数值分析_调和级数收敛问题
正项数收敛判别方法
数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法
摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足
函数项级数的一致收敛性共8页word资料
第三节 函数项级数的一致收敛性 本节将讨论函数项级数有关性质。 定义 1 设 )(1x u ，)(2x u ，……，)(x u n ，……，是集合E 上的函数列，我们称形为 )(1x u +)(2x u +……+)(x u n +…… 为E 上的函数项级数，简记为∑∞ =1 )(n n x u 。其中)(x u n 称为第n 项. )(x u k +)(1x u k ++……+)(x u n +……也记为∑∞ =k n n x u )(. 记号中n 可以用其它字母 代之. 同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。 定义 2 设∑∞ =1)(n n x u 是集合E 上的函数项级数，记 ∑==n i i n x u x S 1 )()(=)(1x u +)(2x u +……+)(x u n ， 它称为级数∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数（严格地说是前n 项部分和函数）. {})(x S n 称为∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数列。 如果{})(x S n 在0x 点收敛，我们也说∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点收敛或称0x 为该级数 的收敛点。 如果|)(|1 ∑∞ =n n x u 在0x 点收敛，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点绝对收敛。非常容易证 明绝对收敛一定收敛。 {})(x S n 的收敛域也称为该级数的收敛域。如果{})(x S n 在0x 点不收敛，
我们说∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点发散。 如果{})(x S n 在D 上点态收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在D 上点态收敛于 )(x S . )(x S 称为该级数的的和函数。)()()(x S x S x R n n -=称为该级数关于前 n 项部分和的余项. {})(x R n 称为该级数的余项函数列. 如果{})(x S n 在D 上一致收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1)(n n x u 在D 上一致收敛于 )(x S ， 或∑∞ =1 )(n n x u 在D 上一致收敛. 如果{})(x S n 在D 上内闭一致收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在D 上内闭一致收敛. 用N -ε的进行叙述将是： 设∑∞ =1)(n n x u 是D 上函数项级数，)(x S 是D 上函数。 若对任意ε>0，总存 在一个正数正数N （只能依赖于ε，绝对不依赖于x ），当N n >时，对一切的D x ∈，总有 ε<-∑=|)()(|1x S x u n i i ， 则称该函数项级数在D 上一致收敛于)(x S . 同样一致收敛一定点态收敛. 例 1 定义在（—∞，+∞）上的函数项级数（几何级数） ΛΛΛΛ+++++=∑∞ =-n n n x x x x 21 1 1 的部分和函数是x x x S n n --=11)( .显然当|x |<1时
将调和级数中分母含有数字9的项去掉,所得的级数必收敛
证明：将调和级数中分母含有数字9的项去掉，所得的级数必收敛！ 求出一个级数(不特别的)收敛值. 从没做过这样的题(一般证一致收敛)-----(求一般项1/N^2的级数和值倒是见过) 楼主的题目以前做过,不过方法忘了.现在证明方法比较偏,如下: 只要证明第K项级数小于1/k*[ln(k)]^2 即分母大于k*[ln(k)]^2就可以了! (要得分,最好是:分母大于k^2, 一样证明) 很明显分母中不出现9 等价于9进制(很重要). 所以9进制数的表示法,k可表示为:k=n'0 * 9^0 + n'1 * 9^1 + .... +n'i * 9^i (n'i 为自然数) 而第K项数值的分母记为m: m = n'0 * 10^0 + n'1 * 10^1 + .... +n'i * 10^i 当K足够大时候有 m/k >{(10/9)^(i-1)> k*[ln(k)]^2/k= [ln(k)]^2 } (后面那个不等式,左边增长速度快右边[很重要].而去掉有限项对级数收敛性无影响) 所以m>k*[ln(k)]^2. 由于级数1/k*[ln(k)]^2 收敛,所以的命题得求证! 我也来解解，大家看错没错。谢谢！！ r1=一位数倒数的和， r2=二位数倒数的和， ...... rn=n位数倒数的和 ...... n位数中不含9的项共有8*（9的n-1次方） n位数倒数大于1/99.....99，小于1/100......00. 所以 rn小于8*（9的n-1次方）*1/100......00=8*[（9/10）的n-1次方] 原级数=r1+r2+....+rn+.... 很容易看出收敛的。 如果我的方法没错的话， 题目可以改成这样的。 证明：将调和级数中分母含有数字n的项去掉，所得的级数必收敛！
函数项级数一致收敛的几个判别法及其应用
函数项级数一致收敛性判别法及其应用 栾娈 20111101894 数学科学学院 数学与应用数学11级汉班 指导老师：吴嘎日迪 摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法. 关键词:一致收敛,函数项级数,和函数 1.函数列与一致收敛性 (1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列{S n （x ）}(或函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的 部分和序列)。若对任给的0>ε，存在只依赖于ε的正整数N （ε），使n > N （ε）时，不等式 ε<-)()(x S x S n 对X 上一切x 都成立，则称{S n （x ）}（∑∞ =1 )(n n x u ）在X 上一致收敛于S （x ）. 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 设 =-S S n X x ∈s u p )()(x S x S n -， 如果 0lim =-∞ →S S n n 就称S n （x ）在X 上一致收敛于S(x ). 例1 讨论 = +=X x n nx x S n 在2 2 1)([0，1]的一致收敛性 由于S （x ）=0, 故 2 11)(m a x 1 = ?? ? ??==-≤≤n S x S S S n n x o n ， 不收敛于零，故在[0，1]上非一致收敛 (2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列{f n }一致收敛于的f 几何意义：对任 给的正数ε ，存 N ，对一切序号大于N 的曲线y=f n (x )都落在以曲 线y= f (x )+ε与y=f (x )-ε为上，下边界的带形区域内. 2.函数列一致收敛的判别准则（充要条件）
调和级数的逼近函数
函数分布及解码 这里讨论的基本上是调和级数。 （1）素数分布具有一定规律，但是它的分布规律就是没有相同点，我们即便是找到一些局部的规律性，但是它依然不能应用到全部，在寻找规律时，我们一般都采用函数逼近法去解码，但是即便是解码成功，它的余函数一样不可以描述它。以下是素数分布的逼近解码函数: n n n ()ln()0.56152ln(ln()) P n n P P ε=+- 以上解码函数是8879503以内所有素数归纳出来
的，随着素数的增加，逼近函数可能还会有一些微小的变动。这是目前最为接近的中值逼近解码函数。余函数是素数分布的本身，是无法描述的，但是我们通过解码，了解到它具有波动性，和周期性。。。。。 (2)自然数倒数和 ()()1 11ln 21lim ln 2+ln 2+2222n o n c n n k α→∞-==∑ ()()011ln 21lim ln 21+ln 21+21 222n j n c n n k α→∞+=+=++∑ln 20.05796575782920672 o c α-=≈- ln 20.635181422730742 j c α+=≈ c ≈0.577215664901532860606512090082402431042159335是欧拉-马歇罗尼常数 ()1 11lim ln 2+22n o n n k α→∞=∑ ()j 111lim ln 2+1+2+1 2n n n k α→∞=∑ 以上是极限状态下得函数取值，但是实际中我们并不能达到极限状态，对于有限区间如何取值，我们就需要对函数解码，以下是自然
数倒数在有限范围内的解码函数。。。。 ()5.6 1.22911 1.017()ln(2ln(1ln(ln(1.445ln 2))))0.0172n 6ln 2()ln(20.1)n n n F n n n c n k n ε-+==+++++++-++∑解码函数比原函数偏大，函数在n=1 时误差为-0.0382064988721671，n （2,7）时误差为0.0257360642441862~0.0106247817461118，n>=7时误差为 0.00942087240133116左右，n>=70 时0.000998481033276377左右n 特别大时逐渐时趋于0。误差就是余函数ε（n ）的取值。解码逼近函数比原函数稍偏小，误差最大区间是1~7之间。
比较几种判定正项级数收敛性的方法
比较几种判定正项级数收敛性的方法 【摘要】通过对：1：比较判别法；2：根植判别法3：达朗伯耳判别法的应用范围的比较，加以对其分析， 找出若干类型题加以分类，确定哪类适合这两种判定法，归纳其特点，以便以后做题能够快速入手，遇到题目以后具体运用哪种方法更便捷提供了途径. 【关键词】比较判别法 根植判别法 达朗贝尔 例题 一：比较判别法. 1:定义 若从某一项起11n n n n n n a b a kb a b ++≤≤（或者） （k >0）,则由1 n n b ∞ =∑的收敛性可推出1 n n a ∞ =∑收敛，若从某一项起n n a kb ≥11()n n n n a b a b ++≥ 或者 （k >0）,则由1 n n b ∞ =∑发散可推出1 n n a ∞ =∑发散. 2：比较判别法的极限形势 设lim n n n a b →∞ =λ（+λ∞为有限数或）则： （i ）：0λ<<+∞时，n n a b 则和收敛性相同. （ii ）：1 1 =0b n n n n a λ∞ ∞ ==∑∑时，由收敛可推出收敛. （iii ）：1 1 b n n n n a λ∞ ∞ ===+∞∑∑时,由发散课推出发散. 3:例题 (1):证明：若级数1 n n a ∞ =∑收敛，则把该级数的项通过组合而不改变其先后顺序所得的级 数1 n n A ∞ =∑其中 1 1 n n p n i i p A a -+==∑ （11p =，12p p <<…）也收敛且具有相同的和，反之不真，举 出例子. 证 设级数1 n n A ∞ =∑的部分和序列为1,2l l ，…，n l ，…，则
交错级数的实质是无穷项n到2n的调和级数 (1)
交错级数的实质是无穷项n到2n的调和级数 摘要交错级数1-1/2+1/3-1 /4+1/5-1/6+....+[(-1)^(n-1)]/n=ln2= 1/（n+1）+....+1/（2n-1）, 这一科学成果是依据调和级数的数频理论得出的，它揭示了交错级数与调和级数的一种联系。这一数频理论的原理是等式或等价，有别与经典的近似理论。它是数学发展的未来趋势。 关键词交错级数；调和级数；数频公式；无穷大；ln2; 欧拉系数 1.调和级数的数频公式 先来研究调和级数的直接数频公式，这是没有先例的，尽管之前有一些间接的，但都不是依据等式得来的，不足为凭。 n ≥3，设S3=1＋1／2＋1／3, 1／2*S3＝1／2＋1／4＋1／6，(1) 1/2* S3=S3-1/２*S3=（１＋１／２＋１／３）－（１／２＋１／４＋１／６） ＝１＋１／３－（１／４＋１／６）＝１／２＋１／４＋１／６﹙2﹚﹙1﹚＝﹙2﹚, 可得交错级数数列， ∴１－１／２＋１／３＝２﹙１／４＋１／６﹚＝１／２＋１／３； 再设Ｓ５＝１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５， １／２*S5=1／2＋1／4＋1／6＋1／8＋1／10=S5-1／2*S5 , ﹙3﹚S5-1／2*S5=﹙1＋1／2＋1／3＋1／4＋／5﹚－﹙1／2＋1／4＋1／6＋1／8＋／10﹚ =1＋1／3＋1／5－﹙1／6＋／8＋1／10﹚, ﹙4﹚∵﹙3﹚=﹙4﹚, ∴1＋1／3＋1／5-﹙1／6＋1／8＋1／10﹚＝1／2＋1／4＋1／6+1／8＋1／10 , 可得交错级数数列，1－1／2＋1／3－1／4＋1／5＝2﹙1／6＋1／8＋1／10﹚。 再设S7=1＋1／2＋1／3＋1／4＋1／5＋1／6＋1／7, 1／2*S7=1／2＋1／4＋1／6＋1／8＋1／10＋1／12＋1／14,＝S7－1／2*S7, 可得1－1／2＋1／3－1／4＋1／5－1／6＋1／＝1／4＋1／5＋1／6＋1／7 ; 同理可得交错级数数列1－1／2＋1／3－1／4＋1／5－1／6＋1／7－1／8＋1／9 =1／5＋1／6＋1／7＋1／8＋1／ 9；.. ...................................... 当n为奇数时，n→∞, 1－1／2＋1／3－1／4＋······＋1／﹙2n－1﹚ ＝1／﹙n+1﹚＋1／﹙n＋2﹚＋.....＋1／﹙2n－1﹚; (5) 当n为偶数时, n→∞, ∑［﹙－1﹚^﹙n－1﹚]*﹙1／2n﹚＝∑[﹙－1﹚^﹙n-1﹚]*[1／﹙2n－1﹚] －1／2n ＝1－1／2＋1／3－1／4＋……＋1／﹙2n－1﹚－1／2n, ＝1／﹙n＋1﹚＋1／﹙n＋2﹚＋....＋1／﹙2n－1﹚－1／2n. ﹙6﹚ 以上﹙5﹚、﹙6﹚公式就是调和级数的数频公式。 这一数频公式首次突破了调和级数没有直接的完整的公式的表达的历史空白，突破了调和级数至今只有近似的理论向完整理论转变的局限，无疑，这奠定了数频理论的正确的发展基础。 如果在假设的条件下，认可欧拉的结论是正确的，即早在1665年，牛顿在他的《流数法》中推导出第一个幂级数， ln﹙1+x﹚=1 －x2／2＋x3／3-……+[﹙-1﹚^﹙n-1﹚]*﹙ｘ＾ｎ）／ｎ］ 欧拉在1734年利用牛顿的成果，首先获得了 1－1/2＋1／3－1／4＋……＋［﹙－１﹚^﹙n－1﹚］／ｎ＝ln2; n→∞. ﹙７﹚
CUSO4.5H2O原创 关于调和级数收敛的误解
关于调和级数收敛的误解 作者：CUSO4.5H2O 有一篇文章，证明了调和级数收敛。。。。 当然不会两种情况啊！又收敛又发散。。。 作为计算系的学生，俺来算了一把。。。。。 这个归纳法实在有点模糊。。。。 关键在 再次用到这种归纳。。。这也算归纳啊。。。。。。 首先，看到这个（3），我们很明显知道（3）中包含了子列通项是sum 1/(9+10n) ,它本身和sum 1/n 这个级数是同阶的。也是发散的。 这里却证明了收敛。。作者怎么证的呢。。。再仔细一看。。用的是正项级数的比较法。 从而可以知道了： 那么。要不就是前面证明的（1）的收敛证明错了，要不就是这里的定理用错了，即“限制在分母都是n位的时候，所有分母含9的分数之和小于分母不含9的分数之和”这个论断是错的。
不废话了。直接验证： Matlab程序如下。我们验证8位 function [ output_args ] = a( input_args ) clc sum=0; sum9=0; %% N=8; a=power(10,N-1); b=power(10,N)-1; %%下面的是从a到b开始加。含9的分数和加到sum9里面，不含9的分数和加到sum里面 for n=a:b disp((n-a)/(b-a)) i=n; F=0; %%F ±íê?o?9ó?·? while i>0 temp=mod(i,10); if temp==9 F=1; end i=(i-temp)/10; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if F==0 %%2?o?9μ?oí sum=sum+1/n; % disp(n) else sum9=sum9+1/n; end
调和级数发散性的多种证明方法
邯郸学院本科毕业论文 高昌 摘要调和级数是数学分析中一个典型的正项发散级数，证明它发散性的方法有很多．本文主要给出了证明调和级数发散的11种比较常见的方法．笔者将搜集到的证明调和级数发散的方法进行了进一步的整理，使之成为一套具有简单逻辑性的体系．根据各种方法的特点，笔者把这些方法分别归在了比较类、柯西类、积分类和级数和为无穷大类四个大类下．在每个大类下都有两个到四个不同的证明方法．为了方便将各种方法放在一起进行比较，笔者在对各种方法进行整理时，对原来有些方法的书写和步骤都有所改动，呈现形式与原证不同． 关键词调和级数发散性判别收敛 Proofs of the divergency of harmonic series Gao chang Directed by Associate Prof. Lou Xijuan Abstract Harmonic series is the mathematical analysis of a typical positive divergent series, proof it divergent method has a lot of. This article mainly gives proof harmonic diverges 11 kinds of common methods. The author will gather to proof method of harmonic diverges underwent further consolidation, make it become a set of has a simple logical system. According to the characteristics of various methods, the author put these methods shall compared respectively in classes, cauchy class, integral classes and series and four categories such as infinite. In each categories below two to four different methods of proof. In order to facilitate the comparison of various methods, the author put together in various methods to the original collation, some methods of writing and steps are varies, present form and the original
调和级数、三种排序算法
调和级数 由于调和级数发散（证明见本条目“发散性”一节），即n趋于无穷大时级数也趋于无穷大，所以这个比值也必定在某个时刻超过1；也就是说，蠕虫最终一定会到达橡皮筋另一头。然而，在这个时刻的n的值极其之大，约为e100，超过1040（1后面有40个零）。这也说明了，尽管调和级数确确实实是发散的，但它发散的速度非常慢。 另一个例子：假设你有一堆完全相同的骨牌，可以肯定的是，你可以把它们叠在一起，并使得每个骨牌都突出其下方骨牌外一定长度，最终使得最上层的骨牌完全在最底层骨牌以外甚至更远。违反直觉的是，只要你的骨牌足够多，你就可以使最上层的骨牌可以离最底层骨牌无穷远。[2][3]一个较简单的证明如下： 三种排序算法 快速排序是由东尼·霍尔所发展的一种排序算法。在平均状况下，排序n个项目要Ο(n log n)次比较。在最坏状况下则需要Ο(n2)次比较，但这种状况并不常见。事实上，快速排序通常明显比其他Ο(n log n) 算法更快，因为它的内部循环（inner loop）可以在大部分的架构上很有效率地被实作出来，且在大部分真实世界的资料，可以决定设计的选择，减少所需时间的二次方项之可能性。 步骤为： 1.从数列中挑出一个元素，称为 "基准"（pivot），
2.重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准 值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分割结束之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分割（partition）操作。 3.递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子 数列排序。 递回的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递回下去，但是这个算法总会结束，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。 快速排序的最直接竞争者是堆排序（Heapsort）。堆排序通常比快速排序稍微慢，但是最坏情况的执行时间总是O(n log n)。快速排序是经常比较快，除了introsort变化版本外，仍然有最坏情况效能的机会。如果事先知道堆排序将会是需要使用的，那么直接地使用堆排序比等待 introsort 再切换到它还要快。堆排序也拥有重要的特点，仅使用固定额外的空间（堆排序是原地排序），而即使是最佳的快速排序变化版本也需要Θ(log n)的空间。然而，堆排序需要有效率的随机存取才能变成可行。 快速排序也与归并排序（Mergesort）竞争，这是另外一种递回排序算法，但有坏情况O(n log n)执行时间的优势。不像快速排序或堆排序，归并排序是一个稳定排序，且可以轻易地被采用在链表（linked list）和储存在慢速存取媒体上像是磁盘储存或网络连接储存的非常巨大数列。尽管快速排序可以被重新改写使用在炼串行上，但是它通常会因为无法随机存取而导致差的基准选择。归并排序的主要缺点，是在最佳情况下需要Ω(n)额外的空间。
关于调和级数的发散性的几种简单证明
关于调和级数∑∞ =1 1n n 的发散性的几种简单证明 摘 要：本文主要介绍几种新的方法来证明∑ ∞ =1 1n n 的发散 关键词：∑ ∞ =1 1n n 、发散、证明 中图分类号：O221.2 on Several Simply Methods Proof of The Divergency of ∑ ∞ =1 1n n Yue chunhong College of Mathematics and Computer science, Chongqing Normal university , Chongqing 400047 Abstract : Several new methods to prove to reconcile the divergent sense in this paper Key words : ∑ ∞ =1 1n n ; pivergency; proof 1 引言 调和级数∑ ∞ =1 1n n 在级数中扮演着重要的角色，它通常作为去判断另外一个级数的发散的标准，许多级数的 证明都与它有关。因此，对调和级数的敛散性的研究是非常重要的，尤其对它的证明更是极其重要的。它的发散性的证明在教材和一些参考书中都有所证明。许多的人都在力求寻找新的证明方法。本文在文献[5]中的相关结论下,给出了5种新的证明方法。在通过教材与文献的中相关的内容的启发，得出了另外几种证明方法。 ------------------------------------------------------------------------------------------------ 2 预备知识 下面先给出证明中要用到的相关定理: 定理2.1[] 1 正项级数的基本定理： 若正项级数的部分和数列无上界，则此级数发散到+∞。
正项级数收敛及其应用公式版
公式为正常公式,不是图片版 正项级数收敛性判别法的比较及其应用 一、引言 数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。 二、预备知识 1、正项级数收敛的充要条件 部分和数列{}n S有界，即存在某正数M，对0>n?，有n S
（2）当0=l 且级数∑∞ =1 n n v 收敛时，∑∞ =1 n n u 也收敛； （3）当∞→l 且∑∞=1 n n v 发散时，∑∞ =1 n n u 也发散。 2.2 比值判别法 设∑∞ =1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着 11 ，成立不等式q u u n n ≤+1 ，则级数∑∞ =1i n u 收敛； （2）若对一切0N n >，成立不等式11 ≥+n n u u ，则级数∑∞=1 i n u 发散。 比值判别法的极限形式： 若∑∞ =1 n n u 为正项级数，则 （1） 当1lim
关于调和级数既发散又收敛的悖论的说明
调和级数悖论的剖析 ——与张慧老师商榷 蒋晓云1罗国湘2 （1桂林师专数学与计算机科学系广西桂林541001； 2桂林航天工业高等专科学校广西桂林541004） 【摘要】张慧老师在文献[1]宣称证明了调和级数是一个既收敛又发散的级数，并认为这一悖论的发现是数学理论上的一个突破。经过剖析发现文献[1]中调和级数收敛性证明是错误的。 【关键词】调和级数；收敛性；归纳法。 大家都知道费马是一位声望极高的数学家，他在研究了由公式给出的自然122+=n n F 数（后人称为费马数），发现都是素数，他曾65537,257,17,5,343210=====F F F F F 猜想：对任意一个自然数n ，费马数都是素数。然而，十八世纪的瑞士数学家欧拉却发n F 现。大数学家费马的错误告诉我们：单纯的枚举归纳法和直觉可能会67004176415×=F 欺骗我们，从而导致错误。 文献[1]宣称证明了调和级数是一个既收敛又发散的无穷级数，如果这一调和级数∑∞ =11n n 悖论真正成立的话，微积分就又得要另起炉灶。其实文献[1]中调和级数的收敛性证明又是直觉导致的错误，笔者对文献[1]的证明过程进行了剖析： 调和级数中去掉分母中含有9的项，剩余项构成的新级数：∑∞ =11n n 88 1801281201181101812111+++++++++++++=∑L L L L L u （1）L L L L L +++++++++++888 180818011800110811001文献[1]先证明（1）是（绝对）收敛的，这是很多文献已发现的一个事实（如文献[2]）。文献[1]再考虑调和级数 分母中含有9的项组成的新级数∑∞=11n n 199 119111901189111911091991901891291191911+++++++++++++++=∑L L L L v （2）L L L L ++++++++++999 128912911290128912091由于（2）中分母为一位数的各项之和的小于级数（1）中分母为一位数的各项之和；9 1（2）中分母为两位数的各项之和小于（1）中分母为两位数99 1901891291191++++++L L
级数敛散性判别方法的归纳
级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发 散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。
发散级数的性质及其应用[设计+开题+综述]
开题报告 数学 关于发散级数的性质及其应用 一．论文的研究意义及其目的 著名数学家abel说过：发散级数是魔鬼的发明。把不管什么样的任何证明建立在发散级数的基础之上都是一种耻辱。利用发散级数人们想要什么结论就可以得到什么结论，而这也是发散级数已经产生了如此多的谬论和悖论的原因。然而数学家在处理象微分方程那样的问题时发现发散级数大有作为。彭加莱在考虑天文问题的过程中更离不了发散级数，力图弄清楚这里面什么东西是有意义的，以及具有何种数学意义，于是在1886年发明了渐近级数的概念。现今，渐近级数在奇异摄动理论、组合数学（包括费曼图）等等领域中的应用取得了巨大的成功。既然发散级数渐近级数这么重要，因此本论文就是要从级数的基本性质引出发散级数，通过发散级数的病态性介绍实用性极强的渐近级数（为渐近级数大部分是发散的）。二．研究的主要内容 1. 级数的概念，级数的发散与收敛 2. 收敛级数与渐近级数 3. 渐近级数的定义以及怎样将函数展开成渐近级数 4. 发散级数的各种意义下的正则求和。比如齐查罗和，阿贝尔和，欧拉和，波雷尔和等渐近级数在计算数值积分，近似计算方面，解分方程的应用。 三．研究的主要方法和手段 结合学习过的数学分析中的级数课程，查阅关于渐近级数的介绍和应用，因为大部分渐近级数是发散的，而渐近级数在数学物理中有大量应用。通过发散级数的求和以及发散级数的一个使用来窥测渐近级数的一个小小的作用，进一步理解渐近级数的定义，并学会对一个函数展开成渐近级数，举出几个渐近级数在数学物理中的应用，加深对渐近级数的理解。四．计划进度 4月1日前写好开题报告，文献综述等 4月6号开始写初稿，并提交老师修改意见 4月27号毕业论文写完 5月份答辩
任意项级数收敛性判别法
十五. 任意项级数收敛性判别法 判断∑a n 收敛性的线索: 1°a n 是否→0; 2°是否绝对收敛; 3°是否条件收敛. 绝对收敛判别方法: 对∑| a n | 用正项级数判别法. 注意∑|a n |发散时一般不能得到 ∑a n 发散, 但|n n a a 1+|或n n a ||≥1时∑| a n |和∑a n 都发散. a n 为连乘积时用检比法,和Raabe 法, a n 为n 次幂时考虑检根法和检比法, a n 单调时考虑积分法. 以上方法困难时考虑比较法(找a n 的阶或比较级数)、级数运算、收敛原理、定义、Cauchy 准则. Leibniz 判别法 若a n ↓0, 则交错级数∑(-1)n +1a n 收敛, 其和s < a 1, 余项| R n | < a n +1. 证 s 2n = (a 1 - a 2 ) + (a 3 - a 4 ) + … + (a 2n -1 - a 2n ), s 2n +1 = a 1 - (a 2 - a 3 ) - … - (a 2n - a 2n +1) = s 2n + a 2n +1, 故s 2n ↑, s 2n +1↓, 且0 < s 2n < s 2n +1< a 1 , lim s 2n 与lim s 2n +1存在, lim (s 2n +1- s 2n ) = 0. 因此?s = lim s n , 且s < a 1. 又, | R n | = | (-1) n (a n +1 - a n +2 + a n +3 - … ) = a n +1 - a n +2 + a n +3 - … < a n +1. Abel 变换 a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n = s 1 b 1 + (s 2 - s 1 ) b 2 + … + (s n - s n -1)b n = s 1 (b 1 - b 2 ) + … + s n -1 (b n -1 - b n ) + s n b n =∑-=+-1 11)(n k k k k b b s + s n b n , 其中s n = a 1 + a 2 +…+ a n . 利用Abel 变换, 把∑a n b n 的收敛问题化为∑s n (b n - b n +1)与{s n b n }的收敛问题. Di 法 {s n }有界, b n ↓0 (或↑0)?∑a n b n 收敛. (对积分:?t a f 有界,g ↓0??b a fg 收敛.) A 法 ∑a n 收敛, {b n }单调有界?∑a n a n 收敛. (积分:?b a f 收敛, g 单调有界??b a fg 收 敛.) 证 D 法: 设 | s n |≤M , 则s n b n ↓0,∑-=+-111|)(|n k k k k b b s ≤M ∑=n k 1(b k - b k +1) = M (b 1 - b n )≤ Mb 1, 故∑s n (b n - b n +1)绝对收敛. A 法: 设s n →s , | s n |≤M , b n ↓b , 则s n b n →sb ,∑-=+-111|)(|n k k k k b b s ≤M (b 1 - b n )≤M (b 1 - b ). 注1. 用这三个判别法(L 法是D 法的特例)不能判断发散性. 当然, 如果已经用前面的方法得到∑| a n |发散, 用这三个方法就能判断∑a n 的条件收敛性, 但不能由此而误认为它们是条件收敛判别法 注2. 用D 法证A 法: ∑a n 收敛?{s n }有界; {b n }减、有界??b 使b n ↓b ? b n - b ↓0. 由D 法, ∑a n (b n -b )收敛, 而∑ba n 收敛, 故∑a n b n 收敛. 类似地可证上册p.276.10. *级数与广义积分 给定∑a n , 定义阶梯函数f :[1,∞)为f (x ) = a n (n ≤x
调和级数发散性的多种证明
调和级数发散性的证明方法 姓名：范璐婵 摘要：本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或方法导出的。 关键词：调和级数发散性部分和收敛 Proofs of the divergency of harmonic series Name: Fan Luchan Director: Wang Yingqian Abstract:Eighteen methods to prove the divergency of harmonic series are presented in this paper.Some are known and some are new. Key words:harmonic series; divergency; partial sum; convergency 引言 调和级数 11 n n ∞ = ∑的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆（1323——1382）在 极限概念被完全理解之前的400年证明的。他的方法很简单： 1111111 1 ++++++++ 级数的括号中的数值和都为1 2 ，这样的 1 2 有无穷多个，所以后一个级数是趋向无 穷大的，进而调和级数也是发散的。 后来，大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明。他的证明是以莱布尼茨的收 敛级数1111 1 2612(1) n n +++++= + 为基础的。以下是他的证明。 证明：11 1 22 =-， 111 623 =-， 111 1234 =- ， 111 (1)1 n n n n =- ++
关于级数敛散性的判别[1]重要
专题七关于级数敛散性的判别 无穷级数是《数学分析》的一个重要组成部分,是研究“无穷项相加”的理论,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.如今,无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域,成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具.同时它也是硕士研究生入学考试的重要考核内容.但是,由于判定级数敛散性的方法和理论太多,学生在短时间内很难把握,这里就对敛散性的判定就一些问题进行解疑,以期对学习者有所帮助. 在18世纪，甚至到今天，无穷级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的部分．除了用于微积分之外，级数的主要应用之一在于计算一些特殊的量，如p和e,以及对数函数和三角函数值.无穷级数也是进一步研究函数的有力工具：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数,微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。随着研究领域的逐渐扩展，数学家们运用无穷级数所取得的成功变得越来越多． 级数是一门非常活跃的学科, 这方面的研究工作近年来显得十分活跃,全世界出现的文献数量越来越多,各种国际会议文集更是不少.21世纪的级数将发展成什么样子?这是难以预测和估计的问题:猜想今后二三十年里,级数将会紧紧地伴随着计算机数学同时迅速地向前发展.将会扮演各种“解题机”的重要组成部分.另一方面,级数的理论进展将会深深地受益于别的数学分支,猜想代数学的一些分支、拓扑学的一些方法、概率论方法以及非标准分析方法等都会给级数研究提供有效的新工具,同时也会与级数结合起来,创造出对其他学科有用的新方法,级数的发展还会受到各门应用学科的需要而形成种种带有实际色彩的新方向. 数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。级数的收敛问题是级数理论的基本问题,是当今“数学分析”的重要内容.判别数值级数的收敛或发散,是无穷级数的重点．人们已经创造了很多判别级数敛散性的方法，究竟用哪种方法较好呢？一般说来，使用起来较简便的方法，很可能适应的范围较小，而适应范围较大的方法，又往往比较繁难．对于判别一个数项级数的敛散性，可以从下面的思路来考虑使用某种比较恰当的方法： (1)首先，考虑当项数无限增大时，一般项是否趋于零．如果不趋于零，便可判断级数发散．如果趋于零，则考虑其它方法． (2)考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定，如能确定，则级数的敛散性自然也明确了．但往往部分和数列的通项就很难写出来，自然就难以判定其是否有极限了，这时就应考虑其它方法． (3)如果级数是正项级数，可以先考虑使用达朗贝尔判别法或柯西判别法是否有效．如果无效，再考虑用比较判别法或者其他的判别法．这是因为达朗贝尔判别法与柯西判别法使用起来一般比较简便，而比较判别法适应的范围却很大． (4)如果级数是任意项级数，应首先考虑它是否绝对收敛．当不绝对收敛时，可以看看它是不是能用莱布尼兹判别法判定其收敛性的交错级数． 问题1：正项级数的判敛法常见的包括哪些？ 答：正项级数的三种常见的判别法： 无穷级数包括数项级数和函数项级数,而正项级数又是常数项级数的一种.关于正项级数敛