高三数学专题复习函数的性质及应用

函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。

一、函数与反函数

例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有个．（2）、（2012?徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有个．

（3）（2013?上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），

f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= ．

二、函数值域及最值求法

例2、（1）（2011?上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）

=x+g（x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为．（2）（2013?黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]?（0，+∞），

使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是．（3）．（2012?虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的

都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是．

三、函数单调性与奇偶性

例3、（1）（2013?资阳一模）已知函数

若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是．

（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围

是．

（3）（2012?上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）= ．

（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ．

四、函数的周期性

例4、（1）已知奇函数满足

的值为 。

（2）设函数y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，且满足f （x ﹣2）=﹣f （x ）对一切x∈R

都成立，又当x∈[﹣1，1]时，f （x ）=x 3，则下列四个命题：①函数y=f （x ）是以4为周

期的周期函数；②当x∈[1，3]时，f （x ）=（2﹣x ）3； ③函数y=f （x ）的图象关于x=1

对称；④函数y=f （x ）的图象关于（2，0）对称．其中正确的命题是 ．

五、函数图像的对称性

例5、（1）已知函数(21)y f x =+为偶函数，则函数(2)y f x =图像关于直线 对称，函数()y f x =图像关于直线 对称。

（2）设．则 ．

（3）已知函数f （x ）的定义域为R ，则下列命题中：①若f （x ﹣2）是偶函数，则函数f （x ）的图象关于直线x=2对称；②若f （x+2）=﹣f （x ﹣2），则函数f （x ）的图象关于原点对称；③函数y=f （2+x ）与函数y=f （2﹣x ）的图象关于直线x=2对称；④函数y=f （x ﹣2）与函数y=f （2﹣x ）的图象关于直线x=2对称．其中正确的命题序号是 ．

六、函数性质的综合应用

例6、（2013?上海春季）已知真命题：“函数y=f （x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f （x+a ）﹣b 是奇函数”．

（1）将函数g （x ）=x 3﹣3x 2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象

对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g （x ）图象对称中心的坐标；

（2）求函数h （x ）= 图象对称中心的坐标；

（3）已知命题：“函数 y=f （x ）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得函数y=f （x+a ）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．

例7、已知函数f （x ）=ax 2+bx+1，a ，b 为实数，a≠0，x∈R，F （x ）=，

（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；

（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣1，1]时，g（x）=f（x）+kx是单调函数，求实数k的取值范围；

（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0．

例8、（2012?上海）已知f（x）=lg（x+1）

（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；

（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．

例9、（2012?卢湾区二模）对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D 满足等式，则称M为函数y=f （x）的“均值”．

（1）判断1是否为函数f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；

（2）若函数f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．

例10、已知函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=af（x），a是不为0的实常数．

（1）若当0≤x≤1时，f（x）=x（1﹣x），求函数y=f（x），x∈[0，1]的值域；

（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x），x∈[n，n+1），n∈N的解析式；

（3）若当0＜x≤1时，f（x）=3x，试研究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．

七、实战演练

一．填空题

1、（2009?上海）将函数（x∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋

转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为．

2、（2013?上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= ．

3、（2008?湖南）设函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=x﹣f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f﹣1（x）﹣x的图象一定过点．

3、（2011?上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为．

4、（2011?闸北区二模）设f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，若函数

f（x）+g（x）的值域为[1，3），则f（x）﹣g（x）的值域为．

5、在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．函数g

（x）=关于原点的中心对称点的组数为．

6．（2013?上海）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．

7．（2012?上海）若f（x）=为奇函数，则实数m= ．

8．（2012?上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．

9．（2012?上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，

则g（﹣1）= ．

10．（2013?四川）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．

11．（2013?黄浦区二模）已知，若存在区间，使得

{y|y=f（x），x?[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是．

12．f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ．

13．设函数f（x），g（x）的定义域分别为D f，D g，且D f?D g．若对于任意x∈D f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D g上的一个延拓函数．设f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）= ．

14．（2013?普陀区一模）已知函数，设a＞b≥0，若f（a）

=f（b），则b?f（a）的取值范围是．

15．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意x∈R，都有f（x+3）≤f（x）+3和

f（x+2）≥f（x）+2，若f（998）=1002，则f（2012）= ．

16．（2010?西城区一模）设函数f（x）的定义域为D．若存在非零实数l使得对于任意x∈M．有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数，如果定义域是

[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的m高调函数．则实数m的取值范围是----．17．定义在R上的函数f（x）满足f（m+n2）=f（m）+2[f（n）]2，其中m，n∈R，且

f（1）≠0．则f（2013）= ．

18．（2013?浙江模拟）定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量

，若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k

阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为------

二．解答题

19．（2012?交大附中）若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f （x1）+f（x2），则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），则称g（x）为“对数V形函数”．（1）当f（x）=x2时，判断f（x）是否为V形函数，并说明理由；

（2）当g（x）=x2+2时，证明：g（x）是对数V形函数；

（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V

形函数？证明你的结论．

20．（2012?杨浦区一模）若函数y=f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得

f（a+x）?f（a﹣x）=b恒成立，则称y=f（x）为“Ω函数”．

（1）判断下列函数，是否为“Ω函数”，并说明理由；①f（x）=x3②f（x）=2x（2）已知函数f（x）=tanx是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对（a，b）．

22．给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．

（1）若定义域D1=（0，1），判断下列函数中哪些在D1上封闭（写出推理过程）：f1（x）=2x ﹣1，f2（x）=﹣﹣+1，f3（x）=2x﹣1；

（2）若定义域D2=（1，2），是否存在实数a，使得函数f（x）=在D2上封闭？若存在，求出a的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．

23．若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而在I上是减函数，

则称y=f（x）在I上是“弱增函数”

（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x2+4x在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简要说明理由．

（2）证明函数h（x）=x2+a2x+4（a是常数且a∈R）在（0，1]上是“弱增函数”．

函数的性质及其应用教师用

函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调

性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。

一、函数与反函数

例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有 6 个．解：从A到B建立映射共有23=8个，其中由2个映射的像集是{4}和{5}，把这2个映射去掉，其它映射的像集都是{4，5}，函数的本质是一个数集到另一个数集的映

射，所以，构成以A为定义域，B为值域的不同的函数共有8﹣2=6个，故答案为6．（2）、（2012?徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有9 个．

解：∵f（x）=x2﹣1，∴f（0）=﹣1，f（±1）=0，f（±）=1

因此，定义域D有：{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}，{0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9种情况，故答案为：9

（3）（2013?上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= 2 ．

解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），

所以对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f （x）=x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：2．

二、函数值域及最值求法

例2、（1）（2011?上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g （x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7] ．解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]【正好是一个周期区间长度】的值域是[﹣2，5]，令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]，此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）

=[x+g（x）]+1 ，所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[﹣1，6] (1)

同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]

此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x） =[x+g（x）]+2

所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7] (2)

由已知条件及（1）（2）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]

故答案为：[﹣2，7]．

（2）（2013?黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]?（0，+∞），使得

{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是（0，4）．解：∵f（x）=4﹣在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在x∈[a，b]上值域为

[f（a），f（b）]，所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4﹣=ma且4﹣=mb，

所以ma2﹣4a+1=0且mb2﹣4b+1=0，所以mx2﹣4x+1=0必须有两个不相等的正根，故m≠0，∴，解得0＜m＜4．

∴实数m的取值范围是（0，4）．故答案为：（0，4）．

（3）．（2012?虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的

都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是[﹣2，6] ．

解：∵函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，∴x1∈[﹣1，1]时，f（x）的值域就是[a﹣2，a+2]，要使上述范围内总能找到x2满足 g（x2）=f（x1），即g（x）的值域要包含[a﹣2，a+2]，∵g（x）是一个二次函数，在[﹣1，1]上单调递减，

∴值域为[﹣4，8]，因此，解得﹣2≤a≤6．故答案为：[﹣2，6]．

三、函数单调性与奇偶性

例3、（1）（2013?资阳一模）已知函数

若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是（﹣1，3）．

解：∵x≤1时，函数y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，在（﹣∞，1]上单调递增；x＞1时，函数y=x3+1在（1，+∞）上单调递增，又x≤1时，﹣x2+2x+1≤2，x＞1时，

x3+1＞2，∴函数，∴函数在R上单调增，

∴2m+1＞m2﹣2，∴m2﹣2m﹣3＜0，∴﹣1＜m＜3，故答案为：（﹣1，3）

（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是（1，3）．

解：∵是R上的增函数，

∴∴a∈（1，3）故答案为：（1，3）

（3）（2012?上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）= 3 ．

解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2

∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，又g（1）=1

∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3，故答案为3

（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ﹣3 ．

解：由f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，得f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x﹣1），得f（x）=g（x+1）=﹣g（﹣x ﹣1）=﹣f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2），即f（x）=﹣f（x+2），所以f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2012）=f（4×503）=f（0）=g（1）=﹣g（﹣1）=﹣3，f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（﹣1）=g（0）=0，所以f（2012）+f（2013）=﹣3，故答案为：﹣3．

四、函数的周期性

例4、（1）已知奇函数满足

的值为。

解：

（2）设函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x﹣2）=﹣f（x）对一切x∈R都成立，又当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x3，则下列四个命题：①函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；②当x∈[1，3]时，f（x）=（2﹣x）3；③函数y=f（x）的图象关于x=1对称；④函数y=f（x）的图象关于（2，0）对称．其中正确的命题是①②③④．解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），

∵f（x﹣2）=﹣f（x）对一切x∈R都成立，∴f（x﹣4）=f（x），∴函数y=f（x）是以4为周期的周期函数，故①正确．当x∈[1，3]时，x﹣2∈∈[﹣1，1]，f（x﹣2）=（x﹣2）3=﹣f（x），∴f（x）=（2﹣x）3，故②正确．∵f（x﹣2）=﹣f（x），∴f（1+x）=f（1﹣x），∴函数y=f（x）的图象关于x=1对称，故③正确．

∵当x∈[1，3]时，f（x）=（2﹣x）3，∴f（2）=0，∵f（x﹣2）=﹣f（x），

∴f（﹣x﹣2）=﹣f（﹣x）=f（x）=﹣f（x﹣2），∴f（x+2）=﹣f（x﹣2），∴函数y=f（x）的图象关于（2，0）对称．故正确的命题有①②③④，故答案选

①②③④．

（2）若f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如 142+1=197，1+9+7=17则f（14）

=17，记f 1（n ）=f （n ），f 2（n ）=f[f 1（n ）]，…，f k+1（n ）=f[f k （n ）]k ∈N *

，则

f 2010（8）= 8 ．

解：f 1（8）=f （8）=64+1=656+5=11，f 2（8）=f[f 1（8）]=f （11）=121+1=122=1+2+2=5 f 3（8）=f[f 2（8）]=f （5）=25+1=26=8，f 4（8）=f[f 3（8）]=f （8）

…所以f 2010（8）=f 3（8）=8，故答案为：8 五、函数图像的对称性

例5、（1）已知函数(21)y f x =+为偶函数，则函数(2)y f x =图像关于直线 对称，函数()y f x =图像关于直线 对称。

解：(2)y f x =图像关于直线 12x =

对称，函数()y f x =图像关于直线 1x =对称。 （2）设．则 1006 ．

解：若a+b=1，则f （a ）+f （b ）==

===1，

所以

=[f （）+f （）]+[f （）+f （）]+…+[f（）+f （）]

=1+1+…+1=1006．故答案为：1006．

（3）已知函数f （x ）的定义域为R ，则下列命题中：

①若f （x ﹣2）是偶函数，则函数f （x ）的图象关于直线x=2对称；②若f （x+2）=﹣f （x ﹣2），则函数f （x ）的图象关于原点对称；③函数y=f （2+x ）与函数y=f （2﹣x ）的图象关于直线x=2对称；④函数y=f （x ﹣2）与函数y=f （2﹣x ）的图象关于直线x=2对称．其中正确的命题序号是 ④ ．

解：①不正确．因为f （x ﹣2）的图象是由f （x ）的图象向右平移两个单位而得到，

结合f （x ﹣2）是偶函数知，f （x ）的图象关于x=﹣2对称，

②由f （x+2）=﹣f （x ﹣2）变形得f （x+8）=f （x ）是周期函数．不能得出函数f

（x ）的图象关于原点对称，故不正确．③不正确，因为函数y=f （2+x ）是由f （x ）向左平移2个单位，函数y=f （2﹣x ）的图象是由f （﹣x ）的图象向右平移2个单位，

故两函数的图象仍然关于原点对称．

④如图所示，正确．故答案为：④．六、函数性质的综合应用

例6、（2013?上海春季）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．

（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；

（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；

（3）已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．

解：（1）平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x，由于函数y=x3﹣3x是奇函数，由题设真命题知，函数g（x）图象对称中心的坐标是（1，﹣2）．

（2）设h（x）=的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）﹣b 是奇函数．设f（x）=h（x+a）﹣b则f（x）=﹣b，即f（x）

=．由不等式的解集关于原点对称，得a=2．

此时f（x）=﹣b，x∈（﹣2，2）．

任取x∈（﹣2，2），由f（﹣x）+f（x）=0，得b=1，

所以函数h（x）=图象对称中心的坐标是（2，1）．

（3）此命题是假命题．举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数．

修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．

例7、已知函数f（x）=ax2+bx+1，a，b为实数，a≠0，x∈R，F（x）=，

（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；

（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣1，1]时，g（x）=f（x）+kx是单调函数，求实数k的取值范围；

（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0．

解：（1）依题意，有，解得，∴f（x）=x2+2x+1，

∴

（2）由（1）得g（x）=f（x）+kx=x2+2x+1+kx=x2+（k+2）x+1，

∴函数g（x）的对称轴x=，∵g（x）在区间[﹣1，1]上是单调函数，

∴．解得k≥0，或k≤﹣4．

∴实数k的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞），

（3）∵f（x）=ax2+bx+1为偶函数，∴b=0，即f（x）=ax2+1（a＞0），

∴

∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，不妨设n＜0＜m，则有0＜﹣n＜m，

∴m﹣n＞0，m+n＞0．∵F（m）+F（n）=am2+1﹣an2﹣1=a（m+n）（m﹣n），

∴F（m）+F（n）＞0．

例8、（2012?上海）已知f（x）=lg（x+1）

（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；

（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．

解：（1）由解得：﹣1＜x＜1．

由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，

∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，

∴．由得：．

（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10y，

∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．

例9、（2012?卢湾区二模）对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式，则称M为函数y=f （x）的“均值”．

（1）

判断1是否为函数f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；

（2）若函数f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．解：（1）对任意的x1∈[﹣1，1]，有﹣x1∈[﹣1，1]，

当且仅当x2=﹣x1时，有，

故存在唯一x2∈[﹣1，1]，满足，

所以1是函数f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”．

（2）当a=0时，f（x）=﹣2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为﹣3；

当a≠0时，由f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x1，

都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2）单调，故有或，解得a≥1或a＜0或，综上，a的取值范围是或a≥1．

（3）①当I=（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”．

这时函数f（x）的“均值”为；

②当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．

这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；

③当I=（a，+∞）或（﹣∞，a）或[a，+∞）或（﹣∞，a]或[a，b）或（a，b]时，

函数f（x）不存在“均值”．

①当且仅当I形如（a，b）、[a，b]其中之一时，函数f（x）存在唯一的“均值”．

这时函数f（x）的“均值”为；

②当且仅当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．

这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；

③当且仅当I形如（a，+∞）、（﹣∞，a）、[a，+∞）、（﹣∞，a]、[a，b）、

（a，b]其中之一时，函数f（x）不存在“均值”．

例10、已知函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=af（x），a是不为0的实常数．

（1）若当0≤x≤1时，f（x）=x（1﹣x），求函数y=f（x），x∈[0，1]的值域；

（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x），x∈[n，n+1），n∈N的解析式；

（3）若当0＜x≤1时，f（x）=3x，试研究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．

解：（1）∵，∴．

（2）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，f n（x）=af n﹣1（x﹣1）=a2f n﹣1（x﹣2）

═a n f1（x﹣n），f n（x）=a n（x﹣n）（n+1﹣x）．

（3）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，f n（x）=af n﹣1（x﹣1）=a2f n﹣1（x﹣2）

═a n f1（x﹣n），∴f n（x）=a n?3x﹣n；显然f n（x）=a n?3x﹣n，x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z 当a＞0时是增函数，此时∴f n（x）∈[a n，3a n]，若函数y=f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，则必有a n+1≥3a n，解得：a≥3；显然当a＜0时，函数y=f（x）在区间[0，+∞）上不是单调函数；所以a≥3．

七、实战演练

一．填空题

1、（2009?上海）将函数（x∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为arctan．

解：先画出函数（x∈[0，6]）的图象，这是一个圆弧，圆心为M （3，﹣2），由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C

故答案为：arctan

都不是一个函数的图象，∴∠MAB=arctan

，

2、（2013?上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= 2 ．

解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），

所以对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f （x）=x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：2．

3、（2008?湖南）设函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=x﹣f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f﹣1（x）﹣x的图象一定过点（﹣1，2）．

解析：由函数y=x﹣f（x）的图象过点（1，2）得：f（1）=﹣1，即函数y=f（x）过点（1，﹣1），则其反函数过点（﹣1，1），所以函数y=f﹣1（x）﹣x的图象一定过点（﹣1，2）．

3、（2011?上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7] ．解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1），函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]【正好是一个周期区间长度】的值域是[﹣2，5]，令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]，此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1 ，所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[﹣1，6] (1)

同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]，此时，f（t）=t+g（t）

=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x） =[x+g（x）]+2，所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7] (2)

由已知条件及（1）（2）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]

故答案为：[﹣2，7]．

4、（2011?闸北区二模）设f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，若函数f（x）+g（x）的值域为[1，3），则f（x）﹣g（x）的值域为（﹣3，﹣1] ．

解：由f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，得到f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），∵1≤f（x）+g（x）＜3，且f（x）和g（x）的定义域都为R，把x换为﹣x得：1≤f（﹣x）+g（﹣x）＜3，变形得：1≤﹣f（x）+g（x）＜3，即﹣3＜f（x）﹣g（x）≤﹣1，则f（x）﹣g（x）的值域为（﹣3，﹣1]．

故答案为：（﹣3，﹣1]

5、在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．函数g

（x）=关于原点的中心对称点的组数为 2 ．

解：由题意可知g（x）=sin，x≤0，则函数g（x）=sin，x≤0，

关于原点对称的函数为h（x）=sin，x＞0，则坐标系中分别作出函数h（x）

=sin，x＞0，g（x）=log4（x+1），x＞0的图象如题，由图象可知，两个图象的交点个数有2个，所以函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为2组．故答案为：2．

6．（2013?上海）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．．

解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f（x）=0；

当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=﹣9x﹣+7，因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=9x+﹣7；因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；当x＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，

解得，所以．故答案为．

7．（2012?上海）若f（x）=为奇函数，则实数m= ﹣2 ．解：∵f（x）=为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）

即m﹣1=3（1+m）∴m=﹣2故答案为：﹣2

8．（2012?上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1] ．

解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数

由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数，又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，所以[1，+∞）?[a，+∞），故有a≤1，故答案为（﹣∞，1]

9．（2012?上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，

则g（﹣1）= ﹣1 ．

解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3，所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1，故答案为﹣1

10．（2013?四川）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．

解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可化为

f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．故答案为：（﹣7，3）．

11．（2013?黄浦区二模）已知，若存在区间，使得{y|y=f（x），x?[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是（0，4] ．解：因为函数在上为减函数，所以函数在

上为增函数，因为区间，由{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则，即．

说明方程有两个大于实数根．由得：．

零，则t∈（0，3）．则m=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4．由t∈（0，3），

所以m∈（0，4]．所以使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]的实数m的取值范围是（0，4]．故答案为（0，4]．

12．f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ﹣3 ．

解：由f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，得f（﹣x）=f（x），

g（﹣x）=﹣g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x﹣1），得f（x）=g（x+1）

=﹣g（﹣x﹣1）=﹣f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2），即f（x）=﹣f（x+2），

所以f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2012）=f（4×503）=f（0）=g（1）=﹣g（﹣1）=﹣3，

f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（﹣1）=g（0）=0，

所以f（2012）+f（2013）=﹣3，故答案为：﹣3．

13．设函数f（x），g（x）的定义域分别为D f，D g，且D f?D g．若对于任意x∈D f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D g上的一个延拓函数．设f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则

g（x）= x2﹣2|x| ．

解：由题意可得当x≤0时，g（x）=f（x）=x2+2x，由函数g（x）为偶函数可得，

g（﹣x）=g（x），当x＞0时，则﹣x＜0，g（﹣x）=x2﹣2x，则g（x）=x2﹣2x

∴g（x）=x2﹣2|x|，故答案为：x2﹣2|x|

14．（2013?普陀区一模）已知函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b?f（a）的取值范围是．

解：由函数，作出其图象如图，因为函数f（x）在[0，1）和[1，+∞）上都是单调函数，所以，若满足a＞b≥0，时f（a）=f（b），

必有b∈[0，1），a∈[1，+∞），由图可知，使f（a）=f（b）的b∈[，1），

f（a）∈[，2）．由不等式的可乘积性得：b?f（a）∈[，2）．故答案为[，2）．

15．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意x∈R，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，若f（998）=1002，则f（2012）= 2016 ．

解：由f（x+3）≤f（x）+3，得f（x+6）≤f（x+3）+3≤f（x）+6；

由f（x+2）≥f（x）+2，得f（x+6）≥f（x+4）+2≥f（x+2）+4≥f（x）+6，

所以f（x）+6≤f（x+6）≤f（x）+6，即f（x+6）=f（x）+6．

所以f（2012）=f（998+169×6）=f（998+168×6）+6=f（998+167×6）+12=…=f（998）+169×6=1002+1014=2016．故答案为：2016．

16．（2010?西城区一模）设函数f（x）的定义域为D．若存在非零实数l使得对于任意x∈M．有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数，如果定义域是[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的m高调函数．求实数m的取值范围．

解：在[﹣1，+∞）上的任意x（设x=x+m）有y≥﹣1恒成立，则x+m≥﹣1恒成立，

即m≥﹣1﹣x恒成立．对于x∈[﹣1，+∞），当x=﹣1时﹣1﹣x最大为0，所以有m≥0．又因为f（x+m）≥f（x），即（x+m）2≥x2在x∈[﹣1，+∝）上恒成立，化简得m2+2mx≥0，又因为m≥0，所以m+2x≥0即m≥﹣2x恒成立，当x=﹣1时﹣2x最大为2，所以m≥2，综上可知m≥2．

17．定义在R上的函数f（x）满足f（m+n2）=f（m）+2[f（n）]2，其中m，n∈R，且f（1）≠0．则f（2013）= 4024[f（1）]2 +f（1）．

解：由题意知，f（2013）=f（2012+12）=f（2012）+2[f（1）]2，

f（2012）=f（2011）+2[f（1）]2，

f（2011）=f（2010）+2[f（1）]2，

f（2010）=f（2009）+2[f（1）]2，

…

f（2）=f（1）+2[f（1）]2，

故有f（2013）=f（1）+2[f（1）]2×2012=4024[f（1）]2+f（1）

故答案为 4024[f（1）]2 +f（1）

18．（2013?浙江模拟）定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量

，若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k

阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为

（）

解：由题意，M、N横坐标相等，恒成立即k恒大于等于，则

k≥的最大值，所以本题即求的最大值．由N在AB线段上，得A（1，0），B（2，），AB方程y=（x﹣1），由图象可知，MN=y1﹣y2=x﹣﹣（x﹣1）=﹣（+）≤（均值不等式），故实数k的取值范围为

二．解答题

19．（2012?交大附中）若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f （x1）+f（x2），则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），则称g（x）为“对数V形函数”．（1）当f（x）=x2时，判断f（x）是否为V形函数，并说明理由；

（2）当g（x）=x2+2时，证明：g（x）是对数V形函数；

（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V

形函数？证明你的结论．

（1）解：f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=（x1+x2）2﹣（+）=2x1x2

∵x1，x2∈R，∴2x1x2符号不定，∴当2x1x2≤0时，f（x）是V形函数；当2x1x2＞0

时，f（x）不是V形函数；

（2）证明：假设对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），

则lgg（x1+x2）﹣lgg（x1）﹣lgg（x2）=lg[（x1+x2）2+2]﹣lg（x12+2）﹣lg（x22+2）≤0，∴（x1+x2）2+2≤（x12+2）（x22+2），∴x12x22+（x1﹣x2）2+2≥0，显然成立，

∴假设正确，g（x）是对数V形函数；

（3）解：f（x）是对数V形函数

证明：∵f（x）是V形函数，∴对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），∵对任意x∈R，有f（x）≥2，∴+≤1，

∴0＜f（x1）+f（x2）≤f（x1）f（x2），∴f（x1+x2）≤f（x1）f（x2），

∴lgf（x1+x2）≤lgf（x1）+lgf（x2），∴f（x）是对数V形函数．20．（2012?杨浦区一模）若函数y=f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）?f（a﹣x）=b恒成立，则称y=f（x）为“Ω函数”．

（1）判断下列函数，是否为“Ω函数”，并说明理由；

①f（x）=x3②f（x）=2x（2）已知函数f（x）=tanx是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对（a，b）．

解：（1）①若f（x）=x3是“Ω函数”，则存在实数对（a，b），使得f（a+x）?f （a﹣x）=b，即（a2﹣x2）3=b时，对x∈R恒成立而x2=a2﹣最多有两个解，矛

盾，因此f（x）=x3不是“Ω函数”…（3分）

②若f（x）=2x是“Ω函数”，则存在常数a，b使得2a+x?2a﹣x=22a，

即存在常数对（a，22a）满足，因此f（x）=2x是“Ω函数”（6分）

（2）解：函数f（x）=tanx是一个“Ω函数”，

设有序实数对（a，b）满足，则tan（a﹣x）tan（a+x）=b恒成立

当a=kπ+，k∈Z时，tan（a﹣x）tan（a+x）=﹣cot2x，不是常数；…（8分）因此a≠kπ+，k∈Z，当x≠mπ+，m∈Z时，则有（btan2a﹣1）tan2x+（tan2a ﹣b）=0恒成立，所以btan2a﹣1=0且tan2a﹣b=0，∴tan2a=1，b=1

∴a=kπ+，k∈Z，b=1 …（13分）

∴当x=mπ+，m∈Z，a=kπ±时，tan（a﹣x）tan（a+x）=cot2a=1．

因此满足f（x）=tanx是一个“Ω函数”的实数对（a，b）=（kπ±，1），

22．给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．

（1）若定义域D1=（0，1），判断下列函数中哪些在D1上封闭（写出推理过程）：f1（x）=2x

﹣1，f2（x）=﹣﹣+1，f3（x）=2x﹣1；

（2）若定义域D2=（1，2），是否存在实数a，使得函数f（x）=在D2上封闭？若存

在，求出a的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．

解：（1）对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f1（x0）∈（﹣1，1）?D1，

故函数f1（x）=2x﹣1在D1上不封闭；同理，f2（x）=﹣﹣+1

=﹣+∈（0，1）；f3（x）=2x﹣1∈（0，1），故在D1上封闭；

（2）f（x）=，对称中心为（﹣2，5）

当a+10＞0时，函数f（x）=在D2上为增函数，只需，∴a=2

当a+10＜0时，函数f（x）=在D2上为减函数，只需，∴a∈?

综上，所求a的值等于2．

23．若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而在I上是减函数，

则称y=f（x）在I上是“弱增函数”

（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x2+4x在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简要

说明理由．

（2）证明函数h（x）=x2+a2x+4（a是常数且a∈R）在（0，1]上是“弱增函数”．解：（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函数，且F（x）=在（1，2）上是减函数，所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函数”，g（x）=x2+4x在（1，2）上是增函数，但在（1，2）上不是减函数，所以g（x）=x2+4x+2在（1，2）上不是“弱增函数”．（2）因为h（x）=x2+a2?x+4的对称轴为x=﹣≤0，开口向上，所以h（x）在（0，1]上是增函数．下面证明函数F（x）=在（0，1]上是减函数．

设0＜x1＜x2≤1，则

，∵0＜x1＜x2≤1，∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，

∴，即F（x1）＞F（x2）．

所以F（x）在（0，1]上单调递减，所以h（x）在（0，1]上是“弱增函数”；

高考复习专题：函数的基本性质专题复习

高考复习专题：函数的基本性质专题复习 求函数定义域的常用方法：无论什么函数，优先考虑定义域 1偶次根式的被开方式非负；分母不为0；零指数幂底数不为零；对 数真数大于0且底数大于0不等于1；tanx 定义域? ?? ? ??∈+≠ Z k k x x ,2ππ 2复合函数的定义域：定义域是x 的范围，f 的作用范围不变 1.y=x x x -+||)1(0 2.y= 2 3 2 53 1 x x -+- 3.y= x x x x -+-||2 32 4.y x x = --1 5 1 1 5.(21) log x y -= 6.)3lg(-=x y 7.x x y 2 = 8.2lg 2 1x y = 9. 02 )45() 34lg()(-++=x x x x f 训练： 1、函数y=)34(log 25.0x x -的定义域为__________. 2、f(x)的定义域是[-1，1]，则f(x+1)的定义域是 3、若函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数) (log 2 1 x f 的定 义域是（ ） A ．]2,21[ B ．]2,0( C ．),2[+∞ D ．]2 1 ,0( 4、已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则)(x f 的定义域为 ，(2)x f 的定义域为 5、已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是 （ ）

A.[]052 ， B.[]-14， C.[]-55， D.[]-37， 6、函数1 2 1)(-+ += x x x f 的定义域是 .（用区间表示）． 7、已知函数 1 )(2+=x x f 的定义域是} 2,1,0,1{-，则值域 为 ． 8、函数 ) (x f y =的定义域是[1，2]，则 ) 1(+=x f y 的定义域 是 ． 9、下列函数定义域和值域不同的是（ ） （A ）15)(+=x x f （B ）1)(2+=x x f （C ）x x f 1)(= （D ）x x f = )( 10、已知函数) (x f y = 的图象如图1所示，则函数的 定义域是（ ） (A) [－2,0] (B) ]5,1[]0,2[ - (C) [1,5] (D) ] 5,1[]0,2[ - 11、若函数y=lg(4－a ·2x)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(0，+∞) B ．(0，2) C ．(-∞，2) D ．(-∞，0) 12、为何值时，函数 347 2+++= kx kx kx y 的定义域为 R ． 一次函数法 1. 已知函数()23{|15}f x x x x N x =-∈∈≤≤，则函数的值域为 二次函数法（配方法） 2. 求下列函数值域： ]5,1[,42∈+-=x x x y y =

(完整)高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0

高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选含答案

函 数 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数 x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是

高考数学(精讲+精练+精析)专题2_2 函数的基本性质试题 文(含解析)

专题2.2 函数的基本性质试题 文 【三年高考】 1. 【2016高考新课标2文数】已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2 -2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则 1 =m i i x =∑（ ） (A)0 (B) m (C) 2m (D) 4m 【答案】B 2．【2016高考浙江文数】已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,x f x x ≥∈R .（ ） A.若()f a b ≤，则a b ≤ B.若()2b f a ≤，则a b ≤ C.若()f a b ≥，则a b ≥ D.若()2b f a ≥，则a b ≥ 【答案】B 【解析】由已知可设2(0)()2(0)-?≥?=?

高三文科数学三角函数专题测试题(后附答案)

高三文科数学三角函数专题测试题 1．在△ABC 中，已知a b ＝sin A cos B ，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．在△ABC 中，已知A ＝75°，B ＝45°，b ＝4，则c ＝( ) A . 6 B ．2 6 C ．4 3 D ．2 3．在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C . 3 D . 32 在△ABC 中， AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝32× 22 3 2 ＝2 3. 4．在△ABC 中，若∠A＝30°，∠B ＝60°，则a∶b∶c＝( ) A ．1∶3∶2 B ．1∶2∶4 C ．2∶3∶4 D ．1∶2∶2 5．在△ABC 中，若sin A>sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A> B B ．A

(完整版)函数的基本性质详细知识点及题型分类(含课后作业)

《函数的基本性质》专题复习 （一）函数的单调性与最值 ★知识梳理 一、函数的单调性 1、定义： 设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 。 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 。 2、单调性的简单性质： ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。 3、判断函数单调性的方法步骤： 利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○ 1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1)(x f y =I I )(x f y =

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数

高三文科数学知识点总结

高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 B A ? （或 )A B ? A 中的任一元素都属 于B A ?(1)A A ?? (2) A C ?，则B C ?且B A ?若(3) A B =，则B A ?且B A ?若(4) A(B) 或 B A 真子集 A ≠?B （或B ≠ ?A ） B A ?中至少 B ，且有一元素不属于A 为非空子集） A （A ≠ ??）1（ A C ≠ ?，则 B C ≠ ?且A B ≠ ?若(2) B A 集合 相等 A B = A 中的任一元素都属 于B ，B 中的任一元素 都属于A B ?(1)A A ?(2)B A(B) （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2个子集，它有21-个真子集，它有21-个非空子集，它有22-非空真 子集. 【1.1.3】集合的基本运算 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 A B I {|,x x A ∈且 }x B ∈ （1） A A A =I （2）A ?=?I （3）A B A ?I A B B ?I B A 并集 A B U {|,x x A ∈或 }x B ∈ （1）A A A =U （2）A A ?=U （3）A B A ?U A B B ?U B A 补集 U A e {|,}x x U x A ∈?且 ()U A A U =U e2 ()U A A =? I e1 （1不等式 解集 ||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >> |x x a <-或}x a > ||,||(0)ax b c ax b c c +<+>> ， ||x a <看成一个整体，化成 ax b +把 型不等式来求解 ||(0)x a a >> （2()()()U U U A B A B =I U 痧 ?()()() U U U A B A B =U I 痧?

高考数学(精讲 精练 精析)专题 函数的基本性质试题(江苏)(含解析)

专题2 函数的基本性质 【三年高考】 1. 【2016高考江苏11】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1-)上， ,10, ()2 ,01, 5 x a x f x x x +-≤

试题分析：对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为1 1(,)22P '-，而11(,)22 P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线， 其伴随曲线分别为2222( ,)0y x f x y x y -=++与 2222 (,)0y x f x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222( ,)0y x f x y x y -=++与曲线 2222 (,)0y x f x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线 y kx b =+上任一点P (,)x y 的伴随点是'P 2222 ( ,)y x x y x y -++，消参后点'P 轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③. 考点：对新定义的理解、函数的对称性. 【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决． 3．【2016高考山东理数改编】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3 ()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时， ()()f x f x -=-；当12x > 时，11 ()()22 f x f x +=- .则f (6)= ． 【答案】2 【解析】 试题分析：当12x > 时，11()()22f x f x +=-,所以当1 2 x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3 (1)(1)112f f ??=--=---=?? ． 考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数. 【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. 4．【20XX 年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a ?-≤=?->? .

高考文科数学专题复习导数训练题(文)

高考文科数学专题复习导数训练题（文) 一、考点回顾 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。 2.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。 ３.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大(小）值，而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小）值。 二、经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析： ()2'2+=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案：3 点评:本题考查多项式的求导法则。 考点二:导数的几何意义。 例２. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22y x = +,则 (1)(1)f f '+= 。 解析：因为 21= k ，所以()211'= f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25 ,所 以 ()25 1= f ,所以()()31'1=+f f 答案：3

例3.曲线 32 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析： 443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-， 带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为:025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3+-=，直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00 ≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析: 直线过原点，则 ()000 ≠= x x y k 。由点 () 00,y x 在曲线C 上,则 02 30023x x x y +-=，∴?2302 00 0+-=x x x y 。又263'2 +-=x x y ,∴ 在 ()00,y x 处 曲线C 的切线斜率为 ()263'02 00+-==x x x f k ,∴?2632302 002 0+-=+-x x x x ，整理 得:0 3200=-x x ,解得： 230= x 或00=x (舍），此时,830-=y ,41 - =k 。所以，直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23。 答案：直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23 点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。 解析:函数()x f 的导数为 ()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'

必修1函数的基本性质专题复习(精心整理)

必修 1 《函数的基本性质》专题复习 （一）函数的单调性与最值 ★知识梳理 1.函数的单调性定义： 设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间 2.函数的最大（小）值 设函数的定义域为 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值； 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。 ★热点考点题型探析 考点1 函数的单调性 【例】试用函数单调性的定义判断函数2()1 f x x =-在区间（1，+∞）上的单调性. )(x f y =A A I ?I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =)(x f y =A A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≤) (0x f )(x f y =A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≥) (0x f )(x f y =

【巩固练习】证明：函数2()1 x f x x = -在区间（0，1）上的单调递减. 考点2 函数的单调区间 1.指出下列函数的单调区间： （1）|1|y x =-； （2）22||3y x x =-++. 2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围.

【巩固练习】 1．函数26y x x =-的减区间是（ ）. A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）. A. y =－x +1 B. y C. y = x 2－4x ＋5 D. y =2x 3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，） 单调递增，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 . 4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围. 5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围.

全国高考数学复习微专题：函数的图像

函数的图像 一、基础知识 1、做草图需要注意的信息点： 做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点 （1）一次函数：y kx b =+,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线 特点：两点确定一条直线 信息点：与坐标轴的交点 （2）二次函数：()2 y a x h k =-+，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图像，另一侧由对称性可得。函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图像更为精确 特点：对称性 信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点 （3）反比例函数：1 y x = ,其定义域为()(),00,-∞+∞U ，是奇函数，只需做出正版轴图像即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线 特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线 信息点：渐近线 注： （1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，x 轴是渐近线，那么当x →+∞，曲线无限向x 轴接近，但不相交，则函数在x 正半轴就不会有x 轴下方的部分。 （2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若x →+∞（或-∞）时，()f x →常

高三一轮复习函数专题1---函数的基本性质

函数专题1、函数的基本性质 复习提问： 1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。 2、如何求一个函数的定义域（特别是抽象函数的定义域问题） 3、如何求一个函数的解析式。（常见方法有哪些） 4、如何求函数的值域。（常见题型对应的常见方法） 5、函数单调性的判断，证明和应用（单调性的应用中参数问题） 6、函数的对称性（包括奇偶性）、周期性的应用 7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题 知识分类 一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）= x x | |，g （x ）=? ??<-≥;01,01x x （3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n － 1（n ∈N *）； （4）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2； （5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1. 二、函数的定义域（请牢记：凡是说定义域范围是多少，都是指等式中变量x 的范围） 1、求下列函数的定义域： (1)ｙ＝－221x ＋１(2)ｙ＝422--x x (3)x x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x (5)ｙ＝ 3 1 42-+ -x x (8)ｙ＝3-ax （ａ为常数） 2、（1）已知f (x )的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x -1)的定义域； （2）已知f (2x -1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f (x )的定义域； 3、若函数)(x f y =的定义域为[ 1，1]，求函数 )41(+=x f y ) 41 (-?x f 的定义域 5、已知函数682-+-= k x kx y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。 三、函数的解析式 求函数解析式常用的几种方法：待定系数法、换元法（代换法）、解方程法、 1、换元（或代换）法： 1、已知,1 1)1(2 2x x x x x f ++=+求)(x f .

高考复习文科函数知识点总结

函数知识点 一．考纲要求 注：ABC分别代表了解理解掌握 二．知识点 一、映射与函数 1、映射f：A→B 概念 （1）A中元素必须都有象且唯一； （2）B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2、函数f：A→B 是特殊的映射 (1)、特殊在定义域A 和值域B都是非空数集。函数y=f(x)是“y是x 的函数” 这句话的数学表示，其中x是自变量，y是自变量x的函数，f 是表示对应法则， 它可以是一个解析式，也可以是表格或图象，

也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与 x 轴至多有一个公共 点，但与 y 轴的公共点可能没有，也可能是任意个。（即一个x 只能对应一个y ，但一个y 可以对应多个x 。） （2）、函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决 定作用的 要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 二、函数的单调性 它是一个区间概念，即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的。判断方法如下： 1、作差（商）法（定义法） 2、导数法 3、复合函数单调性判别方法（同增异减） 三．函数的奇偶性 ⑴偶函数：)()(x f x f =- 设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于y 轴对称，例如：12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数. ②满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，1) () (=-x f x f . ⑵奇函数：)()(x f x f -=- 设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时， 1)() (-=-x f x f ※四．函数的变换 ①()()y f x y f x =?=-：将函数()y f x =的图象关于y 轴对称得到的新的图像 就是()y f x =-的图像； -a -c -b d c b a y=f(x) o y x ? -a -c -b d c b a y=f(-x) o y x ②()()y f x y f x =?=-：将函数()y f x =的图象关于x 轴对称得到的新的图像就是()y f x =-的图像；

2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数

2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2019年高考重庆卷（文））函数21 log (2) y x = -的定义域为 （ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(2,3) (3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞ 【答案】C 2 ．（2019年高考重庆卷（文））已知函数3 ()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则 (lg(lg 2))f = （ ） A ．5- B ．1- C ．3 D ．4 【答案】C 3 ．（2019年高考大纲卷（文））函数()()()-1 21log 10=f x x f x x ? ?=+ > ??? 的反函数 （ ） A ． ()1021x x >- B ．()1 021 x x ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A 4 ．（2019年高考辽宁卷（文））已知函数()) ()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ?? =+++= ??? 则 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D 5 ．（2019年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a << 【答案】A 6 ．（2019年高考陕西卷（文））设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为 （ ） A ．(-∞,1) B ．(1, + ∞) C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞ 【答案】B 7 ．（2019年上海高考数学试题（文科））函数 ()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是

函数的基本性质专题训练

函数的基本性质 【巩固练习】 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =-数 C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 3 ．函数y = ） A ．(]2,∞- B ．(]2,0 C ． [)+∞,2 D ．[)+∞,0 4．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 5．下列四个命题： (1)函数f x ()的定义域(,0)(0,)-∞+∞，在0x <时是增函数，0x >也是增函数，则)(x f 在定义域上是增函数； (2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >； (3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞； (4) 1y x =+ 和y =表示相同函数。 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） 7.函数x x x f -=2)(的单调递减区间是____________________。

高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选(含答案)

函 数 【1.２.1】函数的概念 （1)函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应(包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ，(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数 x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <. （３)求函数的定义域时,一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时,定义域是全体实数. ②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零(负)指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． ⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （４）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小(大)值．因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度

高三文科数学导数专题

2008届高三文科数学第二轮复习资料 ——《函数及导数》专题 1．设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数，对一切x R ∈均有()(3)0f x f x ++=，且当 11x -<≤时，()23f x x =-，求当24x <≤时，()f x 的解析式． 2. 已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a +-+=+是奇函数．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对 任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 3．集合A 是由适合以下性质的函数f(x)组成的：对于任意的x ≥0，f(x)∈(1,4]，且f(x)在[0，+∞)上是减函数. （1）判断函数f 1(x)=2-x 及f 2(x)=1+3·(x )2 1(x ≥0)是否在集合A 中？若不在集合A 中，试说明理由； （2）对于（1）中你认为是集合A 中的函数f(x)，不等式f(x)+f(x+2)≤k 对于任意的x ≥0总成立.求实数k 的取值范围. 4. 对于函数2()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠，若存在实数0x ，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点． （1）当2,2a b ==-时，求()f x 的不动点； （2）若对于任何实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围； （3）在(2)的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且直线2121 y kx a =+ +是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．

5. 已知函数f(x)=2x3+ax及g(x)=bx2+c的图像都过P（2，0），且在点P处有相 同的切线. （1）求实数a、b、c的值； （2）设函数F(x)=f(x)+g(x)，求F(x)的单调区间. 6．设x=1及x=2是函数f(x) = a lnx + bx2 + x的两个极值点．（Ⅰ）试确定常数a和b的值； （Ⅱ）试判断x=1，x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由. 7. 2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中 国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为： e)1 其中.当燃料重量为m (-吨（e为自然对[ln())]4ln2(0) y k m x k =+-+≠ 数的底数，72.2≈e）时，该火箭的最大速度为4（km/s）. （Ⅰ）求火箭的最大速度) (x y=； y及燃料重量x吨之间的函数关系式) f km / (s （Ⅱ）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？ 8．某工厂统计资料显示，产品次品率?及日产量x（件）（89 x且）的关 N ∈x 1≤ ≤系符合如下规律：