分了，这样都还出不了气，顺便也把“连线”给“锤了一顿”，把人家锤成了“垂径定理”的鬼样子，结果却意外地导致整幅图形反而具有了完美的对称性，而圆外点、圆心点、一弦中点、二弧中点，五点共处于对称轴上。

②、圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边“的和”相等。

③、圆外切三角形的“切线长”公式：圆外切三角形的“某切线长”，等于“过该点的两边之和减去它的对边”所得的“差的一半”。

④、三角形的“另类”面积公式：⊿ABC的面积= 1/2×（AB+BC+CA）×r ，其中r代表⊿ABC的内切圆半径。

联想：如果三角形三边长度是已知的，那么其面积可以算出来，继而可利用以上公式计算出“内切圆半径”。

提示：如果你知道“海伦公式”这个飞升技能，那么已知三边求面积，你就来得“又快又准”。倘若不知道这个公式，也不要紧，你可以作出最长边的高，然后求之，最后再由“二分之一”底乘以高，来求面积，但这样给人的感觉是“慢、难、繁”，烦得很。

建议：记一下这个叫“海什么的公式”。设P表示三角形的周长的一半，即P是“半周长”，而a、b、c分别表示三角形的三条边，则三角形的面积，等于，P、（P—a）、（P—b）、（P—c）这四个人的“乘积的算术平方根”。右脑记忆：海神说，⊿的面积= “四人之积”的“再开方。”

感受：

①、若⊿ABC的三边长分别为：3、4、5，则面积= 二次根号下：“6×（6—3）×（6—4）×（6—5）”= 6 ；

②、若⊿ABC的三边长分别为：5、5、6，则面积= 二次根号下：“8×（8—5）×（8—5）×（8—6）”= 12 ；

③、若⊿ABC的三边长分别为：2、3、4，求面积？请动手求！

追问：你除了用“海伦公式”来计算，还能用“提示”中提到的“一般方法”来计算吗？

九、圆“内接正多边形”与“外切正多边形”有关概念和计算技巧

1、圆的“内接正多边形”的定义：如果一个正多边形的每一个顶点都在“同一个”圆上，那么这个正多边形叫做圆的“内接正多边形”，而此时的圆叫正多边形的“外接圆”。

2、有关概念：在圆和它的内接正多边形中，“圆心”也叫“正多边形的中心”，“半径”也叫“正多边形的半径”，正多边形的每一条边，作为圆的弦，所对的“圆心角”也叫“正多边形的中心角”，圆心到每一条边的“弦心距”也叫“正多边形的边心距”。

记忆导图：“圆心”?“正多边形的中心”；

“外接圆半径”?“正多边形的半径”；

“圆心角”?“正多边形的中心角”；

“弦心距”?“正多边形的边心距”

3、圆的“外切正多边形”的定义：如果一个正多边形的每一条边都与“同一个”圆相切，那么这个正多边形叫做圆的“外切正多边形”，而此时的圆叫正多边形的“内切圆”。

4、有关联系：

①、同一个正多边形的“外接圆”与“内切圆”是“同心圆”；

②、三心合一：正多边形的中心、外接圆圆心、内切圆圆心，是同一个“点”；

③、三位一体：正多边形的“边心距”、外接圆的“弦心距”、内切圆的“半径”，是同一条“线段”；

④、三线合一：每一条边的“垂直平分线”与“中心角的角平分线”与“等腰三角形的三线合一”是一致的；

5、圆与正多边形的计算技巧，右脑歌：优先关注“中心角”，三角函数能生效，有斜用弦无则切，边角口诀别忘却。

十、三角形的“外心”与“内心”

1、经过“不在”同一直线上的“三个点”，可以确定“唯一”一个圆，相当于说，经过“任意”一个三角形的三个顶点，可以画出“唯一”一个圆。这个圆叫三角形的“外接圆”，而三角形叫圆的“内接三角形”。

2、怎样画三角形的“外接圆”？

答：三角形的任意两边“中垂线”的交点，就是我们要苦苦追寻的外

接圆“圆心”，而这个“心”到三角形的“三个顶点”的距离必然相等，因为“某线段”的“中垂线”上的任意一个点到“该线段”的两端点的“点点距”距离相等，接着这三条相等的线段自然成为我们“即将画出”的外接圆的“半径”。

右脑歌：两条中垂线交点，圆规铁尖定此间，粉笔随站一顶点，旋转一圈外接圆。

3、外心的定义与性质：三角形的任意两边中垂线的“交点”，是其“外接圆”的圆心，所以三角形三边中垂线的交点不叫“中垂心”，该叫“外心”。三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，你可以说这是因为“三个点点距”都代表外接圆的半径，也可以“更原味”地说，那是因为这“三个距离”必须要遵循“中垂线”的性质。

4、任何一个三角形内部，总是存在“唯一”一个圆，能与三角形的“三条边”都相切。这个圆叫三角形的“内切圆”，而三角形叫圆的“外切三角形”。

5、怎样画三角形的“内切圆”？

答：三角形的任意两个内角“角平分线”的交点，就是我们要苦苦追寻的内切圆“圆心”，而这个“心”到三角形的“三条边”的距离必然相等，因为“某个角”的“角平分线”上的任意一个点到“该角”的两条边的“点线距”距离相等，接着这三条相等的“垂线段”自然

成为我们“即将画出”的内切圆的“半径”。

右脑歌：两角平分线交点，圆规铁尖定此间，粉笔随站一切点，旋转一圈内切圆。

6、内心的定义与性质：三角形的任意两个内角平分线的“交点”，是其“内切圆”的圆心，所以三角形三条角平分线的交点不叫“角心”，该叫“内心”。三角形的内心到三角形三条边的距离相等，你可以说这是因为“三个点线距”都代表内切圆的半径，也可以“更原味”地说，那是因为这“三个距离”必须要遵循“角平分线”的性质。

十一、弧长公式、扇形面积公式

1、设某弧的长度为L，它所在圆的半径为R ，它所对的圆心角为n度，则

由L ：2πR = n ：360 可得：L = nπR / 180 ；

2、设某扇形的面积为S ，它所在圆的半径为R ，扇形的圆心角为n度，则

由S ：πR2 = n ：360 可得：S = nπR2 / 360 ；

3、综合1、2可得：S = 1/2（LR），右脑记忆：扇形好似三角形，面积底高半好记，半径作高弧作底，弧底糊涂将就行。

4、解题技巧

求弧长L ，可选择公式1、3，因为里面有“L”的身影。

求扇形面积S ，可选择公式2、3，

若涉及到圆心角n ，可考虑公式2；

若涉及到弧长L ，可考虑公式3。

十二、圆的计算、证明题，常用技巧

1、圆里面，经常借助“半径”相等构造“等腰三角形”，然后考虑“等边对等角”或“三线合一”。

2、同圆或等圆中，有“等弧”、“等弦”、“等弦心距”、“等圆心角”、“等圆周角”中的“五分之一”出现时，一般要考虑这“五者”的结伴推导关系。

3、有“过圆心”的直线“垂直于”弦，要善于考虑“垂径”定理。

4、有“弦中点”、或“弧中点”出现时，可以考虑连接“圆心”与“这类中点”，然后去尝试使用“垂径定理”的“推论”；有“弧中点”时，还要关注“半弧所对圆心角”等于“满弧所对圆周角”，这点“也许”有用，因为“角相等”可以为证明“全等、相似、或推导其它角相等”服务。

5、“垂径定理”及其“推论”，往往涉及到“半径”、“半弦”、“弓形高”、“弦心距”这四者的“勾股关系”和“合成半径关系”。

6、思考“圆心角”或“圆周角”，往往要按照“角——弧——角”的思路来“观察”。

7、当已知条件出现“直径”时，往往要构造直径“所对的圆周角”，再考虑可否利用“这个圆周角是直角”来解题。倘若直径还恰巧“垂直于某弦”，那么我们可主动去构造“直径所对的圆周角”，这样便会呈现出“R t⊿的大套图”，于是可以考虑“射影定理”对解题“是否”有帮助。

8、有“四点共圆”时，可以“尝试”使用“两组对角都互补”，或“外角等于内对角”的性质；（这是“四点共圆”的性质）！！！

9、若“同一条线段（一条船）”在它的“同侧”所对的两个角（帆尖角）“相等”，则此图可认定为“双帆图”模型，由此可判定这个“双帆图”所涉及的四个点（船的首、尾端点，还有两个帆尖点）绝对四点共圆，接着便可以在“心象”中想象出这个“辅助圆”，而后可以利用“同弧所对的圆周角相等”得出“另外三条船”的帆尖角两两相等（这是先判定“四点共圆”，再使用其性质）！！！

10、偶遇两圆“相交”时，一般要作“公共弦”，然后关注一下是否有“四点共圆”的结构。

11、偶遇两圆“相切”时，一般要作“公切线”，然后关注一下可否利用“弦切角”推导出“新的相等角”。

12、当已知条件出现“圆的切线”时，要考虑连接“圆心”和“切点”，然后使用“圆的切线天生下来就专门垂直过切点的半径”，看看这一发现“能否”对解题有帮助。

13、要证明一条直线是“圆的切线”，有两类方法：一、若已经明确直线通过了圆上某点，则“连半径，证垂直”；二、若不清楚直线“是否”通过圆上某点，则“作垂直，证半径”。

14、遇到“双切线图形”，要善于连接“圆心与切点”，也要善于连接“圆外那点”与“圆心”，考虑好“平分两切线夹角”，“平分两切点连线”，“五点共线”等经验“是否”对解题有帮助。

15、不论是“圆外切”正多边形，还是“圆内切”正多边形，都要抓好“半中心角”、“边心距”、“半边长”这三个“领衔主演”，用好它们的“勾股关系”和“三角函数关系”。

圆的有关辅助线口诀

（摘自网络）

半径弦长要计算，弦心距来中间站；

弧弦中点圆心连，垂径定理要记全；

有了直径看半圆，想要直角径连弦；

圆周角边两条弦，直径与弦端点连；

圆上一旦有切线，圆心切点半径连；

想要证明是切线，半径垂线仔细辨；

想作三角外接圆，先作两边中垂线；

还想作个内切圆，两角平分定交点；

遇到相交的两圆，不要忘作公共弦，

若遇相切的二圆，迅速作出公切线，

两者都添连心线，与圆相交得切点。

真诚建议

有关“求线段长度”，或“找线段关系”的题目，要考虑：一勾股、二相似、三角函数要重视。勾股易解则勾股，勾股难解则回避，考虑列出比例式，怪物异物自退去。什么意思？答：若用勾股定理，所列方程或方程组容易解出，则自然可选勾股定理抓分。倘若利用勾股定理，却列出了“不会解或难解”的“高次”方程、或“高次”方

程组，则要设法回避使用“勾股定理”，届时可以考虑利用“射影比例式”，或“相似比例式”，或“平行比例式”，或“三角比例式”，看看“能否”回避这些“高次数异物”，或“庞系数怪物”。若还是无法回避，则说明还有“特殊的几何关系”没有被我们发现，或还有“特别的几何方法”没有被我们觉察，届时应该放弃，还是坚守，请君依据“抓、弃、挤、猜、qian”的五字诀原则自行定夺。考场上，千万不要与“异物和怪物”死磕、纠缠，因为你花费不起“那珍贵的120”。请记住，花时间去抓取分数，远胜于花时间去寻找解法。考场上请处理好“有效时间”、“博弈时间”、“无效时间”的关系。

2016年3月

初中数学圆练习题大全

初中数学圆练习题大全 （一） 一. 填空 1.在半径为10cm的⊙O中，弦AB长为10cm,则O点到弦AB的距离是______cm． 3.圆外切等腰梯形的周长为20cm，则它的腰长为______cm. 4.AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD=4cm,,BD=9cm,则CD=______cm,BC=______cm. 5.若扇形半径为4cm，面积为8cm，则它的弧长为______cm. 6.如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，若圆O的半径为6，OP=10， 则△PDE的周长为______. 7.如图，PA=AB，PC=2，PO=5，则PA=______. 8.斜边为AB的直角三角形顶点的轨迹是______. 9.若两圆有且仅有一条公切线，则两圆的位置关系是______. 10.若正六边形的周长是24cm,它的外接圆半径是______，内切圆半径是 ______. 二. 选择题 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请你将正确答案前 的字母填在括号内． 1.两圆半径分别为2和3，两圆相切则圆心距一定为[ ] A.1cm B.5cm C.1cm或6cm D.1cm或5cm 2.弦切角的度数是30°，则所夹弧所对的圆心角的度数是 [ ] A.30° B.15° C.60° D.45° 3.在两圆中，分别各有一弦，若它们的弦心距相等，则这两弦 [ ] A.相等 B.不相等 C.大小不能确定 D.由圆的大小确定 ∠PAD= [ ] A.10° B.15° C.30° D.25° 5.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，AC是⊙O的直径，连接AB、BC、OP，则 与∠APO相等的角的个数是 [ ] A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.两圆外切，半径分别为6、2，则这两圆的两条外公切线的夹角的度数是 [ ] A.30° B.60° C.90° D.120° 7.正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是 [ ] A.60° B.120° C.60或120 D.30°或150°

圆基础练习题

《 圆》基础练习题 一.选择题 1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有………………（） （A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个 2．下列判断中正确的是………………………………………………………………（） （A ）平分弦的直线垂直于弦（B ）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 （C ）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（D ）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB ＝∠A ′OB ′＝60°，则………………（） （A ）＝（B ）＞ （C ）的度数＝的度数 （D ）的长度＝的长度 的度4．如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ， 的度数为60°，数为100°，则∠AEC 等于………………………………………………………………………（） （A ）60°（B ）100°（C ）80°（D ）130° 5．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2︰3︰6，则∠D 的度数是（） （A ）67.5°（B ）135°（C ）112.5°（D ）110° 6．OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任一点，C 不与点O 重合，且以P 为圆心的圆与OC 相离，那么圆P 与 OB 的位置关系是………………………………………………（） （A ）相离（B ）相切（C ）相交（D ）不确定 7．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（） （A ）21（a ＋b ＋c ）r （B ）2（a ＋b ＋c ）（C ）3 1（a ＋b ＋c ）r （D ）（a ＋b ＋c ）r 8．如图，已知四边形ABCD 为圆内接四边形，AD 为圆的直径，直线MN 切圆于点B ，DC 的延长线交MN 于G ，且cos ∠ABM ＝ 23，则tan ∠BCG 的值为……（） （A ）33（B ）2 3（C ）1（D ）3 9．在⊙O 中，弦AB 和CD 相交于点P ，若PA ＝3，PB ＝4，CD ＝9，则以PC 、 PD 的长为根的一元二次方程为…………………………………………………………（） （A ）x 2＋9x ＋12＝0（B ）x 2－9x ＋12＝0（C ）x 2＋7x ＋9＝0（D ）x 2－7x ＋9＝0 10．已知半径分别为r 和2r 的两圆相交，则这两圆的圆心距d 的取值范围是………（） （A ）0＜d ＜3r （B ）r ＜d ＜3r （C ）r ≤d ＜3r （D ）r ≤d ≤3r 二．填空题 11．某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____． 12．如图，已知AB 为⊙O 的直径，∠E ＝20°，∠DBC ＝50°，则∠CBE ＝______．

九年级圆基础知识点--(圆讲义)

一对一授课教案 学员姓名：何锦莹年级：9 所授科目：数学 一、圆的定义： 1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随 之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径． 2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O ⊙”，读作“圆O”． 3 同圆、同心圆、等圆： 圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆. 注意：同圆或等圆的半径相等． 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB． 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心 角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．

初中圆基础训练2含答案

圆基础训练2 一．选择题（共30小题） 1．如图，已知⊙O的半径为6，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB 与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（） A．6B．8C．3D．6 2．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，△ABC的内切圆⊙O切AC于D，过点D作BC 的垂线交BC于E，设AD＝a，CD＝b，则△DEC的面积为（） A．B． C．D． 3．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝50°，则∠APB的度数为（） A．100°B．50°C．40°D．25° 4．如图，一把直角三角板的顶点A、B在⊙O上，边BC、AC与⊙O交于点D、E，已知∠C＝30°，∠AED的大小为（）

A．90°B．100°C．110°D．120° 5．如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠CBD＝55°，则∠AOC 的度数为（） A．100°B．105°C．110°D．125° 6．已知⊙O的直径为8，点P在直线l上，且OP＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交7．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数是（） A．40°B．50°C．60°D．90° 8．如果一个扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的，那么它的面积（）A．与原来一样B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的D．缩小为原来的 9．已知一个扇形的半径为6，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（）A．30°B．60°C．90°D．120° 10．如图，⊙O的弦CD与直径AB交于点P，PB＝1cm，AP＝5cm，∠APC＝30°，则弦CD的长为（）

圆的练习题

圆 1、圆的认识 【知识要点】：圆心、半径、直径；同一圆内半径、直径的关系；画圆。 【课内检测】： 1、填写表格： 2、选择填空： （）决定圆的位置，（）决定圆的大小。（A、圆心；B、半径） 3、在下面左边的圆中画出半径、直径，标上相应的字母，再量一量、填一填。 r＝（）厘米 d＝（）厘米 A 4、以上面右边的A点为圆心，画一个直径2厘米的圆。 【课外练习】： 1、判断：①直径8厘米的圆比半径5厘米的圆大。（） ②通过圆心，两端都在圆上的线段叫做半径。（） 2、填空：在同一圆内，半径与直径都有（）条，半径的长度是直径的（），直径与半径的长度比是（）。 3、想方法，找出右边圆的圆心。 （可以查阅资料，也可以请教家长或者老师， 把你知道的方法介绍给其他同学。） 2、圆的周长和面积 练习一 【知识要点】：圆的周长、圆周率、圆的周长计算公式

【课内检测】： 1、判断：直径越大，圆周率越大，直径越小，圆周率越小。（） 2、填空：①一个圆的直径是10厘米，它的周长是（）厘米； ②一个圆的半径是2分米，它的周长是（）分米； 3、计算下面各圆的周长。（单位：分米） 【课外练习】： 1、圆的周长与这个圆的直径的比是（）。 2、圆的半径扩大3倍，直径就扩大（）倍，周长就扩大（）倍。 3、用篱笆围一个半径4米的圆形鸡圈，需要篱笆多少米？ 4、学校有一个圆形花坛，直径5米，这个花坛的周长是多少米？ ☆5、将一个直径2厘米的圆形纸片对折，得到一个半圆形（如下图），求这个半圆的周长。 练习二 【知识要点】：圆的周长公式综合运用 【课内检测】： 1

2、①已知：C＝21.96厘米，求：d？②已知：C＝125.6厘米，求：r ？ 3、大酒店门前有一根圆形柱子，量得它的周长是31.4分米，这根柱子的直径是多少分米？ 【课外练习】： 1、圆的半径与这个圆的周长的比是（）。 2、小圆的半径是2厘米，大圆的直径是8厘米，小圆与大圆的周长比是（）。 3、小明家的圆桌面的周长是376.8厘米，这个圆桌面的直径是多少厘米？ ☆☆4、如下图所示，一个圆的周长是15.7厘米，求长方形的面积。 ☆☆☆5、如下图所示，两个小圆的周长之和与大圆的周长相比，谁长一些？请说明理由。 练习三 【知识要点】：圆的周长公式综合练习 1、口算： 3.14×2＝ 3.14×3＝ 3.14×4＝ 3.14×5＝ 3.14×6＝ 3.14×7＝ 3.14×8＝ 3.14×9＝ 3.14×2.7＝3.14×2＋3.14×0.7＝（）＋（）＝（） 2、判断：①在同一圆中，圆的周长总是直径的3倍多一些。（） ②∏＝3.14。（） ③在同一圆中，半径、直径、周长的比是1：2：∏。（） 3、①r ＝4.5厘米，求：C？②已知：C＝15.7厘米，求：d ？

六年级上册圆的基础知识和练习

六年级上册圆的基础知识和练习 一、圆的知识梳理 1、圆是由一条_________ 围成的平面图形。（以前所学的图形如长方形、梯形等 都是由几条____ 围成的平面图形）（曲线、直线、线段） 2、画圆时，针尖固定的一点是 __ ,通常用字母_表示； 连接圆心和圆上任意一点的线段是 ______ ，通常用字母___ 表示； 通过圆心并且两端都在圆上的线段是 ______ ，通常用字母___ 表示。 在同一个圆里，有___ 条半径和直径。 在同一个圆里,所有半径的长度都_____ ，所有直径的长度都 __ 。（必须有的前提是____________ ） 3、用圆规画圆时,针尖是圆的_______ ，两脚间的距离是圆的 ____ 。 4、在同一个圆里,半径是直径的______ ,直径是半径的_____ 。（d=, ____ r = ____ ） 5、圆是___ 图形，有 __ 条对称轴，对称轴就是直径所在的_____ 。 6圆心决定圆的 ____ ，半径决定圆的__ 。要比较两圆的大小，就是比较两个圆的____ 或 _____ 。 7、正方形里最大的圆。两者联系：边长二_____ ;圆的面积=78.5%正方形的面 积 画法：（1）以 _________ 为圆心，以___ 为直径画圆。 8、长方形里最大的圆。两者联系：宽二 画法：（1）画以 ________ 为圆心，以____ 为直径画圆。 9、同一个圆内的所有线段中,圆的_____ 是最长的。 10、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的______ 。每分前进米数（速度）= x ___ 11、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数,我们把它叫做______ 。用字母—表示。n是一个________________ 小数。我们在 计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。n—3.14（大于、小于或等

圆的综合练习题及答案

圆的综合练习题及答案公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

圆的综合练习题答案 1.如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B . （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长. （1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°. ∴ ∠EAB +∠E =90°. ∵ ∠E =∠C , ∠C =∠BAD ， ∴ ∠EAB +∠BAD =90°. ∴ AD 是⊙O 的切线. ……………………2分 （2）解：由（1）可知∠ABE =90°. ∵ AE =2AO =6, AB =4, ∴ 5222=-=AB AE BE . …………………………………………………3分 ∵ ∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB , ∴ .cos cos E BAD ∠=∠ …………………………………………………4分 ∴ . AE BE AD AB = ∴ 5 5 12=AD . (5) 分 2.已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA＝∠AOE，交 AB 的延长线于点D. （1）求证：FD 是⊙O 的切线； （2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O

半径的长； 证明：（1）连接OC （如图①）， ∵O A ＝OC ，∴∠1＝∠A. ∵OE ⊥AC ，∴∠A ＋∠AOE ＝90°. ∴∠1＋∠AOE ＝90°. 又∠FCA ＝∠AOE ， 图① ∴∠1＋∠FCA ＝90°. 即∠OCF ＝90°. ∴FD 是⊙O 的切 线. ……………………………………………………2分 （2）连接BC （如图②）， ∵OE ⊥AC ，∴AE ＝EC. 又AO ＝OB ， ∴OE ∥B C 且BC OE 2 1=.……………3分 ∴△OEG ∽△CBG. 图② ∴ 2 1 ==CB OE CG OG . ∵OG ＝2，∴CG ＝4. ∴OC ＝ 6. ………………………………………………………………5分 即⊙O 半径是6. 3.如图，以等腰ABC ?中的腰AB 为直径作⊙O ， 交底边 BC 于 点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ． F 1 B D E O A C F G B D E O A C

中考圆练习题及答案

一、选择题(共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。每题3分,共24分)： 1.下列说法正确的是( ) A.垂直于半径的直线是圆的切线 B.经过三点一定可以作圆 C.圆的切线垂直于圆的半径 D.每个三角形都有一个内切圆 2.在同圆或等圆中，如果AB ＝2CD ，则AB 与CD 的关系是( )(A)AB ＞2CD ； (B)AB ＝2CD ；(C)AB ＜2CD ；(D)AB ＝CD ； 3.如图(1),已知PA 切⊙O 于B,OP 交AB 于C,则图中能用字母表示的直角共有 ( ) 个 A.3 B.4 C.5 D.6 P (2) (3)B 4.已知⊙O 的半径为10cm,弦AB ∥CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB 和CD 的距离为 ( ) A.2cm B.14cm C.2cm 或14cm D.10cm 或20cm 5.在半径为6cm 的圆中,长为2πcm 的弧所对的圆周角的度数为( ) A.30° B.100 C.120° D.130° 6.如图(2),已知圆心角∠AOB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是( ) A.80° B.100° C.120° D.130° 7. ⊙O 的半径是20cm,圆心角∠AOB=120°,AB 是⊙O 弦,则AOB S ?等于( ) 2 cm 2 2 2

8.如图(3),半径OA 等于弦AB,过B 作⊙O 的切线BC,取BC=AB,OC 交⊙O 于E,AC 交⊙O 于点D,则BD 和DE 的度数分别为( ) A.15°,15° B.30°,15° C.15°,30° D.30°,30° 9.若两圆半径分别为R 和r(R>r),圆心距为d,且R 2+d 2=r 2+2Rd, 则两圆的位置关系为( ) A.内切 B.内切或外切 C.外切 D.相交 10.圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是( ) A.180° B.200° C.225° D.216° 二、填空题:(每小题4分,共20分)： 11.一条弦把圆分成1∶3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为. 12.如果⊙O 的直径为10cm,弦AB=6cm,那么圆心O 到弦AB 的距离为______cm. 13.在⊙O 中,弦AB 所对的圆周角之间的关系为_________. 14.如图(4), ⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，弦CE ∥AB ，EC 的度数是40°，则∠BOD ＝. 15. 点A 是半径为3 A 的切线 长为__________. 16.⊙O 的半径为6,⊙O 的一条弦AB 长以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是__________. 17.两圆相切,圆心距为10cm,已知其中一圆半径为6cm, 则另一圆半径为____ 18.如果圆弧的度数扩大2倍,半径为原来的32 ,则弧长与原弧长的比为______. 19.如图(5),A 是半径为2的⊙O 外一点,OA=4,AB 是⊙O 的切线,点B 是切点,弦BC ∥OA,连结AC,则图中阴影部分的面积为_________. (5)A A B C D E O

初三数学圆的基础知识小练习

初三数学圆的基础知识小 练习 Prepared on 24 November 2020

圆的基本知识 一、知识点 5、圆与圆的位置关系：（内含、相交、外离） 例3：已知⊙O 1的半径为6厘米，⊙O 2 的半径为8厘米，圆心距为d， 则：R+r=，R－r=； （1）当d=14厘米时，因为dR+r，则⊙O1和⊙O2位置关系是： （2）当d=2厘米时，因为dR－r，则⊙O1和⊙O2位置关系是： （3）当d=15厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是： （4）当d=7厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是： （5）当d=1厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是： 6、切线性质： 例4：（1）如图，PA是⊙O的切线，点A是切点，则∠PAO=度（2）如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B是切点， 则=，∠=∠； 7、圆中的有关计算 （1）弧长的计算公式： 例5：若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的弧长是多少 解：因为扇形的弧长=() 180 所以l=() 180 =(答案保留π) （2）扇形的面积： 例6：①若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的面积为多少

解：因为扇形的面积S= () 360 所以S= () 360 =(答案保留π) ②若扇形的弧长为12πcm ，半径为6㎝，则这个扇形的面积是多少 解：因为扇形的面积S= 所以S== （3）圆锥： 例7：圆锥的母线长为5cm ，半径为4cm ，则圆锥的侧面积是多少 解：∵圆锥的侧面展开图是形，展开图的弧长等于 ∴圆锥的侧面积= 知识点 1、与圆有关的角——圆心角、圆周角 （1）图中的圆心角；圆周角； （2）如图，已知∠AOB=50度，则∠ACB=度； （3）在上图中，若AB 是圆O 的直径，则∠AOB=度； 2、圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为． （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 如图，∵CD 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于E ∴=，= 3、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆； 例1：已知圆的半径r 等于5厘米，点到圆心的距离为d ， （1）当d =2厘米时，有dr ，点在圆（2）当d =7厘米时，有dr ，点在圆 （3）当d =5厘米时，有dr ，点在圆 4、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点； 三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点；

圆形基础训练题(1)(2)

一．计算题 1. 若一个扇形的圆心角是45°，面积为2л，则这个扇形的半径是多少？ 2. 扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在图面积的多少？ 3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是多少？ 4. 两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M，N．已知大圆半径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的几倍？ 5. 半圆O的直径为6cm，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积是多少？？ 1、用一个半径长为6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为多少？ 2、圆锥的全面积和侧面积之比是3 ：2，这个圆锥的轴截面的顶角是多少度？ 3、已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1∶2，则它们的高之比为多少？ 4. 扇形的弧长是12лcm，其圆心角是90°，则扇形的半径是多少？，扇形的面积是多少？ 5. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是多少度？

1. 已知扇形面积是12cm 2，半径为8cm ，则扇形周长为多少？ 2 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，∠A ＝90°，把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S 1；把Rt △ABC 绕AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S 2，则S 1： S 2为多少？ 3. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm ，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有多少cm ？ 4. 如图，扇形AOB 的圆心角为60°，半径为6cm ，C ，D 分别是的三等分点，则阴影部 分的面积是多少？ 5. 如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴影部分面积为多少？ 1. 如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，以A 为圆心画弧 ，交AB 于点D ，交AC 延长线于点 F ，交BC 于点E ，若图中两个阴影部分的面积相等，求AC 与AF 的长度之比（л取3）。 2、 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是S 1，另一个圆锥的侧面积是S 2，如果圆锥和圆柱等底等高，求． 3. 圆锥的底面半径是R ，母线长是3R ，M 是底面圆周上一点，从点M 拉一根绳子绕圆锥一圈，再回到M 点，求这根绳子的最短长度． 4. 如图，点P 在圆O 外，PA 与圆O 相切于A 点，OP 与圆周相交于C 点，点B 与点A 关于直线PO 对称，已知OA =4，PA =34 。求： （1）∠POA 的度数；（2）弦AB 的长；（3）阴影部分的面积。

初三《圆》基础知识复习专题

《圆》章节知识点复习 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定 长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离 都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r

外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 图1 图2 图4 图5 B D

《圆》基础练习题

初中数学总复习：《圆》基础练习题 （一）选择题（每题2分，共20分） 1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有………………（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 【提示】若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故②不对．【答案】B ． 【点评】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念，其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件． 2．下列判断中正确的是………………………………………………………………（ ） （A ）平分弦的直线垂直于弦（B ）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 （C ）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（D ）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【提示】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧．【答案】C ． 3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB ＝∠A ′OB ′＝60°，则………………（ ） （A ）＝（B ）＞ （C ）的度数＝的度数 （D ）的长度＝的长度 【提示】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等， 而∠AOB ＝∠A ′OB ′，所以的度数＝的度数．【答案】C ． 4．如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ， 的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC 等于………………………………………………………………………（ ） （A ）60° （B ）100° （C ）80° （D ）130° 【提示】连结BC ，则∠AEC ＝∠B ＋∠C ＝2 1×60°＋2 1×100°＝80°． 【答案】C ． 5．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2︰3︰6，则∠D 的度数是（ ） （A ）67.5° （B ）135° （C ）112.5° （D ）110° 【提示】因为圆内接四边形的对角之和为180°，则∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ＝180°．又因为∠A ︰∠B ︰∠C

(完整版)圆的知识点归纳总结大全

圆的知识点归纳总结大全 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： ?平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ?平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

（1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三 个点的距离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 9、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。 则AB=221221)()(y y x x -+- 10、圆的切线判定。 （1）d=r 时，直线是圆的切线。 d = r 直线与圆相切。 d < r （r > d 直线与圆相交。 d > r （r d 点P 在⊙O 内 d > r （r

圆练习题及答案

圆的有关练习题 １．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB＝120°，则弦AB 的长是（ B ）． （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）53 ２．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π） 解：∵弦AB 和半径OC 互相平分∴OC ⊥AB OM=MC=21OC=2 1 OA 在Rt △OAM 中，sinA=2 1 =OA OM ∴∠A=30° 又∵OA=OB ∴∠B=∠A=30° ∴∠AOB=120° ∴S 扇形＝ 3 3601120π π=?? ３．如图，△ABC 内接于⊙O，AB ＝6,AC ＝4,D 是AB 边上一点，P 是优弧BAC 的中点，连结PA 、PB 、PC 、PD. (1)当BD 的长度为多少时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形？并证明； （2）若cos∠PCB= 5 5 ，求PA 的长. 解：（1）当BD ＝AC ＝4时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形 ∵P 是优弧BAC 的中点 ∴弧PB ＝弧PC ∴PB＝PC∵BD＝AC ＝4 ∠PBD=∠PCA ∴△PBD≌△PCA ∴PA=PD 即△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形 （2）由（1）可知，当BD ＝4时，PD ＝PA ，AD ＝AB-BD ＝6-4＝2 过点P 作PE ⊥AD 于E ，则AE ＝ 2 1 AD=1∵∠PCB=∠PAD ∴cos ∠PAD=cos ∠PCB=55=PA AE ∴PA=5 4、如图2，已知BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ，若∠AOD=60°，则∠DBC 的度数为（ A ）A.30° B.40° C.50° D.60° 5．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，若AB=10，CD=8，则线段OE 的长为 3 .

圆的基础知识

24.1《圆》教学设计 一、教学目标 知识技能: 1．了解圆和圆的相关概念,知道圆实轴对称图形,理解并掌握垂直于弦的直径有哪些性质. 2．了解弧、弦、圆心角、圆周角的定义，明确它们之间的联系. 数学思考: 1．在引入圆的定义过程中，明确与圆相关的定义，体会数学概念间的联系. 2．在探究弧、弦、圆心角、圆周角之间的联系的过程中，培养学生的观察、总结及概括能力. 问题解决: 1．在明确垂直于弦的直径的性质后，能根据这个性质解决一些简单的实际问题.2．能根据弧、弦、圆心角、圆周角的相关性质解决一些简单的实际问题. 情感态度：在引入圆的定义及运用相关性质解决实际问题的过程中，感悟数学源于生活又服务于生活.在探索过程中，形成实事求是的态度和勇于创新的精神. 二、重难点分析 教学重点：垂径定理及其推论；圆周角定理及其推论． 垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据；圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等等问题提供了十分简便的方法．所以垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论是本小节的重点． 对于垂径定理，可以结合圆的轴对称性和等腰三角形的轴对称性，引导学生去发现“思考”栏目图中相等的线段和弧，再利用叠合法推证出垂径定理．对于垂径定理的推论，可以按条件画出图形，让学生观察、思考，得出结论．要注意让学生区分它们的题设和结论，强调“弦不是直径”的条件． 圆周角定理的证明，分三种情况进行讨论．第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．这种由特殊到一般的思想方法，应当让学生掌握． 教学难点：垂径定理及其推论；圆周角定理的证明． 垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆，圆周角定理的证明要用到完全归纳法，学生对于分类证明的必要性不易理解，所以这两部分内容是本节的难点．圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识. 三、学习者学习特征分析 圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识. 四、教学过程 （一）创设情境，引入新课 圆是一种和谐、美丽的图形，圆形物体在生活中随处可见.在小学我们已经认识了圆这种基本的几何图形，并能计算圆的周长和面积. 早在战国时期，《墨经》一书中就有关于“圆”的记载，原文为“圆，一中同长也”.这是给圆下的定义，意思是说圆上各点到圆心的距离都等于半径.

圆的练习题(含答案)

圆的练习题 一．选择题 1．⊙O是△ABC的外接圆，直线EF切⊙O于点A，若∠BAF=40°，则∠C等于( ) A、20° B、40° C、50° D、80° 2．如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，P A切⊙O于点A，如果P A＝，PB＝1，那么∠APC等于() 3．某工件形状如图所示，圆弧BC的度数为，AB＝6厘米，点B到点C的距离等于AB，∠BAC＝，则工件的面积等于() (A)4π(B)6π(C)8π(D)10π 4．下列语句中正确的是() (1)相等的圆心角所对的弧相等； (2)平分弦的直径垂直于弦； (3)长度相等的两条弧是等弧； (4)经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 5．如图，两个等圆⊙O和⊙的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于() (A)(B)(C)(D) 6．如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和是() (A)π(B)1.5π(C)2π(D)2.5π 7.在Rt△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，∠A＝．如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S，那么S∶S() (A)2∶3(B)3∶4(C)4∶9(D)5∶12

8．圆锥的母线长为13cm,底面半径为5cm,则此圆锥的高线长为() A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm 9．已知⊙O1和⊙O2相外切，它们的半径分别是1厘米和3厘米．那么半径是4厘米，且和⊙O1、⊙O2都相切的圆共有() (A)1个(B)2个(C)5个(D)6个 10．已知圆的半径为6.5厘米，如果一条直线和圆心距离为6.5厘米，那么这条直线和这个圆的位置关系是() (A)相交(B)相切(C)相离(D)相交或相离 二．填空题 1．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P，CD＝10cm，AP︰PB＝1︰5．则：⊙O的半径为。 2．如图，⊙O1，⊙O2交于两点，点O1在⊙O2上，两圆的连心线交⊙O1于E，D，交⊙O2于F，交AB于点C。请你根据图中所给出的条件(不再标注其它字母，不再添加任何辅助线)，写出两个线段之间的关系式：(1) ；(2) ；(半径相等除外) 3．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，P为垂足，AB=8cm，PD=2cm则CP=______cm。4．两圆半径分别为5厘米和3厘米，如果圆心距为3厘米，那么两圆位置关系是_______。5．相交两圆的公共弦长为6，两圆的半径分别为3、5，则这两圆的圆心距等于_____。6．正六边形的半径为2厘米，那么它的周长为()厘米。 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C为圆心，CA为半径的圆并AB 于D，则的度数是_________。 8．如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P的所有弦中，长度为整数的弦一共有。 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝，则∠BCD＝。 10．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为。 三、如图，制作铁皮桶，需在一块三角形余料上截取一个面各最大的圆，请画出该圆。 四．计算与证明 1．如图所示，某部队的灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km内的水域为危险区域，有一渔船误入离A点2km的A处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条射线方向航行？

初中圆的练习题及答案

初中圆的练习题及答案 A.垂直于半径的直线是圆的切线 B.经过三点一定可以作圆 C.圆的切线垂直于圆的半径 D.每个三角形都有一个内切圆 ?D ，则AB与CD的关系是 AB＝2C2.在同圆或等圆中，如果? AB＞2CD； AB＝2CD； AB＜2CD； AB＝CD； 3.如图,已知PA切⊙O于B,OP交AB于C,则图中能用字母表示的直角共有个 A.B.C.D.6 P B 4.已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB和CD的距离为A.2cmB.14cmC.2cm或14cmD.10cm或20cm.在半径为6cm的圆中,长为2?cm的弧所对的圆周角的度数为 A.30° B.100 C.120° D.130° 6.如图,已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是 A.80°B.100° C.120° D.130°. ⊙O的半径是20cm,圆心角∠AOB=120°,AB是⊙O弦,则S

?AOB等于 2 2 2 2 ?D和D?E8.如图,半径OA等于弦AB,过B作⊙O的切线BC,取BC=AB,OC交⊙O于E,AC 交⊙O于点D,则B 的度数分别为 A.15°,15° B.30°,15° C.15°,30° D.30°,30° 222 9.若两圆半径分别为R和r,圆心距为d,且R+d=r+2Rd, 则两圆的位置关系为 A.内切 B.内切或外切 C.外切 D.相交 10.圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是 A.180° B.200° C.225° D.216° 二、填空题:： 11.一条弦把圆分成1∶3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为. 12.如果⊙O的直径为10cm,弦AB=6cm,那么圆心O到弦AB的距离为______cm. 13.在⊙O中,弦AB所对的圆周角之间的关系为_________. ?C的度数是40°，则∠BOD＝. 14.如图, ⊙O中，AB、CD是两条直径，弦CE∥AB，E

椭圆基础训练题(含答案提示)

椭圆基础训练题 1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ） （A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9 x 2＋25y 2 ＝1 2．椭圆5x 2 ＋4 y 2＝1的两条准线间的距离是（ ） （A ）52 （B ）10 （C ）15 （D ）3 50 3．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ） （A ）21（B ）22（C ）23（D ）3 3 4．椭圆25x 2＋9y 2＝1上有一点P ，它到右准线的距离是4 9 ，那么P 点到左准线的距离 是（ ）。 （A ）5 9 （B ） 516 （C ）441 （D ）5 41 5．已知椭圆x 2＋2y 2＝m ，则下列与m 无关的是（ ） （A ）焦点坐标 （B ）准线方程 （C ）焦距 （D ）离心率 6．椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是2 3 ，则它的长半轴的长是（ ） （A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）2 1或1 7．椭圆的中心为O ，左焦点为F 1，P 是椭圆上一点，已知△PF 1O 为正三角形，则P 点到右准线的距离与长半轴的长之比是（ ） （A ）3－1 （B ）3－3 （C ）3 （D ）1 8．若椭圆m y 12m 3x 22 -+=1的准线平行于y 轴，则m 的取值范围是 。 9．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是 。 10. 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x －y －4=0被此椭圆所截得的弦长为3 5 4，求此椭圆的方程。