高三解析几何专题复习
瑞安中学吴直爽
平面解析几何的基本思想是用坐标方法研究几何图形性质。通过合理地建立坐标系,把点和坐标、曲线和方程等联系起来,达到了形和数的结合;同时平面向量具有代数与几何形式的双重身份,它融数、形于一体,已成为中学数学知识的一个重要交汇点,平面向量与解几交汇自然贴身,一脉相承,是新课程高考命题的必然趋势。
一、明确考试要求,把握试题特点。
1、高考要求(略)
2、试题特点:
综观近几年的新课程卷,试卷中解几分值占20%,选择题、填空题2~3题,主要考查圆锥曲线的标准方程及简单几何性质等三基内容,解答题则综合考查学生的“四大能力”,题型围绕解几的两大基本问题——求轨迹方程和研究曲线性质进行命制,或两者综合考查只是常把求轨迹隐藏于性质研究中,如全国97年、2002年、2003年等。近几年还融入向量刻画的背景,其实质是对直线与圆锥曲线的性质作进一步的深入探究,是代数、向量、三角、几何知识的综合应用。试题对解几内容的考查主要体现了函数与方程,等价转化、数形结合等重要数学思想。分析试题总特点“重基础、重素养、重能力”。
二、复习的想法
1、从思想方法高度重新认识基本概念、公式。
数学概念是数学知识的主体,是揭示数学规律的基本单元,在解几教学与复习中,必须透彻理解概念,把握概念、公式所反映的数学本质,这是掌握基本知识、技能、思想方法的前提。例如解几中两点间距离、点线距离、三点共钱、四点共圆、直线平行、垂直、直线的斜率、直线的夹角、线段的比、图形的轴对称性,中心对称性等等问题都会是解几中要研究的对象,对此我们首先必须深刻体会教材中是如何用代数形式来实现这些重要几何概念、几何位置关系的。在今后综合问题中遇见这些几何表述时是否能熟练转化为代数形式来处理。再如解几中还常会遇见两点A、B关于直线L对称和直线与圆锥曲线位置的判定等几何问题。这些几何问题放在坐标系中是如何通过曲线与方程概念得到转化的。用解几的基本思想高度认识问题,可以大大提高分析转化问题的能力。如:
判别式位置
直线(几何)转化直线方程消y px2求根公式交点
圆锥曲线曲线方程韦达定理弦长、弦中点等
点A、B关于直线L对称(几何)转化(代数)AB中点坐标满足直线L的方程
K AB·K L=-1
另外坐标系中的几何对象、点的坐标、线段的长、直线的斜率、三点共线、直线的平行与垂直、直线的夹角、线段的比等,转化为向量形式又各是如何刻划,也需熟悉并进行一一总结。因向量方法可以其独特的解题方式给解题提供一种新的思维视角,使相应的数学工具和教学语言更加丰富、应用形式更加灵活、多样,与解几融合将能考查学生多方面的能力与水平。
2、重视曲线与方程的复习
围绕解几两大基本问题,通过一些典型问题的剖析、逐渐形成一些方法系统,同时,能熟悉这些方法的应用情境,使学生对常见的基础问题始终“有规可循、有法可依”这是学生突破解几问题的关键,不管问题背景如何综合新颖、设问如何巧妙,用解几基本思想方法,进行联想总是,可以实现有效转化的。
(一)求曲线的方程:
分为两类问题:一类是知曲线的形状求标准方程,通常用待定系数法,体现方程思想,此法学生较为熟悉,另一类是不知曲线形状位置求动点的轨迹方程,常见的求法有:直译法、定义法、几何法、转移法、点差法(05年上海春)、交轨法(03年)、参数法(99年)、对称曲线求法等。我想第二轮复习可重点放在定义法、点差法、参数法的强化训练上。如有些轨迹题借条件可用定义判断形状,但学生总是掌握不好,特别是双曲线定义(比如一模解几题)。而对参数法求轨迹方程更是难点,这里是否选择参数法去解、选择什么参数,如何消参及变量范围等等都需要较强分析问题能力,建议举些可多角度选择不同参数形式的典型问题去熟悉参数,总结常见的参数选择:如选择①点参数(普通点、参数点),②直线的斜率k ,截距b ,倾斜角、直线参数方程中t ,③角(旋转角),④线段的比入等等参数来沟通动点p (x 、y )的坐标。以下我总结的这些问题及解法,学生应该有一定熟悉程度。老师可以总结归纳得更多。
1、已知⊙A :(x-2)2+y 2=1 ⊙B :(x-2)2+y 2=4,分别求满足下列条件的点P (x 、y )的轨迹方程。
①△APB 周长为10,②△PAB 中SinA-SinB=12
sinP ③⊙P 与OA 相外切且过定点B (2,0) ④⊙P 与⊙A 外切且与直线L :x=L 相切 ⑤⊙P 与⊙A 、⊙B 都相切
2、已知A(1,0 ) B(1,0),分别求动点P 满足下列条件的轨迹方程并指出轨迹形状:
①K PA k PB =m ②|PA||PB|
=m (m >0) ③∠PBA=2∠PAB ④∠APB=45° ⑤|PA|2±|PB|2=m ⑥|PA|±|PB|=2m ⑦||PA|-1|=||PB|-3|| ⑧△PAB 中PA 边上的中线长为m 。
3、在圆O :x 2+y 2=r 2中过轴上点M 作MN//X 轴,交圆O 于N ,⊙O 与X 轴正半轴交于A 点,求线段AM 与ON 交点P 的轨迹方程
解一:考虑到点P 位置随着点M 在轴上位置的变化而变化,故可选点M 的纵坐标t 为参数,动点P (x,y )
解二:N 点在圆x 2+y 2=r 2上可设圆心角∠AON=θ为参数则N
(rcos θ,rsin θ)
解三:可设直线ON 的斜率k 为参数
解四:注意到点P 位置随平行线MN 的变化,即随|NP||PO| =|MP||PB|
=λ的变而变,可选λ为参数,设P (x ,y ),N (x 0,y 0)
(二)研究曲线性质的常见问题和方法
根据曲线的方程研究曲线的性质是解几的另一个基本问题,也是各类考题中的热点问题之
一。研究曲线性质问题常见有:直线与圆锥曲线的位置关系,有关点的范围、线段长(弦长、点线距等)、直线的斜率K 、倾斜角、截距,角、线段的比,图形面积及与圆锥曲线有关的重要基本量e 、a 、b 、c 等对象的范围,最大小值,定值等。求解的策略:(1)定义法与几何法(2)函数、方程、不等式法。前者常运用曲线的定义和几何性质,再进行代数运算,而且对题目条件和结论能明显体现几何特征的意义,则考虑用图形性质、定义等来简捷求解,例如椭圆、双曲线、抛物线的定义有着明显的几何意义,它们与“线段的长”(焦半径、长轴、焦距等)及“线段的比值”(定点、定直线、比值)等有着十分紧密的关系,应善于运用定义法或几何方法求解,它侧重从形的角度去研究曲线性质。第二轮仍要总结归纳熟悉一些常见问题求解。后者常直接转化为代数形式,并尽量运用减少计算量的运算技巧(如韦达定理、点差法等)来求解,此法从“数”的角度去研究曲线的性质,这恰恰是解几的最基本的,也是最重要的思想方法。
例1:关于一些常见最值问题求解及策略
1、已知两点A (-2,2),B (-3,-1),试在直线L:2x-y-1=0上分别求出符合下列条件的点P :
①使|PA|+|PB|为最小 ②使|PA|-|PB|为最大 ③使|PA|2+|PB|2为最小 ④使∠APB 为最大
2、已知实数x,y 满足x 2+(y-1)2=1,分别求最大、小值:
①求(x+2)2+(y+1)2 ②x+y ③|2x-y-3| ④y+1x+2
⑤使x+y+m ≥0恒成立的m 范围
3、求圆锥曲线上的动点与
(i )某定点距离的最值(90年解几题) (i i )定直线距离的最值(97年)(i i i )某定圆上点的距离的最值
4、已知定点A (x 0,y 0),椭圆x 2a 2 +y 2
b 2 =1, F 为椭圆的一个焦点,试在椭圆上找一点P ①使|PA|+|PF|e
最小值 ②使|PA|+|PF|值最大、最小。类比双曲线,抛物线能否构造类似命题?
5、圆锥曲线中定长弦中点到准线距离最小值问题。
6、在圆锥曲线的内部求出一个半径最大的圆,使与曲线相切其中一个顶点。
7、与圆锥曲线性质有关的量最值问题,角的最值,围成多边形面积最值等。
例2、解几中重要参变量取值范围问题的求解方法。
此类题综合性强,且确定参变量取值范围的不等量关系也较为隐蔽,因而给解题带来诸多困难,第二轮复习有必要通过典型问题总结和归纳如何寻找和挖掘不等量关系的一些方法,突破这一难点:下面是一个老题,此题解法角度较多有一定代表性,同时也可展开研究性复习。
例1、 已知椭圆C :x 2a 2 +y 2
b 2 =1(a >b >0)的两焦点为F 1,F 2,如果曲线C 上存在点P ,使120PF PF ?=,求椭圆离心率e 的变化范围
解一:根据圆锥曲线的变化范围,建立含参数不等式:
令Q(x 0,y 0)( y 0≠0)……可得 x 0=2c 2-a 2e 2 ∵| x 0|<a ∴ 0≤2e 2-a 2e 2 <a 求得22
≤e <1 解二:选参数点利用弦函数有界性建立不等式,设由垂直关系建立e 与sin 2θ关系 得 sin 2
θ=1e 2 -1 ∴0<1e
2 -1≤1 解三:利用圆锥曲线的定义与几何性质 |PF 1|=r 1,|P F 2|= r 2
r 12+r 22=4c 2 r 1 + r 2=2a r 1 ,r 2是方程t 2-2at+ a 2- c 2=0两实根
r 1 + r 2=2a r 1 r 2=2(a 2- c 2) ∴Δ=4 a 2-8(a 2- c 2)≥0求得
或:用基本不等式r 12+r 222 ≥(r 1+r 22
)2构造不等关系。 解三:利用曲线交点特征(方程组解有实数解)建立不等关系
由 x 2+y 2=4c 2 有实数解得 (b 2-a 2)x 2=a 2b 2-a 2c 2 (a >b) 有实数解
b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2
∴ a 2b 2-a 2c 2 ≤0 求得
解四:几何法
可知∠F 1PF 2φ为最大角φ 且须有∠F 1PF 2=φ≥π2 ∴ π2 >φ2 ≥φ4
>0 ∴ e=c a =sin φ2 ≥sin φ4 =π2 ∴22
≤e <1
圆锥曲线离心率e=c a
是一个重要元素,它的变化会直接导致曲线形状和类型的变化,同时因它是圆锥曲线统一定义中的三要素(定点、定直线、定比)之一,因此圆锥曲线的某些性质及其变化可通过e 的变化来遥控,从而使其成为以圆锥曲线为载体,集函数、方程、不等式于一体的问题。从此题的多向思考解答可以体会寻找不等关系的常见方法,在此还可以总结如下:
(1)、运用题设中已有的不等关系构建含参变量的不等关系或函数关系(如05全国Ⅱ21题)
(2)根据圆锥曲线的交点特征即方程有实数解建立不等式(如02全国21题及上例)。(从直线与圆锥曲线位置出发,利用一元二次方程实根存在条件如04全国Ⅰ23题)。
(3)根据圆锥曲线的变化范围,建立不等关系(如上例)
(4)借助定义和几何直观挖掘不等关系。(上例)
再附几题,供复习参考
1 以A 为圆心,以)24(cos 2π
θπ
θ<<为半径的圆外有一点B ,已知θsin 2||=AB 。设过
点B 且与圆A 外切于点T 的圆的圆心为M 。
(Ⅰ)当θ取某个值时,说明点M 的轨迹P 是什么曲线;
(Ⅱ)点M 是轨迹P 上的动点,点N 是圆A 上的动点,把||MN 的最小值记为)(θf (不要求证明),求)(θf 的取值范围;
(Ⅲ)若将题设条件中的θ的取值范围改为40π
θ<<,点B 的位置改为圆内,其它条件不变,
点M 的轨迹记为P 。试提出一个和原问题具有相同结构的有意义的问题(不要求解答)。
((I )轨迹P 是以B A ,为焦点,θcos 2为实轴长的双曲线的右支。 (II )1)(0<<θf (III)
(1)当θ取某个值时,说明点M 的轨迹P 是什么曲线;
(2)点M 是轨迹P 上的动点,点N 是圆A 上的动点,把||MN 的最小值记为)(θf (不要求证明),求)(θf 的取值范围。)
本题全面考查了解析几何的基本思想,综合了三角函数知识,还有探究能力。
2 如图,线段AB 过x 轴正半轴上一点)0)(0,(>m m M ,端点B A ,到x 轴的距离之积为m 3,以x 轴为对称轴,过B O A ,,作抛物线。
(I )求抛物线方程;(II )若直线AB 的斜 率为2
1,求当30< AOB ) 3.椭圆)0(1:22 221>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为F 1、F 2,右顶点为A ,M 为椭圆C 1上 任意一点,且||||21MF MF ?的最小值为24 3a 。 (I )求椭圆C 1的离心率; (II )设双曲线C 2以椭圆C 1的焦点为顶点,顶点为焦点; 在第一象限内任取双曲线C 2上一点P ,试问是否存在常数 )0(>λλ,使得A PF PAF 11∠=∠λ恒成立?证明你的结论。 ((I)2 1=e (II)假设存在适合题意的常数)0(>λλ,①先来考查特殊情形下的λ值: 此时λ=2 ②以下证明当PA 与x 轴不垂直时,∠PAF 1=2∠PF 1A 恒成立.) 3、加强向量与解几的综合运用 平面向量的概念、性质以及运算都有着明显的几何变化,因此向量与几何图形(特别是点、直线斜率、线段长、线段比等),以及图形间的位置关系(如点共线、两线平行、垂直、夹角等)的联系是十分紧密的。而平面向量的坐标表示又架起了其与解几何之间的桥梁,使得这两分支之间建立了联系。从“运算”的意义上理解向量的加、减、数乘、数量积等运算,通过运算的几何意义可将其换成平面图形间的“变换”,通过坐标运算又可转换为“实数”意义下的运算,这种“运算”间的相互转换构成平面向量、平面几何、解析几何的相互转化,渗透着“数形结合”,“转化”等重要的数学思想方法。 平面向量与平面解析几何知识融合在一起的考查,成为了对平面解析几何考查的热点,这在全国新课程试卷中体现是充分的,04全国Ⅰ、Ⅱ、03年、02年新课程卷都融入向量,甚至也可以把向量作为解几问题的有力武器。估计我省对两者的综合性也可能会加强,其考查的重点着重在如何将平面向量条件等价转化成平面解几的相关条件,然后用解几方法去解,或直接借向量运算去求解。解题的关键在于如何运用向量及运算的几何意义,坐标运算等基础知识实现转化。第二轮复习要选择适当两者综合的问题加以训练,着重总结实现转化的途径和方法,这里不再举例。 4、关注研究性学习,培养探索精神和创新实践能力 高考还将增加综合性、探索性、开放性等“能力型”试题,加大对探究精神和创造能力的考查,其本质是突出对探究精神,创造能力与综合素质的考查,同时研究性课程作为新课程和必修课,已成为高考一项内容,今后将会有所体现。鉴于此解几第二轮复习可选取高考的热点或典型问题进行研究性学习,变革教学复习方式,引导学生主动参与到数学过程中,鼓励学生自主学习,合作探究,自主建构并在此过程中获取对知识和情感的亲身体验。培养创新意识和实践能力。 先举个课本高二(上)P114习题:离心率e= 2 ,经过点M (-5,3),求适合条件的双曲线方程。 1、设问:改(i )e= 3 (ii) 5 (iii)e= 52 ,经过的点不变,标准方程情形如何? (i )一种情形、焦点x 轴上,(ii )①两情形、焦点x 、y 轴上都可解;(iii )双曲线不存在。(Ⅳ)当离心率为何范围时,经过点M (-5,3)的双曲线的标准方程可能不存在,一种情形,两种情形? 2、设问:(i )若e = 3 M (-5,4) 则双曲线有两情形 (ii) 若e = 52 M (1,3) 则双曲线有两情形 (iii)离心率e 相对不变,经过什么区域内的点时双曲线的标准方程 为一种、两种,也有可能没有? 再如已知抛物线y 2=2px(p >0),过O 点作两互相垂直的直线OA 、OB 交抛物线于A 、B ,求证:直线AB 恒过一定点。 1、研究不同的解法;体现多向思维在分析解题中的作用,沟通知识间的关系。 2、探究变题 ①逆命题是否正确?正确给予证明,不正确,说理由,直线AB 恒过点(2P ,0)是OA ⊥OB 成立的充要条件吗? ②对定理中的OA ⊥OB ,变为 K OA · K OB = m (m ≠0)又如何?充要条件还为直线恒过定点(-2p m ,0) ③过原点的两弦变为抛物线y 2=2px(p >0)上任意一点(x 0, y 0)又如何? a 、PA ⊥PB ,充要条件为直线AB 过定点P (x 0+2P 、- y 0) b 、K OA ·K OB = m (m ≠0)……………………P (x 0-2p m 、- y 0) 对抛物线成立的命题类似地对于其他圆锥曲线是否仍能成立? 过椭圆 x 2a 2 +y 2 b 2 =1上任意点P (x 0, y 0)作互相垂直两弦PA ⊥PB , 则直线AB 恒过定点(a 2-b 2a 2+b 2 x 0 ,b 2-a 2 a 2+ b 2 y 0) 双曲线 x 2a 2 -y 2b 2 =1…(a 2+b 2a 2-b 2 x 0 ,a 2+b 2 a 2- b 2 y 0) 这种对作问题的形式结构和数量关系进行研究,利用变式探索、挖掘、概括、引申获得问题的一般性结果,使得特殊问题一般化,零数知识规律化。 3、研究问题的辐射及应用价值 对上研究成果进一步探索其在其他情境中的应用价值,还可以更深刻认识其他问题。原命题中(1)求弦AB 中点轨迹方程(2)若∠AOB 的平分线交AB 于P ,求点P 的轨迹方程,对这些问题总结各种解题方法和探究方法都有一定代表性。 若从抛物线的切线有关性质上进行发散是否能发现些新的结论:如已知抛物线x 2=2py 的焦点为F ,准线为L ,过L 上一点P 作抛物线的两条切线,切点分别为A 、B ,若提出如下三个猜想:(1)直线PA 、PB 恒垂直;(2)直线AB 恒过定点;(3)等式2FA FB FP λ?=中的λ恒为常数,现请你一一进行论证。 此例可知研究性复习课的知识容量大,思维新,具有一定创新意识,可以避免传统复习中那种单调重复的低效益。同时也给我们获得了探究数学问题的一些方法如“逆命题”探究和“类比”探究。学会提出问题比学会解决问题更重要。若师生经常一起来挖掘课本资源,多从数学问题的背景入手,多角度去探究,去思考,提出更多更深刻的问题,可以激发探究的热情,开发学生的巨大潜能,从而培养创新意识和实践能力,使师生共享探究性学习数学的情感体验。 专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容,其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线.由于平面向量可以用坐标表示,因此以坐标为桥梁,可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系,平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路,为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材.解析几何问题着重考查解析几何的基本思想,利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质.解析几何试题对运算求解能力有较高的要求.解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理,关注解题方向的选择及计算方法的合理性,适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇,关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查,关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查.在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法;一道综合解答题,以圆或圆锥曲线为依托,综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用,这道解答题往往是试卷的把关题之一. 【考点透析】解析几何的主要考点是:(1)直线与方程,重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等;(2)圆与方程,重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系,以及坐标法思想的初步应用;(3)圆锥曲线与方程,重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质,圆锥曲线的简单应用,曲线与方程的关系,以及数形结合的思想方法等. 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 (2008高考安徽理8)若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为( ) A .[ B .( C .[33 D .(33 - 分析:利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式,通过解不等式解决. 解析:C 设直线方程为(4)y k x =-,即40kx y k --=,直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点,圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤,得222141,3 k k k ≤+≤,选择C 点评:本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识.高考试卷中一般不单独考查直线与方程,而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查. 例2.(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线 《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程. (2)掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (3)了解二元一次不等式表示平面区域. (4)了解线性规划的意义,并会简单的应用. (5)了解解析几何的基本思想,了解坐标法. (6)掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程. ⒉圆锥曲线方程 (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,理解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用. 二、高考试题回放 1.(福建)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点,若△ABF 2是正三角形,则这个椭圆的离心率是 ( ) A . 33 B .32 C .2 2 D .23 2.(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2-6x -2y -15=0所截得的弦长等于 . 3.(福建)如图,P 是抛物线C :y=2 1x 2上一点,直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.(Ⅰ)若直线l 与过点P 的切线垂直,求线段PQ 中点M 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ,与y 轴交于点T ,试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4.(湖北)已知点M (6,2)和M 2(1,7).直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3:2,则m 的值为 ( ) A .2 3 - B .3 2- C .4 1 D .4 5.(湖北)两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 ( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 6.(湖北)直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. (Ⅰ)求实数k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数k ,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由. 7.(湖南)如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 ( ) 高三数学复习专题之一 ----解析几何高考题目的分析 解析几何是历届高考的热点和重点,它的基本特点是数形结合,是代数、三角、几何知识的综合应用.一般以四个小题、一个大题的结构出现,且大题往往是压轴题.纵观近几年高考试题有如下特征: (1)考查直线的基本概念,求在不同条件下的直线方程,判定直线的位 置关系等题目,多以选择题、填空题形式出现; (2)中心对称与轴对称、充要条件多为基本题目; (3)考查圆锥曲线的基本知识和基本方法也多以选择题、填空题形式出 现; (4)有关直线与圆锥曲线等综合性试题,通常作为解答题形式出现,有一定难度.一般情况是:给出几何条件,求曲线(动点的轨迹)方程;或利用曲线方程来研究诸如几何量的计算、直线与曲线的位置关系、最近(或最远)问题.但近几年的高考解析几何试题类型比较分散,每年都有不同.解题过程中的运算量有逐年降低的趋势,而解题过程中的思维量在增加.但万变不离其宗,常用的解题规律与技巧不变. 例①求圆锥曲线的有关轨迹方程时,要注意运用平面几何的基本知识 特别是圆的知识,便于简化运算和求解; ②在直线与圆锥曲线的有关问题中,要注意韦达定理和判别式的运用; ③要注意圆锥曲线定义的活用. 另外,解析几何的解答题也常在知识网络的交汇处出题,它具有一定的综合性,重点考察数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等能力.解析几何常与函数、不等式等建立联系. . , ),0,1()3 ,)2 )1 , ,)0,(1:.122 222 22中点的轨迹方程求、为轴的端点为左准线的椭圆,其短为左焦点,以经过点设双曲线的方程;求双曲线截得的弦长为被直线若双曲线的值; 的离心率求双曲线为等边,且右焦点两点、与两条渐近线交于右准线的离心率为设双曲线例BF F B l F C C a e b b ax y C e C PQF F Q P l e b a b y a x C +=? ?>=- 解析几何专题二 1、已知点P (3,-4)是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)渐近线上的一点,E ,F 是左、右两个焦点,若EP →·FP → =0, 则双曲线方程为( ) A.x 23-y 24=1 B.x 24-y 23=1 C.x 29-y 216=1 D.x 216-y 2 9 =1 2、已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=,则该双曲线的离心率为( 17 ). 【解析】因为焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=,所以17,17,42 2===e a c a b 3、设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲 线的离心率为 2 5 1+ . 【解析】因为直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,所以 2 1 5,1)(+=-=-?e c b a b 4、若双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ,线段21F F 被抛物线2 2y bx = 的焦点分成5 :7的两段,则此双曲线的离心率为( C ) A . 9 8 B . 637 C . 32 4 D . 31010 【解析】因为线段21F F 被抛物线2 2y bx = 的焦点分成5:7的两段,所以 4 23,4036,436,622222====e c a c b c b 5、 已知F 是椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>的右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 与圆22 214 x y b +=相切 于点Q ,且→ → =QF PQ ,则椭圆C 的离心率为 3 5 . 提示:设左焦点E ,连接PE ,由圆的切线可得OQ ⊥PF ,而OQ ∥PF ,故PF PE ⊥,2 2 2 4)2(c b a b =-+∴, 二轮复习——解析几何 一.专题内容分析 解析几何:解析几何综合问题(椭圆或抛物线)及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆+极坐标、参数方程+线性规划 二.解答策略与核心方法、核心思想 圆锥曲线综合问题的解答策略: 核心量的选择: 常见的几何关系与几何特征的代数化: ①线段的中点:坐标公式 ②线段的长:弦长公式;解三角形 ③三角形面积: 2 1底×高,正弦定理面积公式 ④夹角:向量夹角;两角差正切;余弦定理;正弦定理面积公式 ⑤面积之比,线段之比:面积比转化为线段比,线段比转化为坐标差之比 ⑥三点共线:利用向量或相似转化为坐标差之比 ⑦垂直平分:两直线垂直的条件及中点坐标公式 ⑧点关于直线的对称,点关于点,直线关于直线对称 ⑨直线与圆的位置关系 ⑩等腰三角形,平行四边形,菱形,矩形,正方形,圆等图形的特征 代数运算:设参、消参 重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化,学会把不同类型的几何问题转化成代数形式. 三.典型例题分析 1.(海淀区2017.4)已知椭圆C :22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ,B ,且||4AB =,离心率为12 . (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上,直线BP 形APQM 为梯形?若存在,求出点P 解法1:(Ⅰ)椭圆C 的方程为22 143 x y +=. (Ⅱ)假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知,显然,AM PQ 不平行,所以AP 与MQ AP MQ k k =. 设点0(4,)P y ,11(,)M x y ,06 AP y k =,114MQ y k x = -, ∴ 01164y y x =-① ∴直线PB 方程为0(2)2 y y x =-, 由点M 在直线PB 上,则0 11(2)2 y y x = -② ①②联立,0 101(2) 264y x y x -=-,显然00y ≠,可解得11x =. 又由点M 在椭圆上,211143y + =,所以132y =±,即3 (1,)2 M ±, 将其代入①,解得03y =±,∴(4,3)P ±. 解法2:(Ⅰ)椭圆C 的方程为22 143 x y +=. (Ⅱ)假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知,显然,AM PQ 不平行,所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k =, 显然直线AP 斜率存在,设直线AP 方程为(2)y k x =+. 由(2)4y k x x =+??=? ,所以6y k =,所以(4,6)P k ,又(2,0)B ,所以632PB k k k ==. ∴直线PB 方程为3(2)y k x =-,由22 3(2) 34120 y k x x y =-?? +-=?,消y , 得2222(121)484840k x k x k +-+-=. 高考专题:解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 (1)中点弦问题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A (2,1)的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2,求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析:设P x y 111(,),P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=,x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P (x,y ),将x x x 122+=,y y y 122+=代入,当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 , 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时,其中点P (2,0)的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明:本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况。 (2)焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ,与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点,F c 10(,)-,F c 20(,)为焦点,∠=PF F 12α,∠=PF F 21β。 (1)求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ; (2)求|||PF PF 13 23 +的最值。 平面解析几何精粹 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =1 2(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.1 2 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y ′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则高三数学解析几何专题
2020高考数学专题复习-解析几何专题
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