“北约”自主招生数学试题及答案(2010-2014)

2014年北约自主招生数学试题

1.圆心角为60的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积.

1.【解】设扇形的半径为r ,则由2

1623

r ππ=?,得6r =. 于是扇形的弧长为623

l π

π=

?=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1, 所以底面面积为21ππ?=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.

2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.

2.【解】由题知所有分组方法有334

10742

22100C C C N A =

=种.

3.如果2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ,求a 的取值范围.

3.【解】由题意22u x ax a =-+的值域包含区间(0,)+∞,则22u x ax a =-+与x 有交点, 故2(2)40a a ?=--≥,解得1a ≥或0a ≤.

4.设2()2()

()33

a b f a f b f ++=

,且(1)1,(4)7f f ==,求(2014)f .

4.【解】由(1)1,(4)7f f ==得421(4)2(1)

(2)()333

f f f f +?+===; 124(1)2(4)

(3)()5

33

f f f f +?+===,由数学归纳法可推导得*()21,f n n n N =-∈, 所以(2014)4027f =.

5.已知1x y +=-且,x y 都是负数,求1

xy xy

+

的最值.

5.【解】由0,0x y <<可知,1||1||||1x y x y x y +=-?+=?+=,

所以2(||||)1||||||44x y xy x y +=?≤=,即1

(0,]4

xy ∈,

令1(0,]4t xy =∈,则易知函数1y t t =+在(0,1]上递减,所以其在1

(0,]4

上递减,

于是1xy xy +有最小值117

444

+=,无最大值.

6.已知22()arctan

14x f x c x +=+-在11

(,)44

-上是奇函数,求c .

6.【解】奇函数(0)0f =,故arctan2c =-.

7.证明tan3是无理数.

7.【证明】由三角公式22tan tan tan tan 2,tan()1tan 1tan tan ααβ

ααβααβ

+=

+=

--?, 若tan3是有理数,则tan 6,tan12,tan 24为有理数,再由tan 6和tan 24可得tan 30为有理数,这与3

tan 30=

!因此,tan3是无理数.

8.已知实系数二次函数()f x 与()g x 满足3()()0f x g x +=和()()0f x g x -=都有双重实根,如果已知()0f x =有两个不同的实根,求证()0g x =没有实根.

8.【证】由题可设2211223()()(),()()()f x g x a x b f x g x a x b +=--=-,其中120,0a a ≠≠, 则22221222112211()[()()],()[()3()]44

f x a x b a x b

g x a x b a x b =-+-=---, 由()0f x =有两个不同的实根,则必有12,a a 异号,且120a a +≠, 此时22212112211221()[()2()]4

f x a a x a b a b x a b a b =+-+++,

即2222112212112212124()4()()4()0a b a b a a a b a b a a b b ?=+-++=-->,所以12b b ≠, 故此时观察2211221()[()3()]4

g x a x b a x b =---可知,

12,3a a -同号,且1230a a -≠,12b b ≠,故()0g x >恒成立,即证明()0g x =没有实根.

9.1213,,

,a a a 是等差数列,{|113}i j k M a a a i j k =++≤<<≤,问:716

0,,23

是否可以同时在

M 中,并证明你的结论.

9.【解】不可以同时在M 中,下面给予证明.假设716

0,,23

同时在M 中,

设*(113,)k a a kd k k N =+≤≤∈,其中d 为公差,则

*{3()|113}{3|636,}M a i j k d i j k a md m m N =+++≤<<≤=+≤≤∈

于是存在正整数6,,36x y z ≤≤,使得30,73,21633a xd a yd a zd ?

?+=??+=???+=??

从而7(),216()3y x d z x d ?

-=????-=??

也所以21

32

y x z x -=-,由于21,32互质,且,y x z x --为整数,则有||21,||32y x z x -≥-≥, 但||36630z x -≤-=,矛盾!假设错误,即证明716

0,,23

不可以同时在M 中.

10.已知12,,,n x x x R +∈,且121n x x x =,求证

:12)(2)1)n n x x x +≥.

10.【证】

(一法:数学归纳法

)①当1n =

时,111x =≥=右边,不等式成立; ②假设*(

1,)n k k

k N =≥∈时,

不等式12)(2)1)k k x x x +≥成立.

那么当1n k =+时,则12

11k k x x x x +=,由于这1k +个正数不能同时都大于1,也不能同时都

小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设11,01k k x x +≥<≤, 从而111(1)(1)01k k k k k k x x x x x x +++

--≤?+

≥+,所以

1212)

(2(2)

k k

x x x x +

+ 121

1

2)[22()]

k

k k

k x x x

x x x ++=++

+

1

121

2)

(2(2(1)1)(2

1)

k k k k x x x x ++

≥+≥= 其中推导上式时利用了12

11()1k k k x x x x x -+=及n k =时的假设,故1n k =+时不等式也成

综上①②知,不等式对任意正整数n 都成立. (二法)

左边展开得12)(2)n x x x

+

12121

212

1

11(

)(2)(

)k k n

n

n n n k i i j i i i n i i j n

i i i n

x x x x x x x x x ---=≤<≤≤<<<≤=+++

++∑∑

∑

由平均值不等式得

11

121212121

1

1211(

)

(()

)

k k k

n

n n

k k k k C C C k k k

i i i n

i

i i n n n i i i n

i i i n

x x x C x x x C x x x C --≤<<<

≤≤<<<

≤≥==∑

∏

故12)(2)n x x x +

112

2

)

)2)(

2)(21)n n n n k

k

n

n

n n n

n

C C C C ---≥+

++

+=+,即证

. (三法)由平均值不等式有

1

1

1()n n

n

k k n ==≥

……①

;111

(n n

n k k n ==

≥……②

①+

②得1

()

n

k k n n x =≥,即12)(2)1)n n x x x +≥成立.

2013年北约自主招生数学试题与答案

（时间90分钟，满分120分）

1．

和1

A. 2

B. 3

C. 5

D. 6

解析：显然，多项式23

()(2)(1)2f x x x ??=---??的系数均为有理数，

且有两根分别为

和1.

和1-于5.

若存在一个次数不超过4的有理系数多项式4

3

2

()g x ax bx cx dx e =++++，

其两根分别为

和1,,,,a b c d e 不全为0，则：

420

(42)(2020

a c e g

a c e

b d b d ++=?=++++=??

+=?

(

1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++=

70

2320a b c d e a b c d +---=???

+++=? 即方程组：420(1)

20(2)

70

(3)2320(4)630

(5)

a c e

b d a b

c

d

e a b c d a b c ++=??+=??

+---=??+++=?++=??，有非0有理数解. 由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x

和1

和1为两根的有理系数多项式的次数最小为5.

2． 在66?的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只

有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400

解析：先从6行中选取3行停放红色车，有3

6C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；

最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有3

6654614400C ????=种停放汽车的方法.

3． 已知2

2

25,25x y y x =+=+，求3

2

2

3

2x x y y -+的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知：

32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x -+=+-++++1515450x y xy =---

由2

2

25,25x y y x =+=+两式相减得()()22x y x y y x -+=-故y x =或2x y +=-

①若x y =则2

25x x =+，解得1x =±于是知1x y ==+1x y ==

当1x y ==+

3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x x -+=-++-=---=-----

3870108x =--=--.

当1x y ==

3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x -+=--+-=---=-+---

22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-?+=-3870108x =--=-+.

（2）若x y ≠，则根据条件知：2

2

(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-?+=-，于是2

2

(25)(25)2()106x y y x x y +=+-+=++=，

进而知222()()

12

x y x y xy +-+=

=-. 于是知：3

2

2

3

2415()5016x x y y xy x y -+=-+-=-.

综上所述知，3223

2x x y y -+的值为108-±或16-.

4． 数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a .

A. 3019?2 2012

B. 3019?22013

C. 3018?22012

D.无法确定

解析：根据条件知：1221221424244n n n n n n n n n a S a S a a a a a ++++++++==+=++?=-.

又根据条件知：1212121,425a S a a a a ==+=+?=. 所以数列{}1221:1,5,44n n n n a a a a a a ++===-.

又212114422(2)n n n n n n n a a a a a a a +++++=-?-=-.令12n n n b a a +=-，

则11212,23n n b b b a a +==-=，所以132n n b -=?.即1

1232n n n a a -+-=?.

对1

1232n n n a a -+-=?，两边同除以12n +，有

113224n n n n a a ++-=，即113224

n n n n

a a ++=+.令2n

n n a c =，则134n n c c +=+，11122a c ==，于是知1331

(1)244

n n c n -=+-=.所以

231,2(31)24

n

n n n a n --==-?.于是知：201120122013(320131)230192a =?-?=?.

5．如图，ABC ?中，AD 为BC 边上中线，,DM DN 分别,ADB ADC ∠∠的角平分线，试比较BM CN +与MN 的大小关系，并说明理由.

A. BM+CN>MN

B. MN +CN

C. BM+CN =MN

D.无法确定

解析：如图，延长ND 到E ，使得DE DN =，连接BE ME 、.

易知BDE CDN ???，所以CN BE =.又因为,DM DN 分别为,ADB ADC ∠∠的角平分线，所以90MDN ∠=?，知MD 为线段EN 的垂直平分线，所以MN ME =.所以

BM CN BM BE ME MN

+=+>=.

6.模长为1的复数A B C 、、，满足0A B C ++≠，求AB BC CA

A B C

++++的模长.

A. -1/2

B. 1

C. 2

D.无法确定

解析：根据公式z =

1,1,1A A B B C C ?=?=?=.于是知：

AB BC CA

A B C ++=

++

=

1=

=.

所以

AB BC CA

A B C

++++的模长为1.

7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数. 解析：所有正整数按取模3可分为三类：3k 型、31k +型、32k +型.

首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取3k 型数为3a ，31k +型数为31b +，32k +型数为32c +，

则3(31)(32)3(1)a b c a b c ++++=+++，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类. 其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类3(012)k r r +=、、型的数至少取到三个，设其中三个分别为333a r b r c r +++、、，

则(3)(3)(3)3()a r b r c r a b c r +++++=+++，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.

结合上述两条，我们知道最多只能取224?=个数，才有可能满足题设条件. 另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件. 综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.

8．已知1232013a a a a R ∈、、、、，满足12320130a a a a ++++=，且

1223342012201320131

22222a a a a a a a a a a -=-=-=

=-=-，

求

证

：

12320130a a a a ===

==.

解析：根据条件知:

122334************(2)(2)(2)(2)()0

a a a a a a a a a a a a -+-+-++-=-++++=，

（1）

另一方面，令

1223342

131

2222a a a a a a a a m -=

-=-==-=，则1223

34

2222a a a a a a a a ----、、、、中每个数或为m ，或为m -.设其中有k 个m ，

(2013)k -个m -，则：

12233420131(2)(2)(2)(2)(2013)()(22013)a a a a a a a a k m k m k m

-+-+-+

+-=?+-?-=-

（2）

由（1）、（2）知：

(22013)0k m -= （3）

而22013k -为奇数，不可能为0，所以0m =.于是知：

12233420122013201312,2,2,,2,2a a a a a a a a a a =====.

从而知：2013

112

a a =?，即得10a =.同理可知：2320130a a a ====.命题得证.

9．对任意的θ，求6

32cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值. 解析：根据二倍角和三倍角公式知：

632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---

622232cos (2cos 31)6(2cos 21)15(2cos 1)θθθθ=------

632222

32cos 2(4cos 3cos )162(2cos 1)115(2cos 1)θθθθθ????=--------????

664242232cos (32cos 48cos 18cos 1)(48cos 48cos 6)(30cos 15)

θθθθθθθ=--+---+--10=.

10．已知有mn 个实数，排列成m n ?阶数阵，记作{}

mxn

ij

a ，使得数阵中的每一行从左到

右都是递增的，即对任意的123i m =、、、、，当12j j <时，都有12ij ij a a ≤.现将{}

mxn

ij

a 的

每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ?阶数阵，记作

{}

mxn

ij a '，即对任意的123j n =、、、、，当12i i <时，都有12i j i j a a ''≤.试判断{}

mxn

ij

a '中每一

行的n 个数的大小关系，并说明理由.

解析：数阵{}

mxn

ij

a '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，理由如下：

显然，我们要证数阵{}

mxn

ij

a '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于

任意123i m =、、、、，都有(1)ij

i j a a +''≤，其中1231j n =-、、、、. 若存在一组(1)pq p q a a +''>.令(1)(1)k k q i q a a ++'=，其中1

23k m =、、、、，{}{}123,,,,1,2,3,,m i i i i m =.则当t p ≤时，都有(1)(1)(1)t

t

i q i q t q p q pq a a a a a +++'''≤=≤<.也

即在(123iq a i =、

、、、m)中，至少有p 个数小于pq a '，也即pq a '在数阵{}

mxn

ij a '的第q 列中，

至少排在第1p +行，与pq a '排在第p 行矛盾.

所以对于任意123i m =、、、、，都有(1)ij

i j a a +''≤，即数阵{}

mxn

ij a '中每一行的n 个数从左到

右都是递增的.

2012年“北约”自主招生数学试题及解答

2011年“北约”自主招生数学试题及解答

2010年“北约”自主招生数学试题及解答

1．（仅文科做）02

απ

<<

，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02

x π

<<

时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02

x π

<<

上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->． (0)0g =，当02x π<<

时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02

x π<<

上单调增。 ∴在02

x π

<<

上有()(0)0g x g >=。即tan x x >。 注记：也可用三角函数线的方法求解．

2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB

（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为

x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；

⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．

不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．

且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或； 对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．

H

F

E

1

x-1

下面研究正五边形对角线的长．

如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5

EFH HFG GFI IGF FGH π

∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EF EH x FG

x HG =

==-

．解得x =

3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分） 【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线

BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，

且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>． 由于2y x '=-，

于是AC 的方程为2222x x y y =--；①

BD 的方程为1122x x y y =--． ②

联立,AC BD 的方程，解得12

1221(,1)2()y y E x x x x ---．

对于①，令0y =，得2

2

2(,0)2y C x -；

对于②，令0y =，得1

1

2(,0)2y D x -．

于是22

12121212

22112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121

(1)2

ECD S CD x x ?=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则

2222111111

()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b ?++=++=+++++

1111

()(2)(2)44a b ab ab ab ab

=+++?++≥ ③

0s >，则有

331111111

(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ?=++=++++++

6个 9个

124

3

691616111116)]8()2393s s s ??[?(?()=?≥3218)3=?( ④

又由当12x a x b s ==-=时，③，④处的等号均可取到．

∴min ()ECD S ?=

注记：不妨设311

()(2)2g s s s s

=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．

由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当21

3

s <时()0g s '>．

则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =

时()g s 取得最小值．

4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当01

05

t <<

时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令

2

22()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-?-?2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+．

其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1

154cos 3

αα+-+≤≤．

当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<

． 当12cos 1054cos α

α

+-<+≤

时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意．

于是夹角的范围为2[,]23

ππ

．

5．（仅理科做）存不存在02

x π

<<

，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )

cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x

-+-=-=，

则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x

x x

+=．

若cos sin 0x x -=，有4

x π

=．而此时1,122不成等差数列；

若cos sin 1sin cos x x x x

+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =

而11

sin cos sin 2(0,]22

x x x =∈，矛盾！

2011北约自主招生物理真题

2011年综合性大学自主选拔联合考试 物理试题 一 （14分）平行轨道上停着一节质量M=2m 的小车厢，车厢与水平铁轨之间摩擦可略。有N 名组员沿铁轨平行方向列队前行，另有一名组长在最后，每名组员的质量同为m 。 1. 当组员们和组长发现前面车厢时，都以相同速度0v 跑步，每名组员在接近车厢时又以20v 速度跑着上车坐下，组长却因跑步速度没有改变而恰好未能追上车，试求N ． 2. 组员们上车后，组长前进速度减为0v 2 ，车上的组员朝者车厢前行方向一个接着一个水平跳离车厢，跳离后瞬间相对车厢速度大小同为u ，结果又可使组长也能追上车。试问，跳车过程中组员们总共至少消耗掉人体中的多少内能？ 二 （12分）一弹簧的自然长度为l ，劲度系数为k ．现有质量各为m 的两个均匀铁质球 体，用上述弹簧连接起来。设上述2个铁球中心与整个弹簧都始终保持一条直线上，并己 知铁的密度为ρ。 1. 当弹簧处于自然长度时，两铁球由静止释放，求两球之间的万有引力将使弹簧压缩的最大长度； 2. 上述体系绕其中心转动，角速度多大时，两球之间的弹簧长度司以保持为l ？ 三 （16分）将一天的时间记为T ，地面上的重力加速度记为g ，地球半径记为e R 。 1. 试求地球同步卫星P 的轨道半径p R ； 2. 赤道城市A 的居民整天可看见城市上空挂着同步卫星P ； 2.1 假设P 的运动方向突然偏北转过045，试分析判定而后当地居民一天能有多少次机会可 看到P 掠过城市上空？ 2.2 取消“2.1”问中的偏转，改设P 从原来的运动方向突然偏向西北转过0105，再分析地 判定而后当地居民一天能有多少次机会可看到P 掠过城市上空？ 3. 另一个赤道城市B 的居民，平均每三天有四次机会可看到某卫星Q 自东向西掠过该城市上空，试求Q 的轨道半径Q R . 四 （14分）设无重力空间中有匀强电场E u r ,现有两个质量均为m 的小球A 、B ，A 带电量q(q>0)， B 不带电，t=0时，两球静止，且相距0 30，AB u u u r 的方向与E u r 的方向相同。从t=0时刻开始，A 由于受到电场作用向B 运动，A 与B 相遇时发生第一次弹性正碰撞（其性质参见题五），碰撞

2012年北约自主招生物理试题(附详细答案word版)

2012年北约自主招生试题（答案附后） 物 理 一、选择题（单选题，每题4分） 1．两质量相同的卫星绕地球做匀速圆周运动，运动半径之比为R １:R 2＝１:２，则关于两卫星的下列说法正确的是（ ） A ．向心加速度之比为a 1:a 2=1:2 B ．线速度之比为v 1:v 2=2:1 C ．动能之比为E k1:E k2=2:1 D ．运动周期之比为T 1:T 2=1:2 2．如图所示，通电直导线旁边放一个金属线框和导线在同一平面内， 以下哪种运动方式不能使框abcd 中产生感应电流？ A ．线框以A B 为轴旋转 B ．线框以ad 为轴旋转 C ．线框向右移动 D ．线框以ab 为轴旋转 3．相同材料制成的一个圆环Ａ和一个圆盘B ，厚度相同，且两者起始温度和质量也相同，把它们都竖立在水平地面上，现给它们相同的热量，假设它们不与任何其它物体进行热交换，则升温后的圆环A 的温度ｔA 与圆盘B 的温度ｔＢ的大小关系是（ ） A ．t A >t B B ．t A > d,r>>d ，问： （1）接收屏上的干涉条纹间距是多少？ （2）设单缝A 的宽度b 可调，问b 增大为多少时干 c d

2013年北约数学试题

2013年北约自主招生数学试题解析 1、以2和321-为两根的有理系数多项式的次数最小是（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．6 2、在66?的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法 （ ） A ．720 B ．20 C ．518400 D ．14400 3、已知522 +=y x ，522 +=x y ，求3 2 2 3 2y y x x +-的值． 4、如图，ABC ?中，AD 为BC 边上的中线，DN DM ,分别为ADC ADB ∠∠,的角平分线，试比较 CN BM +与MN 的大小关系，并说明理由． 5、设数列{}n a 满足11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S ，求2013a ． 6、模长为1的复数z y x ,,满足0≠++z y x ，求z y x zx yz xy ++++． Ａ Ｃ Ｎ

2 7、最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数． 8、已知i a ，2013,,3,2,1 =i 为2013个实数，满足02013321=++++a a a a ，且 212a a -322a a -==…120132a a -=，求证02013321=====a a a a ． 9、对于任意的θ，求θθθθ2cos 154cos 66cos cos 326---的值． 10、已知有mn 个实数，排列成n m ?阶数阵，记作{}n m ij a ?使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的m i ,,3,2,1 =，当21j j <时，有2 1ij ij a a <；现将{}n m ij a ?的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺 序排列，形成一个新的n m ?阶数阵，记作{} n m ij a ?' ，即对任意的n j ,,3,2,1 =，当21i i <时，有 j i j i a a 21''<，试判断{}n m ij a ?'中每一行的各数的大小关系，并加以证明． 【参考答案】

2014年北约自主招生语文试题汇总及解析

2014年北约自主招生语文试题汇总及解析(部分) 一、填空题(部分) 1.很多人的第一次骄傲( )是从戴上北大( )清华的校徽开始的。 答案：感；或 清北解析：这句话选自文章《北大是清泉，清华是岩浆》，作者是北大中文系的李方， 与好友鑫华同念。这两个空不难，凭借基本的语感和简单的逻辑便可答出。但刚拿到这道题， 考生们会有一种不知所云的感觉。考察这两个空的意义何在？也许这道题的意义不在这两个 空，而在于试卷的开始激励考生的斗志，也在于引导考生去阅读这样一篇深入剖析北大清华 校园氛围的美文，去更好地了解他们心中的理想学府。 2.高端大气上档次，低调奢华(有内涵);时尚亮丽(小清新)，可爱乡村非主流。 答案：这是一段网络流行用语，全文是：“高端大气上档次，低调奢华有内涵，简约时 尚国际范，奔放洋气有深度，低端粗俗甩节操，土鳖矫情无下限，装模作样绿茶婊，外猛内 柔女汉子，卖萌嘟嘴剪刀手，忧郁深沉无所谓，狂拽帅气叼炸天，冷艳高贵接地气，时尚亮 丽小清新，可爱乡村非主流，贵族王朝杀马特，提莫团战必须死。” 清北解析：题目看似轻松有趣，多多少少舒缓了紧张的考试氛围，但实际上，考生如果 不关注时下的流行用语，回答这道题可并不简单。另一方面，严格说来，这道题属于“对联 题”，分号前后两句分别是一组对仗。考生如果不了解当下的流行用语，也可现场思考，把 它当成一道传统的对联题来做。点评：这道题考察了被很多考生称为“闭着眼睛都能填出来” 的最新网络热词。题目看似轻松有趣，多多少少舒缓了紧张的考试氛围，但实际上，考生如 果不关注时下的流行用语，回答这道题可并不简单。 另一方面，严格说来，这道题属于“对联题”，分号前后两句分别是一组对仗。

北约自主招生语文试题

2014综合性大学自主选拔录取联合考试（北约） 人文科学基础——文科试卷 语文部分 一、选择题（每道题2分，共10分） 1．与“常、胖、剑”不是一类的是（） A．吊 B．畔 C．到 2．下列成语正确的是（） A．一脉相成 B．按部就班 C．带罪立功 3．“六六三十六”最多可以有几种理解（） A．1 B．3 C．5 4．“红楼隔雨相望冷，珠箔飘灯独自归”，这句诗的作者是（） A．杜甫 B．李白 C．李商隐 5．王国维描述的三种学术境界最初的一种是（） A．衣带渐宽终不悔，为伊消得人性悴。 B．昨使西风凋碧树、独上高楼、望尽天涯路。 C．众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。 二、填空题（每空1分，共10分） 6．有一种江湖黑话，“布”用“摆故”表示，“普”用“排骨”表示，据此，“母”可以用两个字“”与“”来表示。 7．很多人的第一次骄傲是从戴上北大清华校徽开始的。 8．同是我这一个人，要写正经的文章就为了推敲出一个字出心肝，若写些所谓小品，我却是日试万言，可待。 9．研究学习调查分析保证 10．高端大气上档次，低调奢华，时尚亮丽，可爱乡村非主流。 三、将下段古文翻译成现代汉语（20分） 11．今王公夫人其所富其所贵皆王公大人骨肉之亲无故富贵面目美好者也今王公大人骨肉之亲无故富贵面目美好者焉故必知哉若不知使治其国家则其国家之乱可得而知也今天下之士君子皆欲富贵而恶贫贱然女何为而得富贵而辟贫贱哉曰莫若为王公大人骨肉之亲无故富贵面目美好者王公大人骨肉之亲无故富贵面目美好者此非可学能者也使不知辩德行之厚若禹汤文武不加得也王公大人骨肉之亲躄喑聋瞽①暴为桀纣不加失也是故以赏不当贤罚不当暴……若此则饥者不得食寒者不得衣乱者不得治 ——选自《墨子·尚贤下》【注】①躄（bì），跛足。喑（yīn），哑巴。瞽（gǔ），瞎子。 四、指出下面古文的标点断句错误，并加以纠正。（每小题2分，共4分） 12．楚子之为令尹也，杀大司马薳，掩而取其室。在襄三十年。○薳，于委反。掩，於检反。及即位，夺薳居田。居，掩之族。言薳氏所以怨。 13．七月，郑子产为火故，大为社。注；为，治也。《释文》：为，火故，于伪反，下降为蒐同。

北约自主招生数学试题

2013年北约自主招生数学试题与答案 2013-03-16 （时间90分钟，满分120分） (33312(7)(232)2(63)40g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++= 702320a b c d e a b c d +---=???+++=? 即方程组：420(1)20(2)70 (3)2320(4)630(5) a c e b d a b c d e a b c d a b c ++=??+=??+---=??+++=?++=??，有非0有理数解. 由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x 2312-2312为两根的有理系数多项式的次数最小为5. 1． 在66?的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400 解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择； 最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位

置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有3 6654614400C ????=种停放汽车的方法. 2． 已知2225,25x y y x =+=+，求32232x x y y -+的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知： 32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x -+=+-++++1515450x y xy =--- 由22 25,25x y y x =+=+两式相减得()()22x y x y y x -+=-故y x =或2x y +=- ①若x y =则225x x =+，解得1x =±于是知1x y ==+1x y == 当1x y ==+ 3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x x -+=-++-=---=----- 3870108x =--=--. 当1x y == 3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x -+=--+-=---=-+--- 22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-?+=-3870108x =--=-+. （2）若x y ≠，则根据条件知：22 (25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-?+=-，于是22(25)(25)2()106x y y x x y +=+-+=++=， 进而知222()()12 x y x y xy +-+==-. 于是知：3223 2415()5016x x y y xy x y -+=-+-=-. 综上所述知，32232x x y y -+的值为108-±或16-. 3． 数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a . A. 3019?2 2012 B. 3019?22013 C. 3018?22012 D.无法确定 解析：根据条件知：1221221424244n n n n n n n n n a S a S a a a a a ++++++++==+=++?=-.又根据条件知：1212121,425a S a a a a ==+=+?=.

“北约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)

2010年“北约”自主招生数学试题及解答 1．（仅文科做）02 απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<< 时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02 x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->． (0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02 x π<<上单调增。 ∴在02 x π<< 上有()(0)0g x g >=。即tan x x >。 注记：也可用三角函数线的方法求解． 2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB （25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面 直角坐标系． ⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<； ⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）． 不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是 合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上． 且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或； 对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是 22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ． 下面研究正五边形对角线的长． I H G F E 1 111x x-1

2013年北约自主招生物理解析

2013年北约自主招生物理解析 【试题总评】2013年高水平大学（北约）自主选拔学业能力测试物理探究试题内容大多数与高考难度接近，显示了“基础为能力载体”的命题导向。试题覆盖了中学物理的力学、热学、电学、光学、原子物理五大部分，对考生的思维能力、建模能力和灵活运用知识能力要求较高。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题(单项选择，每题5 分，共20 分) l.简谐机械波在同一种介质中传播时，下述结论中正确的是( ) A．频率不同时，波速不同，波长也不同 B．频率不同时，波速相同，波长则不同 C．频率不同时，波速相同，波长也相同 D．频率不同时，波速不同，波长则相同 解析：机械波在同一种介质中传播时波速相同，由v=λf可知，频率不同时，波长则不同，选项B正确。 答案：B 【点评】此题考查机械波的传播，难度不大。机械波传播速度只与介质有关，与频率无关；而电磁波传播速度与介质和频率都有关。 2.一个具有放射性的原子核A 放射一个β粒子后变成原子核B，原子核B 再放射一个α粒子后变成原子核C，可以肯定的是( ) A．原子核A 比原子核B 多2 个中子 B．原子核A 比原子核C 多2 个中子 C．原子核为A 的中性原子中的电子数，比原子核为B 的中性原子中的电子数少1 D．原子核为A 的中性原子中的电子数，比原子核为C 的中性原子中的电子数少1 解析：一个具有放射性的原子核A 放射一个β粒子后变成原子核B，质量数不变，质子数增加1，中子数减1；原子核B 再放射一个α粒子后变成原子核C，质子数减2，质量数减4..。原子核 A 比原子核B 少1个中子多1个质子，选项A错误。原子核A 比原子核C多1个质子，多3个中子，选项B错误。原子核为A 的中性原子中的电子数，比原子核为B 的中性原子中的电子数多1，选项C错误。原子核为A 的中性原子中的电子数，比原子核为C 的中性原子中的电子数少1，选项D正确。 答案：D 【点评】此题考查放射性衰变，可利用α衰变规律和β衰变规律解答，难度不大。 3．人在平面镜前看到站在自己身边朋友在镜中的像时，虽然上下不颠倒，左右却互换了。今将两块相互平行的平面反射镜如图放置，观察者 A 在图示 右侧位置可看到站在图示左侧位置的朋友B，则 A 看到的像

2014北约数学试题

2014北约数学试题（回忆版） 一、选择题（每题8分） 1.圆心角是60°的扇形，面积为6π。求扇形围成的圆锥的表面积（） A? B.7π C D 2.10个人分成3组（3、3、4），共有_____种分法。 A1070 B2014 C 2100 D4200 3.已知函数f(x) ，满足f[(a+2b)/ 3]=[f(a)+f(2b)]/3 , f(1) =1，f(4)=7，则f(2014)= （）A4027 B4028 C4029 D4030 4.函数f(x) =lg（x2-2ax+a），值域是（-∞，+∞），则a的取值范围是（）A1≥a≥0 B C D1≤a 或0≥a 5.x、y均为负数，且x+y=-1，，那么xy+1/xy有（）最大值17/4 最小值17/4 最小值-17/4 最大值-17/4 6.若f(x)=arctan[(2-2x）/（1+4x）]是在[-1/4,1/4]上的奇函数，则C= A 0 B-arctan2 Carctan2 D 不存在 二、解答题（每题18分） 7.证明：tan3o是无理数 8.实二次函数f(x)和g(x)满足，3f(x)+g(x)=0,f(x)-g(x)=0都只有一对重根，f(x)=0有两个不相等的实根，证明：g(x)=0无实根 9.已知a1、a2、a3、…、a13成等差数列，集合M={a i+a j+a k|1≤i

北约和华约自主招生有什么不同

专家揭秘：北约和华约自主招生有什么不同？ 来源：高分网文章作者：cindy0403 发布日期：2011-09-07 自2003年我国开始实施高校自主招生探索人才选拔制度改革以来，每年的自主招生考试愈演愈烈。在两个主要联盟“北约联盟”和“华约联盟的自主招生考试中，虽然“北约”试题难度比‘华约’的要小一些，但“华约”的考试方式更统一，“华约”上午进行阅读与写作考试。 自2003年我国开始实施高校自主招生探索人才选拔制度改革以来，每年的自主招生考试愈演愈烈，在这个竞争形式下，很多高校组成考试联盟，比如目前的“北约联盟”（以北京大学、复旦大学、香港大学、北京师范大学等高校为主）、“华约联盟”（以清华大学、上海交通大学、中国科技大学、浙江大学等高校为主）、“同济联盟”（以同济大学、哈尔滨工业大学、北京理工大学等高校为主）。 从2009年起，生源质量好的高校自主招生比例将不再设定5%的上限。高校招生自主权也在进一步扩大。对少数特别优秀的考生，高校可以突破原有的考生分数必须达到生源所在地同批次分数线的限制，不 拘一格大胆选才。 2011年，北京大学、复旦大学等13所高校组织的综合性大学自主选拔录取联合考试（简称为“北约”）在全国29个考点同时举行。大多数考生认为今年的考题相对数学容易，语文较难，英语的难度则中规中矩。 虽然“北约”试题难度比‘华约’的要小一些，但“华约”的考试方式更统一，“华约”上午进行阅读与写作考试，其中中文阅读与写作占100分，英文阅读与写作及中英文综合应用占100分。全部试卷开考时一并下发，开考1.5小时后由监考人员收回中文阅读与写作部分的试卷；开考3小时后收回英文阅读与写作、中英文综合试卷，由于时间紧，题目难，要全部完成很困难。而“北约”上午考的三门科目采取三张考卷统一发卷，统一收卷的方式，在3个半小时的考试时间内，考生自行安排各门的答题时间。 而“北约”联考的13所高校，每所要求的考试科目并不相同。所有考生在上午参加语文、数学、英语三门考试。报考北大等高校的学生中，理科生下午考物理和化学，文科生晚上考政治和历史。而报考复旦大学的学生则需参加前面所述全部7科测试。还有的学校只需4科成绩。

“北约”“华约”年自主招生数学模拟试题

“北约”“华约”年自主招生数学模拟试题 （满分150分） 5. 设P 是抛物线2 440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是. 第二部分：解答题（共5小题 每题20分） 1设集合()12log 32A x x ????=-≥-??????，21a B x x a ??=>??-??．若A B ≠?，求实数a 的取值范围 2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个 3. 设平面向量(3,1)a =-,13(,22b =.若存在实数(0)m m ≠和角((,))22 ππθθ∈-, 使向量2(tan 3)c a b =+-,tan d ma b θ=-+,且c d ⊥. (I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值. 4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上. (I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由. 5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,222 2θπθθn b a A b a ab b a n n ?+=<<+=>其中求

证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数 参考答案 一、选择题 1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α= ,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-= 有22 22560450 a b a b ab a b ?--+-=?+-=?,解得11a b =??=?或3232a b ?=????=-??,所以1x i =+或3322x i =-. 3.直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则 ])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n. )2201515(2)22015()22015(22 +??+=-++-n n n n n C 为整数，且个 位数字为零. 因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.025 5220155 220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠?得03a <<；

2014北约自主招生物理试题A与解答

2014年自主招生物理试题与解答 一、选择题（每题5分，共20分） 1.今有一个相对地面静止，悬浮在赤道上空的气球。对于一个站在宇宙背景惯性系的观察 者，仅考虑地球相对其的自转运动，则以下对气球受力的描述正确的是（） A.该气球受地球引力、空气浮力和空气阻力； B.该气球受力平衡； C.地球引力大于空气浮力； D.地球引力小于空气浮力。 答：C 2.下列过程中， a)水在1atm、下蒸发； b)冰在1atm、下融化； c)理想气体准静态绝热膨胀； d)理想气体准静态等温膨胀； e)理想气体准静态等压加热； f)理想气体向真空绝热膨胀。 其中系统对外作正功的是：（） A．（a、c、d、e）；B.（a、b、c、e）；C.（b、d、e、f）；D.（b、c、d、f） 答：A 3. 有两个惯性参考系1和2，彼此相对做匀速直线运动，下列叙述中正确的是（） A．在参考系1看来，2中的所有物理过程都变快了；在参考系2看来，1中的所有物理 过程都变慢了； B．在参考系1看来，2中的所有物理过程都变快了；在参考系2看来，1中的所有物理 过程也变快了； C．在参考系1看来，2中的所有物理过程都变慢了；在参考系2看来，1中的所有物理 过程都变快了； D．在参考系1看来，2中的所有物理过程都变慢了；在参考系2看来，1中的所有物理 过程也变慢了。 答：D 4.下列说法中正确的是：（） A.卢瑟福实验中发现许多粒子被金箔大角度散射，这表明粒子很难进入金箔原

子内部； B. 衰变中产生的射线是原子核外电子挣脱原子核束缚之后形成的电子束； C.通过化学反应无法改变放射性元素的半衰期； D.较小比结合能的原子核不稳定，容易发生裂变。 答：C 二、填空题（每题两空，每空4分，共32分） 5. 如图，有半径为的光滑细圆环轨道，其外壁被固定在竖直平面上。轨道正上方和正下方分别有质量为和的静止小球，它们由长为的轻杆固连。已知圆环轨道内 壁开有环形小槽，可使轻杆无摩擦、无障碍地绕着其中心点转动。今对上方小球施加小扰动，则此后过程中该小球的速度最大值为；当其达到速度最大值时，两小球对轨道作用力的合力大小为。 答：； 6.在一个空的可乐瓶中封入高压理想气体，在打开瓶盖后的短时间内，外界对瓶内气体作 _________（可填“正功”、“负功”、“不做功”其中之一），瓶内气体温度____________（可填“升高”、“降低”、“可能升高也可能降低”其中之一）。 答：负功；降低。 7.空间有一孤立导体，其上带有固定量的正电荷，该空间没有其它电荷存在。为了测量该 导体附近的某一点P的电场强度，我们在P点放置一带电量为q的点电荷，测出q受到的静电力F，如果q为正，F/q （可填“大于”、“小于”其中之一）P点的原电场强度；如果q为负，F/q （可填“大于”、“小于”其中之一）P点的原电场强度。 答：小于；大于。 8. 已知普朗克常量为 ，电子的质量为 ，其中 为真空光速， ，则动能为 的自由电子的物质

2011年北约数学真题(含解析)

2011年北大等13校联考数学试卷 （文科做1-5题，理科做3-7题） 参考思路： 1、可以用余弦定理：先利用已知三边求出平行四边形一角的余弦值，则另一角的余弦值可知（互为相反数），再求未知对角线；也可以利用解几中的重要结论：平行四边形的两对角线平方和等于四边平方和（不过要先建立坐标系证明该结论）。 2、最容易想到的方法自然是联立两抛物线方程，解出交点坐标，用两点式或点斜式表示……好吧，我承认这样做有点难算，不过其实也不算太难啦（最后化简结果似乎是不含根式的）。当然，也可以先设直线方程Y=kX+b，与两抛物线分别联立，再对比所得交点的系数，从而得解（我的一位同学就是这样做的）。 3、常规题。先求公差，再求通项，再求前n项和，最后利用二次函数的性质解之（注意n 为正整数），或利用an《=0且a（n+1）>=0解之（n和n+1下标）。 4、可以考虑反证法；不然就用余弦定理表示出cosC，把式子分子中的a、b利用原题中的不等式换成c，再用基本不等式，中间经过若干步转换，最后化简为cosC》=0.5，于是得证。 第4题解答：

6.

最绝的方法： 假设存在四个正实数满足题目，不妨按大小排列并计为A,B,C,D(A>B>C>D>0), 则：AB*CD*AC*BD*AD*CB=（ABCD）（ABCD）（ABCD）=2*3*5*6*10*16=28800 因为：27*27*27〈28800〈32*32*32 所以：ABCD的值小于32，但是AB=16，CD=2，ABCD=32 故不存在四个正实数满足题目。 方法1 假设存在四个正实数满足题目，不妨按大小排列并计为A,B,C,D(A>B>C>D>0), 则两两乘积分别为:AB,AC,AD,BC,BD,CD, 因为:A>B>C>D>0,所以AB>AC>AD,AB>AC>BC,AD>BD>CD,BC>BD>CD, 所以:AB>AC>AD>BC>BD>CD或者AB>AC>BC>AD>BD>CD, 所以:AB=16,AC=10,BD=3,CD=2, 所以:AB+AC/BD+CD=A/D=16+10/3+2=26/5, 所以:AB-AC/BD-CD=A/D=16-10/3-2=6, 因为6不等于26/5，所以不存在4个正实数满足题设. 从以上解析来看，需要假设4个正实数存，注意到乘积的大小， 构造等式AB+AC/BD+CD=AB-AC/BD-CD即可以简单解题。

北约自主招生物理试题

2013年高水平大学（北约）自主选拔学业能力测试 物理探究 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 3．人在平面镜前看到站在自己身边朋友在镜中的像时，虽然上下不颠倒，左右却互换了。今将两块相互平行的平面反射镜如图放置，观察者 A 在图示右侧位置可看到站在图示左侧位置的朋友 B，则 A 看到的像必定是( ) A．上下不颠倒，左右不互换 B．上下不颠倒，左右互换 C．上下颠倒，左右不互换 D．上下颠倒，左右互换 4．在一个绝热的竖直气缸里面放有一定质量的理想气体，绝热的活塞原来是固定的。现拆去销钉(图中未画出)，气体因膨胀把活塞及重物举高后如图所示。则在此过程中气体的( ) A．压强不变，温度升高 B．压强不变，温度降低 C．压强减小，温度升高 D．压强减小，温度降低 二、填空题（每题两空，每空 4 分，共 32 分) 5．北京家庭采用电压为 220V 的供电，香港家庭采用电压为 200V 的供电。北京厨房内一支“220V、50W”照明用的灯泡，若改用 200V 的供电，使用相同的时间可以节省电能百分之__________。如果采用 200V 供电的同时，又不减弱厨房照明亮度，则原灯泡电阻丝要换成电阻为_________Ω的新电阻丝。 6．将地球半径 R、自转周期 T、地面重力加速度 g 取为已知量，则地球同步卫星的轨道半径为___________R，轨道速度对第一宇宙速度的比值为____________。 7．如图所示，与水平地面夹角为锐角的斜面底端 A 向上有三个等间距点 B、C和D，即AB=BC=CD。小滑块 P 以初速 v0从 A 出发，沿斜面向上运动。 先设置斜面与滑块间处处无摩擦，则滑块到达D位置刚好停下， 而后下滑。若设置斜面 AB部分与滑块间有处处相同的摩擦，其 余部位与滑块间仍无摩擦，则滑块上行到C位置刚好停下，而 后下滑。滑块下滑到B位置时速度大小为_______，回到 A 端

清北学长精心打造——北约华约卓越自主招生物理力学部分模拟训练题及参考答案

“北约”“华约”“卓越”自主招生力学部分模拟试题 一．选择题（以下每题中有一个或一个以上选项符合题意，每小题3分，共30分） 1．如图所示，一质量为m 的质点在半径为R 的半球形容器中，由静止开始自边缘上的一点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压力N 。则质点自A 滑到B 的过程中，摩擦力对其所做的功为 （A ）1 (3) 2R N mg - （B ）1 (3) 2R mg N - （C ）1 ()2R N mg - （D ）1 (2)2R N mg - 2．有一“不倒翁”，由半径为R 的半球体与顶角为60o的圆锥体组成（如图），它的重心在对称轴上。为 （ A ）34R 。 （B ）2R 。 （C ）R 3 。 （D ）条件不足，无法确定。 3. θ角的光滑 斜面上的物块相对于斜面向下的加速度a′=1 3 gsinθ，由此可以推断车厢在水平面上的加速度为 (A)a0=2 3gtgθ； (B) a0=2 3gctgθ (C) a0=2 3gsinθ： (D) a0=2 3gcosθ 4．将质量为2m 的木板静止地放在光滑水平面上，一质量为m 的木块以水平初速v 0由木板左端恰能滑至木板的右端与木板相对静止。木块运动过程中所受摩擦力始终保持不变。现将木板分成长度与质量相等的两段（a 、b ）后紧挨着仍放在光滑水平面上，让木块仍以相同的初速度v 0由木板a 的左端开始滑动，则 （A ）木块仍能滑到木板b 的右端并与木板保持相对静止。 （B ）木块滑到木板b 的右端后飞离木板。 （C ）木块滑到木板b 的右端前就与木板保持相对静止。 （D ）后一过程产生的热量小于原来过程产生的热量。 5．如图所示，一半径为R 、质量为M 的1/4光滑圆弧槽D ，放在光滑的水平面上，有一质量为m 的小球由A 点静止释放，在下滑到B 点的过程中，下述说法正确的是 （A ）以地面为参考系，小球到达B 处时相对于地的速度v 满足1 2mv2＝mgR （B ）以槽为参考系，小球到达B 处时相对于槽的速度v ’满足1 2mv ’2＝mgR （C ）以地面为参考系，以小球、槽和地球为系统，机械能守恒 （D ）不论以槽或地面为参考系，以小球、槽和地球为系统的机械能均不守恒

自主招生试题及答案(北约数学)

2014年综合性大学自主选拔录取联合考试 自然科学基础——理科试卷 数学部分（北约） 一、选择题（每小题8分，合计48分） 1．圆心角为3 π 的扇形的面积为6π，则它围成的圆锥的表面积为（ B ）． A ． B ．7π C ． D ． 解：由2166S R ππ==扇形得6R =，由263 r π π=?得1r =，故它围成的圆锥的表面积为 267r πππ+=． 2．将10个人分为3组，一组4人，另两组各3人，共有（ C ）种分法． A ．1070 B ．2014 C ．2100 D ．4200 解：4331063 21002 C C C N = =． 3．已知2()2() ( )33 a b f a f b f ++= ，(1)1f =，(4)7f =，则(2014)f =（ A ）． A ．4027 B ．4028 C ．4029 D ．4030 解：421(4)2(1)(2)( )333f f f f +?+===，124(1)2(4) (3)()533 f f f f +?+===，猜想*()21()f n n n N =-∈， 假设()21f n n =-对3(1)n k k ≤≥都成立，则(31)3(1)2(1)2(31)1f k f k f k +=+-=+-， (32)3(2)2(2)2(32)1f k f k f k +=+-=+-，(33)3(3)2(3)2(33)1f k f k f k +=+-=+-， 所以* ()21()f n n n N =-∈． 4．若2 ()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，则a 的取值范围是（ D ）． A ．01a ≤≤ B ． C ． D ．0a ≤或1a ≥ 解：由题知，{} 2(0,)2y y x ax a +∞?=-+，故2 (2)40a a ?=--≥，解得：0a ≤或1a ≥． 5．已知1x y +=-，且x 、y 均为负实数，则1 xy xy + 有（ B ）． A ．最大值 174 B ．最小值174 C ．最大值174- D ．最小值174 - 解：1()()x y =-+-≥104xy <≤，而函数1 ()f t t t =+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单 调递增，故1 ()()4f xy f ≥，即1174xy xy + ≥，当且仅当1 2 x y ==-时取等号．

2011北约自主招生物理真题

2011北约自主招生物理真题 物理试题 一 （14分）平行轨道上停着一节质量M=2m 的小车厢，车厢与水平铁轨之间摩擦可略。有N 名组员沿铁轨平行方向列队前行，另有一名组长在最后，每名组员的质量同为m 。 1. 当组员们和组长发现前面车厢时，都以相同速度0v 跑步，每名组员在接近车厢时又以20v 速度跑着上车坐下，组长却因跑步速度没有改变而恰好未能追上车，试求N ． 2. 组员们上车后，组长前进速度减为0v 2 ，车上的组员朝者车厢前行方向一个接着一个水平跳离车厢，跳离后瞬间相对车厢速度大小同为u ，结果又可使组长也能追上车。试问，跳车过程中组员们总共至少消耗掉人体中的多少内能？ 二 （12分）一弹簧的自然长度为l ，劲度系数为k ．现有质量各为m 的两个均匀铁质球 体，用上述弹簧连接起来。设上述2个铁球中心与整个弹簧都始终保持一条直线上，并己 知铁的密度为ρ。 1. 当弹簧处于自然长度时，两铁球由静止释放，求两球之间的万有引力将使弹簧压缩的最大长度； 2. 上述体系绕其中心转动，角速度多大时，两球之间的弹簧长度司以保持为l ？ 三 （16分）将一天的时间记为T ，地面上的重力加速度记为g ，地球半径记为e R 。 1. 试求地球同步卫星P 的轨道半径p R ； 2. 赤道城市A 的居民整天可看见城市上空挂着同步卫星P ； 2.1 假设P 的运动方向突然偏北转过045，试分析判定而后当地居民一天能有多少次机会可 看到P 掠过城市上空？ 2.2 取消“2.1”问中的偏转，改设P 从原来的运动方向突然偏向西北转过0105，再分析地 判定而后当地居民一天能有多少次机会可看到P 掠过城市上空？ 3. 另一个赤道城市B 的居民，平均每三天有四次机会可看到某卫星Q 自东向西掠过该城市上空，试求Q 的轨道半径Q R . 四 （14分）设无重力空间中有匀强电场E ,现有两个质量均为m 的小球A 、B ，A 带电量q(q>0)，B 不带电，t=0时，两球静止，且相距030，AB 的方向与E 的方向相同。从t=0时刻开始，A 由于受到电场作用向B 运动，A 与B 相遇时发生第一次弹性正碰撞（其性质参见题五），碰撞

“北约”2020年自主招生语文笔试题目解析

“北约”2020年自主招生语文笔试题目解析 更何况作文要求写一段500字之内的“故事”，考生只须将注意力集中在对藤与树之间关系的描摹上即可，这个题目考查的或是结构故事的能力，欲迎还休，一波三折，；或是细腻的心理描写，小细节，小味道。至于故事的主题是何，不妨干脆悬置：须知，若是优秀的故事，主题的解读就可以越丰富。 语言运用题解析 语言运用题中，对联一问并不算难，只须落实对联的六个规则：字数、主题、词性、停顿、结构、平仄，尤其是下联的最后一个字要落到平声上；而近日“沙逼北京”与“猪投上海”往往并提，而将上海黄浦江死猪的事情做成下联并不容易对仗工整，考生须跳出惯性思维，若能跟自己省市特点结合起来，更易出彩。 笑话一问也是。无论是弗洛伊德还是柏格森，“笑”的产生总与对既有规范的调侃甚至颠覆有关，此问中，高考可以做背景，北大清华状元任何一个都可以作为对象，考生若了解一些类似于下水道工人的笑话，简单替换几个元素即可。更重要的是：语言运用题不求完美，写出来就能得到大多分数，切记把握时间性价比。 笑话例文 一个北大毕业的某公司高管发现自己家的下水道堵了，就请来一个水管工来修。修好后高管看到账单后不禁大叫：“什么！就30分钟你收的钱当我一个月收入的1/3了！”水管工说，“你也可以干啊。不过你得说你只是小学毕业。公司不喜欢学历太高的人”。于是高管就去当了水管工，收入一下翻了三倍。 几年后公司决定把水管工文化水平提高到初中。老师抽一个人上来写圆面积公式。这个

高管被抽中，不过他已经忘了，只好从头推导：把圆无限分割后积分。但他得出的结果是负的。他非常尴尬，忽然一人说：把积分上下限交换一下。高管感激不尽，那个同事小声说：我当年是清华的高考状元…… << 语文题目 10道选择题 阅读题：题目《为了纪念的忘却》 翻译题：一篇庄子的古文 作文题：根据刘三姐唱词《藤与树》写一篇500字之内的小故事。 另外今年的题目很有意思，一个是对对联，另一个是写笑话。 对对联：结合北京雾霾天气对对联，上联是“北京雾锁车迷路”，写出下联。 写笑话，根据“北大清华高考状元”写一个小笑话。