经典例题透析
类型一、求函数解析式
例1.已知幂函数2
223
(1)m m y m m x --=--,当(0)x ∈+,∞时为减函数,则幂函数y =__________.
解析:由于2
223
(1)m
m y m m x --=--为幂函数,
所以2
11m m --=,解得2m =,或1m =-.
当2m =时,2
233m m --=-,3
y x -=在(0)+,∞上为减函数;
当1m =-时,2
230m m --=,0
1(0)y x x ==≠在(0)+,∞上为常数函数,不合题意,舍去.
例(1)解:(2)
,
∴ (1)(2)x<0思路点拨:先利用幂函数0.5
y x =的增减性比较0.5
0.8与0.5
0.9的大小,再根据幂函数的图象比较0.5
0.9
与
0.50.9-的大小.
解:
0.5y x =在(0)+,∞上单调递增,且0.80.9<,
0.50.50.80.9∴<.
作出函数0.5
y x =与0.5
y x
-=在第一象限内的图象,
易知0.5
0.50.9
0.9-<.
故0.5
0.50.50.8
0.90.9-<<.
例 3.已知幂函数1n
y x =, 2n
y x =, 3n
y x =, 4n
y x =在第一象限内的图象分别是C 1,C 2,C 3,C 4,(如图),则n 1,n 2,n 3,n 4,0,1的大小关系?
解:应为n 1 α=∈的图象,其函数性质的正确把握主要来源于对图象的正确处理,而幂函数的图象,最重要的是搞清第一象限的图象类型及分布;反过来,也能通过第一象限的图象判断指数的取值范围. 举一反三 【变式一】(2011 陕西文4) 函数1 3 y x =的图像是( ) 思路点拨:已知函数解析式和图像,可以用取点验证的方法判断. 解:取11,88x = -,则11 ,22 y =-,选项B ,D 符合;取1x =,则1y =,选项B 符合题意. 类型三、求参数的范围 例4.已知幂函数2 ()m y x m -=∈N 的图象与x y ,轴都无交点,且关于y 轴对称,求m 的值,并画出它 的图象. 解: 图象与x y ,轴都无交点, 2m ∴-≤0,即2m ≤. 又m ∈N ,012m ∴=,,. 幂函数图象关于y 轴对称, 0m ∴=,或2m =. 当0m =时,函数为2 y x -=,图象如图1; 当2m =时,函数为01(0)y x x ==≠,图象如图2. 举一反三 【变式一】若()()2 2 132a a --+>-,求实数a 的取值范围. 解法1:∵() ()2 2 132a a --+>-, 考察2y x -=的图象,得以下四种可能情况: (1)?????+>->+>-12301023a a a a (2)?????+<-<+<-12301023a a a a (3)?????+->-<+>-)1(2301023a a a a (4)?? ???+>-->+<-1)23(01023a a a a 分别解得:(1)2 13 a -<<. (2)无解. (3)1a <-. (4)4a >. ∴a 的取值范围是()()21143? ?-∞--+∞ ??? , ,,. 解法2:画出2 y x -=的图象,认真观察图象,可得:越接近y 轴,y 值越大,即|x| 越小,y 值越大, ∴ 要使 () () 2 2 132a a --+>-, 即10320|1||32|a a a a +≠?? -≠??+<-? , 解 得:()()21143? ?-∞--+∞ ?? ?, ,, . 总结升华: 以上两种方法都是运用函数的单调性,但显然第二种方法更好.而这种方法的应用,必须对图象的特征有深刻的认识.可见,能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径. 【变式二】当m 为何值时,幂函数y=(m 2 -5m+6)3 22 --m m x 的图象同时通过点(0,0)和(1,1). 解:∵y=(m 2 -5m+6)3 22 --m m x 是幂函数.∴m 2 -5m+6=1.得:m= 2 5 5±, 又∵函数图象过(0,0)和(1,1)点,∴m 2 -2m-3>0,得m>3或m<-1, ∴ m= 255-(舍去) 即:m=2 5 5+. 类型四、讨论函数性质 例5.求函数y= 3 221 )3()2(x x - +的定义域. 解:原函数可化为 y= 3 2)3(2 x x -+ ? ??≠-≥+0302x x ∴x ∈[-2,3)∪(3,+∞). 总结升华:正确判断函数的定义域是完成函数的图象,讨论函数的性质的前提,必须加以重视. 例6.3 2 (23)y x x -=--解:32 4(23) y x x -=--可看作是由34 y u -=与u=x 2 -2x-3复合而成, ∵34y u -=中,u ∈(0,+∞).∴ x 2 -2x-3>0, 得到x>3或x<-1. 当x>3时,∵u=(x-1)2 -4, ∴随着x 的增大u 增大, 又∵34 y u -=在定义域内为减函数,∴y 随着u 的增大而减小, 即()3x ∈+∞,时,32 4 (23) y x x -=--是减函数,而()1x ∈-∞-,时,原函数为增函数. 总结升华: 1.复合函数的讨论一定要理清x ,u ,y 三个变量的关系. 2.对于这样的幂函数与二次函数的复合,要先考虑幂函数的定义域对自变量x 的限制. 举一反三 【变式一】讨论函数2 1 1 ()()m m f x x m *++=∈N 的定义域、奇偶性和单调性. 解:(1) 2(1)()m m m m m *+=+∈N 是正偶数, 21m m ∴++是正奇数. ∴函数()f x 的定义域为R . (2) 21m m ++是正奇数, (f ∴-()f x ∴(3) 2 m m ++∴函数 例1、下列结论中,正确的是( ) A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1) B.幂函数的图象可以出现在第四象限 C.当幂指数α取1,3,1 2 时,幂函数y=xα是增函数 D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数 解析当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A 不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且y=xα (α∈R),y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确;而当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但它在定义域上不是减函数. 答案C 例2、已知幂函数f(x)=(t3-t+1)x 1 5 (7+3t-2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0,+ ∞)上为增函数,求实数t的值. 分析关于幂函数y=xα(α∈R,α≠0)的奇偶性问题,设p q (|p|、|q|互 质),当q为偶数时,p必为奇数,y=x p q 是非奇非偶函数;当q是奇数时,y= x p q 的奇偶性与p的值相对应. 解∵f(x)是幂函数,∴t3-t+1=1, ∴t=-1,1或0. 当t=0时,f(x)=x 7 5 是奇函数; 当t=-1时,f(x)=x 2 5 是偶函数; 当t=1时,f(x)=x 8 5 是偶函数,且 2 5 和 8 5 都大于0,在(0,+∞)上为增函数. 故t =1且f (x )=x 85或t =-1且f (x )=x 2 5 . 点评 如果题中有参数出现,一定要注意对参数的分类讨论,尤其对题中的条件 t ∈Z 给予足够的重视. 例3、如图是幂函数y =x m 与y =x n 在第一象限内的图象,则( ) A .-1 高一数学期末复习幂函数、指数函数和对数函数 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数,则有 ( ) A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中,是幂函数的是 ( ) A .3x y -= B .3-=x y C .32x y = D .13-=x y 3、1.指数式b c =a (b >0,b ≠1)所对应的对数式是 ( ) A .log c a =b B .log c b =a C .log a b =c D .log b a =c 4、若210,5100==b a ,则b a +2= ( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ,那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 ( ) A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0> 一、选择题(每小题4分,共计40分) 1.下列各式中成立的一项是 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B . 33 39= C .4 343 3 )(y x y x +=+ D .31243)3(-=- 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 9- B .a - C .a 6 D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确... 的是 ( ) A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{>< 幂函数的概念及其性质 一、单选题(共12道,每道8分) 1.下列命题正确的是( ) A.幂函数在第一象限都是增函数 B.幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1) C.若幂函数是奇函数,则是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的图象 2.下列函数中既是偶函数,又在(-∞,0)上是增函数的是( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的单调性、奇偶性及其应用 3.若幂函数上是减函数,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的单调性 4.当时,幂函数为减函数,在实数m的值是( ) A.2 B.﹣1 C.﹣1或2 D. 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的单调性5.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的图象 6.若是幂函数,且满足,则的值是( ) A. B. C.2 D.4 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的解析式及运算 7.已知幂函数在区间上是单调递增函数,且函数的图象关于y轴对称,则的值是( ) A.16 B.8 C.﹣16 D.﹣8 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的图象与性质 8.若,则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的单调性 9.已知,,下列不等式:①;②;③; 幂函数 知识点 一、幂函数的定义 一般地,形如y x α =(R x ∈)的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数.如1 12 3 4 ,,y x y x y x -===等 都是幂函数 二、幂函数的图像 幂函数n y x =随着n 的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握n y x =,当11 2,1,,,323 n =±±± 的图像和性质,列表如下. ① 它们都过点()1,1,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限. ② 11 ,,1,2,332a =时,幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数. ③ 1 ,1,22 a =---时,幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数. ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点. 三、幂函数基本性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 四、解题方法总结 1.在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再去进行讨论; 2.对于幂函数y =α x ,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象 限,其次确定曲线的类型,即α<0,0<α<1和α>1三种情况下曲线的基本形状,还要注意α=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛负双,大竖小横”,即α>0(α≠1)时图象是抛物线型;α<0时图象是双曲线型;α>1时图象是竖直抛物线型;0<α<1时图象是横卧抛物线型. 典型题 类型一、求函数解析式 例1.已知幂函数2 223 (1)m m y m m x --=--,当(0)x ∈+, ∞时为减函数,则幂函数y =__________. 类型二、比较幂函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. (1)4 3 3.14 -与43 π - (2)35 (- 与35 (- (3)比较0.5 0.8 ,0.5 0.9,0.5 0.9 -的大小 类型三、求参数的范围 幂函数练习题及答案 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分). 1.下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 ( ) A .y x =43 B .y x =3 2 C .y x =-2 D .y x =-14 2.函数2-=x y 在区间]2,2 1 [ 上的最大值是 ( ) A . 4 1 B .1- C .4 D .4- 3.下列所给出的函数中,是幂函数的是 ( ) A .3 x y -= B .3 -=x y C .3 2x y = D .13 -=x y 4.函数3 4x y =的图象是 ( ) A . B . C . D . 5.下列命题中正确的是 ( ) A .当0=α 时函数αx y =的图象是一条直线 B .幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点 C .若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D .幂函数的图象不可能出现在第四象限 6.函数3 x y =和3 1x y =图象满足 ( ) A .关于原点对称 B .关于x 轴对称 C .关于y 轴对称 D .关于直线x y =对称 7. 函数R x x x y ∈=|,|,满足 ( ) A .是奇函数又是减函数 B .是偶函数又是增函数 C .是奇函数又是增函数 D .是偶函数又是减函数 8.函数 2422-+=x x y 的单调递减区间是 ( ) A .]6,(--∞ B .),6[+∞- C .]1,(--∞ D .),1[+∞- 9. 如图1—9所示,幂函数α x y =在第一象限的图象,比较1,,,,,04321αααα的大小( ) 经典例题透析 类型一、求函数解析式 例1.已知幕函数y = (nr-m-])x,,,2-2m~3,当xw(0, + 8)时为减函数,则幕函数y二___________________ . 解析:由于丁 =(加2—血—1)#宀2心为幕函数, 所以m2— \ = \,解得m = 2 ,或m = —\. 当ni = 2时,nr -2m-3 = -3 , y = x~3在(0, + 8)上为减函数; 当m = -l时,/7?2-2m-3 = 0, y = %° =1(x^0)在(0, + ?)上为常数函数,不合题意,舍去. 故所求幕函数为y = x-3. 总结升华:求慕函数的解析式,一般用待定系数法,弄明白需函数的定义是关键. 类型二、比较幕函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. 4 4 _ 3 _ 3 (1)3」4万与兀了;(2)(-近门与(-73)^. 4 4_4 解:⑴由于幕函数y = ?亍(x>0)单调递减且3」4 <龙,???3.14万 > 兀了. _3 (2)由于y =兀5这个幕函数是奇函数.???f (-x) =-f (x) —_ 3 _ 3 _ 3 _ 3 _ _因此,(一血门二一(血)V,(―巧)V =—(內)V ,而y = (x>0)单调递减,且血 3 3 3 3 3 3 ???(血戸 >"门即(一血门v( 总结升华. (1)各题中的两个数都是“同指数”的幕,因此可看作是同一个幕函数的两个不同的函数值,从而可根据幕函数的单调性做出判断. (2)题(2)中,我们是利用幕函数的奇偶性,先把底数化为正数的幕解决的问题.当然,若直接利用x<0 上幕函数的单调性解决问题也是可以的. 举一反三 【变式一】比较O.805, O.905, 0.9皿的大小. 思路点拨:先利用幕函数)=兀"的增减性比较0?8°5与0.9°"的大小,再根据幕函数的图象比较0.9°"与0.9七5的大小. 解:y = x Q-5^.(0, + oo)上单调递增,且0.8 v 0.9 , .?,0.805 <0.905. 作出函数y = X05与歹=兀七5在第一象限内的图彖, 易知0.严< 0.9心. 幂函数练习题及答案 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分). 1.下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是??( ) A .y x =43? B.y x =32 C .y x =-2 ? D.y x =- 14 2.函数2 -=x y 在区间]2,2 1 [ 上的最大值是???( ) A. 4 1 ?B.1-?C.4 D.4- 3.下列所给出的函数中,是幂函数的是? ?( ) A.3 x y -=?B.3 -=x y ? C.3 2x y =?D.13 -=x y 4.函数3 4x y =的图象是? ( ) A. B. C. D . 5.下列命题中正确的是? ? ( ) A.当0=α 时函数αx y =的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点 C.若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 6.函数3 x y =和3 1x y =图象满足 ? ( ) A.关于原点对称 B.关于x 轴对称 C .关于y 轴对称 ? D.关于直线x y =对称 7. 函数R x x x y ∈=|,|,满足 ( ) A.是奇函数又是减函数 B.是偶函数又是增函数 C.是奇函数又是增函数 ?D .是偶函数又是减函数 8.函数 2422-+=x x y 的单调递减区间是 ( ) A .]6,(--∞ ? B .),6[+∞- C.]1,(--∞ ? D.),1[+∞- 9. 如图1—9所示,幂函数α x y =在第一象限的图象,比较1,,,,,04321αααα的大小( ) A.102431<<<<<αααα B.104321<<<<<αααα C.134210αααα<<<<< D .142310αααα<<<<< 10. 对于幂函数5 4 )(x x f =,若210x x <<,则 )2( 21x x f +,2 ) ()(21x f x f +大小关系是( ) A.)2( 21x x f +>2)()(21x f x f + ?B. )2(21x x f +<2) ()(21x f x f + C . )2( 21x x f +=2 ) ()(21x f x f + ? D. 无法确定 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题6分,共24分). 11.函数y x =- 3 2 的定义域是 . 12.的解析式是?? . 13.9 42 --=a a x y 是偶函数,且在),0(+∞是减函数,则整数a 的值是 . 14.幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y m n k ∈=-图象在一、二象限,不过原点,则n m k ,,的奇偶性为 . 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤(共76分) . 15.(12分)比较下列各组中两个值大小 (1)06072088089611 611 53 53 ..(.)(.).与;()与-- 1α 3α 4α 2α 二次函数与幂函数 1.求二次函数的解析式. 2.求二次函数的值域与最值. 3.利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题. 【复习指导】 本节复习时,应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质,重点解决二次函数在闭区间上的最值问题,此类问题经常与其它知识结合命题,应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用. 基础梳理 1.二次函数的基本知识 (1)函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)叫做二次函数,它的定义域是R . (2)二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象是一条抛物线,对称轴方程为x = -b 2a ,顶点坐标是? ?? ?? -b 2a , 4ac -b 2 4a . ①当a >0时,抛物线开口向上,函数在? ????-∞,-b 2a 上递减,在?????? -b 2a ,+∞上递增,当x =-b 2a 时,f (x )min =4ac -b 2 4a ; ②当a <0时,抛物线开口向下,函数在? ????-∞,-b 2a 上递增,在?????? -b 2a ,+∞上递减,当x =-b 2a 时,f (x )max =4ac -b 2 4a . ③二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)当Δ=b 2-4ac >0时,图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0),|M 1M 2|=|x 1-x 2|=Δ |a | . (3)二次函数的解析式的三种形式: ①一般式:f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0); ②顶点式:f (x )=a (x -m )2+h (a ≠0); ③两根式:f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0). 2.幂函数 幂函数经典例题(答案) 幕函数的概念 例1、下列结论中,正确的是() A ?幕函数的图象都通过点(0,0), (1,1) B.幕函数的图象可以出现在第四象限 C ?当幕指数么取1,3,;时,幕函数y=*是增函数 D.当幕指数么=一1时,幕函数),=亡在定义域上是减函数 解析 当無指数α=-l 时,幕函数y=χ~l 的图象不通过原点,故选项A 不 正确;因为所有的農函数在区间(0, +8)上都有定义,且y=χa (α∈R), j>0, 所以專函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B 不正确;而当α=-l 时,y =Ll 在区间(一8, 0)和(0, +8)上是减函数,但它在定义域上不是减函数. 答案C 例2、已知幕函数金)=(Z+i χτ[(7+3L2r 2 )(f ∈Z)是偶函数且在(0, +8)上 为增函数,求实数/的值? ' 分析 关于舉函数y=x a ( 高三数学专题复习总结-(幂函数)经典 1 / 1 2 高三数学专题复习 (幂函数)经典 1.设? ????? --∈3,2,1,21,1,2α,则使幂函数a y x =为奇函数且在(0,)+∞上单调递增的a 值的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 2.设11,0,,1,2,32a ? ?∈-???? ,则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 3.对于幂函数f(x)=45x ,若0<x 1<x 2,则12( )2x x f +,12()()2 f x f x +的大小关系是( ) A. 12( )2x x f +>12()()2f x f x + B. 12()2x x f +<12()()2 f x f x + C. 12()2x x f +=12()()2 f x f x + D. 无法确定 4.设函数y =x 3与21()2x y -=的图像的交点为(x 0,y 0),则x 0所在的区间是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(2,3) D .(3,4) 5.下列说法正确的是( ) A .幂函数的图像恒过(0,0)点 B .指数函数的图像恒过(1,0)点 C .对数函数的图像恒在y 轴右侧 D .幂函数的图像恒在x 轴上方 6.若0>>n m ,则下列结论正确的是( ) A. 22m n < B. 22 m n < C. n m 22log log > D. 11m n > 7.若函数32)32()(-+=m x m x f 是幂函数,则m 的值为( ) A .1- B .0 C .1 D .2 8.幂函数y f x =()的图象经过点1 42 (,),则(2)f ( ) A. 14 B. 12 - 9.幂函数35m y x -=,其中m N ∈,且在(0,)+∞上是减函数,又()()f x f x -=, 则m =( ) A.0 B.1 C.2 D.3 10.已知幂函数()m f x x =的图象经过点(4,2),则(16)f =( ) 3.3 幂函数中档题 一.选择题(共4小题) 1.若幂函数f(x)的图象经过点(3,),则函数g(x)=+f(x)在[,3]上的值域为() A.[2,]B.[2,]C.(0,]D.[0,+∞) 2.已知指数函数f(x)=a x﹣16+7(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若定点P在幂函数g (x)的图象上,则幂函数g(x)的图象是() A.B.C. D. 3.函数f(x)=(m2﹣m﹣1)x是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值 () A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 4.已知,若0<a<b<1,则下列各式中正确的是() A.B. C.D. 二.填空题(共1小题) 5.已知幂函数f(x)的图象经过点(,),P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论:①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2); ③>;④<.其中正确结论的序号是. 三.解答题(共13小题) 6.已知幂函数f(x)=(m﹣1)2x在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x﹣ k. (Ⅰ)求m的值; (Ⅱ)当x∈[1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,数k的取值围. 7.已知函数f(x)=(a﹣1)x a(a∈R),g(x)=|lgx|. (Ⅰ)若f(x)是幂函数,求a的值并求其单调递减区间; (Ⅱ)关于x的方程g(x﹣1)+f(1)=0在区间(1,3)上有两不同实根x1,x2(x1<x2), 求a++的取值围. 8.已知函数f(x)=(a﹣1)x a(a∈R),g(x)=|lgx|. (Ⅰ)若f(x)是幂函数,求a的值; (Ⅱ)关于x的方程g(x﹣1)+f(1)=0在区间(1,3)上有两不同实根x1,x2(x1<x2), 求的取值围. 9..已知幂函数的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)上 是减函数, (1)求函数f(x)的解析式; (2)若a>k,比较(lna)0.7与(lna)0.6的大小. 10.已知幂函数g(x)=(m2﹣2)x m(m∈R)在(0,+∞)为减函数,已知f(x)是对数函数且f(﹣m+1)+f(﹣m﹣1)=. (1)求g(x),f(x)的解析式; (2)若实数a满足f(2a﹣1)<f(5﹣a),数a的取值围. 11.函数f(x)=是偶函数. (1)试确定a的值,及此时的函数解析式; (2)证明函数f(x)在区间(﹣∞,0)上是减函数; (3)当x∈[﹣2,0]时,求函数f(x)=的值域. 12.如图,点A、B、C都在幂函数的图象上,它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a) 幂函数、二次函数 考纲解读 1.结合函数y =x ,y =x 2,y =x 3,y =1x ,y =x 1 2的图象解决简单的幂函数问题; 2.用待定系数法求二次函数解析式,结合图象解决二次函数问题; 3.用二次函数、方程、不等式之间的关系解决综合问题. [基础梳理] 1.幂函数 (1)定义:一般地,函数y =x α叫作幂函数,其中底数x 是自变量,α是常数. (2)幂函数的图象比较: 2.二次函数 (1)解析式: 一般式:f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). 顶点式:f (x )=a (x -h )2+k (a ≠0). 两根式:f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0). (2)图象与性质: (-∞,+∞) (-∞,+∞) [三基自测] 1.已知幂函数f (x )=k ·x α的图象过点????12,2 2,则k +α=( ) A.1 2 B .1 C.32 D .2 答案:C 2.已知函数f (x )=x 2+4ax 在区间(-∞,6)内单调递减,则a 的取值范围是( ) A .a ≥3 B .a ≤3 C .a <-3 D .a ≤-3 答案:D 3.幂函数f (x )=xa 2-10a +23(a ∈Z )为偶函数,且f (x )在区间(0,+∞)上是减函数,则a 等于( ) A .3 B .4 C .5 D .6 答案:C 4.(必修1·第一章复习参考题改编)若g (x )=x 2+ax +b ,则g (2)与1 2[g (1)+g (3)]的大小关 系为________. 答案:g (2)<1 2 [g (1)+g (3)] 5.(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y =x 2+1 x 的增区间为__________. 答案:? ?? ??132,+∞ [考点例题] 考点一 幂函数的图象和性质|易错突破 [例1] (1)已知幂函数f (x )=,若f (a +1) 幂函数的概念 例1、下列结论中,正确的是( ) A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1) B.幂函数的图象可以出现在第四象限 C.当幂指数α取1,3,1 2 时,幂函数y=xα是增函数 D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数 解析当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且y=xα (α∈R),y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确;而当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但它在定义域上不是减函数.答案 C 例2、已知幂函数f(x)=(t3-t+1)x 1 5 (7+3t-2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0,+ ∞)上为增函数,数t的值. 分析关于幂函数y=xα (α∈R,α≠0)的奇偶性问题,设p q (|p|、|q|互 质),当q为偶数时,p必为奇数,y=x p q 是非奇非偶函数;当q是奇数时,y= x p q 的奇偶性与p的值相对应. 解∵f(x)是幂函数,∴t3-t+1=1, ∴t=-1,1或0. 当t=0时,f(x)=x 7 5 是奇函数; 当t=-1时,f(x)=x 2 5 是偶函数; 当t=1时,f(x)=x 8 5 是偶函数,且 2 5 和 8 5 都大于0,在(0,+∞)上为增函数. 故t=1且f(x)=x 8 5 或t=-1且f(x)=x 2 5 . 点评如果题中有参数出现,一定要注意对参数的分类讨论,尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视. 例3、如图是幂函数y =x m 与y =x n 在第一象限的图象,则( ) A .-1 幂函数经典例题(答案) A .-1 作出函数y=x2和y=3 1x 的图象(如右图所示),易得x<0或x>1. 例5、函数f (x )=(m 2-m -1)xm 2+m -3是幂函数,且当x ∈(0,+∞)时,f (x )是增函数,求f (x )的解析式. 分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ,再由单调性确定m . 解 根据幂函数定义得 m 2-m -1=1,解得m =2或m =-1, 当m =2时,f (x )=x 3在(0,+∞)上是增函数; 当m =-1时,f (x )=x -3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故f (x )=x 3. 点评 幂函数y =x α (α∈R),其中α为常数,其本质特征是以幂的底x 为自变量,指数α为常数(也可以为0).这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.对本例来说,还要根据单调性验根,以免增根. 变式 已知y =(m 2+2m -2)x 1 m 2-1 +2n -3是幂函数,求m ,n 的值. 解 由题意得??? m 2+2m -2=1 m 2 -1≠0 2n -3=0 , 解得? ???? m =-3n =3 2, 所以m =-3,n =32 . 例6、比较下列各组中两个数的大小: (1)5 3 5.1,5 37.1;(2)0.71.5 ,0.61.5 ;(3)3 2) 2.1(- -,3 2) 25.1(- -. 次函数与幕函数 1. 求二次函数的解析式. 2. 求二次函数的值域与最值. 3. 利用幕函数的图象和性质分析解决有关问题. 【复习指导】 本节复习时,应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幕函数的图象和性质,重点解决二次函数在闭区间上的最值问题,此类问题经常与其它知识结合命题,应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用. 基础梳理 1. 二次函数的基本知识 (1)函数f (x) = ax2+ bx+ c(a^0)叫做二次函数,它的定义域是R ⑵二次函数f (x) = ax2+ bx+ c(a^0)的图象是一条抛物线,对称轴方程为x = ―,顶点坐标是. ①当a>0时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增,当x=—时, f ( x) min ―; ②当a v0时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减,当x——时, 1 \入) max—. ③二次函数f (x) —ax2+ bx+ c(a M0)当△—b2—4ac>0时,图象与x轴有两个交点M(x i,0)、Mg。),|MM|—“ —X2|—. (3)二次函数的解析式的三种形式: ①一般式:f (x) —ax2+ bx+ c(a^0); ②顶点式:f (x) —a(x —m)2+ h(a^0); ③两根式:f (x) —a(x —x i)( x —X2)( a M0). 2. 幕函数 (1)幕函数的定义 形如y —x a( a € R)的函数称为幕函数,其中x是自变量,a为常数. ⑵幕函数的图象 (3)幕函数的性质幂函数经典例题
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